04 Volume

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Lembramos aqui que é impossível aprender matemática com propriedade apenas lendo e ouvindo.
Para isso, você deve resolver exercícios, muitos exercícios, e o mais importante no final é analisar e com-
preender os possíveis erros.
Decorar o processo de resolução das questões não contribui em nada, o importante é compreender
o processo que foi utilizado para chegar na solução.
Aqui você vai encontrar os conteúdos referentes ao volume 04 com videoaula, gabarito e resolução,
além de outros materiais.
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Bons estudos.
Professor Elton
35-99982-8412
Material em construção e atualizado em 31 de janeiro de 2025.
Sumário
1 Material de apoio. 4
2 Equações 6
2.1 Equação polinomial do 1º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Problemas envolvendo equação polinomial do 1º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Equação polinomial do 2º grau - incompleta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Equação polinomial do 2º grau - completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Estudo das raízes de uma equação polinomial do 2º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Equações com uso de variável auxiliar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Equações irracionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Sistema de Equações - Parte 1. 35
3.1 Método da substituição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Método da adição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Sistema com uso da variável auxiliar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Problemas envolvendo sistema de equações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Classificação e solução de um sistema de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Solução geométrica de um sistema linear de equações com duas incógnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Sistema com equações do 2º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Inequações 57
4.1 Inequações de 1º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Inequações de 2º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Inequação produto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Inequação quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Sistema de inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1 Material de apoio.
Apostilas de matemática.
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Material - ENEM.
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Material - Vestibulares.
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PISM - UFJF.
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Material - OBMEP.
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2 Equações
2.1 Equação polinomial do 1º grau.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução das equações de 1º grau
com uma incógnita, sendo U = R.
a) 4x− 1 = x + 4
b) 4a− 5 = a− 3 + 2a
c) 3(x− 1) + 2(x + 4) = 0
d)
1
4
+
x− 3
2
= x− x− 3
3
Resolução.
e)
x
2
= 2− 4− x
6
f) 3.(5− 2x) =
2.(x− 5)
3
− x
2
Resolução.
g) −5.(x− 2)
4
= 6x− 5.(6− 2x)− x
2
Resolução.
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h) 5x− 4 + x = 6− 8x− 2
i) 8a− 12 = 4a− 12 + 5a
j)
x
5
+ 3 =
2x
3
− 1
6
k)
x
4
− 5
2
= 3x
l)
x− 5
x− 3
=
12
18
m)
x− 2
3
− 5− 3x
2
= 2
n)
5.(x− 2)
5
− 3.(x− 2) = −x− 5
3
o)
3x− 1
2
− x− 1
3
=
3x + 2
4
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2- Verificar se o número – 2 é raiz da equação 2x−5 = 3x−4.
3- São dadas as equações 5x− 8 = 2x+ 4 e y + 4 = 3y + 6.
Nessas condições , calcule:
a) o valor do número y
b) o valor do número x
c) o produto de y por x
d) o quociente de y por x
4- Dada a expressão 2x− 4.(5− x), qual deve ser o valor de
x para que essa expressão seja igual a zero?
5- (PUC-MG) Qual valor de x que verifica a igualdade
abaixo?
x− 1
2
− 4− 3x
6
=
1
3
− x
a)
2
3
b)
3
4
c)
3
2
d)
4
3
Resolução.
6- (Consulplan-2024) Uma sociedade secreta matemática uti-
liza uma equação do primeiro grau chamada de “fechadura”
para criptografar as senhas numéricas que os integrantes
devem inserir na porta que dá acesso às suas reuniões.
O número que chega aos integrantes deve ser descrip-
tografado por uma outra equação do primeiroas inequações produtos, sendo U = R.
a) (x− 3)(x + 1) ≥ 0
b) (x + 5)(x− 2)(−x + 1) 0 é igual a:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11
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4.4 Inequação quociente.
Videoaula em breve.
1- Resolva as inequações quocientes, sendo U = R.
a)
x− 2
x + 1
≥ 0
b)
(x− 2)(−x− 4)
x− 6
 0
2- Resolva a inequação
1− x
x− 3
≥ 2.
Resolução.
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3- Calcule o número de soluções inteiras da inequação:
(−3x + 2)(−x− 5)(6x− 1)
(−x)(5x + 1)(−4x + 2)
≤ 0
4- (FGV-SP) O maior número inteiro que satisfaz a inequação
5
x− 3
> 3 é:
a) um múltiplo de 2.
b) um múltiplo de 5.
c) um número primo.
d) divisível por 3.
e) divisível por 7.
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4.5 Sistema de inequações.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução dos sistemas de inequações,
sendo U = R.
a)
{
2x− 1 ≥ 5
−x− 3 0
(x + 1)(x− 2) 3x− 2
x2 − 6x + 8 ≤ 0
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
2- (UFSCar-SP) Determine o conjunto solução do sistema de
inequações abaixo.{
3x− 1 > 5x + 2
4x + 3 (x + 1)(5 − x) é
verdadeira para:
a) x = −1.
b) todo x real.
c) todo x ∈ R− {1}.
d) todo x ∈ R− {−1}.
e) todo x ≤ −1.
6- (Unifor-CE) A soma de todos os números inteiros que sat-
isfazem a sentença seguinte é:
x− 11
2
 2}
b) {x ∈ R|x 2}
c) {x ∈ R|x 6= 2}
d) {x ∈ R| − 2 1
d) x ≤ 1
e) x > 2
Resolução.
12- (ESPM-SP) O valor do trinômio do segundo grau −x2 +
4x + k é negativo para todo número real x, se, e somente se:
a) 2 4
c) k = 0
d) k 0 é igual a:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11
15- (FGV-SP) Quantos números reais não satisfazem a in-
equação
x− 5
5− x
 x é:
a) vazio
b) R
c) {x ∈ R/x −1}
e) {x ∈ R/x 3 é:
a) um múltiplo de 2.
b) um múltiplo de 5.
c) um número primo.
d) divisível por 3.
e) divisível por 7.
18- (UFF) Considere a inequação
2
n2
 1 e n 6= 3}
b) N∗
c) Q
d) {n ∈ N∗/n 6= 3}
e) {1, 3}
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19- (Vunesp) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B,
têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sap-
atos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar
sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B
aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês,
a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de:
a) março
b) maio
c) julho
d) setembro
e) novembro
20- (Vunesp) Carlos trabalha como discjockey (DJ) e cobra
uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para
animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa
fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo
de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel
não fique mais cara que a de Carlos, é:
a) 6 horas
b) 5 horas
c) 4 horas
d) 3 horas
e) 2 horas
21-(Enem) Na cidade de João e Maria, haverá shows em
uma boate. Pensando em todos, a boate propôs pacotes para
que os fregueses escolhessem o que seria melhor para si.
Pacote 1: taxa de 40 reais por show.
Pacote 2: taxa de 80 reais mais 10 reais por show.
Pacote 3: taxa de 60 reais para 4 shows, e 15 reais por cada
show a mais.
João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. As melhores opções
para João e Maria são, respectivamente, os pacotes:
a) 1 e 2.
b) 2 e 2.
c) 3 e 1.
d) 2 e 1.
e) 3 e 3.
22- (PAS-UFLA-2016) A seguinte inequação foi apresentada
a um estudante: y− 2a ≤ x ≤ y + 3a. Em seguida, pediu-se
para que ele reescrevesse essa inequação colocando a incóg-
nita y no meio da inequação. A resposta CORRETA é:
a) x− 2a ≤ y ≤ x + 3a
b) x + 3a ≤ y ≤ x + 2a
c) x + 2a ≤ y ≤ x + 3a
d) x− 3a ≤ y ≤ x + 2a
Resolução.
23- (UFSM-RS) O conjunto solução da inequação
x2 + x− 1
9− x2
≥ 1
3− x
dado por:
a) [−3, 3[
b) ]−∞,−2] ∪ [2,∞[
c) ]− 3,−2] ∪ [2, 3[
d) [−2, 2]
e) [2,∞[
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4.7 Gabarito.
