10 Volume

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Para isso, você deve resolver exercícios, muitos exercícios, e o mais importante no final é analisar e com-
preender os possíveis erros.
Decorar o processo de resolução das questões não contribui em nada, o importante é compreender
o processo que foi utilizado para chegar na solução.
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Bons estudos.
Professor Elton
35-99982-8412
Material em construção e atualizado em 31 de janeiro de 2025.
Sumário
1 Material de apoio. 4
2 Fatorial. 6
2.1 Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Fatorial - Simplificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Análise Combinatória. 11
3.1 Princípio multiplicativo e aditivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Permutação simples e com elementos repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Permutação circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Arranjo simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Combinação simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Atividades complementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Probabilidade 45
4.1 Probabilidade de um evento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Probabilidade - União de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Probabilidade - Eventos independentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Probabilidade condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Probabilidade - Evento complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Probabilidade - Evento repetido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Probabilidade - Espaço amostral não equiprovável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.8 Atividade complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.9 Gabarito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1 Material de apoio.
Apostilas de matemática.
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Material - ENEM.
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Material - Vestibulares.
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PISM - UFJF.
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2 Fatorial.
2.1 Definição.
Videoaula em breve.
1- Calcule:
a) 7!
b) 6!
c) 5!
d) 4!
e) 3!
f) 2!
g) 1!
h) 0!
2- Dizer para quais valores de n está definido cada um dos
fatoriais a seguir:
a) (n− 2)!
b) (n+ 4)!
c) (2n− 1)!
3- Resolver cada equação a seguir, sendo U = Z.
a) n! = 120
b) n! = 5040
c) (n− 2)! = 720
d) (2n− 6)! = 1
Resolução.
e)
(n+ 1)!
n!
= 6
Resolução.
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2.2 Fatorial - Simplificação.
Videoaula em breve.
1- Simplificar as expressões:
a)
(n+ 2)!
n!
b)
(n+ 1)!
(n− 1)!
Resolução.
c)
(n+ 1)! + n!
(n− 1)!
d)
(n+ 2)!− (n+ 1)!
(n− 1)! + n!
Resolução.
2- Resolver as equações a seguir, sendo U = Z:
a)
(n+ 2)!
n!
= 56
b) n! = 12(n− 2)!
c)
(n− 1)!
(n+ 1)!− n!
=
1
81
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2.3 Atividades complementares.
1- (UFF) O produto 20 . 18 . 16 . 14 . ... . 4 . 2 é igual a:
a)
20!
2
b)
20!
10!
c) 2 . 10!
d) 210.10!
e)
20!
210
Resolução.
2- (UAM) Simplifique a expressão, com n ∈ N
(n+ 1)! + n!
(n+ 2)!
3- (PUC-MG) Simplificando a expressão
(n− 2)!(n+ 1)!
n!(n− 1)!
obtemos:
a)
n+ 1
n
b)
n+ 1
n− 2
c) n2 − n− 2
d)
n− 2
n− 1
e)
n+ 1
n− 1
4- (UFPI) O valor de n que satisfaz a equação
n!− (n− 1)! = 100(n− 2)!
é:
a) 11
b) 13
c) 10
d) 9
e) 12
5- (PUC-RS) Se
(n− 1)!
(n+ 1)!− n!
=
1
81
, o valor de n é:
a) 13
b) 9
c) 6
d) 11
e) 8
6- (Cesgranrio) Se an =
n!(n2 − 1)
(n+ 1)!
, então a1984 é igual a:
a)
1
1985
b) 1984
c) 1983
d)
1985
19842
− 1
e)
19842 − 1
1984
Resolução.
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7- (Unitau-SP) Sendo n 6= 0, o(s) valor(es) de n tal que
(n+ 1)!− n
(n− 1)!
= 7n, é(são)
a) 7.
b) 0 e 7.
c) 0 e 10.
d) 1.
e) 0 e 2.
8- (Unaerp-SP) Se
x!(x+ 1)!
(x− 1)!x!
= 20, então x vale
a) – 6.
b) – 5.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
9- (PUC-RJ) Se
n!
(n+ 2)!torcendo para obter o desconto máximo.
A probabilidade, em porcentagem, de esse cliente ganhar
o desconto máximo com um único giro da roleta é melhor
aproximada por
a) 8,3.
b) 10,0.
c) 12,5.
d) 16,6.
e) 50,0
Resolução.
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https://youtu.be/pSKdqyBDFWY
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10- (Enem-2012) O diretor de uma escola convidou os 280
alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira.
Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa
de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos
em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escon-
dido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto
foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada
vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um
mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a
resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e
a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque
há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas,
11- (ENEM-2019) Uma locadora possui disponíveis 120
veículos da categoria que um cliente pretende locar. Desses,
20% são da cor branca, 40% são da cor cinza, 16 veículos
são da cor vermelha e o restante, de outras cores. O cliente
não gosta da cor vermelha e ficaria contente com qualquer
outra cor, mas o sistema de controle disponibiliza os veículos
sem levar em conta a escolha da cor pelo cliente.
Disponibilizando aleatoriamente, qual é a probabilidade de o
cliente ficar contente com a cor do veículo?
a)
16
120
b)
32
120
c)
72
120
d)
101
120
e)
104
120
Resolução.
12- (UERJ-2021) Um escritório comercial enviou cinco cor-
respondências diferentes, sendo uma para cada cliente. Cada
correspondência foi colocada em um envelope, e os en-
velopes foram etiquetados com os cinco endereços distintos
desses clientes.
A probabilidade de apenas uma etiqueta estar trocada é:
a) 4/5
b) 1/5
c) 1/24
d) 0
Resolução.
13- (Consulplan-2024) Para escolher o mês em que iria entrar
de férias, Carlos decidiu colocar o nome de todos os meses do
ano em uma caixa e retirar aleatoriamente um deles. A prob-
abilidade de Carlos retirar o nome de um mês que comece
com uma consoante ou que tenha 31 dias é igual a:
a) 5/12
b) 7/12
c) 10/12
d) 11/12
Resolução.
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https://youtu.be/iafhuaq8BcQ
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4.2 Probabilidade - União de eventos.
Videoaula em breve.
1- De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60
médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutri-
cionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual
é a probabilidade de ele ser médico ou dentista?
2- Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de
um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-
se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser
sócia de A ou de B?
Resolução.
3- Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obter-
mos um número menor que 3 ou maior que 4?
4- Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obter-
mos um número primo ou um número ímpar?
5- Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê que
habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280
pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70
assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma
pessoa ao acaso, determine a probabilidade de que ela assista:
a) somente o canal A.
b) ao canal B.
c) ao canal A ou ao canal B.
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6- Para preencher as vagas de trabalho em uma indústria, 120
pessoas participaram do processo seletivo. A tabela a seguir
mostra a distribuição dos candidatos por gênero e escolari-
dade.
Um candidato do grupo é escolhido ao acaso. Qual é a
probabilidade de que ele seja uma mulher ou tenha ensino
superior?
7- (FEI) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade
foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte
responderam sim a ambas; 300 responderam sim à primeira;
250 responderam sim à segunda e 200 responderam não a
ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a proba-
bilidade de ele ter respondido não à primeira pergunta?
8- Ricardo fez uma pesquisa com 30 colegas da sua turma e
concluiu que: 18 gostam de rock, 9 gostam de rap, 6 gostam
de rock e rap e os demais alunos não gostam de rock nem
rap. Calcule a probabilidade de escolher ao acaso:
a) um dos alunos e ele gostar de rock.
b) um dos alunos e ele gostar de rock ou rap.
Resolução.
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4.3 Probabilidade - Eventos independentes.
Videoaula em breve.
1- (UNAERP) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois fi-
nalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%,
respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabili-
dade de ambos acertarem o alvo é:
a) 30 %
b) 42 %
c) 50 %
d) 12 %
e) 25 %
2- (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de
o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jo-
gador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um
deles é independente da escalação do outro, a probabilidade
de os dois jogadores serem escalados é:
a) 0,06.
b) 0,14.
c) 0,24.
d) 0,56.
e) 0,72.
Resolução.
3- Em lançamentos sucessivos de um dado qual é a
probabilidade de obtermos um 3 e depois um 5?
4- (Fgv) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas.
Sorteando-se 3 peças desse lote, sem reposição, a probabili-
dade de que todas sejam NÃO DEFEITUOSAS é:
a) 68/95
b) 70/95
c) 72/95
d) 74/95
e) 76/95
5- (UPF) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas.
Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Então qual a probabilidade
das bolas serem da mesma cor?
6- (Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem um
gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6.
Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos
errarem é igual a:
a) 3%
b) 5%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
Resolução.
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https://youtu.be/vi6VSfne_9s
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7- (ENEM) Uma empresa sorteia prêmios entre os fun-
cionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A
tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados
dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados.
A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de
uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente.
Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34
anos de trabalho?
a)
1
20
b)
1
19
c)
1
16
d)
2
20
e)
5
20
Resolução.
8- Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2
bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de
que ambas
a) sejam verdes?
b) sejamda mesma cor?
Resolução.
9- Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de
diversas cores, e somente 4 são brancas. Sabe-se que as bo-
las diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e
em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira.
A probabilidade de obter duas bolas que não sejam ambas
brancas é:
a) 2/15
b) 13/15
c) 1/3
d) 3/5
e) 2/9
10- (UERJ-2024) Para fazer o sorteio de um livro, quatro
amigos colocaram três bolas brancas e duas pretas em uma
caixa. Decidiram que o primeiro a retirar uma bola preta
ficará com o livro. Na ordem alfabética de seus nomes, cada
um retira uma bola, ao acaso, sem devolvê-la à caixa.
A probabilidade de o terceiro amigo retirar a primeira bola
preta e ficar com o livro é igual a:
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
Resolução.
11- (Consulplan-2024) Richard guarda em um pequeno cofre
suas moedas raras sendo quatro moedas brasileiras e duas
moedas peruanas. De forma aleatória, ele retirou, sucessi-
vamente e sem reposição, duas moedas desse cofre. Qual a
probabilidade de que as moedas retiradas sejam do mesmo
país?
a) 5/15
b) 6/15
c) 7/15
d) 8/15
Resolução.
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12- (Consulplan-2023) Uma empresa de tecnologia está or-
ganizando uma competição interna de programação. Dos 15
participantes, 9 são desenvolvedores de software (time A)
e 6 são engenheiros de hardware (time B). Durante a com-
petição, dois participantes serão selecionados aleatoriamente
para cumprirem um desafio. A probabilidade de que os dois
participantes selecionados sejam do mesmo time é, aproxi-
madamente, igual a:
a) 27%
b) 36%
c) 40%
d) 48%
Resolução.
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4.4 Probabilidade condicional.
Videoaula em breve.
1- Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a proba-
bilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira
criança que nasceu é homem?
2- Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a
probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de
“copas” ?
3- (VUNESP) Dois jogadores, A e B vão lançar um par de
dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos da-
dos for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha.
Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a
probabilidade de B ter vencido?
4- (ENEM-2011) Rafael mora no centro de uma cidade e de-
cidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das
regiões: rural, comercial, residencial urbano ou residencial
suburbano. A principal recomendação médica foi com as
temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam
ser inferiores a 31° C. Tais temperaturas são apresentadas no
gráfico:
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para
morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja
adequada às recomendações médicas é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 3/5
e) 3/4
5- (ENEM-2018) O gerente de uma empresa sabe que 70% de
seus funcionários são do sexo masculino e foi informado de
que a porcentagem de empregados fumantes nessa empresa é
de 5% dos homens e de 5% das mulheres. Selecionando, ao
acaso, a ficha de cadastro de um dos funcionários, verificou
tratar-se de um fumante.
Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo femi-
nino?
a) 50,0%
b) 30,0%
c) 16,7%
d) 5,0%
e) 1,5%
Resolução.
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https://drive.google.com/drive/folders/1ORX0-rXj5Ir_WOqATku0anR9qKoB181n?usp=sharing
6- (ENEM-2020) Para um docente estrangeiro trabalhar no Brasil, ele necessita validar o seu diploma junto ao Ministério da
Educação. Num determinado ano, somente para estrangeiros que trabalharão em universidades dos estados de São Paulo e
Rio de Janeiro, foram validados os diplomas de 402 docentes estrangeiros. Na tabela, está representada a distribuição desses
docentes estrangeiros, por países de origem, para cada um dos dois estados.
A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um docente espanhol, sabendo-se que ele trabalha em uma universidade do
estado de São Paulo é
a)
60
402
b)
60
239
c)
60
100
d)
100
239
e)
279
402
Resolução.
7- (ENEM-2018) O gerente de uma empresa sabe que 70% de
seus funcionários são do sexo masculino e foi informado de
que a porcentagem de empregados fumantes nessa empresa é
de 5% dos homens e de 5% das mulheres. Selecionando, ao
acaso, a ficha de cadastro de um dos funcionários, verificou
tratar-se de um fumante.
Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo femi-
nino?
a) 50,0%
b) 30,0%
c) 16,7%
d) 5,0%
e) 1,5%
Resolução.
8- (ENEM-2015) Um bairro residencial tem cinco mil
moradores, dos quais são classificados como
vegetarianos. Entre os vegetarianos, 40% são esportistas, en-
quanto que, entre os não vegetarianos, essa porcentagem cai
para 20%. Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, é
esportista.
A probabilidade de ela ser vegetariana é
a) 2/25
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/3
e) 5/6
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9- (ENEM) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma
pequisa sobre o conhecimento desses em duas línguas es-
trangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se
que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não
falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno
dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês,
qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14
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4.5 Probabilidade - Evento complementar.
Videoaula em breve.
1- No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distin-
guíveis, vamos calcular a probabilidade de NÃO sair soma 5.
2- Uma moeda é lançada quatro vezes. Determine a proba-
bilidade de ocorrer pelo menos uma caras.
3- Quatro homens e quatro mulheres devem ocupar os 8 lu-
gares de um banco. Qual a probabilidade de que fiquem lado
a lado pelo menos duas pessoas do mesmo sexo?
a) 29/56
b) 1
c) 15/16
d) 31/32
e) 34/35
4- (ENEM-2015) Em uma escola, a probabilidade de um
aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa
escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio,
aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entre-
vista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que
pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A proba-
bilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta
oralmente respondida em inglês é
a) 23,7%
b) 30,0%
c) 44,1%
d) 65,7%
e) 90,0%
Resolução.
5- (ENEM-2016) Um casal, ambos com 30 anos de idade,
pretende fazer um plano de previdência privada. A segu-
radora pesquisada, para definir o valor do recolhimento men-
sal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja
vivo daqui a 50 anos, tornando por base dados da população,
que indicam que 20% dos homens e 30% das mulheres de
hoje alcançarão a idade de 80 anos.
Qual é essa probabilidade?a) 50%
b) 44%
c) 38%
d) 25%
e) 6%
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=X8GnexoSmCs
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6- Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3
pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade
de que essa comissão seja formada por pelo menos uma
mulher?
7- (UERJ-2017) Considere o conjunto de números naturais
abaixo e os procedimentos subsequentes:
1 - Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se
que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas
dois divisores naturais distintos.
2 - A cada um dos demais elementos de A, foi somado o
número 1.
3 - Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em
apenas um pequeno cartão.
4 - Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois
cartões com números distintos ao acaso.
A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar
escrito um número par é:
a) 5/12
b) 7/12
c) 13/24
d) 17/24
Resolução.
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4.6 Probabilidade - Evento repetido.
Videoaula em breve.
1- (PUC-RJ) A probabilidade de um casal com quatro filhos
ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é:
a) 60%
b) 50%
c) 45%
d) 37,5%
e) 25%
Resolução.
2- Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3
pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade
de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?
3- (Mackenzie) A probabilidade de um casal ter um filho do
sexo masculino é 0,25. Então a probabilidade do casal ter
dois filhos de sexos diferentes é:
a) 1/16
b) 3/8
c) 9/16
d) 3/16
e) 3/4
4- Cinco moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a
probabilidade de ocorrer coroa em exatamente duas moedas?
5- (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabri-
cante de telefones celulares aponta que a proba-bilidade de
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de
fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4
aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a
probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente
dois aparelhos defeituosos?
a) 2.(0, 2%)4
b) 4.(0, 2%)2
c) 6.(0, 2%)2.(99, 8%)2
d) 4.(0, 2%)
e) 6.(0, 2%).(99, 8)
6- (ENEM-2018) Uma senhora acaba de fazer uma ul-
trassonografia e descobre que está grávida de quadrigêmeos.
Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e duas
meninas?
a)
1
16
b)
3
16
c)
1
4
d)
3
8
e)
1
2
Resolução.
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https://youtu.be/alDwDGqnfc8
https://www.youtube.com/watch?v=XLuY-ulTMHc&list=PLzKSpm6uBlM9u8b9E-aa0T7z-KoQF0LVM&index=64
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7- (ENEM-2014) O psicólogo de uma empresa aplica um
teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado
cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas
respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o
psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der
a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o
psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma
resposta é 0,20.
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é
a) 0,02048.
b) 0,08192.
c) 0,24000.
d) 0,40960.
e) 0,49152.
8- Sob certas condições climáticas e de solo, a probabili-
dade de uma semente germinar é de 60%. Nessas condições,
plantando 3 dessas sementes, a probabilidade de nascer pelo
menos uma planta é:
a) 86,8%
b) 100%
c) 98,8%
d) 93,6%
e) 84,4%
Resolução.
9- Uma moeda é lançada seis vezes sobre uma mesa.
Considera-se resultado do experimento a sequência formada
pelas faces da moeda voltadas para cima, cara (K) e coroa
(C), na ordem dos lançamentos. Qual é a probabilidade de
ocorrer um resultado com 5 caras e 1 coroa?
10- (ENEM-2023) Um funcionário de uma loja de computa-
dores misturou, por descuido, três computadores defeituosos
com sete computadores perfeitos que estavam no estoque.
Uma pequena empresa fez a compra de cinco computadores
nessa loja, escolhendo-os aleatoriamente dentre os dez que
estavam no estoque.
Qual é a probabilidade de essa empresa ter levado, em sua
compra, todos os três computadores defeituosos?
a) 1/72
b) 1/12
c) 1/4
d) 3/10
e) 3/7
Resolução.
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11- (Consulplan-2024) Um jogador novato de tênis estava
praticando saques e constatou que acerta 4 a cada 10 saques.
Se em uma partida ele efetuar 5 saques, a probabilidade de
que ele acerte apenas 1 dos saques está compreendida entre:
a) 0,1% e 30,0%.
b) 30,1% e 50,0%.
c) 50,1% e 75,0%.
d) 75,1% e 99,9%.
Resolução.
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4.7 Probabilidade - Espaço amostral não equiprovável.
Videoaula em breve.
1- Considere a roleta indicada na figura abaixo. Calcule a
probabilidade de ser sorteado cada um dos números mostra-
dos.
2- Um dado foi fabricado de tal forma que num lançamento a
probabilidade de ocorrer um número par é o triplo da proba-
bilidade de ocorrer número ímpar na face superior, sendo que
os três números pares ocorrem com igual probabilidade, bem
como os três números ímpares. Determine a probabilidade
de ocorrência de cada evento elementar.
3- (Consulplan-2024) Ricardo possui vários jogos de tab-
uleiro e ele guarda em uma urna todos os dados que utiliza
nos seus jogos. Essa urna possui, exclusivamente, dados com
6, 8 e 10 lados. Se for retirado aleatoriamente um dado dessa
urna, a tabela a seguir apresenta as probabilidades de que ele
seja de cada um dos três tipos mencionados:
A probabilidade de que sejam retirados dessa urna, aleatori-
amente e com reposição, um dado de 6 lados e outro de 10
lados é, nesta ordem:
a) 1/49
b) 4/49
c) 3/7
d) 4/7
Resolução.
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4.8 Atividade complementar.
1- Daniel recebeu um bloco com 20 rifas numeradas, de 1001
a 1020, para vender e arrecadar fundos em prol de uma ação
social no bairro onde mora. A tia de Daniel comprou dele
todas as rifas de números ímpares e, das que sobraram, a mãe
comprou todas as de números maiores que 1010. Ao todo,
2000 rifas foram vendidas nessa ação e apenas uma delas
seria contemplada no sorteio.
Qual é a probabilidade de a mãe ou de a tia de Daniel serem
contempladas nesse sorteio com uma das rifas que elas com-
praram dele?
a)
15
2000
b)
15
1985
c)
20
2000
d)
1
15
e)
15
20
Resolução.
2- Uma confecção produziu dois lotes com 50 camisas cada.
Em cada um desses lotes, 8 camisas produzidas apresen-
taram defeito de fabricação, e as demais estavam em perfeito
estado. Durante uma inspeção, o responsável pelo setor
de qualidade dessa confecção retirou, aleatoriamente, uma
camisa de cada um desses lotes para ser analisada.
Qual é a probabilidade dessas camisas retiradas para análise
apresentarem defeito na fabricação?
a)
56
2450
b)
64
2500
c)
64
1764
d)
16
100
e)
16
50
Resolução.
