Tópico 9 - Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas

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Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em 
camadas estratificadas
Apresentação
Para obras geotécnicas (barragens, hidroelétricas, sistemas de drenagem, fundações, construções 
que necessitam promover movimentação ou estabilização do solo), os profissionais envolvidos 
(engenheiros, geólogos) precisam compreender a importância da Lei de Darcy. Para isso, é 
fundamental entender os conceitos relacionados à permeabilidade de solo, que, de maneira 
simples, consiste na facilidade que um fluido (normalmente água) tem para passar através dos 
poros, ou seja, os vazios encontrados no solo. Dessa forma, a Lei de Darcy é utilizada para calcular 
a percolação de água através de um solo, sob a ação da gravidade, sendo essa lei a base de quase 
todos os métodos para a medição de permeabilidades dos solos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você compreenderá a definição, a importância e os coeficientes 
de permeabilidade dos diferentes tipos de solos. Além disso, entenderá a importância dos 
permeâmetros e como são calculados os coeficientes de permeabilidade, tanto para permeâmetros 
de carga constante como para permeâmetros de carga variável. Por fim, você compreenderá a 
importância do cálculo das tensões em solos submetidos à percolação.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer conceitos básicos de permeabilidade dos solos.•
Determinar coeficientes de permeabilidade utilizando permeâmetros.•
Calcular as tensões no solo submetido à percolação.•
Desafio
Em relação ao fluxo de água em solos, é essencial que os profissionais da área da geotecnia 
analisem ao menos três questões: 
• Conservação da energia: por meio da equação de Bernoulli, a qual determina a carga hidráulica de 
um fluido incompressível em um escoamento permanente e, para isso, utiliza a conservação de 
energia. 
• Permeabilidade dos solos (Lei de Darcy). 
• Conservação da massa.
A permeabilidade dos solos é utilizada em várias obras de geotecnia, como no dimensionamento e 
escolha do tipo de drenagem, no rebaixamento do nível d’água, no cálculo de vazões, na análise de 
recalques, no estudo de estabilidade, etc.
Sendo assim, responda: 
a) Como é possível obter o volume que irá escoar para a vala? 
b) Nesse caso, por que a camada de areia apresenta um risco para a segurança da barragem? 
Explique.
Infográfico
O solo pode ser considerado como um conjunto de partículas sólidas que apresenta (além de grãos 
minerais e matéria orgânica decomposta) vazios de formas e tamanhos variados (no caso os poros) 
que, por sua vez, podem ser preenchidos com água, ar ou ambos. A água nos poros nem sempre 
está em repouso, mas flui através do solo, o que acaba afetando a distribuição de tensões e, 
consequentemente, as obras de engenharia. A porosidade e a carga hidrostática dos solos 
interferem no fluxo de água.
Neste Infográfico, você saberá mais sobre a porosidade dos solos.
Aponte a câmera para o 
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https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/21e6caad-1d31-4269-aaf7-286f490fa8de/bc3b6b29-393b-4519-a1a9-f21c581eeedc.jpg
Conteúdo do livro
A resistência do solo está relacionada, entre outros fatores, ao grau de saturação do solo. Em solos 
não saturados, a água preenche parcialmente os vazios e as tensões no fluido são negativas. A 
condição de não saturação do solo ocorre na camada acima do lençol freático. Porém, quando o 
solo está saturado, sua resistência diminui, aumentando sua viscosidade, podendo provocar a 
queda de taludes ou mesmo grandes deslizamentos. A saturação do solo, assim como o possível 
fluxo de água entre seus poros, altera as tensões dentro do solo e sua resistência. Por isso, é muito 
importante compreender o efeito da água nos poros. A característica do solo que permite a 
passagem da água é denominada permeabilidade. Sua medida é o coeficiente de permeabilidade, o 
qual é comumente representando pela letra k.
No capítulo Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas, da obra Introdução à 
geotecnia, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você saberá mais sobre a permeabilidade 
dos solos.
Boa leitura.
INTRODUÇÃO À 
GEOTECNIA
Ronei Tiago Stein
Leis de Darcy e Bernoulli 
e fluxo em camadas 
estratificadas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Reconhecer conceitos básicos de permeabilidade dos solos.
  Determinar coeficientes de permeabilidade utilizando permeâmetros.
  Calcular as tensões no solo submetido à percolação.
Introdução
A permeabilidade define o grau de infiltração de água no solo, o que 
depende do tamanho, da forma e da compactação das partículas que 
o compõem. O estudo do fluxo de água é importante para a mecânica 
dos solos. Mediante o estudo da permeabilidade, é possível estimar a 
quantidade de fluxo subterrâneo, buscando, por exemplo, investigar 
problemas envolvidos no bombeamento de água em construções sub-
terrâneas e realizar análises de estabilidade de barragens e estruturas de 
contenção de maciços sujeitos a força de percolação.
Neste capítulo, você compreenderá a importância dos estudos da 
permeabilidade dos solos. Serão apresentados alguns coeficientes de 
permeabilidade utilizados em permeâmetros e como são calculadas as 
tensões no solo submetido à percolação.