1. Inequações de 1º grau.
1-
a) Nulo: x = −3, Positivo: x > −3 e
Negativo: x −1
2
c) Nulo: x =
5
7
, Positivo: x >
5
7
e
Negativo: x 
5
2
2-
a) S =
{
x ∈ R/x ≤ 5
3
}
b) S = {x ∈ R/x 3
Negativo: 2 12 + 2
√
35}
3- B
4- ∅
5- D
3. Inequação produto.
1-
a) S =]−∞,−1] ∪ [3,+∞]
b) S =]− 5, 1[∪]2,+∞[
c) S =]−∞, 0] ∪ [1, 4]
d) S =]−∞,−4] ∪ [2, 3] ∪ [4,+∞[
e) S =]2, 3[∪]5, 7[
2- D
4. Inequação quociente.
1-
a) S =]−∞,−1[∪[2,+∞[
b) S =]− 4, 2[∪]6,+∞[
c) S =]−∞, 1[∪]2, 4[∪]5,+∞[
2- S =
{
x ∈ R/
7
3
≤ x 3 ou xgrau chamada
de “chave”. Sabe-se que a equação usada para criptografar
é [Fechadura] → Y =
2N
3
− 1
5
, onde “N” é a senha que
está sendo criptografada e “Y ” o número que os integrantes
recebem. Qual das equações a seguir é a “chave” usada para
descriptografar o número recebido pelos integrantes e encon-
trar a senha “N”?
a) [Fechadura]→ N =
3Y
2
+
3
10
b) [Fechadura]→ N =
3Y
10
+
3
2
c) [Fechadura]→ N =
2Y
3
+
10
3
d) [Fechadura]→ N =
10Y
2
+ 1
Resolução.
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2.2 Problemas envolvendo equação polinomial do 1º grau.
Videoaula em breve.
1- O dobro de um número somado com 5 é igual ao triplo do
mesmo número diminuído de 1. Qual é o número?
2- A soma da metade de um número com 21 é igual ao dobro
do mesmo número menos 9. Determine esse número.
3- A soma da terça parte com
2
5
de um número resulta 77.
Qual é esse número?
Resolução.
4- Da renda de uma partida de futebol,
1
10
corresponde às
despesas gerais,
1
2
cabe ao clube vencedor e restante cabe
ao clube perdedor. Nessas condições, qual foi o valor da
renda de uma partida sabendo que o time perdedor ganhou
R$ 50.000,00?
5- (CEFET/RJ-2016) Carlos e Manoela são irmãos gêmeos.
A metade da idade de Carlos mais um terço da idade de Ma-
noela é igual a 10 anos. Qual é a soma das idades dos dois
irmãos?
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6- Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e
gastou 1
3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1
4 da
quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00.
Qual era a quantia que Carlos possuía?
7- (ENEM-2017) Uma escola organizou uma corrida de
revezamento 4 x 400 metros, que consiste em uma prova es-
portiva na qual os atletas correm 400 metros cada um de-
les, segurando um bastão, repassando-o de um atleta para
outro da mesma equipe, realizando três trocas ao longo do
percurso, até o quarto atleta, que cruzará a linha de chegada
com o bastão. A equipe ganhadora realizou a prova em um
tempo total de 325 segundos.
O segundo corredor da equipe ganhadora correu seus 400
metros 15 segundos mais rápido do que o primeiro; já o ter-
ceiro realizou seus 400 metros 5 segundos mais rápido que o
segundo corredor, e o último realizou seu percurso em
3
4
do
tempo realizado pelo primeiro
Qual foi o tempo, em segundo, em que o último atleta da
equipe ganhadora realizou seu percurso de 400 metros?
a) 58
b) 61
c) 69
d) 72
e) 96
Resolução.
8- (ENEM-2020) Segundo indicação de um veterinário, um
cão de pequeno porte, nos dois primeiros meses de vida, de-
verá ser alimentado diariamente com 50 g de suplemento e
tomar banho quatro vezes por mês. O dono de um cão de pe-
queno porte, seguindo orientações desse veterinário, utilizou
no primeiro mês os produtos/serviços de um determinado
petshop, em que os preços estão apresentados no quadro.
No mês subsequente, o fabricante reajustou o preço do su-
plemento, que, nesse petshop ,passou a custar R$ 9,00 cada
pacote de 500 g. Visando manter o mesmo gasto mensal para
o dono do cão, o gerente do petshop decidiu reduzir o preço
unitário do banho. Para efeito de cálculos, considere o mês
comercial de 30 dias.
Nessas condições, o valor unitário do banho, em real, passou
a ser
a) 27,00.
b) 29,00.
c) 29,25.
d) 29,50.
e) 29,75.
Resolução.
9- (ENEM-2020) Para sua festa de 17 anos, o aniversariante
convidará 132 pessoas. Ele convidará 26 mulheres a mais do
que o número de homens. A empresa contratada para realizar
a festa cobrará R$ 50,00 por convidado do sexo masculino e
R$ 45,00 por convidado do sexo feminino.
Quanto esse aniversariante terá que pagar, em real, à empresa
contratada, pela quantidade de homens convidados para sua
festa?
a) 2.385,00
b) 2.650,00
c) 3.300,00
d) 3.950,00
e) 5.300,00
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=e2e20G1LoDQ&list=PLzKSpm6uBlM9sYC5YnmmOLnGGHTH4Px84&index=58&t=165s
https://youtu.be/zwe-eFsuMXw
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10- (PUC-Minas) Três atletas, A, B e C, participam de uma
prova de revezamento. Depois de percorrer 2/7 da prova,
A é substituído por B, que percorre mais 2/5 da prova.
Em seguida, B dá lugar a C, que completa os 660 metros
restantes. Com base nesses dados, a distância percorrida por
esses três atletas, em quilômetros, é
a) 2,10.
b) 2,32.
c) 2,40.
d) 2,64
11- (FMC–2022) Em um recente concurso para ingresso em
uma empresa estatal, temos os seguintes dados relativos ao
número total de candidatos inscritos: 52% faltaram, 30%
foram aprovados e 81 foram reprovados. O número de can-
didatos que se inscreveram em tal concurso é igual a
a) 450
b) 460
c) 480
d) 490
e) 500
12- (Consulplan-2024) Na eleição para síndico de determi-
nado condomínio, participaram 1.770 pessoas que votaram,
cada uma, em apenas um dos candidatos: Adelmo, Bernardo
e Claudemir. Adelmo recebeu um terço dos votos recebidos
por Bernardo que, por sua vez, recebeu 20 votos a menos que
Claudemir. De acordo com o resultado, pode-se afirmar que:
a) Bernardo ganhou a eleição.
b) Bernardo obteve mais de 750 votos.
c) Adelmo ficou em segundo lugar na eleição.
d) Adelmo e Claudemir obtiveram, juntos, 1.020 votos.
Resolução.
13- (Consulplan-2024) Norberto é candidato a uma vaga no
concurso público da Secretaria Municipal de Educação de
sua cidade. Ele comprou um livro composto, exclusiva-
mente, por questões de língua portuguesa e dedicou três se-
manas para fazer todas essas questões. Na primeira semana,
ele fez 1/3 de todas as questões mais 24 questões. Na se-
gunda semana, Norberto fez 1/3 das questões restantes mais
20 questões. Na terceira semana, ele fez as 88 questões
restantes. Dessa forma, qual o número de questões desse
livro?
a) 186.
b) 228.
c) 279.
d) 324.
Resolução.
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2.3 Equação polinomial do 2º grau - incompleta.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução das equações de 2º grau
com uma incógnita, sendo U = R.
a) x2 − 12x = 0
b) 3x2 − 75x = 0
c) x2 − 16 = 0
d) 2x2 − 50 = 0
e) 5x2 − 25x = 0
Resolução.
f) (x− 4).(x + 4) = 9
g) x.(2 + x) = 2.(x− 8)
Resolução.
h) (x− 5).(x− 5) = 5.(5− 2x)
Resolução.
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2- A área de um quadrado é igual a 1296 m². Qual é o valor
do seu perímetro?
3- Um número positivo somado com o seu quadrado é igual
ao seu quádruplo. Qual é esse número?
4- Uma tela retangular com área de 9600 cm² tem de compri-
mento uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões
desta tela?
Resolução.