3- (Unicamp-2022) Pedra-papel-tesoura, também chamado
jankenpon ou jokempô, é um jogo recreativopara duas pes-
soas. Nesse jogo, os participantes usam as mãos para
representar os símbolos de pedra, papel e tesoura, conforme
mostrado nos emojis a seguir:
Pelas regras do jogo, o participante que escolher “pedra”
ganha do que escolher tesoura; o participante que escolher
tesoura ganha do que escolher papel; por fim, o que escolher
papel ganha do que escolher pedra. Se ambos escolherem os
mesmos símbolos, eles empatam.
Admitindo que os participantes escolhem os símbolos com
igual probabilidade, qual a chance de acontecer pelo menos
um empate em três partidas?
a) 16/27.
b) 17/27.
c) 18/27.
d) 19/27.
Resolução.
4- (Unicamp-2021) Um número natural é escolhido ao acaso
entre os números de 1 a 100, e depois dividido por 3. A
probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de
a) 31/100.
b) 33/100.
c) 17/50.
d) 19/50.
Resolução.
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https://youtu.be/MYeUxl9xZsY
https://youtu.be/1X253E4XqZw
https://www.youtube.com/watch?v=iyt1SzJYW_A
https://www.youtube.com/watch?v=s4u7bSaTRno
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5- (Unifenas-2019) Numa sacola existem 30 frutas, sendo 10
laranjas e 20 maçãs. Se sortearmos duas frutas, uma de cada
vez, e sem ocorrer a devolução da primeira sorteada à sacola,
qual é a probabilidade de a primeira ser laranja e a segunda,
maçã?
a) 20/87.
b) 10/30.
c) 20/29.
d) 15/87.
e) 30/87.
Resolução.
6- (Unifenas-2019) Na tabela periódica dos elementos quími-
cos, segundo a União Internacional de Química Pura e Apli-
cada (IUPAC), existem 118 elementos, dos quais existem os
metais representativos, metais de transição ( números atômi-
cos de 21 a 112) dos quais temos duas séries: a dos lan-
tanídeos ( números atômicos de 57 a 71) e a dos actinídeos
( números atômicos de 89 a 103), acrescidos de semimetais,
não metais e gases nobres. Qual é a probabilidade de
escolhermos, aleatoriamente, um lantanídeo na tabela
periódica?
a) 15/118.
b) 13/118.
c) 21/112.
d) 19/118.
e) 15/103.
Resolução.
7- (PAS-UFLA-2019) Francisca e Antônio candidataram-se
à diretoria do grêmio estudantil do colégio em que estudam.
Ao todo, foram 10 candidatos e a escolha será por sorteio.
Dos 10 candidatos, um é sorteado para presidente e com os
9 restantes um novo sorteio é realizado para o cargo de se-
cretário. A probabilidade de Francisca e Antônio formarem
a diretoria do grêmio é de:
a)
1
10
b)
1
45
c)
1
90
d)
1
100
Resolução.
8- (Unicamp-2020) Um atleta participa de um torneio com-
posto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele
ganhar é de 2/3, independentemente do resultado das outras
provas. Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos
duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é
igual a
a) 2/3
b) 4/9
c) 20/27
d) 16/31
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=vu8SNCgzkAc
https://www.youtube.com/watch?v=8LbmYsLNBgE
https://www.youtube.com/watch?v=9cKUWLGlZ2k
https://www.youtube.com/watch?v=TeMlh630Cx4&list=PLzKSpm6uBlM_9KsDC9paqMAWoTDYfERFb&index=33
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9- (PISM-UFJF-2020) Considere o tabuleiro 5 x 5, represen-
tado na figura abaixo.
Duas peças idênticas serão colocadas sobre o tabuleiro, cada
uma delas dentro de uma das 25 casas desse tabuleiro, fi-
cando, assim, duas casas distintas ocupadas. A escolha de
quais serão as casas ocupadas é feita de maneira aleatória.
Qual é a probabilidade dessas duas peças ocuparem duas
casas de mesma cor?
a)
288
625
b)
23
48
c)
13
25
d)
12
25
e)
1
4
Resolução.
10- (Fuvest-2019) Uma seta aponta para a posição zero no
instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo
lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se
uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três pos-
sibilidades com igual probabilidade.
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à
posição inicial?
a) 1/9
b) 17/81
c) 1/3
d) 51/125
e) 125/243
Resolução.
11- (Fuvest-2020) Carros que saem da cidade A rumo a al-
guma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diver-
sos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D,
apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura.
Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre
esses carros, de se ir de uma cidade a outra.
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é
a) 0,120.
b) 0,216.
c) 0,264.
d) 0,336.
e) 0,384.
Resolução.
12- (Unicamp-2019) O sistema de segurança de um aeroporto
consiste de duas inspeções. Na primeira delas, a proba-
bilidade de um passageiro ser inspecionado é de 3/5. Na se-
gunda, a probabilidade se reduz para 1/4. A probabilidade de
um passageiro ser inspecionado pelo menos uma vez é igual
a
a) 17/20.
b) 7/10.
c) 3/10.
d) 3/20.
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=_h71qvG3aBk&list=PLzKSpm6uBlM-8MDmngQ1z5nb1tzPGAsXS&index=45
https://www.youtube.com/watch?v=yzrytSvgwpg
https://www.youtube.com/watch?v=9BmzU7sWVHE
https://www.youtube.com/watch?v=a4GSWkgg9Xc&list=PLzKSpm6uBlM_9KsDC9paqMAWoTDYfERFb&index=40
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13- Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas
vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos
lançamentos seja menor do que 3 é igual a
a) 1/3.
b) 1/5.
c) 1/7.
d) 1/9.
Resolução.
14- (PAS-UFLA-2016) Considere oito cartas de apenas dois
tipos:
A probabilidade de que as duas cartas retiradas sejam do
mesmo tipo é:
a) 3/7
b) 1/2
c) 2/8
d) 6/8
Resolução.
15- (Unicamp-2018) Lançando-se determinada moeda ten-
denciosa, a probabilidade de sair cara é o dobro da proba-
bilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a
probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a
a) 1/2.
b) 5/9.
c) 2/3.
d) 3/5.
Resolução.
16- (UERJ-2019) Um menino vai retirar ao acaso um único
cartão de um conjunto de sete cartões. Em cada um de-
les está escrito apenas um dia da semana, sem repetições:
segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo. O
menino gostaria de retirar sábado ou domingo.
A probabilidade de ocorrência de uma das preferências do
menino é:
a) 1/49
b) 2/49
c) 1/7
d) 2/7
Resolução.
17- (UERJ-2018) Cinco cartas de um baralho estão sobre
uma mesa; duas delas são Reis, como indicam as imagens.
Após serem viradas para baixo e embaralhadas, uma pessoa
retira uma dessas cartas ao acaso e, em seguida, retira outra.
A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada
equivale a:
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/5
d) 3/10
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=DN4QdB-aAhM
https://www.youtube.com/watch?v=lUUX1r7WniE
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https://youtu.be/p3IAhJsHzok
https://youtu.be/i8Ddteh1Ezw
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18- (UERJ-2018) Um jogo consiste em lançar cinco vezes
um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada
uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é
considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados
pares. A probabilidade de um jogador vencer é:
a) 3/5 c) 1/5
b) 2/3 d) 1/2
Resolução.
19- (UERJ-2019) Uma urna contém uma bola branca, quatro
bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola
é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na
urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola
dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas
retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
Resolução.
20- (ENEM-2023) No alojamento de uma universidade, há
alguns quartoscom o padrão superior ao dos demais. Um
desses quartos ficou disponível, e muitos estudantes se candi-
dataram para morar no local. Para escolher quem ficará com
o quarto, um sorteio será realizado. Para esse sorteio, cartões
individuais com os nomes de todos os estudantes inscritos
serão depositados em uma urna, sendo que, para cada estu-
dante de primeiro ano, será depositado um único cartão com
seu nome; para cada estudante de segundo ano, dois cartões
com seu nome; e, para cada estudante de terceiro ano, três
cartões com seu nome. Foram inscritos 200 estudantes de
primeiro ano, 150 de segundo ano e 100 de terceiro ano. To-
dos os cartões têm a mesma probabilidade de serem sortea-
dos. Qual a probabilidade de o vencedor do sorteio ser um
estudante de terceiro ano?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/8
d) 2/9
e) 3/8
Resolução.
21- (ENEM-2017) Um projeto para incentivar a reciclagem
de lixo de um condomínio conta com a participação de um
grupo de moradores, entre crianças, adolescentes e adultos,
conforme dados do quadro.
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para
falar do projeto. Sabe-se que a probabilidade de a pessoa es-
colhida ser uma criança é igual a dois terços.
Diante disso, o número de crianças que participa desse pro-
jeto é
a) 6.
b) 9.
c) 10.
d) 30.
e) 45.
Resolução.
22- (UNICAMP-2024) João e Maria estão passeando pela
floresta. Para não se perderem no caminho, levaram consigo
uma sacola com 100 pedrinhas, sendo 60 pedrinhas brancas
e 40 pedrinhas pretas. A cada 5 passos eles retiram aleato-
riamente uma pedrinha da sacola e jogam-na no chão para
marcar o caminho.
Quando eles pararam para fazer um lanche, notaram que já
tinham sido jogadas 35 pedrinhas brancas e 25 pedrinhas pre-
tas.
Qual a probabilidade de as próximas duas pedrinhas jogadas
serem brancas?
a) 7/13.
b) 5/13.
c) 11/52.
d) 7/52.
Resolução.
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https://youtu.be/gdjH3E1SenY
https://youtu.be/0aQWldr8UVc
https://youtu.be/YJaXMTwsVv0
https://youtu.be/N7sVNndSk1A
https://youtu.be/17nKPyLuWM4
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23- (ENEM-2020) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê cer-
tos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a
estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de
renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os
nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restitu-
ições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a
restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e
que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem
seja decidida por sorteio.
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pes-
soa do grupo a receber sua restituição é igual a
a)
1
12
b)
7
12
c)
1
8
d)
5
6
e)
1
4
Resolução.
24- (Consulplan-2024) Procurando ver a satisfação de seus
clientes, um restaurante fez uma pesquisa sobre os sabores
de suco disponíveis em seu cardápio-caju, laranja e uva. Se-
lecionando 100 pessoas para a pesquisa, os dados obtidos
foram:
• 5 clientes gostam dos três sabores de suco;
• 46 clientes gostam do suco de caju;
• 55 clientes gostam do suco de laranja;
• 39 clientes gostam do suco de uva.
Qual a probabilidade de selecionar um cliente que goste de
pelo menos dois sabores de suco?
a) 30%.
b) 35%.
c) 40%.
d) 45%.
Resolução.