1 Permeabilidade dos solos
Os solos são permeáveis devido aos espaços vazios interconectados, por onde 
a água fl ui de pontos de alta energia para pontos de baixa energia (DAS; SO-
BRAN, 2019). Quando a água se infi ltra no solo e repõe a água acessível (seja 
de precipitação natural ou irrigação artifi cial), ocorre a recarga da umidade 
do solo. A propriedade do solo que determina a taxa de recarga de umidade é 
sua permeabilidade, a qual depende do tamanho e da forma das partículas e 
da compactação dos grãos do solo (CHRISTOPHEESON; BIRKELAN, 2017).
Quando mais compactado for um solo, menor será sua permeabilidade. 
É por esse motivo que solos compactados são utilizados em pavimentação, 
barragens de terra e aterros, visando diminuir a infiltração de água nessa 
estruturas, o que poderia ocasionar sérios problemas, como rachaduras e, 
em casos mais graves, até mesmo rompimento/colapso de toda a estrutura. 
Práticas agrícolas como a aeração e adição de areia ou estrume ao solo, para descom-
pactar sua estrutura, podem melhorar tanto a permeabilidade quanto a profundidade 
até onde a água pode eficientemente penetrar no solo, recarregando sua umidade 
(CHRISTOPHEESON; BIRKELAN, 2017).
Fiori e Carmignani (2009) mencionam que o valor da umidade natural do 
solo varia em função da localização da amostra:
Se próxima ou na superfície do terreno, se em profundidade, se nas proximi-
dades de lagos, rios ou fontes, se coletada logo após uma chuva, etc. Amostras 
de solo coletadas abaixo do nível permanente do lençol freático não deverão 
apresentar variações no seu conteúdo em água pelo fato de estarem saturadas. 
Por outro lado, amostras coletadas acima do nível permanente do lençol freático 
apresentarão uma variação natural de umidade por causa, principalmente, 
de fatores de ordem climática, como temperatura, intensidade e duração das 
chuvas, entre outros. O conteúdo máximo de água em um solo depende do 
índice de vazios (FRIORI; CARMIGNANI, 2009, p. 20).
Logo, é fundamental estudar as características do fluxo de água através 
dos solos, já que elas interferem em questões como estabilidade de taludes e 
controle de águas subterrâneas, além de apresentar grande importância em 
relação a projetos de estruturas hidráulicas (diques, barragens, cais, dentre 
outros), conforme menciona Das (2013). Machado e Machado ([19--]) comple-
mentam, citando que os estudos dos fluxos de água nos solos também ajudam a:
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas2
  estimar a vazão de água (perda hídrica do reservatório da barragem) 
através da zona de fluxo;
  instalarpoços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático;
  verificar eventuais problemas de colapso e expansão em solos não 
saturados;
  dimensionar sistemas de drenagem;
  dimensionar liners em sistemas de contenção de rejeitos;
  prever recalques diferidos no tempo;
  analisar a influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da 
massa de solo (estabilidade de taludes);
  analisar a chance da água de infiltração ocasionar erosão, arraste de 
material sólido no interior do maciço, dentre outras consequências.
Segundo Marangon ([2009]), o estudo dos fenômenos de fluxo de água 
em solos se apoia em três pilares: 
1. conservação da energia (Bernoulli);
2. conservação da massa;
3. permeabilidade dos solos (lei de Darcy).
A conservação da energia é calculada pela equação de Bernoulli, a 
qual visa estimar a quantidade de fluxo subterrâneo sob diversas condições 
hidráulicas. A carga total de um ponto na água em movimento pode ser dada 
pela soma das cargas piezométrica, cinética e altimé trica (Figura 1). 
Figura 1. Equação de Bernoulli. 
Fonte: Adaptada de Das (2013).
3Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
onde:
  h = carga total;
  p = pressão (Pa);
  U = velocidade do fluxo (m/s);
  g = aceleração da gravidade;
  γw = peso específico da água.
Especificamente, a permeabilidade do solos é calculada pela lei de Darcy, batizada 
em homenagem ao engenheiro francês Henry Darcy, que, em 1850, executou uma 
experiência clássica para estudar o fluxo de água nos solos. Com auxílio de um per-
meâmetro, Darcy mediu a vazão que atravessa a amostra (SANTOS; DAIBERT, 2014).
Dessa forma, Darcy concluiu que:
onde:
  Q = vazão volumétrica;
  k = coeficiente de permeabilidade (ou condutividade hidráulica);
  A = área da seção transversal (área do permeâmetros);
  i = coeficiente hidráulico;
  h = carga hidráulica que dissipa na percolação;
  L = trajetória de percolação onde se dissipa h;
  v = velocidade de percolação.
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas4
É importante mencionar que a lei de Darcy é válida apenas para escoamento laminar, 
que ocorre na maioria dos solos naturais. Um escoamento se define como laminar 
quando as trajetórias das partículas de água não se cortam. Caso contrário, o escoa-
mento é chamado de turbulento (MARANGON, [2009]).