5- Considerando a equação 10x2 − 1000 = 0, duas raízes
reais e distintas, a e b , podem ser encontradas. Determine
a2 + b2.
a) 50
b) 100
c) 200
d) 250
e) 300
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https://drive.google.com/drive/folders/1ORX0-rXj5Ir_WOqATku0anR9qKoB181n?usp=sharing2.4 Equação polinomial do 2º grau - completa.
Videoaula em breve.
1 - Determine o conjunto solução das equações de 2º grau
com uma incógnita, sendo U = R.
a) x2 + 8x + 12 = 0
b) 2x2 + 4x + 25 = 0
c) −x2 − 4x− 4 = 0
Resolução.
d) x2 − 5x + 6 = 0
e) −x2 + x + 20 = 0
f) x2 − 2x + 6 = 0
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2- (PISM-UFJF) Com relação à equação 2x2 + x − 1 = 0 é
correto afirmar que:
a) Não possui raízes reais.
b) A soma das raízes é zero.
c) Possui duas raízes inteiras e distintas.
d) Possui uma raiz racional não inteira.
e) O Produto das raízes é zero.
Resolução.
3- Dada as expressões 5x2+12x+9 e x2+9x+10, para quais
valores reais de x as duas expressões têm valores iguais?
Resolução.
4- Um terreno retangular tem 300 m² de área. A frente do
terreno tem 13m a menos que a lateral. Determine as dimen-
sões do terreno.
5- Para que x = 1 seja raiz da equação
2ax2 + (2a2 − a− 4)x− (2 + a2) = 0,
os valores de a deverão ser:
a) 3 e 2
b) - 1 e 1
c) 2 e - 3
d) 0 e 2
e) - 3 e - 2
Resolução.
6- (Epcar-2017) Considere, em R, a equação (m + 2)x2 −
2mx + (m − 1) = 0 na variável x, em que m é um número
real diferente de - 2.
Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (ver-
dadeira) ou F (falsa).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução
vazio.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação ad-
mita raízes iguais.
( ) Na equação, se ∆ > 0 , então m só poderá assumir
valores positivos.
A sequência correta é:
a) V – V – V
b) F – V – F
c) F – F – V
d) V – F – F
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7- (UFLA-2022) Sabe-se que m e n são números inteiros
positivos e consecutivos cuja soma de seus quadrados é 61.
O valor de m + n é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
Resolução.
8- (FEI-SP) Uma das raízes da equação x2 − x − a = 0 é
também raiz da equaçãox2 + x − (a + 20) = 0. Qual é o
valor de a?
a) a = 10
b) a = 20
c) a = −20
d) a = 90
e) a = −9
9- (IFPE–2020) Na tentativa de incentivar os alunos da Edu-
cação de Jovens e Adultos do Ensino Fundamental II, a Coor-
denação criou uma gincana em que os estudantes respondiam
a perguntas sobre vários assuntos. Numa dessas rodadas da
gincana, o professor de Matemática propôs a seguinte per-
gunta:
“Ao quadrado de um número x, você adiciona 7 e obtém
sete vezes o número x, menos 3. Quais são as raízes dessa
equação?”
A resposta correta desse problema é
a) 2 e –5.
b) –2 e –5.
c) –2 e 5.
d) 2 e 5.
e) a equação não tem raiz real
10- (Consulplan-2024) A comissão de um vendedor é deter-
minada pela equação do segundo grau C = 40n − 0, 5n2,
onde “n” é o número de vendas feita pelo vendedor no mês.
A maior comissão que esse vendedor pode alcançar é de R$
800,00, o que corresponde a 40 vendas no mês. Em um de-
terminado mês o vendedor recebeu de comissão R$
350,00. O número de vendas realizadas pelo vendedor nesse
mês foi:
a) 10 vendas.
b) 12 vendas.
c) 15 vendas.
d) 18 vendas.
Resolução.
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2.5 Estudo das raízes de uma equação polinomial do 2º grau.
Videoaula em breve.
1- Determine os valores de b na equação x2 + bx+ 100 = 0,
para que as raízes sejam reais e iguais.
2- Para quais os valores de m a equação mx2 − 8x + 1 = 0
não tem raízes reais?
Resolução.
3- Se a equação x2−4x+k = 0 possui raízes reais e distintas,
encontre o valor de k.
4- Na equação x2− 4x+m+ 8 = 0 a soma e o produto das
raízes são iguais. Nessas condições, determine o valor de m
.
5- Calcule a soma e o produto das raízes reais da
equação x2 − x + 12 = 0.
6- Na equação 3x2 + 2x + m2 = 0, o coeficiente m é um
número real positivo. Qual é o valor de m para que o produto
das raízes dessa equação seja igual a 48?
Resolução.
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7- Na equação mx2 + 10x + 3 = 0, o produto das raízes é
igual a 1. Qual o valor de m?
8- (Coltec-UFMG-2017) Laura tem de resolver uma equação
do 2º grau no “para casa”, mas percebe que, ao copiar do
quadro para o caderno, esqueceu-se de copiar o coeficiente de
x. Para resolver a equação, registrou-a da seguinte maneira:
4x2 + ax + 9 = 0. Como ela sabia que a equação tinha
uma única solução, e esta era positiva, conseguiu determinar
o valor de a, que é:
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
9- (Cefet-RJ-2014) Para qual valor de a a equação
(x− 2).(2ax− 3) + (x− 2).(−ax+ 1) = 0 tem duas raízes
e iguais?
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
Resolução.
10- (UNICAMP-2021) A soma dos valores de x que re-
solvem a equação
1
2
+
1
3
x
4
+
1
x
=
1
2
é igual a
a) 14/3.
c) 18/3.
b) 16/3.
d) 20/3.
Resolução.
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11- (FUVEST-SP) A soma e o produto das raízes da equação
de segundo grau (4m+ 3n)x2 − 5nx+ (m− 2) = 0 valem,
respectivamente,
5
8
e
3
32
. Então, m + n é igual a
a) 9.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
e) 5.
12- (PUC Minas) A diferença entre as raízes reais da equação
x2 + bx + 40 = 0 é igual a 6. Então, o valor absoluto de b é
a) 8.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
13- (UFRGS-RS–2020) Se a equação x2 + 2x − 8 = 0 tem
as raízes a e b, então o valor de
(
1
a
+
1
b
)2
é:
a) -1/16
b) -1/4
c) 1/16
d) 1/4
e) 1
14- (EFOMM-RJ–2023) Sejam p e q as raízes da equação
x2˘2x + k = 0, em que k é um número real diferente de
zero. Se
1
p2
+
1
q2
= 6, então o produto dos possíveis valores
de k é:
a) -1
b) -2/3
c) 1/3
d) 2/3
e) 3/2
15- (Consulplan-2023) Dada a equação x2 + x = 6 e x1 e
x2 que denota as raízes desta equação. Em relação à equação
apresentada, é possível afirmar que:
a) As raízes são iguais e positivas e ∆ = 0.
b) As raízes são iguais e negativas e ∆ = 0.
c) As raízes são distintas e positivas e ∆ > 0.
d) As raízes são distintas, com sinais diferentes, e o ∆ > 0.
Resolução.
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2.6 Equações com uso de variável auxiliar.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução das equações, sendo
U = R.
a) x4 − 8x2 − 9 = 0
b) x20 + 5x10 + 4 = 0
c) (x2 + 1)2 + 6(x2 + 1) + 8 = 0
Resolução.
d)
(
x− 1
x− 2
)2
− 3
(
x− 1
x− 2
)
+ 2 = 0
Resolução.
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e) x2 − 9|x|+ 4 = 0
f) 2x + 2x.3 = 32
Resolução.
g) (5x)2 − 6.5x + 5 = 0
Resolução.
h)
(√
x + 1
)2 − 11
√
x + 1 + 24 = 0
Resolução.
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2.7 Equações irracionais.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução das equações irracionais,
sendo U = R.
a)
√
x + 8 = 3
b) 3
√
x− 6 = 1
c)
√
x2 + 3x− 9 = x
d)
√
6− x = x− 4
e)
√
10 + 3x− 4 = x
Resolução.
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2- Qual é o valor de x na equação
√
5x + 2 =
√
−6 + 9x?
3- Sabendo que as expressões
√
x +
√
x− 1 e
√
7 têm o
mesmo valor numérico, determine o valor do número
real x.
Resolução.