25- (Consulplan-2024) Um grupo possui apenas 9 cri-
anças oriundas de 3 turmas diferentes, sendo 3 crianças de
cada turma. Para a próxima etapa de uma dinâmica, duas
crianças desse grupo devem ser escolhidas aleatoriamente e
sem reposição. Qual a probabilidade de que as crianças es-
colhidas sejam de turmas diferentes?
a) 1/4
b) 2/5
c) 3/4
d) 3/5
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=V6a_XEK2A4w&list=PLzKSpm6uBlM_mB6B_ozoawuBXVrAEkwda&index=25
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https://youtu.be/nAvIy8t4DdI
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4.9 Gabarito.
1. Probabilidade de um evento.
1- 3/8
2- 1/3
3- 1/6
4- 3/25
5- 1/4
6- C
7- E
8- 1/36
9- A
10- A
11- E
12- D
13- D
2. Probabilidade - União de eventos.
1- 11/20
2- 1/2
3- 2/3
4- 1/2
5-
a) 9/25
b) 1/5
c) 43/50
6- 51/60
7- 11/21
8-
a) 3/5
b) 7/10
3. Probabilidade - Eventos indepen-
dentes.
1- D
2- D
3- 1/36
4- A
5- 3/7
6- B
7- B
8-
a) 1/6
b) 5/18
9- C
10- B
11- C
12- D
4. Probabilidade condicional.
1- 1/4
2- 1/13
3- 5/32
4- D
5- B
6- B
7- C
8- D
9- A
5. Probabilidade - Evento comple-
mentar.
1- 8/9
2- 15/16
3- E
4- D
5- B
6- 41/42
7- B
6. Probabilidade - Evento repetidos.
1- D
2- 9/14
3- B
4- 5/16
5- C
6- D
7- B
8- D
9- 3/16
10- B
11- A
7. Probabilidade - Espaço amostral
não equiprovável.
1-
P (1) = 1/4,
P (2) = 1/4
P (3) = 1/2
2- P (I) = 1/4 e P (P ) = 3/4
3- B
8. Atividades complementares.
1- A
2- B
3- D
4- C
5- A
6- A
7- B
8- C
9- D
10- B
11- E
12- B
13- B
14- A
15- B
16- D
17- D
18- D
19- A
20- E
21- D
22- B
23- E 24- B
25- C
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	Material de apoio.
	Fatorial.
	Definição.
	Fatorial - Simplificação.
	Atividades complementares.
	Gabarito.
	Análise Combinatória.
	Princípio multiplicativo e aditivo.
	Permutação simples e com elementos repetidos.
	Permutação circular.
	Arranjo simples.
	Combinação simples.
	Atividades complementares.
	Gabarito.
	Probabilidade
	Probabilidade de um evento.
	Probabilidade - União de eventos.
	Probabilidade - Eventos independentes.
	Probabilidade condicional.
	Probabilidade - Evento complementar.
	Probabilidade - Evento repetido.
	Probabilidade - Espaço amostral não equiprovável.
	Atividade complementar.
	Gabarito.+ (n+ 1)!
=
1
48
, então
a) n = 2.
b) n = 12.
c) n = 5.
d) n = 7.
e) n = 10.
10- (Uniube-MG) Considere os seguintes números naturais
pares 4, 6, 8, ..., 100. Efetuando-se a soma 4! + 6! + 8! + ...
+ 100! , o algarismo que ocupa a ordem das unidades dessa
soma é igual a
a) 4.
b) 2.
c) 6.
d) 8
Resolução.
11- Resolva a equação d)
(n+ 1)! + 2(n− 1)!
(n+ 1)!− 2(n− 1)!
=
7
5
.
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2.4 Gabarito.
1. Definição.
1-
a) 5040
b) 720
c) 120
d) 24
e) 6
f) 2
g) 1
h) 1
2-
a) {n ∈ N/n ≥ 2}
b) {n ∈ Z/n ≥ −4}
c)
{
k ∈ N/n =
k + 1
2
}
3-
a) S = {5}
b) S = {7}
c) S = {8}
d) S = {3}
e) S = {5}
2. Fatorial - Simplificação.
1-
a) n2 + 3n+ 2
b) n2 + n
c) n2
d) n2 + n
2-
a) S = {6}
b) S = {4}
c) S = {9}
3. Atividades complementares.
1- D
2-
1
n+ 1
3- E
4- A
5- B
6- C
7- A
8- C
9- C
10- A
11- S = {2}
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3 Análise Combinatória.
3.1 Princípio multiplicativo e aditivo.
Videoaula em breve.
1- Uma montadora de automóveis apresenta um carro em
3 modelos diferentes e em 6 cores diferentes. Se você vai
adquirir um veículo dessa montadora, quantas opções tem de
escolha?
2- Uma prova de Matemática é constituída por 5 questões do
tipo “verdadeiro ou falso”. Se um aluno chuta cada uma das
questões, qual o número total de maneiras de apresentar o
gabarito?
Resolução.
3- Para a diretoria de uma empresa, concorrem 5 candidatos
à presidência e 6 à vice-presidência. Quantas maneiras dis-
tintas podem ocorrer na ocupação desses dois cargos?
4- Para ir de uma cidade A até uma cidade B, existem dois
percursos, passando pela cidade C ou pela cidade D.
Os caminhos possíveis estão indicados no esquema abaixo.
Quantas são as possibilidades de sair da cidade A e chegar à
cidade B?
5- Num são de festas há 8 portas de entrada. Quantas possi-
bilidades existem de uma pessoa:
a) entrar por uma porta e depois sair?
b) entrar por uma porta e depois sair por outra diferente?
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6- (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus respec-
tivos três filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de
modo que cada mãe sente junto de seu filho?
Resolução.
7- (UFRN) Qual a quantidade de números pares de 5 al-
garismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos
2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
8- (ENEM-2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio
para transmitir músicas a partir do seu computador para o
rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves se-
letoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada es-
colha das posições dessas chaves corresponde a uma frequên-
cia diferente de transmissão.
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho
pode transmitir é determinada por
a) 6
b) 8
c) 12
d) 16
e) 24
Resolução.
9- (ENEM-2020) Um modelo de telefone celular oferece a
opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques
como senha.
Os toques podem ser feitos livremente nas 4 regiões nu-
meradas da tela, sendo que o usuário pode escolher entre 3,
4 ou 5 toques ao todo.
Qual expressão representa o número total de códigos exis-
tentes?
a) 45 − 44 − 43
b) 45 + 44 + 43
c) 45 . 44 . 43
d) (4!)5
e) 45
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=LKaNC1q1w4g
https://youtu.be/5Z6EASERa8c
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10- (ENEM-2015) A bandeira de um estado é formada por
cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou
amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pin-
tadas com a mesma cor.
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar
essa bandeira, com a exigência acima, é
a) 1 x 2 x 1 x 1 x 2.
b) 3 x 2 x 1 x 1 x 2.
c) 3 x 2 x 1 x 1 x 3.
d) 3 x 2 x 1 x 2 x 2.
e) 3 x 2 x 2 x 2 x 2.
Resolução.
11- (ENEM-2017) O comitê organizador da Copa do Mundo
2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura
plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se
unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organi-
zador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional
(verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de
forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da
Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
a) 15
b) 30
c) 108
d) 360
e) 972
Resolução.
12- (ENEM-2014) Um procedimento padrão para aumentar
a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar
mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumen-
tar as possibilidades de senha, gera um aumento na segu-
rança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de
um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses
novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá
diferenciar maiúsculas de minúsculas.
Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multi-
plicado por
a) 100.
b) 90.
c) 80.
d) 25.
e) 20.
13- (ENEM-20017) Desde 1999 houve uma significativa mu-
dança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil.
As placas, que antes eram formadas apenas por seis carac-
teres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando
a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três
primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do
alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9).
Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional
unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou
significativamente a quantidade de combinações possíveis de
placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos
sejam iguais a zero.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acessoem: 14jan. 2012 (adaptado)
Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser uti-
lizadas é igual a
a) 263 + 94
b) 263 . 94
c) 263(104 − 1)
d) (263 + 104)− 1
e) (263 . 104)− 1
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=57XTS5uAkNM
https://www.youtube.com/watch?v=z26zcKz-eXs
https://www.youtube.com/watch?v=bXp5YFuasaU
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14- (UERJ-2020) Apenas com os algarismos 2, 4, 5, 6 ou 9,
foram escritos todos os números possíveis com cinco
algarismos. Cada um desses números foi registrado em um
único cartão, como está exemplificado a seguir.
Alguns desses cartões podem ser lidos de duas maneiras,
como é o caso dos cartões C, D e E. Observe:
O total de cartões que admitem duas leituras é:
a) 32
b) 64
c) 81
d) 120
Resolução.
15- (ENEM-2017) O Código de Endereçamento Postal
(CEP) é um código numérico constituído por oito algaris-
mos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento,
o tratamento e a distribuição de objetos postados nos Cor-
reios. Ele está estruturado segundo o sistema métrico deci-
mal, sendo que cada um dos algarismos que o compõe
codifica região, sub-região, setor, subsetor, divisor de sub-
setor e identificadores de distribuição, conforme apresenta a
ilustração.
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para fins
de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-regiões.
Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores.
Cada setor, dividido em dez subsetores.Por fim, cada sub-
setor foi dividido em dez divisores de subsetor. Além disso,
sabe-se que os três últimos algarismos após o hífen são de-
nominados de sufixos e destinam-se à identificação
individual de localidades, logradouros, códigos especiais e
unidades dos Correios.
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros
brasileiros inicia em 000 e termina em 899.
Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de lo-
gradouros no Brasil?
a) 5.0 + 9.102
b) 105 + 9.102
c) 2.9.107
d) 9.102
e) 9.107
Resolução.
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https://youtu.be/9mbGPDg0Cdg
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16- (ESA–2023) No Rancho de uma unidade militar, há a
opção de três pratos de proteína (frango, bife e ovo), três
pratos de acompanhamento (farofa, arroz e macarrão) e dois
pratos de sobremesa (doce de leite e gelatina). Os militares
devem pegar apenas um item de cada prato. Desta forma,
podem-se montar quantos tipos de refeições distintas?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
17- (UEG-GO–2021) Utilizando as 7 notas musicais, um
músico deseja compor uma melodia com 5 notas distintas. O
número de melodias que ele pode compor é
a) 5.040.
b) 2.520.
c) 42.
d) 120.
e) 360.
18- (UECE–2023) Quantos são os números inteiros positivos
com três dígitos nos quais aparecem apenas os algarismos 1,
3 e 5, repetidos ou não, que são divisíveis por 5?
a) 6
b) 15
c) 9
d) 12
19- (INATEL-2023) Para fazer o cadastro em um site, um
usuário deve inserir uma senha de 4 dígitos, contendo apenas
letras, sem poder repetir a mesma letra. Um usuário deseja
criar sua senha contendo apenas as letras da palavra INATEL.
A quantidade de senhas possíveis de se criar é de
a) 30.
b) 180.
c) 360.
d) 648.
e) 1296.
