Geometria analítica (Aula06 O Plano UFRRJ)

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Universidade Federal Rural de Rio de Janeiro
IC815 - Geometria Analítica
O Plano
9 de outubro de 2023 Prof. Renan Teixeira
1. Equação do plano e suas relações
Dados três pontos P0, P1 e P2 não colineares, existe um único plano π que contém estes três
pontos, assim como apresentado na Figura 1. Seguindo, então, as mesmas ideias utilizadas no
caso da reta, para determinar as equações de π utilizaremos um ponto inicial (por exemplo P0) e
conjunto com vetores u⃗ =
−−−−→
P0P1 , v⃗ =
−−−−→
P0P2 determinados pelos pontos escolhidos.
Figura 1: Descrição do plano que contém os pontos, não colineares, P0, P1 e P2.
Tomando um ponto P qualquer deste plano π obtemos o vetor
−−−→
P0P coplanar aos vetores u⃗ e v⃗.
Assim, um ponto P (x,y,z) ∈ π se, e somente se, existem números reais h e t tais que:
−−−→
P0P = hu⃗+ tv⃗
P − P0 = hu⃗+ tv⃗
P = P0 + hu⃗+ tv⃗. (1)
De modo, que obtemos a equação vetorial do plano π (1). Dados P0(x0,y0,z0), u⃗ = (u1,u2,u3)
e v⃗ = (v1,v2,v3) então para um ponto qualquer P(x,y,z) do plano e a equação vetorial (1) podemos
escrever da seguinte forma
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(u1,u2,u3) + t(v1,v2,v3)
ou 
x = x0 + hu1 + tv1
y = y0 + hu2 + tv2
z = z0 + hu3 + tv3
(2)
descrita como equações paramétricas do plano π (2), onde os vetores u⃗ e v⃗ são chamados de
vetores diretores do plano π.
A Geometria Euclidiana nos dá uma outra forma de encontrarmos a equação de um plano.
Para isso vamos primeiro lembrar que, dada uma reta e um ponto P1 podemos encontrar um único
plano π que contenha o ponto P1 e que seja ortogonal a reta dada.
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Figura 2: Descrição do plano com seu vetor normal n⃗.
Observe que, como mostra a Figura 2, neste resultado, a reta serve apenas para determinar
uma direção. Isso nos permite, portanto, substituir esta reta por um vetor paralelo a ela. Neste
sentido, dado um plano π, dizemos que um vetor n⃗ não nulo é normal a π se n⃗ é ortogonal a todos
os vetores paralelos a π. Portanto, sejam dois pontos A(x1,y1,z1) e P(x,y,z) no plano π. Como o
vetor
−−→
AP é perpendicular a n⃗= (a,b,c), n⃗ , 0, então temos
n⃗ ·
−−→
AP = 0
n⃗ · (P −A) = 0
(a,b,c) · (x − x1,y − y1,z − z1) = 0
a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
ax+ by+ cz−ax1 − by1 − cz1︸ ︷︷ ︸
=d
= 0
Daí, temos a equação geral do plano π dado pela equação (3) abaixo
ax+ by+ cz+ d = 0 (3)
Exercício 1. Encontre as equações geral, vetorial e paramétricas do plano passando pelos pon-
tos A(2, 1,0), B(3, 3, 2) e C(1, 2, 4).
Exercício 2. Encontre equações paramétricas para o plano cuja equação geral é 2x+3y+z = 1.
Exercício 3. Encontre a equação geral do plano com equação vetorial P = (0,1,2)+(3,1,2)h+
(1,2,1)t.
1.1 Casos Particulares
Considerando a equação geral do plano π, ax+ by+ cz+ d = 0, o que acontece quando um ou
mais coeficientes são nulos?
1ª Situação Um coeficiente nulo: Quando d = 0, obtemos um plano paralelo ao plano π que passa pela
origem O(0,0,0), pois este ponto satisfaz a equação ax + by + cz = 0. Por outro lado, se
tivermos a = 0 ou b = 0 ou c = 0 obtemos um plano paralelo ao eixo cujo componente do
vetor normal é zero, ou seja, se a= 0 temos um plano paralelo ao eixo Ox e assim por diante.
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2ª Situação Dois coeficientes nulos, sendo um deles o termo d: Neste caso, se tivermos a= d = 0 ou b = d = 0
ou c = d = 0, temos:
- se a= d = 0→ obtemos um plano que contém o eixo Ox.
- se b = d = 0→ obtemos um plano que contém o eixo Oy.
- se c = d = 0→ obtemos um plano que contém o eixo Oz.
3ª Situação Dois coeficientes nulos, dentre a, b, c: Se tivermos a= b = 0 ou b = c = 0 ou a= c = 0 temos
- se a= b = 0→ obtemos um plano paralelo ao plano xOy.
- se b = c = 0→ obtemos um plano paralelo ao plano yOz.
- se a= c = 0→ obtemos um plano paralelo ao plano xOz.
4ª Situação Três coeficientes nulos, sendo um deles o termo d: Neste caso, obtemos o plano coordenado
cujos componentes do vetor normal são zero.
Problemas Propostos
Exercício 4. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,−3,4) e é paralelo
aos vetores u⃗ = (3,1,−2) e v⃗ = (1,−1,1).
Exercício 5. Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2, 1,-1), B(0,
-1, 1) e C(1, 2, 1).
Exercício 6. Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém as retas r1 :