Já o coeficiente de permeabilidade tem seu valor tabelado para os diferentes 
tipos de solo, sendo apresentados na Figura 2.
Figura 2. Valores típicos do coeficiente de permeabilidade.
Fonte: Adaptada de Barnes (2006).
Porém, os valores tabelados apresentam somente uma ideia da grandeza da 
permeabilidade dos solos. Uma maneira mais precisa de obter o coeficiente 
de permeabilidade em laboratório é fazer uso de um permeâmetro. Esses 
ensaios são realizados para avaliar solos compactados, principalmente du-
rante a fase de projeto. Depois de prontos, auxiliam na seleção de materiais, 
normalmente mais indicados como camada impermeabilizante de fundações 
e aterros sanitários, por exemplo. Os ensaios de laboratório são realizados em 
5Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
células chamadas de permeâmetros, sendo que no seu interior é colocado o 
corpo de prova para execução do ensaio (QUEIROZ, 2016).
Os ensaios com permeâmetros são baseados na lei de Darcy, em que a 
permeabilidade das amostras de solo são analisadas para diferentes valores 
de vazão (Q), volume (V), tempo (t), comprimento (L) e nível de água, em 
razão da perda de carga na entrada e na saída do corpo de prova. A Figura 3 
apresenta uma ilustração de um permeâmetro de carga constante.
Figura 3. Esquema de funcionamento de um permeâmetro de carga constante.
Fonte: Adaptada de Queiroz (2016).
A velocidade de escoamento da água subterrânea depende de vários fatores, 
como viscosidade da água, forma e dimensões das partículas do solo, distri-
buição granulométrica, preenchimento por partículas menores ou cimentação 
por minerais (sílicas, óxidos, argilominerais ou carbonatos), topografia do 
terreno e recarga do aquífero. A água que se infiltra no solo pode permanecer 
na subsuperfície durante dias, anos, séculos ou milênios, dependendo da 
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas6
profundidade alcançada. Dessa forma, o tempo de permanência é tanto maior 
quanto mais abaixo a água estiver em relação aos níveis dos cursos d’água 
(QUEIROZ, 2016; KNAPPETT; CRAIG, 2018). 
2 Coeficientes de permeabilidade
Existem diferentes métodos utilizados para determinar o coefi ciente de perme-
abilidade dos solos, dentre os quais podemos destacar (NETO; MURRIETA, 
2018):
  Métodos indiretos:
 ■ a partir da curva granulométrica;
 ■ a partir do ensaio de adensamento.
  Métodos diretos:
 ■ permeâmetro de carga constante;
 ■ permeâmetro de carga variável;
 ■ ensaios in situ.
Os métodos diretos in situ envolvem o uso de anéis concêntricos e furo de sondagem. 
Porém, tais métodos não são tão precisos quanto os resultados de permeabilidade 
obtidos nos permeâmetros. 
Permeâmetro de carga constante
Especifi camente dos métodos diretos, Barnes (2016) descreve que o uso do 
permeâmetro de carga constante (Figura 4) é indicado para solos que tenham 
um coefi ciente de permeabilidade na faixa de 10-2 a 10-5 m/s (areia grossa, 
areia média e areia fi na), com uma fração de fi nos inferior a 10% (silte ou 
argila). Para realizar esse ensaio, é fundamental respeitar a NBR 13292/1995 
(ABNT, 1995), que prescreve o método para determinar o coefi ciente de 
permeabilidade à carga constante, com a água percolando através do solo, 
em regime de escoamento laminar. 
7Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Figura 4. Esquema mostrando um permeâmetro de carga 
constante.
Fonte: Adaptada de Barnes (2006).
Barnes (2006) complementa, ressaltando que para se realizar o ensaio, 
deve-se ajustar a válvula de controle e esperar até que a taxa de fluxo Q passe 
pela amostra de solo e a perda de carga hidráulica H entre os pontos do manô-
metro tenham atingido um valor constante. Em seguida, a taxa de fluxo Q e a 
perda de carga h são medidas, e o coeficiente de permeabilidade é calculado. 
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas8
O ensaio deve ser repetido para diferentes gradientes hidráulicos, ajustando-se 
a válvula de controle para Q e h. Recomenda-se um ponto intermediário no 
manômetro para garantir a uniformidade do gradiente hidráulico da amostra. 
Mas como o coeficiente de permeabilidade é calculado no permeâmetro 
de carga constante? Por meio das seguintes equações:
Exemplo 1
Um geólogo realizou um ensaio de permeabilidade em um permeâmetro de 
carga constante em uma amostra de areia, conforme indicado na Figura 5.
Figura 5. Ilustração do Exemplo 1.
Como resultados, obteve:
  vazão percolada: 0,3 cm3/s;
  área da amostra: 706 cm2;
Dessa forma, o geólogo precisa calcular a constante de permeabilidade 
da areia analisada.
9Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Resolução
Basta inserir os dados obtidos nas seguintes fórmulas:
Permeâmetro de carga variável
Já o permeâmetro de carga variável é indicado para solos de baixa perme-
abilidade (solos argilosos). É necessário respeitar e seguir a NBR 14545/2000 
(ABNT, 2000). Acompanhe na Figura 6 o funcionamento de um permeâmetro 
de carga variável.
Figura 6. Esquema mostrando um permeâmetro 
de carga variável.
Fonte: Adaptada de Neto e Murrieta (2018).
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas10
Verifica-se o tempo que a água na bureta superior leva para baixar da 
altura inicial (hi) à altura final (hf). Num instante t qualquer, a partir do início, 
a carga é h e o gradiente h/L. Logo, a vazão será dada por:
Para calcular a constante de permeabilidade do solo (k) com auxílio de 
permeâmetro de carga variável, faz-se uso da seguinte fórmula:
Mas como deverá ser calculado o coeficiente de permeabilidade? Para 
melhor entendimento, considereos exemplos desenvolvidos a seguir.
Exemplo 2
Um geólogo realizou um ensaio de permeabilidade de uma amostra de solo 
argiloso e obteve como resultados:
  altura inicial da água — 150 cm;
  altura final da água — 50 cm;
  tempo: — 2 min;
  área transversal do tubo de carga — 2 cm2;
  área da seção transversal — 50cm2;
  altura do corpo de prova — 9 cm;
Qual o coeficiente de permeabilidade da referida amostra?
Resolução
k = 3,2921 × 10-3 cm/s
11Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Exemplo 3
Considere um ensaio de permeabilidade com auxílio de um piezômetro de 
carga variável. Quando a carga h era de 65 cm, acionou-se o cronômetro, e 
30 segundos depois a carga h era de 35 cm. As dimensões do corpo de prova 
são L = 20 cm e A = 77 cm2. A área da bureta é de 1,2 cm2.
1. Qual é o coeficiente de permeabilidade do solo estudado? 
2. Qual é o coeficiente de permeabilidade aplicando-se diretamente a lei 
de Darcy para uma carga média durante o ensaio?
Resolução
Para responder a questão 1, aplica-se a equação deduzida para permeâmetro 
de carga variável:
k = 2,2 × [(1,2 × 20) / (77 × 30)] × log(65/35) = 2,3 × 0,0104 + 
0,268 = 6,4 × 10-3 cm/s
Para responder a questão 2, basta perceber que no início do ensaio a carga 
era de 65 cm e no final era de 35 cm. Vamos considerar então a carga média 
de 50 cm. O gradiente médio é: 
i = h/L = 50/20 = 2,5
O volume escoado é: 
V = (65 – 35) × 1,2 = 36 cm3
A vazão média é: 
Q = 36/30 = 1,2 cm3/s
Logo, aplicando-se a lei de Darcy, temos:
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas12
Estratificações
Os solos podem apresentar diferentes camadas (ou seja, estratifi cações). Logo, 
os valores de k são diferentes na direção horizontal e vertical. De modo geral, as 
estratifi cações podem ser divididas em fl uxo paralelo à estratifi cação e fl uxo per-
pendicular à estratifi cação (DAS, 2019). Esses fl uxos são apresentados na Figura 7.
Figura 7. Camadas estratificadas: (a) fluxo paralelo; (b) fluxo perpendicular.
Fonte: Adaptada de Morais ([201-]).
13Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Na direção horizontal (fluxo paralelo, Figura 7a), todos os estratos estão 
sujeitos ao mesmo gradiente hidráulico. Logo:
Q = q1 + q2 + q3 +.....+ qn 
Q = k × i × A = k1 × i1 ×A1 + k2 × i2 × A2 + k3 × i3 × A3 + ..... + kn × in × An
i = i1 = i2 = i3 = ... in = 
Já na direção vertical (fluxo perpendicular — Figura 7b), quando o esco-
amento é contínuo a vazão será igual em cada estrato (camada). A perda de 
carga total consiste no somatório da perda de carga em cada camada. Logo: 
Q = q1 + q2 + q3 +.....+ qn 
L = L1 + L2 + L3 .... + Ln
H = h1 + h2 + h3...+ hn 
Exemplo 4
Dois recursos hídricos (um rio e um córrego) correm muito próximos entre si 
e de forma paralela. Entre os recursos hídricos, tem-se uma camada de areia. 
Essa situação é ilustrada na Figura 8.
Figura 8. Representação dos dois recursos hídricos e a camada de areia entre ambos.
Fonte: Marinho (2020, documento on-line).
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas14
Nesse caso, em questão, que volume flui em 60 minutos por metro corrido 
(perpendicular ao plano da figura) através dessa camada de areia? Sabe-se que 
os primeiros 25 m da camada de areia possui k = 9 × 10-3cm/s. Já nos últimos 
12 metros da camada de areia, o coeficiente de permeabilidade é 7 vezes maior.