Resolução.
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20- (ENEM-2024) Para abrir a porta de uma empresa, cada
funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado
alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras
correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, se-
quencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os
próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas
funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem
conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de
3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadas-
trar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas
que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas le-
tras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário
tem para cadastrar sua senha é
a) 11520.
b) 14400.
c) 18000.
d) 312000.
e) 390000.
Resolução.
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3.2 Permutação simples e com elementos repetidos.
Videoaula em breve.
1- Considerando as letras da palavra ALUNO, calcule:
a) o número total de anagramas que podem ser formados com
as 5 letras.
b) o número de anagramas que começam e terminam por con-
soante.
2- De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em
um banco de jardim com 5 lugares?
3- Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado
para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os
pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para
tirar a foto?
Resolução.
4- Cinco rapazes e duas moças devem ocupar os sete lugares
de uma mesma fila de um cinema.
a) De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses
sete lugares?
b) De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares
se as moças devem ficar juntas?
Resolução.
5- (ENEM-2020) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando
um anagrama exclusivamente com as sete letras que com-
põem o seu nome, antes do símbolo @ .
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal
modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas
e exatamente nessa ordem.
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por
outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do
seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail dese-
jado?
a) 59
b) 60
c) 118
d) 119
e) 120
Resolução.
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6- Quantos números de quatro algarismos distintos podem
ser formados com os algarismos 3, 4, 5 e 6?
7- Uma prova contém 8 testes que devem ser respondidos
com V ou F. De quantos modos distintos ela pode ser re-
solvida assinalando 3 testes com V e 5 com F?
Resolução.
8- Quantos são os anagramas possíveis com as letras da
palavra: MATEMATICA?
9- (ENEM-2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do
nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE" gerou
a frase "I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry
quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POT-
TER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem
sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre
as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado
por
a) 9!
b) 4!.5!
c) 2.4!.5!
d)
9!
2
e)
4!.5!
2
Resolução.
10- De quantas maneiras podemos alinhar 8 moedas sobre
uma mesa, sendo 4 de R$ 0,25 e 4 de R$ 0,50?
11- Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5
empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quan-
tas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Resolução.
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https://youtu.be/WF73kmXfxKs
https://www.youtube.com/watch?v=6CrQeytPGGk&list=PLzKSpm6uBlM_mB6B_ozoawuBXVrAEkwda&index=45
https://youtu.be/nyrIeuSeWqM
https://www.youtube.com/channel/UCP_33hvjNwf_Dk6gT-ToF-w/playlists
https://drive.google.com/drive/folders/1ORX0-rXj5Ir_WOqATku0anR9qKoB181n?usp=sharing
12- (ENEM-2017) Uma empresa construirá sua página na in-
ternet e espera atrair um público de aproximadamente um
milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária
uma senha com formato a ser definido pela em-
presa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo pro-
gramador, descritas no quadro, em que “L” e “D” represen-
tam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. As letras do
alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os
10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número
de senhas distintas possíveis seja superior ao número es-
perado de clientes, mas que esse número não seja superior ao
dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Resolução.
13- (OBMEP-2019) A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra
10 em cinco pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou
por cima de uma ou de duas pedras. De quantas maneiras
diferentes Zinza pode fazer isso?
a) 10
b) 35
c) 45
d) 84
e) 126
Resolução.
14- (UFLA-20223) Anagrama de uma palavra é qualquer se-
quência de letras formada com todas as letras dessa palavra,
incluindo a própria palavra. Dentre as palavras a seguir, a
que possui o menor número de anagramas é:
a) CASCAS
b) CABANA
c) BATATA
d) PLANTA
Resolução.
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3.3 Permutação circular.
Videoaula em breve.
1- Descubra o número de permutações circulares de:
a) 4 objetos
b) 5 objetos
c) n objetos
2- Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e
quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma
mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pes-
soas podem se sentar em torno da mesa?
3- De quantos modos 4 casais podem formar uma roda de
ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado da sua
mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?
4- Com algumas crianças podemos formar setecentos e vinte
rodas de ciranda. Quantas crianças fazem parte dessa brin-
cadeira?
5- O número de maneiras em que podemos dispor vinte pes-
soas em torno de uma mesa redonda é:
a) 20!
b)
20!
2
c) 19!
d)
19!
2
Resolução.
6- De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar
uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam
juntas?
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7- (Consulplan-2024) Em uma reunião dos professores de
uma escola foi posta uma mesa redonda com 8 cadeiras,
distribuídas ao redor dessa mesa. Rafaela, professora de
matemática, disse que a escolha desse formato para a reunião
é interessante, pois seria possível realizar muitas reuniões
com os professores ocupando diferentes lugares e diferentes
posições ao redor da mesa. Cristiano, professor de ge-
ografia, ficou interessado na fala de Rafaela e decidiu contar
quantas maneiras diferentes os 8 professores podem sentar-se
ao redor dessa mesa e constatou que o número de possibili-
dades é um valor compreendido entre:
a) 1 e 10.000.
b) 10.000 e 40.000.
c) 40.000 e 50.000.
d) 50.000 e 100.000.
Resolução.
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3.4 Arranjo simples.
Videoaula em breve.
1- Calcule:
a) A7,3
b) A5,2
c) A10,5
2- Quantos números naturais de 3 algarismos distintos pode-
mos formar com os algarismos de 1 até 9?
3- De quantas maneiras 4 meninas podem sentar-se em um
banco que tem apenas 6 lugares?
Resolução.
4- Uma bandeira deve ser formada por três faixas de cores
diferentes escolhidas entre 10 cores diferentes.
De quantas maneiras essa bandeira pode ser composta?
5- Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se
utilizar de seu sistema informatizado. Como essa senha deve
ter 5 algarismos distintos, quantos são as possíveis senhas? E
se pudesse haver repetição?
6- As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil,
Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De
quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o se-
gundo e terceiro lugar neste concurso?
7- Qual o número inteiro positivo que verifica a equação
An,3 = 3.(n− 1)?
Resolução.
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8- (ENEM-2015) Uma família composta por sete pessoas
adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou
o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a
data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada
pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as
únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse
voo é calculado por
a)
9!
2!
b)
9!
7! . 2!
c) 7!
d)
5!
2!
. 4!
e)
5!
4!
.
4!
3!
9- (OSEC-SP) Uma faculdade mantém 8 cursos diferentes.
No vestibular, os candidatos podem fazer opção por 3 cursos,
determinando-os por ordem de preferência. Então, o número
possível de formas de optar é:
a) 6.720
b) 336
c) 520
d) 120
e) 56
10- (Consulplan-2024) Uma van, com 8 assentos disponíveis
para turistas, será utilizada para o transporte, exclusivo, de
5 turistas entre duas praias famosas do litoral nordestino.
Considere que cada turista escolhe um assento disponível e
permanece nele até o fim do trajeto. Dessa forma, de quantas
maneiras distintas os turistas podem se distribuir entre os
assentos da van para fazer o percurso turístico?
a) 5!
b)
8!
3!
c)
8!
5!
d)
8!
5!3!
Resolução.
11- Aninha possui 9 cores de canetinha e para terminar o
trabalho de Geografia, ela precisa pintar uma parte do mapa
que possui 5 cidades. De quantas formas ela pode colorir
seu mapa, sabendo que não quer pintar duas cidades com a
mesma cor?
Resolução.
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https://youtu.be/lXWIPh8RcvE
https://youtu.be/AUS6L_fX9fE
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12- (ENEM-2020) Um determinado campeonato de futebol,
composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos cor-
ridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os demais
times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com
cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar
empatado ou haver um vencedor.
Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates,
o número de jogos em que houve ganhador é igual a
a) 64.
b) 74.
c) 254.
d) 274.
e) 634.
Resolução.
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3.5 Combinação simples.
Videoaula em breve.
1- Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades
de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-
las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os
tipos de sorvete disponíveis?
Resolução.
2- Num plano são marcados 5 pontos distintos, não
alinhados. Quantos triângulos podemos formar tendo sempre
3 deles como vértice?
3- Resolver a equação Cx,2 = 3.
Resolução.
4- O número total de maneiras de escolher 5 dos números
1, 2, 3, ..., 52 sem repetição é:
a) entre 1 e 2 milhões.
b) entre 2 e 3 milhões.
c) entre 3 e 4 milhões.
d) menos de 1 milhão.
e) mais de 10 milhões.
5- (ENEM-2020) A prefeitura de uma cidade está renovando
os canteiros de flores de suas praças. Entre as possíveis
variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas
cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio. Em
cada um dos canteiros, todos com composições diferentes,
serão utilizadas somente três variedades distintas, não impor-
tando como elas serão dispostas.
Um funcionário deve determinar os trios de variedades de
flores que irão compor cada canteiro.
De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é
dada por
a) 5
b) 5 . 3
c)
5!
(5− 3)!
d)
5!
(5− 3)! . 2!
e)
5!
(5− 3)! . 3!
Resolução.
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https://youtu.be/Uh0LVlnubuY
https://youtu.be/g34PtFgSsBk
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6- (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um torneio
de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi es-
colhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times
para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo
A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura
do torneio, sendo que o primeiro deles jogariaem seu próprio
campo, e o segundo seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e
a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura
podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
7- Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, ape-
nas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2
são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levan-
tador e 5 atacantes?
Resolução.
8- (Unirio) Recebi de uma editora um catálogo oferecendo
em promoção a assinatura de 10 revistas. Gostaria de assinar
todas, mas como não tenho posses para isso me contentarei
com apenas 3. Quantas são as minhas opções?
9- Quantas combinações com 4 elementos podem ser mon-
tadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que
sempre estejam juntas as letras A e B?
Resolução.
10- Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas
chama-se Gabriela, e 8 alunos, onde um deles atende pelo
nome de André. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4
alunos. Determine o número de comissões, onde simultane-
amente participam Gabriela e André.
11- (ENEM-2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia uti-
lizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5
tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua
disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais dis-
tintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que po-
dem ser produzidas e representada pela expressão:
a)
6!
4!2!
.
15!
10!5!
b)
6!
4!2!
+
15!
10!5!
c)
6!
2!
+
15!
5!
d)
6!
2!
.
15!
5!
e)
21!
7!14!
Resolução.
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https://youtu.be/8qPCSxDbVlI
https://youtu.be/yrkVMeqfcpQ
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12- (UFLA-2022) Considere 5 pontos sobre uma reta r e 7
pontos sobre uma reta s paralela a r. O número de triângulos
que podemos formar com vértices nesses 12 pontos é:
a) 65
b) 175
c) 220
d) 350
Resolução.