4- (MACK) Dado m > 0, a equação
√
x + m = x −
√
m
admite:
a) unicamente a raiz nula
b) uma raiz real e positiva
c) uma única raiz real e negativa
d) duas raízes reais, sendo uma nula
e) duas raízes reais e simétricas
5- (UFV) Sobre a equação irracional
√
x2 + 1 = x − 1 é
CORRETO afirmar que:
a) não possui raízes reais.
b) possui apenas uma raiz real.
c) possui duas raízes reais distintas.
d) é equivalente a uma equação do 2º grau.
e) é equivalente a uma equação do 1° grau.
Resolução.
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2.8 Atividades complementares.
1- Resolver as equações polinomiais de 1º grau, sendo
U = R.
a) 10x− 5 + 4x = 19− x
b) 12x− 10 = 20x + 26 + 2x
c) 3.(x− 1)− 2.(x + 4) = 0
d) 4.(x− 2)− 6.(x− 1) = 4
e)
2x + 1
3
+ x =
1
2
f)
1
4
− x
2
=
1
5
+
3x
10
g)
5x− 1
4
=
4x + 1
3
h)
x
2
= 2− 4− x
6
i)
x− 2
2
− x + 3
5
=
x
2
j)
2.(1 + x)
3
− 3.(x + 1)
4
=
x
6
2- Num estacionamento há carros e motos, totalizando 85
veículos. O número de carros é igual 4 vezes o de motos.
Quantas motos há no estacionamento?
3- Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas, num total de
360. Se o número de brancas é o quádruplo do de pretas, en-
tão qual o número de bolas brancas?
4- A soma da terça parte com
2
5
de um número resulta 77.
Qual é esse número?
5- (FGV-SP) A soma de 3 números inteiros consecutivos é
60. Assinale a afirmação verdadeira.
a) O quociente do maior pelo menor é 2.
b) O produto dos 3 números é 8000.
c) Não existem números nestas condições.
d) Falta informação para encontrar os 3 números.
e) O produto dos 3 números é 7980.
6- Resolver as equações polinomiais de 2º grau, sendo
U = R.
a) x2 − 5x + 6 = 0
b) x2 − x− 20 = 0
c) x2 − 4x + 4 = 0
d) x2 − 2x + 6 = 0
e) 4x2 − 5x− 6 = 0
f) x2 + 8x + 12 = 0
7- Resolva as equações, sendo U = R.
a)
x + 5
x− 5
=
x− 5
x + 5
b)
2
x− 2
+ x2 =
2
x− 2
+ 4
c) (x2 − 1)(2x + 2) = (x + 1)(2x + 2)
d)
x + 1
x
=
x− 1
x− 8
e)
x2 + 1
x− 2
+ 10 =
3x− 1
x− 2
+ 10
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8- (PUC-MG) Qual valor de x que verifica a igualdade
abaixo?
x− 1
2
− 4− 3x
6
=
1
3
− x
a)
2
3
b)
3
4
c)
3
2
d)
4
3
9- (Acafe-SC) Para acelerar a pavimentação de uma estrada,
três empreiteiras, A, B e C, foram contratadas. Coube à
empreiteira A,
3
8
da estrada, à empreiteira B,
5
32
da estrada
e o restante, de 45 km, para a empreiteira C.
Assinale a alternativa correta.
a) O total a ser pavimentado é de 90 km.
b) A empreiteira A pavimentou 21 km a mais que a em-
preiteira B.
c) A empreiteira A pavimentou 15 km.
d) A empreiteira C pavimentou
17
32
da estrada.
e) A empreiteira B pavimentou 36 km.
10- (UFV-MG) Vicente levou três dias para pintar um muro.
No primeiro dia, pintou
1
3
do comprimento do muro, no se-
gundo dia,
3
4
do que faltava para ser pintado e no terceiro dia
encerrou sua tarefa, pintando os 22 metros restantes.
Qual o comprimento do muro?
a) 142 m
b) 164 m
c) 132 m
d) 152 m
e) 144 m
11- (Vunesp) Uma estrada foi percorrida por um ciclista em
dois dias. No primeiro dia percorreu 0,35 da estrada pela
manhã,
1
5
à tarde e
15
100
à noite. A parte da estrada que deixou
para percorrer no dia seguinte foi de:
a) 0, 7
b) 0, 3
c) 0, 35
d) 2/10
e) 75/100
12- (Unicamp-SP) Uma lanchonete vende hambúrgueres a
R$ 6,00 cada um. Sabendo-se que
1
5
desse preço é o custo do
pão e dos demais ingredientes e que
1
3
corresponde às outras
despesas, Qual é o valor do lucro obtido na venda de cada
hambúrguer?
13- (Cesgranrio-RJ) Sobre a equação 1983x2 − 1984x −
1985 = 0 a afirmação correta é:
a) não tem raízes reais.
b) tem duas reais e distintas.
c) tem duas raízes simétricas.
d) tem duas raízes positivas.
e) tem duas raízes negativas.
14- (Fuvest-SP) Qual é o conjunto verdade da equação:
x + 2
2
+
2
x− 2
= −1
2
a) {−2}
b) {−2,−1}
c) {−1, 2}
d) ∅
e) {−2, 1}
Resolução.
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15- (UFRJ) Clarissa é uma típica consumidora de shopping.
Seu pai lhe deu uma certa importância em dinheiro, para que
comprasse algumas coisas. Ao passar por uma sapataria,
encantou-se com um tênis e pagou por ele
1
5
do que rece-
beu. Em seguida, entrou numa loja de roupas e comprou uma
calça, pagando com
1
4
do que lhe restou. Clarissa ficou ainda
com R$ 120,00.
Pergunta-se: qual foi a quantia que Clarissa recebeu de seu
pai?
16- (UFMG) De um recipiente cheio de água tiram-se
2
3
de
seu conteúdo. Recolocando-se 30 litros de água, o conteúdo
passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do
recipiente é:
a) 45 litros
b) 75 litros
c) 120 litros
d) 150 litros
e) 180 litros
Resolução.
17- (UFMG) Um estudante planejou fazer uma viagem de
férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o paga-
mento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a
Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com
diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da
Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse
caso, é correto afirmar que, para o pagamento de diárias, esse
estudante reservou:
a) R$ 300,00.
b) R$ 600,00.
c) R$ 350,00.
d) R$ 450,00.
18- (Unimep-SP) Qual é a soma das raízes da equação
abaixo?
x =
3
4− 3
4− x
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6
Resolução.
19- (FGV-SP) Considere a equação x2− 4x− 7 = 0 e sejam
x1 e x2 suas raízes. Então, (x1)
2 + (x2)
2 vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 30
e) 31
20- (FESP) A equação do 2º grau ax2 + x− 6 = 0 tem uma
raiz cujo valor é 2. A outra raiz é:
a) - 3
b) - 2
c) - 1
d) 1
e) 3
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21- Em R, resolver x4 − 3x2 − 4 = 0
a) S = {2, 0}
b) S = {0, 2}
c) S = {2}
d) S = {0}
e) S = {2,−2}
22- (FEI-SP) Seja V o conjunto dos números reais que são
soluções da equação irracional
√
2x−
√
7 + x = 1. Assim:
a) V = {2, 18}
b) V = {2}
c) V = {18}
d) V = { }
e) V = {−2,−18}
23- (UFV-MG) Com relação à equação
√
3x + 7 − x = 3 ,
é correto afirmar que:
a) seu conjunto solução é vazio.
b) seu conjunto solução é formado por dois números inteiros
negativos.
c) seu conjunto solução é unitário.
d) seu conjunto solução é formado por dois números inteiros
positivos.
e) seu conjunto solução é formado por dois números simétri-
cos.
Resolução.
24- Para a equação do 2º grau (m − 2)x2 + (2m − 5)x +
+(1− 2m) = 0, determine m nos seguintes casos:
a) O produto das raízes é – 1.
b) As raízes são números opostos.
c) Uma das raízes é o número zero.
25- (PUC-SP) O conjunto de soluções inteiras da equação√4x + 1 = 2x− 1 é:
a) {2}
b) {0, 2}
c) {0}
d)
{
0,
1
2
}
e)
{
1
2
}
Resolução.