Resolução
Utilizando as fórmulas:
k2 = k1 × 7
k2 = 9 × 10-3cm/s × 7 = 63×10-3cm/s
Utilizando a teoria da lei de Darcy para permeabilidade equivalente (keq) 
para solo perpendicular, temos:
Para calcular a vazão, aplica-se a lei de Darcy. A área calculada será para 
1 metro de largura da camada, conforme apresentado pelo exemplo.
O volume que passa em 60 minutos pela camada de areia pode ser obtido 
por meio de uma regra de três:
O coeficiente de permeabilidade depende principalmente do tamanho médio 
dos poros, que, por sua vez, está relacionado com a distribuição do tamanho das 
partículas (distribuição granulométrica), com a forma delas e com a estrutura 
do solo. Em geral, quanto menores as partículas, menor será o tamanho médio 
15Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
dos poros e menor será o coeficiente de permeabilidade. Knappett e Craig 
(2018) descrevem que, à medida que o solo se torna mais denso (ou seja, seu 
peso específico aumenta), o índice de vazios diminui. Logo, a compressão 
do solo acabará alterando sua permeabilidade. Se um depósito de solo estiver 
estratificado (ou seja, em camadas), a permeabilidade para o fluxo paralelo à 
direção de estratificação será maior do que para o fluxo perpendicular a ela. 
3 Tensões no solo submetido à percolação
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra é de vital im-
portância para entender o:
[....] comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. 
Há uma necessidade de se conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas 
várias profundidades abaixo do terreno para a solução dos mais diversos 
problemas de solos, como de recalques, empuxo de terra, capacidade de carga 
no solo, etc. (MARANGON, 2018, p. 30).
Bodó e Jones (2017) descrevem que um grande problema na mecânica dos 
solos é a determinação das tensões induzidas no solo completamente saturado, 
principalmente devido a:
  mudança no carregamento atuante;
  variação das condições de água no solo, ou seja, quando ocorre o fluxo.
Como consequência da carga atuante, a massa de solo se deforma, ou seja, 
se adensa, expulsando parte da água nos poros e permitindo que as partículas 
sólidas se unam, formando uma massa mais densa. Existem três tipos de 
tensões atuando ao longo da profundidade do solo (BODÓ; JONES, 2017):
1. tensão total (α) do carregamento atuante, como a tensão inicial do solo 
de fundação, somada ao peso da sobrecarga;
2. poropressão ou pressão neutra da água (u) nos vazios, induzida pelo 
peso da água, carga externa ou ambos;
3. tensão efetiva (α’) entre os grãos de solo, sendo a verdadeira causa da 
deformação; também é conhecida como tensão intergranular.
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas16
Acompanhe na Figura 9 como essas tensões autuam em uma amostra de 
solo.
Figura 9. Tensões existentes ao longo da profundidade do solo.
Fonte: Adaptada de Barnes (2006).
É fundamental calcular a tensão efetiva em solos, pois ela está relacionada 
às tensões de contato entre partículas, ou melhor, à transmissão de tensões 
entre o esqueleto sólido do solo e a presença de água. Logo, a tensão efetiva 
hidrostática dos solos — quando a água não está fluindo por seus poros — é 
resultado da tensão total calculada, descontando-se o valor da pressão neutra 
naquele ponto onde estamos realizando o cálculo. As tensões hidrostáticas 
podem ser calculadas pela seguinte equação: 
17Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Porém, o fluxo dentro dos solos muda o estado de tensões, devido às forças 
de percolação, alterando o estado hidrostático e gerando tensões hidrodinâmi-
cas no solo. A força de percolação provoca um esforço ou arraste do solo na 
direção do movimento. Essa força atua nas partículas, tendendo a carregá-las 
(PINTO, 2006). A força de percolação é dada por:
onde:
  F = força de percolação; 
  h = carga hidráulica total; 
  γw = peso específico submerso; 
  A = área do corpo de prova.
A força de percolação por unidade de volume ( j) pode ser definida por:
A força de percolação é uma grandeza semelhante ao peso específico. As 
duas se somam quando atuam no mesmo sentido e se subtraem quando em 
sentido contrário (PINTO, 2006). Assim, a percolação da água no solo pode 
apresentar dois fluxos:
  Descendente — da superfície para o subterrâneo, como ocorre com a 
água da chuva, que, após precipitação, penetra no subsolo e, pela ação 
da gravidade, sofre um movimento descendente até atingir uma zona 
onde os vazios, poros e fraturas se encontram totalmente preenchidos.
  Ascendente— do subterrâneo para a superfície, fenômeno que ocorre 
devido à capilaridade, em que a água se eleva por entre os interstícios 
de pequenas dimensões deixados pelas partículas sólidas.
Mediante a ação do fluxo descendente e ascendente, obtém-se os valores 
para as tensões totais e neutras ao longo da profundidade (Figura 10).
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas18
Figura 10. Tensões total e neutra em um solo num permeâmetro com fluxo (a) ascendente 
e (b) descendente.
Fonte: Adaptada de Pinto (2006).