13- (Consulplan-2024) Gabriel precisa comprar material es-
colar para o seu filho pequeno e verificou que, na lista de
itens a serem comprados, é solicitada a compra de 5 cader-
nos de capa lisa e cores distintas. Assim, para comprar os
referidos cadernos, Gabriel visitou duas papelarias e encon-
trou as seguintes opções disponíveis:
Ao comparar a quantidade de possíveis compras distintas a
serem feitas em cada papelaria, Gabriel constatou que a
papelaria B oferecia
a) o dobro de combinações da papelaria A.
b) setenta combinações a mais que a papelaria A.
c) noventa combinações a mais que a papelaria A.
d) nove vezes mais combinações do que a papelaria A.
Resolução.
14- (Consulplan-2024) No setor de processos de determi-
nada repartição pública, trabalham 8 agentes administrativos
e os servidores restantes são fiscais. Para representar a repar-
tição em um congresso nacional, deve ser formado um grupo
com 2 agentes administrativos e 2 fiscais, dentre os servi-
dores desse setor. Se existem 588 possibilidades distintas de
formar esse grupo, quantos fiscais trabalham no setor de pro-
cessos dessa repartição?
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
Resolução.
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https://youtu.be/Oi9F8SXeFbw
https://youtu.be/rKVzLZ14yi8
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3.6 Atividades complementares.
1- Com os 10 algarismos que dispomos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
responda as perguntas:
a) Quantos números naturais de cinco algarismos podem-se
formar?
b) Quantos números naturais de cinco algarismos distintos
podem-se formar?
c) Quantos números naturais de 6 algarismos podem-se for-
mar começando com 1,2 e 3 em qualquer ordem?
d) Quantos números naturais podem-se formar, com no
máximo cinco algarismos distintos?
e) Qual o número máximo de linhas telefônicas uma com-
panhia da área pode fornecer aos moradores de uma cidade
cujo código inicial da cidade é 3523 seguidos de 4 dígitos?
f) Nessa mesma cidade quantos telefones têm os quatro últi-
mos dígitos iguais? E diferentes entre si?
g) Quantos números de quatro dígitos distintos, exceto os das
extremidades que devem ser iguais, podemos formar? . Ex:
3463, 1231, 4764, etc.
h) Quantos números naturais podem ser formados em forma
de um palíndromo constituído de oito algarismos?
Palíndromo é uma sequencia formada de modo que os
elementos equidistantes dos extremos sejam iguais.Exemplo
as palavras Ana; anilina; mussum; arara, mirim, mutum,
radar, rotor, reter, rever, número de possibilidades para a
primeira frase número de possibilidades para a segunda frase
número de possibilidades para a quarta frase número de pos-
sibilidades para a terceira frase Prof. Gerson Henrique 12
iriri, somos; salas e os números 323; 121; 1221; 123321;
1234554321; 1234321. É interessante notar que palíndro-
mos pode ser lidos da esquerda para a direita ou ao contrário
e produzem o mesmo sentido.
i) Quantos números naturais em forma de um palíndromo
constituído de oito algarismos podemos formar, de modo
que esses números comecem com o algarismo 1(um)?
j) Quantos números naturais em forma de um palíndromo
constituído de cinco algarismos podemos formar de modo
que três desses algarismos sejam distintos?
k) Quantas palavras em forma de um palíndromo constituí-
das de dez letras podemos formar de modo que a terceira
casa da direita seja uma vogal?(Considere o alfabeto latino
com 23 letras)
2- Uma placa de um carro brasileira é uma sequencia de
três letras seguidas de quatros algarismos (LETRA LETRA
LETRA – ALGARISMO ALGARISMO ALGARISMO AL-
GARISMO). Dispõe-se 26 letras distintas e dez algarismos
distintos para a confecção das placas. Assim responda:
a) Quantas placas distintas podem ser confeccionadas?
b) Quantas placas com as três letras iguais podemos formar?
Cuidado os algarismos podem ser iguais ou não.
3- Juliana vai almoçar e deve escolher um entre dois tipos de
arroz, uma entre quatro tipos de salada e um entre três tipos
de carne. De quantos modos diferentes pode elaborar sua
refeição?
Resolução.
4- Numa agência de namoro existem 30 homens e 40
mulheres cadastradas a procura de um par. Mas, Algumas
mulheres desistiram na última hora de buscar um par através
dessa agencia. Mesmo assim o gerente observou que seria
possível formar um casal de 750 maneiras diferentes com
as mulheres restantes. Qual a quantidades de mulheres de-
sistentes?
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5- (UFBA) Existem cinco ruas ligando os supermercados S1
e S2 e três ruas ligando S2 e S3. Para ir de S1 a S3, passando
por S2, o número de trajetos diferentes que podem ser uti-
lizados é:
a) 15
b) 10
c) 8
d) 5
e) 3
6- (MACKENZE-adaptada) Se uma sala tem cinco portas, o
número de maneiras distintas de se entrar nela por uma porta
e sair por outra diferente é:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
7- (FUVEST) Calcule quantos números múltiplos de 3, de
quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4,
6 e 9.
8- (FUVEST) Considere todas as trinta e duas sequencias,
com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas
com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequencias pos-
suem pelo menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
9- (PUC-Campinas) Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e
9, sem repetição, quantos números pares de três algarismos
distintose maiores que 234 pode-se formar?
a) 110
b) 119
c) 125
d) 129
e) 132
10- (UFMG) O total de números inteiros, com todos os al-
garismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000, é:
a) 576
b) 648
c) 728
d) 738
11- (UFMG) O número de múltiplos de 10, compreendidos
entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos, é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
Resolução.
12- (PUC) O quantidade de números de três algarismos
maiores que 500, que podem ser formados com os algaris-
mos 3,5,6,7 e 9, com repetição, é igual a:
a) 10
c) 48
e) 100
b) 20
d) 64
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13- Considere a palavra VESTIBULAR.
a) Quantas Permutações podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por VES?
c) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas e
nesta ordem?
d) Em quantos anagramas as letras V, E e S estão juntas?
e) Quantos anagramas começam e terminam por vogal?
14- De quantas maneiras podemos formar uma fila com:
a) 5 pessoas?
b) 10 pessoas?
c) 15 pessoas com um casal sempre juntos?
d) 15 pessoas com um casal sempre juntos e a esposa antes
do marido?
e) 10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos?
f) 10 pessoas com 2 casais e cada casal sempre juntos e as
esposas na frente dos maridos?
g) 70 bonecos diferentes?
h) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho
sempre na frente dos bonecos vestidos as demais cores?
i) 70 bonecos diferentes com os 10 que vestem vermelho
sempre juntos?
15- (UNIV. FED. BAHIA) Quatro jogadores saíram de
Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de
4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que
cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda
vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam tro-
car de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jo-
gadores, durante toda a viagem, é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 24
e) 162
16- (S.J.CAMPOS) De quantos modos diferentes podemos
dispor as letras da palavra VESTIBULAR, de modo que as
vogais e as consoantes apareçam juntas, em qualquer ordem?
17- (VIÇOSA) Seis pessoas em fila gastam 10 segundos para
mudarem de ordem. O tempo necessário para todas as mu-
danças possíveis é:
a) 4h
b) 2h
c) 3h
d) 5h
e) 6h
18- (MACK) Um trem de passageiros é constituído de única
locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restau-
rante, Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o
vagâo restaurante não pode ser colocado imediatamente após
a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a
composição é:
a) 120
B) 320
c) 500
d) 600
e) 720
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19- (UNIV. CAT. PELOTAS) Uma família com 5 pessoas
possui um automóvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa
dirige, o número de modos que podem se acomodar no carro
para uma viagem é:
a) 6
b) 120
c) 36
d) 24
e) n.d.a.
20- (SÃO CARLOS) Quatro rapazes e uma moça formam
uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada de
modo que a moça fique sempre em 1º lugar?
a)24
b)12
c)18
d) 4
21- (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos
formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apre-
sentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 122
22- (MACK) O número de maneiras diferentes de colocar em
uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças
brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei) é:
a) 8!
b) 504
c) 5040
d) 8
e) 4
Resolução.
23- (FJP) Pode-se permutar m objetos de 24 maneiras
diferentes. Suponha que se pretenda arranjar esses m objetos
dois a dois. Nesse caso, de quantas maneiras diferentes esses
m objetos poderão ser arranjados?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 20
24- (FCMMG) Um fisioterapeuta recomendou a um paciente
que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercí-
cios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de
exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o trata-
mento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três
exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O
número máximo de dias que o paciente poderá manter esse
procedimento é
a) 35
b) 38
c) 40
d) 42
e) 60
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25- (MAUÁ) Calcular p, sabendo que, Am,p = Cm,p qual-
quer que seja m e 0 ≤ p ≤ m.
Resolução.
26- (MACK) Separam-se os números de 1 a 10 em dois con-
juntos de 5 elementos de modo que 1 e 8 não estejam no
mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos, o
valor de n é:
a) 20
b) 35
c) 70
d) 140
e) 200
27- (UNESP-SP-adaptada) A diretoria de uma empresa
compõe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere
todas as comissões de três membros que poderiam ser for-
madas com esses n dirigentes. Se o número de comissões
que incluem o presidente é igual ao número daquelas que
não o incluem, qual o valor de n?
28- (CESCEM) Sobre uma circunferência, marcam-se 7 pon-
tos, 2 a 2 distintos, O número de triângulos que podemos for-
mar com vértices nos pontos marcados é;
a) 3
b) 7
c) 30
d) 35
e) 210
Resolução.
29- (MACK) O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 ele-
mentos. O número de elementos de A é:
a) 10
b) 15
c) 45
d) 90
e) impossível determinar com a informação dada .
30- (UFMG) Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas
e 3 vermelhas. O número de maneiras possíveis de se retirar
simultaneamente, dessa urna, grupos de 6 bolas que contém
pelo menos uma bola de cada cor, é:
a) 84
b) 252
c) 805
d) 924
31- (UFMG) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala estão
ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas
possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cin-
quenta cadeiras, para ocupá-las é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
d) 49!
e) 50!
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32- (UFMG) Formam-se comissões de três professores entre
os sete de uma escola. O número de comissões distintas que
podem, assim, ser formados é:
a) 35
b) 45
c) 210
d) 73
e) 7!
33- (Diamantina-MG) Numa congregação de 30 professores,
14 lecionam matemática, O número de comissões com 14
professores que podem ser formadas de modo que, em cada
uma, tenha apenas um professor de matemática é
a) 7540
b) 7840
c) 8040
d) 8340
34- (FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quan-
tas comissões de 5 pessoas podem ser formados, contendo no
mínimo um diretor?
a) 500
b) 720
c) 4500
d) 25
e) 55
Resolução.
35- (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas,
sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se,
de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que
aparecem exatamente uma bola de cada cor?