26- Nelson comprou uma determinada quantidade de lâm-
padas idênticas em uma loja por uma quantia total de R$
200,00. No mês seguinte, ao retornar a essa loja com a
mesma quantia em mãos, percebeu que o preço unitário
dessas lâmpadas havia aumentado em R$ 5,00. Dessa forma,
com a quantia que havia levado, ele comprou 2 lâmpadas a
menos do que em sua compra anterior e não recebeu troco.
Quanto Nelson pagou em cada uma dessas lâmpadas na sua
primeira compra?
a) R$ 10,00.
b) R$ 20,00.
c) R$ 25,00.
d) R$ 40,00.
Resolução.
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27- (Enem) Nos shopping centers costumam existir parques
com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam crédi-
tos em um cartão, que são descontados por cada período de
tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da cri-
ança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para
trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o
período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$
3,00 e que uma bicicleta custa 9200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de
tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para
obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é:
a) 153
b) 460
c) 1218
d) 1380
e) 3066
28- (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um produto
representam, respectivamente, as quantidades que vende-
dores e consumidores estão dispostos a comercializar em
função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas
podem ser representadas por retas. Suponha que as quanti-
dades de oferta e de demanda de um produto sejam, respec-
tivamente, representadas pelas equações: QO = −20 + 4P e
QD = 46 − 2P , em que QO é a quantidade de oferta, QD é
a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações de oferta e de demanda, os
economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou
seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5
b) 11
c) 13
d) 23
e) 33
29- (Enem) Diante de um sanduíche e de uma porção de
batatas fritas, um garoto, muito interessado na quantidade de
calorias que pode ingerir em cada refeição, analisa os dados
de que dispõe. Ele sabe que a porção de batatas tem 200 g,
o que equivale a 560 calorias, e que o sanduíche tem 250 g
e 500 calorias. Como ele deseja comer um pouco do san-
duíche e um pouco das batatas, ele se vê diante da questão:
“Quantos gramas de sanduíche e quantos gramas de batata eu
posso comer para ingerir apenas as 462 calorias permitidas
para esta refeição?”. Considerando que x e y representam,
respectivamente, em gramas, as quantidades do sanduíche e
das batatas que o garoto pode ingerir, assinale a alternativa
correspondente à expressão algébrica que relaciona correta-
mente essas quantidades.
a) 2x + 2, 8y = 462
b) 2, 8x + 2y = 462
c) 1, 8x + 2, 3y = 1060
d)
1
2
x + 0, 4y = 462
e) 0, 4x +
1
2
y = 462
30- (ENEM) O salto triplo é uma modalidade do atletismo
em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um
salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um
só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o
mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o
outro pé, do qual o salto é realizado.
Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus
movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto,
o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo
salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de
17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distân-
cia alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
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31- (UNICAMP-2021) A soma dos valores de x que re-
solvem a equação
1
2
+
1
3
x
4
+
1
x
=
1
2
é igual a
a) 14/3.
c) 18/3.
b) 16/3.
d) 20/3.
Resolução.
32- (IFSULDEMINAS-2019) Na fazenda escola de um Insti-
tuto Federal, um grupo de estudantes participa de um projeto
de pesquisa, coordenado por professores. O número de estu-
dantes de cursos superiores (veterinária e zootecnia) é quatro
terços do número de estudantes do curso técnico em alimen-
tos. Em um dia de trabalho na pesquisa, faltaram dez alunos
de cursos superiores e três do técnico em alimentos. Nesse
dia, o número de alunos de cursos técnicos ficou igual ao
número de alunos de cursos superiores.
Qual é o número total de estudantes que participam do pro-
jeto?
a) 14
b) 30
c) 49
d) 54
Resolução.
33- (Unifenas-2020) Obtenha a soma das raízes do seguinte
polinômio: x4 − 3x2 + 2 = 0.
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Resolução.
34- (Unifenas-2019) Dada a equação do 2º grau: 2x2 − (4 +√
12)x + 4
√
3 = 0, encontre a opção correta para as suas
raízes.
a) −2 e
√
3
b) 2 e
√
3
c) −2 e −
√
3
d) 2 e
√
2
e) −24 e
√
3
Resolução.
35- (PAS-UFLA-2019) Brincar com cálculos matemáticos
mentais é uma brincadeira comum. Pense em um número
inteiro positivo. Some os três primeiros números sucessores
do número que você pensou. Agora, some os três primeiros
números antecessores do número pensado. Multiplique essas
duas somas e diga o resultado. A brincadeira está em de-
scobrir qual foi o número pensado. Suponha que nessa brin-
cadeira a pessoa diga que o resultado do produto das somas
é 45. Repetindo a brincadeira, pensa-se em outro número in-
teiro positivo e o valor do produto das somas obtido é 108. A
soma dos dois números pensados é:
a) 3
b) 4
c) 7
d) 12
Resolução.
36- (Unicamp-2019) A representação decimal de certo
número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da
soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o
produto dos algarismos é igual a
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=v4ME6v6s838
https://www.youtube.com/watch?v=BHgCgOfcl3Y
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37- (PAS-UFLA-2017) A soma das raízes reais das equações
x2 + x + 1 = 0
−x2 + x + 1 = 0
−x2 − x + 1 = 0
x2 − x + 1 = 0
resulta em:
a) −1
b) 0
c) 1
d) 2.(1 +
√
5)
Resolução.
38- (IFSULDEMINAS-2016) Sendo p e q, com p > q, as
raízes da equação x2− 2x− 1 = 0, marque a alternativa que
apresenta o valor da expressão 2p + 2q − pq.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 8
Resolução.
39- (UTFPR) Quando José estava indo ao ponto de ônibus
que fica a 420 m de sua casa, parou para conversar com um
amigo. Em seguida, andou o triplo do que já havia camin-
hado chegando ao ponto de ônibus. Assinale a alternativa
que apresenta quanto faltava em metros para ele chegar ao
ponto de ônibus.
a) 105
b) 125
c) 150
d) 350
e) 315
40- (UFRGS-RS) As raízes da equação 2x2 + bx+ c = 0 são
3 e −4. Nesse caso, o valor de b− c é
a) –26.
b) –22.
c) –1.
d) 22.
e) 26.
41- (UFRGS–2022) Se a e b são as raízes da equação x2 −
6x + 3 = 0, então o valor
 1
1
a
+
1
b

−2
é
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
42- (Consulplan-2024) Gabriel está à procura de uma chur-
rascaria para almoçar durante o final de semana e, depois
de selecionar as melhores churrascarias da cidade, optou por
duas que eram melhores avaliadas. As duas churrascarias tin-
ham as mesmas opções de almoço e a mesma qualidade no
atendimento;a diferença ficava por conta do valor cobrado
pelo serviço, conforme tabela a seguir:
Como Gabriel sempre compra uma unidade de sobremesa
após almoçar, é correto afirmar que a churrascaria A passará
a ser financeiramente mais atrativa para quantidades de chur-
rasco que pesem a partir de qual peso?
a) 0,5 kg.
b) 0,6 kg.
c) 0,7 kg.
d) 0,8 kg.
Resolução.
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43- (Consulplan-2024) Durante os dias de maior movimento
nos bancos é comum algumas agências disponibilizarem
mais alguns caixas para diminuir o tempo de espera para o
atendimento. Entende-se que quanto maior for a quantidade
de caixas disponíveis para o atendimento menor será o tempo
de espera para ser atendido. Das funções descritas a
seguir, aquela que associa o número de caixas, representados
pelo número natural n, com o tempo de espera t, conforme o
enunciado, é:
a) t = n−n
b) t =
√
n
c) t = log n
d) t = n2 + n
Resolução.
45- (Consulplan-2023) Durante o verão é comum encon-
trar nas praias barracas de locação de cadeiras de praia e
guarda-sol. Considere uma barraca que cobra um valor x
pelo aluguel do guarda-sol e x/3 pelo aluguel da cadeira. Se
em determinado dia essa barraca faturar R$ 1.500,00 com os
aluguéis desses itens, sendo que o número de cadeiras alu-
gadas equivale ao dobro do número de guarda- -sóis aluga-
dos, pode-se concluir que o faturamento gerado apenas com
os aluguéis de cadeiras é:
a) R$ 450,00.
b) R$ 500,00.
c) R$ 600,00.
d) R$ 900,00.