Se por alguma razão ocorrer um movimento de água através do solo, a 
pressão de percolação resultante vai alterar o valor da tensão efetiva. O fluxo 
descendente reduz a pressão neutra nos poros. Por sua vez, o fluxo ascendente 
aumenta a poropressão e, por causa da diminuição da pressão intergranular, 
o solo ficará frágil, de tal forma que pode ocorrer erosão interna (como o 
fenômeno piping). É por esse motivo que o fluxo ascendente possui maior 
interesse para a engenharia (BODÓ; JONES, 2017).
19Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
A tensão efetiva (α’) em solos com fluxo pode ser calculada pelo produto 
da altura (L) pelo peso específico submerso (γ). Para fluxo ascendente:
Para fluxo descendente:
onde:
  γsub = peso específico submerso;
  j = força de percolação;
  L = altura da amostra.
Exemplo 4
Pinto (2006) apresenta um exemplo prático. Para isso, considere o esquema 
apresentado na Figura 10a, em que L = 50 cm, z = 24 cm e h = 14 cm. A área 
do permeâmetro é de 530 cm2. O peso específi co da areia é de 18 kN/m³. Sendo 
assim, qual o esforço que a areia estará exercendo na peneira localizada na parte 
de baixo da amostra de solo? Calcule a tensão efetiva na interface água–areia 
(ponto assinalado pelo círculo pontilhado) e a força de percolação atuante. 
Resolução
A tensão total na peneira será:
Α = 10 × 0,24 + 18 × 0,50 = 11,4 kN/m2
A pressão neutra na cota correspondente à peneira será de:
U = 10 × (0,14 + 0,24 + 0,50) = 8,8 kPa
A tensão efetiva na interface da areia para a peneira será de:
α' = 11,4 – 8,8 = 2,6 kPa
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas20
A tensão efetiva também pode ser calculada considerando-se o peso es-
pecífico submerso da areia e a força percolação. Logo:
Força de percolação = j = (h/L) × γw = (14/50) × 10 = 2,8kN/m3
Tensão efetiva = α’ = 0,50 × [(18-10) – 2,8)] = 2,6 kPa
É importante entender que a tensão efetiva é a transmitida entre os corpos 
sólidos ou entre grãos. Logo, a força exercida pela areia é:
F – 2,6 × 0,0530 = 0,1378 kN = 137,8N
Gradiente hidráulico
A relação h/L é conhecida como gradiente hidráulico, expresso pela letra i. Em 
fl uxo ascendente, o aumento de h pode resultar em um gradiente hidráulico 
crítico (icr), dado por:
Quando o gradiente hidráulico do solo se torna igual ou maior que seu 
gradiente crítico, ocorre a anulação da tensão efetiva e perda total de resistência 
ao cisalhamento do solo, que passa a se comportar como um líquido viscoso. 
Isso é descrito geotecnicamente como o efeito de areia movediça. 
Outro problema enfrentado em solos tipicamente granulares durante o 
fluxo de água é o piping. Esse fenômeno é caracterizado pela criação de canais 
preferenciais de fluxo de água através dos solos, por meio de carreamento 
de partículas. Também chamado de retroerosão tubular ou erosão interna, 
o piping é extremamente prejudicial para barragens de terra. Se não forem 
tomadas medidas/cuidados, pode levar ao colapso de toda a estrutura (PINTO, 
2006; DAS, 2013). É importante ressaltar que tais caminhos de percolação 
preferenciais têm mais probabilidade de acontecer em solos sem coesão, ou 
seja, solos arenosos. 
Sendo assim, é necessário realizar uma série de estudos e medidas para 
evitar o colapso/queda de obras geotécnicas, como barragens de terra. Além 
disso, a análise constante dessas estruturas é fundamental para evitar acidentes. 
21Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
ABNT. ABNT NBR 13292: Solo — Determinação do coeficiente de permeabilidade de 
solos granulares à carga constante. Rio de Janeiro: ABNT, 1995.
ABNT. ABNT NBR 14545: Solo — Determinação do coeficiente de permeabilidade de 
solos argilosos a carga variável. Rio de Janeiro: ABNT, 2000.
BARNES, G. Mecânica dos Solos: princípios e práticas. 3. ed. Rio de Janeiro, 2006. 
BODÓ, B.; JONES, C. Introdução à mecânica dos solos. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
CHRISTOPHEESON, R. W.; BIRKELAN, G. H. Geossistemas: uma introdução à geografia 
física. 9. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2017.
DAS, B. M. Fundamentos de engenharia geotécnica. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
DAS, B. M.; SOBRAN, K. Fundamentos de engenharia geotécnica. 9. ed. São Paulo: Cen-
gage Learning, 2019.
FIORI, A. P.; CARMIGNANI, L. Fundamentos de mecânica dos solos e das rochas: aplicações 
na estabilidade de taludes. 2. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
KNAPPETT, J. A.; CRAIG, R. F. Mecânica dos Solos. 8. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2018.
MACHADO, S. L.; MACHADO, M. F. C. Mecânica dos solos II: conceitos introdutórios. 
Salvador: Universidade Federal da Bahia, [19--]. Disponível em: http://www.ct.ufpb.
br/~celso/solos/material/teoria2. Acesso em: 23 set. 2020.