36- (UFMG-adaptada) Em uma viagem aérea, um passageiro
tem em sua bagagem, 20 livros diferentes entre os quais um
escrito em alemão. Desses livros, dez pesam 200g cada um,
seis pesam l00 g cada um e quatro, 500g cada um. No en-
tanto, ele só pode levar 1,2 Kg de livros. Sabendo-se que
pretende levar o livro em alemão e o dicionário, que pesam
respectivamente, 200g e 500g, o número de maneiras distin-
tas de obter 1,2 kg, é:
a) 210
b) 280
c) 219
d) 50
37- (FGV-SP) São dados 10 pontos num plano, dos quais 8
sobre uma mesma reta r e os outros 2 não alinhados com
quaisquer outros dois pontos dos oito sobre a reta r. Quantos
diferentes triângulos podem ser formados usando os pontos
dados como vértices?
a) 56
b) 64
c) 80d) 120
e) 144
38- (PUC-MG) Um técnico de futebol de salão tem à dis-
posição 8 jogadores de linha e 2 goleiros. Um time deve ter
quatro jogadores de linha e um goleiro. O número de times
distintos que o técnico pode escalar é:
a) 60
b) 70
c) 80
d) 120
e) 140
Resolução.
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39- (UFU-MG) Em um plano há 12 pontos, dos quais três
nunca são colineares, exceto 5 que estão sobre uma mesma
reta. O número de retas determinadas por esses pontos é:
a) 56
b) 57
c) 46
d) 47
e) 77
40- (MACK) O número de triângulos determinados por 7
pontos distintos. 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela à
primeira, é:
a) 60
b) 30
c) 20
d) 10
e) 5
41- Todos os 11 alunos de uma turma do curso de música
estão decidindo quem fará parte de uma comissão que fi-
cará responsável pela organização de uma festa de formatura.
Essa comissão será formada por 2 pessoas dessa turma, sendo
um coordenador e um tesoureiro. Daniel, um desses alunos,
pediu para não ocupar o cargo de tesoureiro, caso faça parte
da comissão escolhida.
Quantas comissões distintas poderiam ser formadas, para or-
ganizar essa festa de formatura, de modo a atender à solici-
tação de Daniel?
a) 10.
b) 21.
c) 45.
d) 100.
e) 110.
Resolução.
42- Augusto e outros 9 candidatos concorrem a um total
de 3 vagas de um concurso para o mesmo cargo público. Au-
gusto deseja ser o primeiro colocado nesse concurso.
Quantos são os possíveis resultados para essas 3 primeiras
colocações atendendo ao desejo de Augusto?
a) 6.
b) 36.
c) 72.
d) 90.
e) 720.
Resolução.
43- (ENEM-2020) Três amigos, André, Bernardo e Car-
los, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O
quadriculado representa a localização das ruas paralelas e
perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho
nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão lo-
calizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectiva-
mente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo,
sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas
do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita
( � ) ou para cima ( ^ ), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar
para realizar o deslocamento nas condições propostas é
a) 4.
b) 14.
c) 17.
d) 35.
e) 48.
Resolução.
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44- (ENEM-2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I,
II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro
quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem
atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A
campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma
de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será
a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jura-
dos no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas
do desfile desse ano no momento em que faltava somente a
divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas
pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola
II?
a) 21
b) 90
c) 750
d) 1250
e) 3125
Resolução.
45- (ENEM-2020) O governador de um estado propõe a am-
pliação de investimentos em segurança no transporte
realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de
lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres,
distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma
que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes,
garantindo assim maior segurança aos usuários.
Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).
A expressão que representa a quantidade de maneiras distin-
tas das três agentes serem distribuídas nos vagões é
a) C3
4 + 3!
b) C3
6
c) C3
4 x 3!
d) A3
6
e) A3
4 x 3!
Resolução.
46- (Unicamp-2021) O número de anagramas da palavra RE-
FLORESTAMENTO que começam com a sequência FLO-
RES é
a) 9!.
b)
9!
2!
.
c)
9!
2!2!
.
d)
9!
2!2!2!
.
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=Dck6our6PG4&list=PLzKSpm6uBlM-qZQhrgBxGmGjKUjcO0Z5P&index=46
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https://www.youtube.com/watch?v=iGw32MAt94U
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47- (IFSULDEMINAS-2019 ) Leia o texto abaixo:
A estrutura matemática do DNA
A lógica matemática, de acordo com pesquisadores, está pre-
sente na formação do DNA – o ácido desoxirribonucleico
que carrega nas células os genes e todas as instruções para
a formação e a manutenção de um ser vivo. Em um es-
tudo, os pesquisadores compararam as equações algébricas
de um código corretor de erros com certas sequências do
DNA, atribuindo uma lógica às bases nitrogenadas que for-
mam os genes humanos – timina (T), guanina (G), citosina
(C) e adenina (A) – e descobriram que há padrões ligando a
base a um número.
“Mostramos que o DNA tem sequências que seguem estru-
turas matemáticas e as mesmas regras da comunicação digi-
tal”, conta Márcio de Castro Silva Filho, pesquisador da USP.
(Fonte: http://revistapesquisa.fapesp.br/2015/09/15/a-estruturamatematica- do-dna/, adaptado)
Considere que uma parte de uma molécula de DNA é com-
posta por seis bases nitrogenadas, dispostas uma ao lado da
outra, conforme a figura, na qual as bases são representadas
por pequenos círculos.
Considerando que, em cada círculo da figura, é possível
existir uma das quatro bases indicadas no texto (T, G, C e
A), podendo haver repetição de bases, quantas moléculas
diferentes é possível formar?
a) 16
b) 24
c) 1296
d) 4096
Resolução.
48- (IFSULDEMINAS-2019) Para as eleições deste ano,
Dona Vitória estava em dúvida entre 3 candidatos à presidên-
cia, 3 candidatos ao senado, 2 candidatos ao governo do seu
estado, 10 candidatos a deputado federal e 25 candidatos a
deputado estadual. Nestas eleições, deve-se votar em apenas
um candidato a cada cargo, com exceção do senado, onde
deve-se votar em dois candidatos. Desta maneira, o número
de possibilidades para as possíveis combinações de votos de
Dona Vitória foi:
a) 45
b) 500
c) 1800
d) 4500
Resolução.
49- (IFSULDEMINAS-2018) Um aluno do curso técnico em
Produção de Moda dispõe, no laboratório do curso, de 6
blusas, 4 saias e 5 chapéus para a montagem de um look de
passeio, que obrigatoriamente deverá ser composto por uma
peça de cada tipo. Nessas condições, o número de maneiras
distintas com que o aluno poderá produzir um look de pas-
seio corresponde a:
a) 15
b) 54
c) 60
d) 120
Resolução.
50- (Unicamp-2020) Cinco pessoas devem ficar em pé, uma
ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas
delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições
distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é
igual a
a) 48.
b) 72.
c) 96.
d) 120.
Resolução.
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https://www.youtube.com/watch?v=vWvbDtCNnkI&list=PLzKSpm6uBlM8F52fhe9FXhwXHausI-210&index=45
https://www.youtube.com/watch?v=_xJu9nLa03M&list=PLzKSpm6uBlM8F52fhe9FXhwXHausI-210&index=46
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https://www.youtube.com/watch?v=brV2Ew-Jvcw&list=PLzKSpm6uBlM_9KsDC9paqMAWoTDYfERFb&index=27
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51- (PISM-UFJF-2020) Em um jogo cada participante deve
escolher uma senha abcde formada por 5 dígitos distintos, es-
colhidos dentre os algarismos de a 0 a 9,de forma a cumprir
a seguinte condição a.b.(c + d + e) = 55. Qual é o número
máximo de senhas que podem ser formadas?
a) 48
b) 60
c) 1512
d) 1890
e) 2592
Resolução.
52- (PAS-UFLA-2018) O Brasil, em breve, irá alterar as
características das placas de identificação de veículos auto-
motores visando à unificação do sistema com o Mercosul. Se
as placas forem formadas por seis caracteres que podem ser
livremente escolhidos dentre os algarismos 0,1,2,...,9 e den-
tre as 26 letras do alfabeto A,B,...,Z, e um sétimo caracter que
deverá necessariamente ser um dos algarismos 0,1,2,...,9,
o número total de placas possíveis nesse novo sistema será
de:
a) (360)6
b) (36)610
c) (26)7(10)7
d) (26)7 + (10)7
Resolução.
53- (IFSULDEMINAS-2017) Um jogo de tabuleiro possui
dois dados distintos, um deles com seis faces numeradas de
1 a 6 e outro com 4 faces numeradas de 1 a 4. Em cada ro-
dada, o jogador deve lançar os dois dados e somar os valores
obtidos em cada um deles. Quantos lançamentos distintos
apresentam soma dos dados igual a um múltiplo de 4?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Resolução.
54- (Enem) O código de barras, contido na maior parte dos
produtos industrializados, consiste num conjunto de várias
barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não.
Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de
uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra es-
cura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado
de um código em um sistema de código com vinte barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita, irá
ler:
01011010111010110001
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda, irá
ler:
10001101011101011010
No sistema de código de barras, para se organizar o processo
de leitura óptica de cada código, deve-se levar em con-
sideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda
para a direita igual à da direita para a esquerda, como o
código 00000000111100000000, no sistema descrito anteri-
ormente. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco
barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para
a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-
se todas as barras claras ou todas as escuras, é:
a) 14
b) 12
c) 8
d) 6
e) 4
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https://www.youtube.com/watch?v=VnBrVnjeQb4&list=PLzKSpm6uBlM-8MDmngQ1z5nb1tzPGAsXS&index=42&t=46s
https://www.youtube.com/watch?v=fdy53Yp8E90
https://www.youtube.com/watch?v=N3NtUl1A0yk
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55- (PAS-UFLA-2017) Os números naturais positivos 1, 2,
3, 4, 5, 6, ... apresentam propriedades surpreendentes que
não cansam de desafiar os matemáticos ao longo dos séculos.
Uma delas é a ideia de números recíprocos, que são números
que podem ser lidos de igual maneira da esquerda para a di-
reita ou da direita para a esquerda; por exemplo, os números
626, 8448, 37573, 10101, 333333. Uma questão sobre tais
números é: quantos deles existem com 5 algarismos? Em
outras palavras, quantos números temos da forma abcba, ob-
servando que a não pode ser o algarismo 0?
a) 93
b) 103
c) 9.102
d) 9 . 8 . 10 + 8 . 9
Resolução.
56- (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa
vai realizar uma entrevista com 120 candidatos para uma
vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada
candidato um número, colocar a lista de números em ordem
numérica crescente e usá-la para convocar os interessados.
Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados
números com cinco algarismos distintos e em nenhum deles
apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver
recebido o número 75913 é:
a) 24
b) 31
c) 32
d) 88
e) 89
57- (UERJ-2021) Em uma reunião, trabalhadores de uma in-
dústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria es-
colhida entre todos os presentes e composta por um presi-
dente, um vice-presidente e um secretário. O número total de
possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes
o número de pessoas presentes nessa reunião. O número de
trabalhadores presentes é:
a) 13
b) 11
c) 9
d) 7
Resolução.
58- (UERJ-2019) Seis times de futebol disputaram um
torneio no qual cada time jogou apenas uma vez contra cada
adversário. A regra de pontuação consistia em marcar 0
ponto para o time perdedor, 3 pontos para o vencedor e, no
caso de empate, 1 ponto para cada time. A tabela mostra a
pontuação final do torneio.
O número de empates nesse torneio foi igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Resolução.
59- (UNICAMP-2024) Terminado o almoço, Ana foi à coz-
inha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida
a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação
dela, instruiu-a da seguinte forma: "Escolha o que quiser,
mas, se você pegar algum pirulito, pegue também alguma
fruta". Na cozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos difer-
entes e 2 pedaços de bolos de sabores diferentes. De quantas
formas Ana poderia escolher seus dois itens?
a) 34.
b) 36.
c) 45.
d) 47.
Resolução.
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60- (ENEM-2023) Uma costureira tem à sua disposição pelo
menos duas unidades de cada um dos quatro tipos de retalhos
retangulares com as estampas e os tamanhos apresentados.
Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm
× 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na
figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem
que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que
pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10
cm × 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm × 10 cm,
sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado
a lado.
Para confeccionar um tapete em formato retangular de 10 cm
× 50 cm, ela utilizará os retalhos, na posição indicada na
figura, costurando um lado de um a um lado do outro, sem
que haja rotações desses retalhos. O modelo de tapete que
pretende confeccionar deverá conter um único retalho de 10
cm × 20 cm e mais três retalhos de formato 10 cm × 10 cm,
sendo que retalhos de mesma estampa não poderão ficar lado
a lado.
Quantos modelos diferentes de tapetes poderão ser confec-
cionados?
a) 12
b) 24
c) 34
d) 48
e) 60
Resolução.
61- (UFAM–2023) A quantidade de números, com três algar-
ismos distintos, que podemos formar com os algarismos 1, 2,
3, 4, 5, 6 e 8, é:
a) 105
b) 330
c) 400
e) 210
e) 540
62- (EsPCEx-SP–2023) A senha de acesso à conta- -corrente
de um banco deve ser composta por quatro algarismos distin-
tos, escolhidos entre os algarismos 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9. Nesse
caso, a quantidade de senhas que têm como último dígito um
algarismo par é
a) 120.
b) 240.
c) 360.
d) 600.
e) 16400.
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63- (UFPR–2023) Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares
para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar
corresponde a um dos lados do hexágono, que estão numer-
ados de 1 a 6, conforme a figura ao lado. Os lados 1 e 4
são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5,
e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos
podem escolher os lugares numerados de modo que nenhum
deles fique sentado ao lado oposto do outro?
a) 48
b) 36
c) 24
d) 12
e) 8
64- (UFRGS-RS) Para colocar preço em seus produtos, uma
empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de
barras formado por cinco colunas separadas por quatro es-
paços. Podem ser usadas colunas de três larguras possíveis
e espaços de duas larguraspossíveis, como no exemplo a
seguir:
O número total de preços que podem ser representados por
esse código é
a) 1440.
b) 2880.
c) 3125.
d) 3888.
e) 4320.
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65- (Albert Einstein) O almoxarifado de uma prefeitura uti-
liza chapas metálicas para identificar bens materiais adquiri-
dos por uma das 8 secretarias municipais. Nas chapas são
gravados códigos com 10 dígitos numéricos, a fim de identi-
ficar o bem em questão.
O esquema apresenta um exemplo dessas chapas.
Dado que o número sequencial de entrada é composto por 4
dígitos e iniciado em 0001 para cada uma das secretarias,
o sistema de codificação permite a essa prefeitura, con-
siderando as 8 secretarias, ao longo de um ano, a codificação
de, no máximo,
a) 8.000 bens.
b) 7.992 bens.
c) 80.000 bens.
d) 989.901 bens.
e) 79.992 bens.
66- (UFAM–2023) Considerando que o conjunto A possui 5
elementos e o conjunto B, 8 elementos, podemos afirmar que
a quantidade de funções injetoras f : A → B que podemos
formar é:
a) 7.200
b) 8.740
c) 6.720
d) 25.900
e) 32.768
67- (UFPR–2023) Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares
para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar
corresponde a um dos lados do hexágono, que estão numer-
ados de 1 a 6, conforme a figura ao lado. Os lados 1 e 4
são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5,
e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos
podem escolher os lugares numerados de modo que nenhum
deles fique sentado ao lado oposto do outro?
a) 48
b) 36
c) 24
d) 12
e) 8
68- (EsPCEx-SP–2023) A senha de acesso à conta corrente
de um banco deve ser composta por quatro algarismos distin-
tos, escolhidos entre os algarismos 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9. Nesse
caso, a quantidade de senhas que têm como último dígito um
algarismo par é
a) 120.
b) 240.
c) 360.
d) 600.
e) 16.400.
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69- (UFRGS-RS) Uma caixa contém 32 esferas numeradas
de 1 a 32. O número de maneiras distintas de retirar 3 esferas
da caixa, ordenadas como primeira, segunda e terceira, em
que a esfera com o número 8 seja pelo menos a terceira a ser
retirada, é
a) 27.
b) 96.
c) 2000.
d) 2018.
e) 2790
70- (PUC-Campinas-SP) Com os elementos do conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, são formados números de três algaris-
mos distintos. A quantidade de números formados cuja soma
dos algarismos é um número par é:
a) 30
b) 36
c) 52
d) 60
e) 72
71- (UFES) Em um grupo de 60 mulheres e 40 homens, exis-
tem exatamente 25 mulheres e 12 homens que tocam algum
instrumento musical. De quantas maneiras podemos formar
uma dupla de um homem e uma mulher de modo que pelo
menos uma das pessoas da dupla toque algum instrumento?
a) 300 b) 720 c) 1 000 d) 1 420 e) 1 720
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3.7 Gabarito.
1. Princípio multiplicativo e aditivo.
1- 18 opções
2- 32 maneiras
3- 30 maneiras
4- 25 possibilidades
5-
a) 64 possibilidades
b) 56 possibilidades
6- 48 maneiras
7- 1440 números
8- D
9- B
10- B
11- E
12- A
13- C
14- A
15- E
16- E
17- B
18- C
19- C
20- B
2. Permutação simples e com elementos repetidos.
1-
a) 120 anagramas
b) 36 anagramas
2- 120 modos
3- 48
4-
a) 5040
b) 1440
5- D
6- 24 números
7- 56 modos
8- 151200 anagramas
9- E
10- 70 maneiras
11- 135135 maneiras
12- E
13- C
14- C
3. Permutação circular.
1-
a) 6
b) 24
c) n!/(n-1)
2- 120 maneiras
3- 12
4- 7
5- C
6- 86400 maneiras
7- A
4. Arranjo simples.
1-
a) 210
b) 20
c) 30240
2- 504 números
3- 360 maneiras
4- 720 manerias
5- 30240 e 100000
6- 60
7- 3
8- A
9- 336 formas
10- B
11- 15120 formas
12- C
5. Combinação simples.
1- 21 tipos
2- 10 triângulos
3- S = {3}
4- B
5- E
6- A
7- 504 escolhas
8- 120 opções
9- 28 combinações
10- 11550 comissões
11- A
12- B
13- B
14- C
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6. Atividades complementares.
1-
a) 90000
b) 27216
c) 6000
d) 9+9.9+9.9.8+9.9.8.7+9.9.8.7.6
e) 10000
f) 9990
g) 9.9.8.1=848
h) 9000
i) 1000
j) 648
k) 234.1.5.14
2-
a) 263.104
b) 26.12.104
3- 2.4.3 = 24
4- 15
5- A
6- D
7- 3.(4.3.2.1)
8- C
9- B
10- C
11- D
12- C
13-
a) 10!
b) 7!
c) 8!
d) 8!.3!
e) 4.3.8! = 12.8!
14-
a) 5!
b) 10!
c) 14!.2
d) 14!
e) 8!.22
f) 8!
g) 70!
h) 10!.60!
i) 61!.10!
15- D
16- 2!.6!.4!=34560
17- B
18- D
19- D
20- A
21- C
22- C
23- B
24- A
25- 0 ou 1
26- C
27- 6
28- D
29- A
30- C
31- B
32- A
33- B
34- E
35- 24
36- B
37- B
38- E
39- B
40- B
41- D
42- C
43- C
44- C
45- C
46- C
47- D
48- D
49- D
50- B
51- A
52- B
53- C
54- D
55- C
56- E
57- D
58- B
59- B
60- E
61- D
62- B
63- A
64- D
65- E
66- C
67- A
68- B
69- D
70- D
71- D
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4 Probabilidade
4.1 Probabilidade de um evento.
Videoaula em breve.
1- Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores
diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela.
Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola
retirada ser azul?
2- No lançamento de um dado não viciado, qual é a proba-
bilidade de obtermos um número maior que 4?
3- No lançamento de dois dados não viciados, qual é a
probabilidade da soma das faces voltadas para cima ser igual
a 7?
4- (FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a
50. Sorteando-se uma bolinha, qual a probabilidade de que o
número observado seja múltiplo de 8?
Resolução.
5- Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de
que todos os três filhos sejam do mesmo sexo?
6- (ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas re-
ceberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é
sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de
1 a 20?
a) 1/100
b) 19/100
c) 20/100
d) 21/100
e) 80/100
Resolução.
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7- (ENEM-2020) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê cer-
tos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a es-
tas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda
antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes
e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de
imposto de renda. Considere que, os idosos, a resti-
tuição seja concedida em ordem decrescente de idade e que,
em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja
decidida por sorteio.
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pes-
soa do grupo a receber sua restituição é igual a
a)
1
12
b)
7
12
c)
1
8
d)
5
6
e)
1
4
Resolução.
8- (Unirio) Joga-se um dado três vezes consecutivas. Qual
a probabilidade de surgirem os resultados a seguir, em qual-
quer ordem?
Resolução.
9- (ENEM-2020) Em uma campanha promocional de uma
loja, um cliente gira uma roleta, conforme a apresentada no
esquema, almejando obter um desconto sobre o valor total
de sua compra. O resultado é o que está marcado na região
apontada pela seta, sendo que todas as regiões são con-
gruentes. Além disso, um dispositivo impede que a seta
venha a apontar exatamente para a linha de fronteira entre
duas regiões adjacentes. Um cliente realiza uma compra e
gira a roleta,