Resolução.
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2.9 Gabarito.
1. Equação polinomial do 1º grau.
1-
a) {5/3}
b) {2}
c) {−1}
d) {−27/2}
e) {4}
f) {110/37}
g) {130/67}
h) {4/7}
i) {0}
j) {95/14}
k) {−10/11}
l) {9}
m) {31/11}
n) {7/5}
o) {8/5}
2- não
3-
a) -1
b) 4
c) -4
d) -1/4
4- 10/3
5- B
6- A
2. Problemas envolvendo equação
polinomial do 1º grau.
1- 6
2- 20
3- 105
4- 125.000
5- 24 anos
6- 60
7- D
8- C
9- B 10- A
11- A
12- D
13- C
3. Equação polinomial do 2º grau -
incompleta.
1-
a) {0, 12}
b) {0, 25}
c) {−4, 4}
d) {−5, 5}
e) {0, 5}
f) {−5, 5}
g) ∅
h) 0
2- 144 m
3- 3
4- 80 cm por 120 cm
5- C
4. Equação polinomial do 2º grau -
completa.
1-
a){−6,−2}
b) ∅
c) {−2}
d) {2, 3}
e) {−4, 5}
f) ∅
2-
3- -1 e 1/4
4- 12 m e 25 m
5- C
6- D
7- B
8- D
9- D
10- A
5. Estudo das raízes de uma equação
polinomial do 2º grau.
1- m = ± 20
2- m >16
3- khttps://youtu.be/3ac1N4zNd4Y
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5- (UNICAMP-2020) Em uma família, cada filha tem o
mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um
número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O
número total de filhos e filhas dessa família é igual a
a) 11.
b) 9.
c) 7.
d) 5.
Resolução.
6- Duas pessoas têm, juntas, 70 anos. Subtraindo 10 anos
da idade da mais velha e acrescentando os mesmo 10 anos à
idade da mais jovem, as idades ficam iguais. Qual é a idade
de cada pessoa?
7- Um campeonato de Fórmula 1 termina com o campeão
levando 7 pontos de vantagem sobre o vice-campeão. Os dois
juntos, campeão e vice, somaram no final da temporada 173
pontos. Nessas condições, quantos pontos somou o campeão
da temporada? E o vice-campeão?
8- (UERJ-2020) Os números inteiros x e y satisfazem às
seguintes equações:
2
5
x +
3
5
y = 37
x− y = 30
Logo, x + y é igual a:
a) 80
b) 85
c) 90
d) 95
Resolução.
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9- (UNICAMP-2024) Luísa estava conversando com seu ir-
mão ao telefone quando passou perto de uma feira de adoção
de animais. Ela comentou que, na feira, havia cachorros,
gatos e pintinhos.
O irmão, curioso, perguntou-lhe quantos gatos havia. Luísa,
que adora charadas matemáticas, limitou-se a dizer que a
quantidade de gatos somada à quantidade de pintinhos era
4 a mais do que a quantidade de cachorros, e que a quanti-
dade de gatos somada à quantidade de cachorros era 6 a mais
do que a quantidade de pintinhos.
O irmão de Luísa, que adora as aulas de matemática, rapida-
mente chegou à resposta correta. Havia quantos gatos para
adoção?
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
Resolução.
10- (UECE–2020) Os participantes de uma reunião ocu-
param a totalidade dos lugares existentes em mesas que com-
portavam sete ocupantes cada uma. Entretanto, para melho-
rar o conforto, foram trazidas mais quatro mesas e os pre-
sentes redistribuíram-se, ficando em cada uma das mesas ex-
atamente seis pessoas. Assim, é correto afirmar que o número
de participantes na reunião era
a) 84.
b) 126.
c) 168.
d) 210.
11- (UEG–2022) Na chácara de Maria, são criados porcos e
galinhas. O total de animais é igual a 123 e o total de patas
é igual a 346. As quantidades de porcos e de galinhas são,
respectivamente:
a) 73 e 50
b) 68 e 55
c) 50 e 73
d) 55 e 68
e) 45 e 78
12- (PUC-PR–2023) João, Fábio e os integrantes da família
Silva foram a uma Hamburgueria na tarde do último sábado.
Lá, naquele dia, todos pediram sempre o mesmo hambúrguer
artesanal e o mesmo refrigerante. A família Silva pagou R$
190,00 pelos seis hambúrgueres e sete refrigerantes que con-
sumiu; a conta de Fábio – que comeu um hambúrguer, bebeu
dois refrigerantes e ainda levou dois hambúrgueres e dois re-
frigerantes para casa – foi de R$ 100,00. João, que consumiu
apenas um hambúrguer e um refrigerante, pagou uma conta
no valor de
a) R$ 25,00.
b) R$ 29,00.
c) R$ 30,00.
d) R$ 45,00.
e) R$ 50,00.
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13- (Consulplan-2024) Após meses guardando dinheiro, Ka-
rina conseguiu comprar uma smart TV para colocar em sua
sala. Com respeito à tela dessa TV, a razão entre o seu com-
primento e a sua largura é, nessa ordem, 1,6 e o seu perímetro
é 5,2 metros. De acordo com o exposto, qual é, em metros
quadrados, a área da tela dessa TV?
a) 1,6.
b) 2,0.
c) 2,4.
d) 3,2.
Resolução.
14- (Consulplan-2024) Patrícia guarda em uma caixa sua
coleção de tampinhas de refrigerante. Ela percebeu que se es-
sas tampinhas forem divididas em grupos com 4 tampinhas,
restaria uma única tampinha. Por outro lado, se o tamanho
dos grupos for de três tampinhas, seria possível formar 4 gru-
pos a mais que no contexto anterior e restariam 2 tampinhas.
Com base nessas informações, quantas tampinhas de refrig-
erante há na caixa de Patrícia?
a) 49.
b) 53.
c) 57.
d) 61.
Resolução.
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3.5 Classificação e solução de um sistema de equações lineares.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução de cada sistema e classi-
fique em SPD, SPI ou SI.
a)
{
x + y = 3
−2x + 3y = −1
b)
{
x + 2y = 8
−2x− 4y = −1
Resolução.
c)
{
−2x + 3y = 1
6x− 9y = −3
d)
{
−2x + y = 1
4x− 3y = 2
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e)
{
−9x + 6y = −12
3x− 2y = 4 f)

3
2
x− y
3
= 1
2x + y = −3
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3.6 Solução geométrica de um sistema linear de equações com duas incógnitas.
Videoaula em breve.
1- Construa as duas retas de cada sistema e encontre grafi-
camente a solução de cada um deles, classifique-o em SPD,
SPI ou SI e classifique as retas em concorrentes, paralelas ou
coincidentes.
a)
{
2x + y = 3
x− 2y = −1
b)
{
x + 2y = 2
2x + 4y = 4
c)
{
x + y = 3
x + y = 1
Resolução.
d)
{
2x + y = 1
−x + 2y = 0
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2- Utilizando o método da adição ou substituição faça o que
se pede.
- Resolva e determine o conjunto solução de cada sistema.
- Classifique os sistemas em determinado, indeterminado ou
impossível.
a)
{
x + 2y = 4
x− y = 2
Resolução.
b)
{
2x + y = 3
x + 2y = −2
c)
{
−x + 2y = 1
3x− 6y = −3
Resolução.
3- Considere o sistema
{
x + 2y = 4
3x− y = 4
.
a) Determine o conjunto solução (use o método da adição) e
construa o gráfico de cada reta.
b) Classifique o sistema em Determinado, Indeterminado ou
Impossível.
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3.7 Sistema com equações do 2º grau.
Videoaula em breve.
1- Determine o conjunto solução dos sistemas, sendo U =
R2.
a)
{
x + y = 3
x2 − y = −1
Resolução.
b)
{
x + y = 1
x2 − 2y = −14
c)
{
x + y = 4
x2 + y2 = 10
d)
{
x− y = 3
x2 + y2 = 65
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e)
x + y = 4
1
x
+
1
y
= 1
f)
{
x + y = 6
x2 + y.(x + y) = 28
Resolução.
2- No retângulo abaixo, o perímetro é 30 cm e a área é 50
cm². Determine as medidas x e y indicadas:
Resolução.