MARANGON, M. Hidráulica dos solos. Juiz de Fora, MG: UFJF, [2009]. Disponível em: 
https://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/ms2_unid01.pdf. Acesso em: 23 set. 2020.
MARANGON, M. Tensões no solo. Juiz de Fora, MG: UFJF, 2018. Disponível em: https://www.
ufjf.br/nugeo/files/2013/06/MARANGON-2018-Cap%c3%adtulo-02-Tens%c3%b5es-nos-
-Solos-2018.pdf. Acesso em: 23 set. de 2020. 
MARINHO, F. Lei de Darcy: exercícios resolvidos. Guia da engenharia, 30 abr. 2020.
Disponível em: https://www.guiadaengenharia.com/lei-darcy-exercicios/. Acesso 
em: 7 out. de 2020.
MORAIS, A. Mecânica dos solos: permeabilidade dos solos. São Paulo: UNIP, [201-]. 
Disponível em: https://engenhariacivilunip.weebly.com/uploads/1/3/9/9/13991958/
aula_8_permeabilidade_dos_solos..pdf. Acesso em: 6 out. 2020.
NETO, S.; MURRIETA, P. Mecânica dos solos. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2018.
PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 3. ed. São Paulo: Oficina 
de Textos, 2006.
QUEIROZ, R. C. Geologia e geotecnia básica para engenharia civil. São Paulo: Blucher, 2016.
SANTOS, P. R. C.; DAIBERT, J. D. Análise dos solos. 1. ed. São Paulo: Érica, 2014.
Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas22
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Leitura recomendada
TONIN, F. Permeabilidade dos solos. [S. l.: s. n.], 2013. Disponível em: https://engenharia-
civilfsp.files.wordpress.com/2013/04/aula-7-e-8-permeabilidade-dos-solos.pdf. Acesso 
em: 23 set. 2020.
23Leis de Darcy e Bernoulli e fluxo em camadas estratificadas
Dica do professor
Os solos são constituídos por cerca de 50% de sólidos (45% de origem mineral e 5% orgânica), 25% 
de líquidos e 25% de gases, além de conterem organismos vivos. Em todos os solos ocorrem 
tensões, devido ao peso próprio e às cargas aplicadas. Para estudo das tensões nos solos, são 
aplicados conceitos de mecânica dos sólidos deformáveis, a partir do conceito de tensões. As forças 
aplicadas em um solo são transmitidas de partículas a partículas, de forma complexa, dependendo 
do tipo de mineral que constitui o solo e a quantidade de água presente nos vazios. Em solos com 
partículas maiores (como a areia), a transmissão de forças se faz pelo contato direto, mineral a 
mineral. Já em solos argilosos, as forças de contato direto são pequenas; elas podem ocorrer pela 
água quimicamente absorvida.
Nesta Dica doProfessor, você saberá mais sobre as forças que atuam nos solos.
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Exercícios
1) O grau de percolação da água no solo é expresso por meio do coeficiente de permeabilidade; 
esse coeficiente varia, dependendo do tipo de solo, da densidade, da temperatura, da 
topografia da área, dentre outros fatores.
Conforme apontado pela equação de Darcy, a velocidade de percolação da água é 
influenciada:
A) pelo coeficiente de permeabilidade multiplicado pelo gradiente hidráulico.
B) pelo coeficiente de permeabilidade dividido pelo gradiente hidráulico.
C) pela carga de pressão hidrostática multiplicada pelo gradiente hidráulico.
D) pela carga de pressão hidrostática dividida pelo gradiente hidráulico.
E) pela carga de pressão hidrodinâmica multiplicada pelo coeficiente de permeabilidade.
2) É fundamental compreender os processos de permeabilidade nos solos, pois os mesmos 
podem afetar as obras de geotecnia (barragens, hidroelétricas, sistemas de drenagem, 
fundações, dentre outras). Em relação à permeabilidade dos solos, considere as afirmativas a 
seguir.
I - Solos com textura grosseira apresentam menor taxa de infiltração de água que os solos 
com partículas mais refinadas.
II - Durante as chuvas, os espaços entre as partículas dos solos são preenchidos por água e 
as forças capilares diminuem.
III - A taxa de infiltração de água nos solos varia conforme o tipo de solo, sendo que solos 
com coeficiente de permeabilidade de 10-3 têm maior infiltração que solos com coeficiente 
de permeabilidade de 10-9.
IV - Quanto maior a porosidade de um solo, menor será a permeabilidade do mesmo.
Assinale a alternativa que apresenta apenas afirmativas corretas.
A) I e II.
B) I, III e IV.
C) II e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
3) Na figura a seguir, apresentam-se as tensões totais e neutras de uma amostra de areia.
Considere um ponto A a uma altura de 25 cm acima da peneira, a área de 1060cm2 e o peso 
específico da areia de 36kN/m3.
Calcule as tensões total, neutra e efetiva no ponto A e assinale a alternativa correta.