x = −1+ 2t
y = 4t
z = 3− 6t
e r2 :
y = 2x+ 1
z = −3x − 2
.
Exercício 7. Seja o plano π que passa pelo ponto A(2,2,-1) e é paralelo aos vetores u⃗ = (2,−3,1)
e v⃗ = (−1,5,−3). Determine uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e
uma equação geral de π.
Exercício 8. Dado o plano π determinado pelos pontos A(1, -1, 2), B(2, 1, -3) e C(-1, -2, 6),
determine um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π.
Exercício 9. Dado o plano π de equação 2x− y − z+ 4 = 0, determine um sistema de equações
paramétricas para o plano π.
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Exercício 10. Determine a equação geral do plano π que contém as retas r1 :

x = 2t
y = 3+ 2t
z = 1− 6t
e
r2 :
y = x+ 1
z = −3x − 2
.
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1.2 Ângulos entre dois planos
Sejam os planos π1 e π2 com vetores normais n⃗1 e n⃗2, respectivamente, como apresentado na
Figura 3.
Figura 3: Ângulo θ entre os planos π1 e π2.
Como podemos observar na Figura 3, o ângulo formado pelos planos é o mesmo que o ângulo
entre os vetores normais aos planos. Logo, chama-se ângulo de dois planos o menor ângulo que
um vetor normal a π1 forma com um vetor normal π2. Sendo θ este ângulo, temos
cosθ =
|n⃗1 · n⃗2|∥∥∥n⃗1
∥∥∥∥∥∥n⃗2
∥∥∥ , com 0 ≤ θ ≤ π
2
.
Exercício 11. Determine o ângulo entre os planos π1 : 2x+ y − z+ 3 = 0 e π2 : x+ y − 4 = 0.
1.2.1 Paralelismo entre dois planos
Sejam os planos π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, onde n⃗1 = (a1,b1,c2)
e n⃗2 = (a2,b2,c2) com n⃗1 ⊥ π1 e n⃗2 ⊥ π2. Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus
vetores normais sejam paralelos, então
π1 ∥ π2 → n⃗1 ∥ n⃗2 → a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Observação. Se além das igualdades anteriores tivermos
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=
d1
d2
então os planos serão
coincidentes.
1.2.2 Perpendicularidade de dois Planos
Sejam os planos π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, onde n⃗1 = (a1,b1,c2)
e n⃗2 = (a2,b2,c2) com n⃗1 ⊥ π1 e n⃗2 ⊥ π2. Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus
vetores normais sejam paralelos, então
π1 ⊥ π2 → n⃗1 ⊥ n⃗2 → n⃗1 · n⃗2 = 0
Exercício 12. Determine o ângulo entre os planos π1 : 2x−3y+5z−8 = 0 e π2 : 3x+2y+5z−4 =
0.
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Exercício 13. Calcule os valores de m e n para que o plano π1 : (2m−1)x−2y+nz−3 = 0 seja
paralelo ao plano π2 : 4x+ 4y − z = 0
Exercício 14. Verifique se os planos π1 e π2 são perpendiculares entre si.
a) π1 : 3x+ y − 4z+ 2 = 0 e π2 : 2x+ 6y+ 3z = 0.
b) π1 : x+ y − 4 = 0 e π2 :

x = 2− h+ 2t
y = h+ t
z = t
.
1.3 Ângulo entre reta e plano
Seja uma reta r com direção do vetor v⃗ e um plano π, sendo n⃗ o vetor normal a π.
Figura 4: Ângulo φ entre a reta r e o plano π.
Como pode ser observado na Figura 4, o ângulo φ da reta r com o plano π é o complementar
do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano. Tendo em vista que θ+φ = π/2,
e portanto, cosθ = senφ, temos
senφ =
|v⃗ · n⃗|∥∥∥v⃗∥∥∥∥∥∥n⃗∥∥∥ , com 0 ≤ θ ≤ π
2
.
1.3.1 Paralelismo entre reta e plano
Seja a reta r e o plano π, temos
r ∥ π → v⃗ ⊥ n⃗ → v⃗ · n⃗= 0
onde v⃗ é o vetor diretor da reta r e n⃗ é o vetor normal ao plano π.
1.3.2 Perpendicularidade entre reta e plano
Seja a reta r e o plano π, temos
r ⊥ π → v⃗ ∥ n⃗ → v1
a
=
v2
b
=
v3
c
onde v⃗ = (v1,v2,v3) é o vetor diretor da reta r e n⃗= (a,b,c) é o vetor normal ao plano π.
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Exercício 15. Determine se a reta r :