3- Um galpão de forma retangular tem 96 m² de área. Se au-
mentarmos o comprimento desse galpão em 3 m e a largura
em 2 m, a área do galpão passa a ser 150 m². Calcule as
dimensões originais do galpão.
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4- (Consulplan-2024) Para a próxima demanda em sua
fábrica, duas empacotadoras devem empacotar 462 pacotes
idênticos cada uma. Sabe-se que a empacotadora mais efi-
ciente é capaz de empacotar 5 pacotes a mais por minuto que
a empacotadora menos eficiente e concluirá o seu trabalho
35 minutos antes. De acordo com o exposto, essas empaco-
tadoras são capazes de empacotar juntas, por minuto, quantos
pacotes?
a) 6.
b) 11.
c) 17.
d) 28.
Resolução.
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3.8 Atividades complementares.
1- Resolva os sistemas, sendo U = R.
a)
{
x + y = 5
2x− 3y = 0
b)
{
x− 2y = 2
2x− 7y = 1
c)
{
x2 + y = 6
3x− 2y = 2
d)
{
3(x + y) =
x
2
x + y = 3
e)
{x
2
+
y
3
= 4
4x− 5y = 3
f)

1
x
+
1
y
= 6
2
x
− 1
y
= −2
2- (Fuvest-2021) Uma treinadora de basquete aplica o
seguinte sistema de pontuação em seus treinos de arremesso
à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acer-
tado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 ar-
remessos, uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual
é a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e
errados dessa jogadora?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
Resolução.
3- (IFSULDEMINAS-2018) No estacionamento do IF-
SULDEMINAS, Campus Passos, uma imagem aérea, feita
por um drone, em um dia normal de aula, detectou a presença
de 30 veículos automotores estacionados, entre carros e mo-
tos. Um aluno do curso técnico em Informática que transitava
pelo estacionamento do Campus, abaixou-se e conseguiu vi-
sualizar 112 rodas. Considerando que todas as rodas foram
efetivamente visualizadas pelo aluno, pode-se afirmar que a
quantidade de carros que estavam no estacionamento era:
a) inferior a 15 carros
b) entre 15 e 20 carros
c) entre 20 e 25 carros
d) entre 25 e 30 carros
Resolução.
4- (Unicamp-2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo
número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de
irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total
de filhos e filhas dessa família é igual a
a) 11.
b) 9.
c) 7.
d) 5.
Resolução.
5- (Fuvest-2019) Em uma família, o número de irmãs de cada
filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem
o mesmo número de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é
a) 4
b) 5
c) 7
d) 10
e) 15
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=_9dh0X2Dcbk&list=PLzKSpm6uBlM8F52fhe9FXhwXHausI-210&index=42&t=1s
https://www.youtube.com/watch?v=42LazfUhaC0&list=PLzKSpm6uBlM_9KsDC9paqMAWoTDYfERFb&index=25
https://www.youtube.com/watch?v=3V7enRJfiQI
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6- (PAS-UFLA-2018) Júlia tem 5 cachorros: 2 cachorros
pequenos de mesma raça, mesmo tamanho e peso iguais e
outros 3 cachorros de porte médio, de mesma raça, mesmo
tamanho e peso iguais. O peso de cada um dos cachorros
de porte médio é duas vezes o peso de um dos cachorros pe-
quenos. Júlia segue rigorosamente as recomendações para
a alimentação de sua matilha, cada dia os pequenos comem
cada um 6% de seu peso em ração, enquanto os cachorros de
porte médio comem cada um 8% de seu peso em ração. A
cada 30 dias, os cachorros consomem 90 kg de ração. Cada
cachorro pequeno pesa:
a) 3,8 kg
b) 4 kg
c) 5 kg
d) 6,3 kg
Resolução.
7- (IFSULDEMINAS-2016) Fulano e Ciclano são dois ami-
gos que vão fazer o vestibular no IFSULDEMINAS. Dois
dias antes da prova resolveram sair para comprar caneta e
lápis para fazer a prova. Fulano comprou uma caneta e dois
lápis pagando R$ 5,00, já Ciclano comprou 3 lápis e 2 cane-
tas pagando R$ 8,50. É correto afirmar que:
a) o preço da caneta é R$ 2,00;
b) o preço do lápis é R$ 2,50;
c) o preço da caneta é R$ 1,50;
d) o preço do lápis é R$ 2,00.
Resolução.
8- (Unicamp-2022) Certo país adquiriu 5.000.000 de doses
das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $
40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta
e Gama custou $ 5,00, $ 10,00 e $ 20,00, respectivamente.
Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta
é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o
número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:
a) 1.500.000.
b) 2.000.000.
c) 2.500.000.
d) 3.000.000.
Resolução.
9- (ENEM-2023) O metrô de um município oferece dois
tipos de tíquetes com colorações diferentes, azul e vermelha,
sendo vendidos em cartelas, cada qual com nove tíquetes da
mesma cor e mesmo valor unitário. Duas cartelas de tíquetes
azuis e uma cartela de tíquetes vermelhos são vendidas por
R$ 32,40. Sabe-se que o preço de um tíquete azul menos o
preço de um tíquete vermelho é igual ao preço de um tíquete
vermelho mais cinco centavos.
Qual o preço, em real, de uma cartela de tíquetes vermelhos?
a) 4,68
b) 6,30
c) 9,30
d) 10,50
e) 10,65
Resolução.
10- (UFRJ) Em uma sala de aula, entram n alunos. Se
sentarem 2 alunos em cada bancada, 11 ficarão de pé. Porém,
se em cada bancada sentarem 3 alunos, haverá 4 bancadas
vazias. O número de alunos n é:
a) 49.
b) 57.
c) 65.
d) 71.
e) 82.
11- (UFG-GO) Uma videolocadora classifica seus 1 000
DVDs em lançamentos e catálogo (não lançamentos). Em um
final de semana, foram locados 260 DVDs, correspondendo
a quatro quintos do total de lançamentos e a um quinto do
total de catálogo. Portanto, o número de DVDs de catálogo
locados foi
a) 80.
b) 100.
c) 130.
d) 160.
e) 180.
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12- (PUC-Campinas-SP) Em agosto de 2000, Zuza gastou
R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. No
mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$ 8,00
e, com a mesma quantia que gastou em agosto, ele pode com-
prar duas peças a menos. Em setembro, o preço de cada peça
de tal artigo era
a) R$ 24,00.
b) R$ 25,00.
c) R$ 28,00.
d) R$ 30,00.
e) R$ 32,00.
13- (UNIFOR-CE) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser
dividida entre três herdeiros: Marcos, Beatriz e Carmem. O
valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do
que receberão Marcos e Carmem. Além disso, a diferença
entre o que receberá Carmem e o que receberá Marcos é de
R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem?
a) R$ 50.000,00
b) R$ 55.000,00
c) R$ 60.000,00
d) R$ 65.000,00
e) R$ 70.000,00
14- (EPCAR-MG–2020) Para homenagear os aniversariantes
do mês de junho, um grupo de alunos das turmas FOX e
GOLF do esquadrão SABRE decidem fazer um churrasco
comemorativo e dividir a despesa total.
Na véspera do churrasco, 6 desses alunos foram convoca-
dos pelo seu Comandante para uma atividade que os impediu
de comparecerem ao evento comemorativo, sendo esses 6
alunos excluídos do rateio da despesa total.
Com a ausência desses 6 alunos, foi cobrado de cada um dos
demais certo valor a mais.
Ao fazerem o rateio, os alunos perceberam que a despesa to-
tal era igual ao valor cobrado a mais de cada um dos alunos
que contribuíram, multiplicado por 180.
Se o número de alunos que foram ao churrasco é k, então, a
soma dos algarismos de k é:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
15- (Consuplan-2024) Os funcionários de uma empresa de-
cidiram se juntar para realizar uma confraternização de fi-
nal de ano. Os custos para a realização da festa ficaram
em R$ 1.500,00; o valorfoi inicialmente dividido igualmente
entre todos os funcionários. Por discordarem com o valor,
quatro funcionários decidiram não participar mais da festa,
acarretando um acréscimo de R$ 100,00 para cada um dos
funcionários, que mantiveram sua posição de participação
da confraternização. O número de funcionários que partic-
iparam da festa é igual a:
a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 20.