A) A tensão total no ponto A é de 18,3kPa; a pressão neutra é de 14,4kPa; a tensão efetiva é de 
3,9kPa.
B) A tensão total no ponto A é de 20,3kPa; a pressão neutra é de 17,4kPa; a tensão efetiva é de 
2,9kPa.
C) A tensão total no ponto A é de 15,7kPa; a pressão neutra é de 12,6kPa; a tensão efetiva é de 
3,1kPa.
D) A tensão total no ponto A é de 21,2kPa; a pressão neutra é de 16,7kPa; a tensão efetiva é de 
4,5kPa.
E) A tensão total no ponto A é de 19,1kPa; a pressão neutra é de 11,4kPa; a tensão efetiva é de 
7,7kPa.
4) Uma construtora necessita analisar o coeficiente de permeabilidade de um determinado 
solo. Para isso, ensaios foram realizados usando um permeâmetro de nível constante, a uma 
temperatura ambiente de 20oC, onde 6x10-5m3 de água percola por meio de uma amostra 
cilíndrica de raio 0,035m e comprimento (L) 0,13m. O tempo do ensaio foi de 2 minutos, com 
um nível efetivo de 0,30m.
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de permeabilidade da 
amostra de forma correta.
A) 7,6x10-3cm/s.
B) 8,7x10-3cm/s.
C) 6,5x10-3cm/s.
D) 4,2x10-3cm/s.
E) 5,65x10-3cm/s.
Um geólogo necessita ensaiar duas amostras de areia (areia A e B) e, para isso, usou um 
permeâmetro de seção quadrada, sendo as amostras analisadas de duas maneiras diferentes, 
conforme representado na figura. Na primeira montagem, as areias foram dispostas uma sobre a 
outra. Já na segunda montagem, as areias foram colocadas uma ao lado da outra. A amostra A 
possui coeficiente de permeabilidade 4x maior que a amostra B. Qual dos 2 modelos de ensaios 
apresentará maior vazão em cm3/s?
Considere:
kA= 4x10-4 m⁄s
kB= 10-4 m⁄s
5) 
O coeficiente de permeabilidade da areia A é de 4x10-4m/s e o da areia B é de 10-4m/s. Em qual 
das duas montagens a vazão será maior?
 
A) Na montagem A, onde a vazão total será de 10cm3/s.
B) Na montagem B, onde a vazão total será de 15cm3/s.
C) Na montagem A, onde a vazão total será de 15cm3/s.
D) Na montagem B, onde a vazão total será de 10cm3/s.
E) Ambas as montagens terão a mesma vazão.
Na prática
Todos os solos têm poros, o que os torna permeáveis. Quando a permeabilidade é pequena, há 
maior probabilidade da ocorrência de processos erosivos superficiais nos solos, já que, por não se 
infiltrar adequadamente, a água segue para vales e rios, carregando sedimentos. A porosidade dos 
solos é um fator muito estudado na engenharia geotécnica, visto que solos permeáveis permitem o 
fluxo da água de pontos de maior energia (ou carga hidráulica) para pontos de menor energia, 
sendo que a água é transmitida através dos poros (espaços vazios). Logo, pode-se dizer que a 
permeabilidade é o parâmetro que permite caracterizar a capacidade do solo em transportar água.
Confira, Na Prática, a importância dos permeâmetros em obras geotécnicas.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Estudo de percolação em barragens de concreto e terra com base 
em análises numéricas de fluxo
Este trabalho apresenta uma revisão bibliográfica sobre os efeitos da percolação de água na 
estrutura de barragens, causando diferentes tipos de erosão, como erosão em fugas concentradas, 
erosão regressiva, erosão de contato entre solos e sufusão. Para saber mais, leia o artigo.
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Estudo da permeabilidade em solos utilizados em camada de 
base de aterro sanitário no semiárido paraibano
Em muitos casos, os aterros sanitários são constituídos por uma cama de base, cuja função é 
impedir o fluxo de contaminantes para o subsolo e águas subterrâneas. Esta camada de base é 
composta de solos com baixa permeabilidade. Para saber mais, leia a dissertação a seguir.
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Permeabilidade dos solos - aplicações em obras geotécnicas
O coeficiente de permeabilidade do solo (k) é utilizado em diversas obras geotécnicas, filtros de 
barragem de terra, estruturas de contenção e fundações de barragem de terra. Para saber mais 
sobre o coeficiente de permeabilidade dos solos, assista o vídeo a seguir.
https://www.researchgate.net/publication/332766635_ESTUDO_DE_PERCOLACAO_EM_BARRAGENS_DE_CONCRETO_E_TERRA_COM_BASE_EM_ANALISES_NUMERICAS_DE_FLUXO
 http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/12673
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Permeabilidade dos solos - Lei de Darcy
Darcy estudou o permeâmetro e buscou, basicamente, descobrir a vazão da água em solos. Dessa 
forma, ele descobriu o coeficiente de permeabilidade, o qual varia conforme o tipo de solo. Para 
saber mais sobre a Lei de Darcy, assista o vídeo a seguir.
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