x = 1+ 2t
y = −3t
z = t
é paralela ao plano π : 5x+2y −4z−1 = 0.
Exercício 16. Determine o ângulo que a reta r :
x = 1− 2t
y = −t
z = 3+ t
forma com o plano π : x+y−5 =
0.
Exercício 17. Verifique se a reta r : df racx − 23 = df racy+ 1−2 = df racz−1 é perpendicular
ao plano π : 9x − 6y − 3z+ 5 = 0.
1.4 Reta contida no plano
Uma reta r está contida em um plano π se:
• Dois pontos A e B de r também pertencerem a π ou;
• v⃗ · n⃗ = 0, onde v⃗ é um vetor diretor de r e n⃗ um vetor normal a π. E um ponto A ∈ π, sendo
A ∈ r.
Exercício 18. Determine os valores de m e n para que a reta r :

x = 3+ t
y = −1− t
z = −2− t
esteja contida no
plano π : 2x+my+ nz − 5 = 0.
1.5 Interseção entre dois Plano
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar.
Vamos apresentar duas formas de resolver:
Caso 1) Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x,y,z) de r devem
satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a
solução do sistema formado pelas equações gerais dos planos.
Caso 2) Outra maneira é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Seja o ponto A ∈ r que
tem abcissa zero, então obtemos as outras coordenadas do ponto A ∈ r. Como o vetor diretor
de r é simultaneamente ortogonal a n⃗1 e n⃗2, normais aos planos, o vetor diretor pode ser dado
por v⃗ = n⃗1 × n⃗2.
Observação. Interseção entre reta e plano: Se I(x,y,z) é um ponto de interseção de r e π, suas
coordenadas devem satisfazer ambas equações, do plano e da reta.
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Exercício 19. Determine as equações paramétricas e reduzidas obtidas da interseção dos pla-
nos π1 : 5x − y+ z − 5 = 0 e π2 : x+ y+ 2z − 7 = 0.
Exercício 20. Determine o ponto de interseção da reta r :
y = 2x+ 3
z = 3x − 4
com o plano π : 3x+
5y − 2z − 9 = 0.
Exercício 21. Determine o ponto de interseção da reta r :

x = −1+ 2t
y = 5+ 3t
z = 3− t
com o plano π :
2x − y+ 3z − 4 = 0.
1.6 Distância de ponto e plano
Dado um ponto P e um plano π, queremos calcular a distância d(P,π). Seja A um ponto
qualquer de π e n⃗ um vetor normal a π. Como mostra a Figura 5, a distância d(P,π) é o módulo
da projeção de
−−→
AP na direção de n⃗.
Figura 5: Distância entre ponto e plano.
Logo, temos:
d(P,π) = |projn⃗
−−→
AP |=
∥∥∥∥∥∥∥
−−→AP · n⃗∥∥∥n⃗∥∥∥
 n⃗∥∥∥n⃗∥∥∥

∥∥∥∥∥∥∥
d(P,π) =
∥∥∥∥∥∥∥−−→AP · n⃗∥∥∥n⃗∥∥∥
∥∥∥∥∥∥∥
Considerando P(x0,y0,z0), π : ax+ by+ cz+ d = 0 e A(x1,y1,z1) ∈ π, temos:
d(P,π) =
∥∥∥ax0 + by0 + cz0 + d
∥∥∥
√
a2 + b2 + c2
Exercício 22. Calcule a distância do ponto P0(4,2,−3) ao plano π : 2x+ 3y − 6z+ 3 = 0.
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1.7 Distância entre dois planos
A distância entre dois planos é definida somente quando os planos forem paralelos. Logo,
dados dois planos paralelos, a distância entre eles é determinado pela distância de um ponto qual-
quer de um dos planos ao outro plano. Portanto,
d(π1,π2) = d(P1,π2) = d(π1,P2)
onde P1 ∈ π1 e P2 ∈ π2.
1.8 Distância entre reta e plano
A distância entre reta e plano é definida somente quando a reta é paralela ao plano. Logo, dado
uma reta r e um plano π, a distância entre eles é determinado pela distância de um ponto qualquer
da reta ao plano. Portanto,
d(r,π) = d(P0,π)
onde P0 ∈ r.
Exercício 23. Calcule a distância entre os planos π1 : 2x−2y+z−5 = 0 e π2 : 4x−4y+2z+14 =
0.
Exercício 24. Determine a distância da reta r :
x = 3
y = 4
:
a) ao plano xOy;
b) ao plano yOz;
c) ao plano π : x+ y − 12 = 0.
d) xOy
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	Equação do plano e suas relações
	Casos Particulares
	Ângulos entre dois planos
	Paralelismo entre dois planos
	Perpendicularidade de dois Planos
	Ângulo entre reta e plano
	Paralelismo entre reta e plano
	Perpendicularidade entre reta e plano
	Reta contida no plano
	Interseção entre dois Plano
	Distância de ponto e plano
	Distância entre dois planos
	Distância entre reta e plano