Resolução.
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16- (Consulplan-2024) Um professor de matemática lanchou
três dias seguidos em uma lanchonete. Em cada dia ele fez
os pedidos compostos por coxinha, suco e brigadeiro; pagou
os valores conforme a tabela a seguir:
Sabendo-se que não houve alteração nos preços praticados
pela lanchonete e que nenhum dos itens foi de graça, pode-se
concluir que:
a) O suco custa menos do que R$ 1,50.
b) A coxinha custa mais do que R$ 3,50.
c) O brigadeiro custa mais do que R$ 1,50.
d) A coxinha custa menos do que R$ 3,00.
Resolução.
17- (Consulplan-2024) José e Maria estão fazendo compras
em um supermercado, cada um com seu carrinho individual.
Sabe-se que o carrinho de Maria tem 3 vezes mais itens do
que o carrinho de José e que se cada um deles adicionar 5
itens a seus respectivos carrinhos, o carrinho de José passará
a ter metade do número de itens de Maria. Sendo assim,
após ambos adicionarem os 5 itens aos seus carrinhos, quan-
tos itens os dois terão juntos ao todo?
a) 15 itens.
b) 20 itens.
c) 25 itens.
d) 30 itens.
Resolução.
18- (Consulplan-2024) Para a volta às aulas, Mariana foi a
uma papelaria comprar os seus materiais escolares. Ela com-
prou 7 cadernos, um para cada matéria, sendo 2 sem pauta e 5
com pauta. Sabe-se que Mariana gastou um total de R$ 99,00
para comprar os 7 cadernos e que os cadernos com pauta são
R$ 3,00 mais caros que os cadernos sem pauta. Qual a razão
entre os preços do caderno sem pauta e o caderno com pauta?
a) 2/7
b) 5/7
c) 4/5
d) 4/7
Resolução.
19- (INATEL-2023) De acordo com o gráfico, a abscissa do
ponto A é
a) -0,75.
b) -0,25.
c) 0,25.
d) 0,50.
e) 0,75.
Resolução.
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3.9 Gabarito.
1. Método da substituição.
1-
a) S = {(8, 5)}
b) S = {(2, 1)}
c) S = {(1,−3)}
d) S = {(2, 1)}
e) S =
{(
−12
7
,
41
14
)}
f) S = {(6,−2)}
2. Método da adição.
1-
a) S = {(1, 6)}
b) S = {(1, 2)}
c) S = {(1,−3)}
d) S = {(2, 1)}
e) S =
{(
22
9
,
17
9
)}
f) S = {(0, 3)}
3. Sistema com uso da variável auxil-
iar.
1-
a) S =
{(
1
3
,
1
5
)}
b) S =
{(
−1,
1
2
)}
c) S =
{(
5
13
, 5
)}
d) S =
{(
7
25
,
7
17
)}
4. Problemas envolvendo sistema de
equações.
1- 6 notas e 20 reais e 4 notas de 5 reais
2- A
3- E
4- 5 pequenos e 3 grandes
5- C
6- 25 e 45 anos
7- 90 pontos o campeão e 83 pontos o
vice-campeão
8- A
9- B
10- C
11- C
12- C
13- A
14- B
5. Classificação e solução de um sis-
tema de equações lineares.
1-
a) S = {(2, 1)}, SPD
b) S = ∅, SI
c) S =
{(
3y − 1
2
, y
)
∈ R2/y ∈ R
}
,
SPI
d) S =
{(
−5
2
,−4
)}
, SPD
e) S =
{(
2y + 4
3
, y
)
∈ R2/y ∈ R
}
,
SPI
f) S = {(0,−3)}, SPD
6. Solução geométrica de um sistema
linear de equações com duas incógni-
tas.
1-
a)
b)
c)
d)
2-
a) S =
{(
8
3
,
2
3
)}
, SPD
b) S =
{(
8
3
,−7
3
)}
, SPD
c) S = {(−1 + 2y, y) ∈ R2/y ∈ R},
SPI
3-
a) S =
{(
12
7
,
8
7
)}
b) Sistema possível e determinado,
SPD.
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7. Sistemas com equações do 2º grau.
1-
a) S = {(−2, 5) , (1, 2)}
b) S = { }
c) S = {(3, 1), (1, 3)}
d) S = {(−4,−7), (7, 4)}
e) S = {(2, 2)}
f) S = {(4, 2), (2, 4)}
2- S = {(9, 7), (4, 12)}
3- x = 4 e y = 12 ou x = 9 e y = 7
4- C
8. Atividades complementares.
1-
a) S = {(3, 2)}
b) S = {(4, 1)}
c) S =
{
(2, 2) ,
(
−7
2
,−25
4
)}
d) S = {(18,−15)}
e) S =
{(
126
23
,
87
23
)}
f) S =
{(
3
4
,
3
14
)}
2- B
3- D
4- C
5- C
6- C
7- A
8- D
9- B
10- B
11- E
12- E
13- D
14- A
15- A
16- B
17- D
18- C
19- B
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4 Inequações
4.1 Inequações de 1º grau.
Videoaula em breve.
1- Para quais valores de x a expressão é nula, maior ou menor
que zero.
a) 2x + 6
b) −4x− 2
c) 7x− 5
d) −2x + 5
2- Determine o conjunto solução das inequações de 1º grau
com uma incógnita, sendo U = R.
a) 4x− 1 ≤ x + 4
b) 4a− 5 > a− 3 + 5a
c) 3(x− 1)− 2(x + 4) ≤ 0
Resolução.
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d)
x
3
+
5
2
≤ 5
e)
x− 2
5
− 5− x
10
≥ 1
2
Resolução.
f) 5.(x− 6) +
7− 2x
3
≥ 5
6
3- (IFAL-2015) Para pintar sua casa, Marcos encontra dois
pintores: Antônio, que cobra um valor contratual de R$
100,00 e mais R$ 10,00 por m² de área pintada, e
Benedito, que cobra R$ 200,00 no contrato e mais R$ 6,00
por m² de pintura. Acima de quantos m² de área pintada é
mais econômico contratar Benedito?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
c) 25
4- (VUNESP) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra
uma taxa fixa de R$100,00, mais R$ 20,00 por hora, para
animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa
fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo
de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel
não fique mais cara que a de Carlos, é:
a) 6 horas
b) 5 horas
c) 4 horas
d) 3 horas
e) 2 horas
Resolução.
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https://youtu.be/6WSOL1DjjEo
https://youtu.be/m0r_WIWRJ1Q
https://www.youtube.com/channel/UCP_33hvjNwf_Dk6gT-ToF-w/playlists
https://drive.google.com/drive/folders/1ORX0-rXj5Ir_WOqATku0anR9qKoB181n?usp=sharing
4.2 Inequações de 2º grau.
Videoaula em breve.
1- Para quais valores de x a expressão é nula, maior ou menor
que zero.
a) x2 − 5x + 6
b) x2 − 4x + 4
c) x2 − 2x + 6
2- Determine o conjunto solução das inequações de 2º grau
com uma incógnita, sendo U = R.
a) x2 − 6x + 8 ≤ 0
Resolução.
b) x2 + 10x + 25 > 0
c) −x2 − 6x− 9 > 0
Resolução.
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https://youtu.be/dIspJAjqBVo
https://youtu.be/fofOVGAs8DA
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d) −x2 − 2x− 9 ≤ 0
Resolução.
e) x2 − 2x− 9 ≥ 0
f) (x− 6)2 > 4.(8 + 3x)
3- (PISM-UFJF) Considere a seguinte inequação:
x2 − 2x− 15 ≤ 0
O produto entre os números inteiros negativos que são
soluções dessa inequação é
a) −15
b) −6
c) 2
d) 6
e) 15
Resolução.
4- Calcule os valores reais de m para que a equação x2 +
(m− 4)x− 3m = 0 não tenha raízes reais.
5- (UERJ-2020) Um número N , inteiro e positivo, que satis-
faz à inequação N2 − 17N + 16 > 0 é:
a) 2
b) 7
c) 16
d) 17
Resolução.
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https://youtu.be/0Fb6x8Qw9iA
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https://youtu.be/UoAq4ZCp5K4
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4.3 Inequação produto.
Videoaula em breve.
1- Resolva