S2_Hidrostatica_forcas_planas_curvas_arquimedes_RF

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HIDRÁULICA I
Mestrado Integrado em Engenharia Civil
Hidrostática (2)
Hidrostática. Impulsões sobre superfícies planas. Impulsões 
sobre superfícies curvas. Princípio de Arquimedes
2
▪ Impulsão hidrostática (ou impulsão)
▪ Impulsão sobre superfícies planas
▪ Impulsão sobre superfícies curvas
▪ Princípio de Arquimedes
Conteúdo da Aula
3
▪ No caso geral, um conjunto de forças de pressão hidrostática distribuídas sobre uma
superfície pode ser substituído por um sistema equivalente constituído por uma força e um
momento (ou binário).
▪ Quando este sistema equivalente pode ser reduzido a uma força única e é possível eliminar o
binário, esta força denomina-se por impulsão hidrostática ou, simplesmente, impulsão, .
▪ Isto só acontece em:
Impulsão hidrostática (ou impulsão)
superfícies planas
(sistemas de forças
paralelas)
calotes esféricas
(sistemas de forças
concorrentes)
corpos imersos ou flutuantes
(forças com resultante
vertical pelo princípio de
Arquimedes)
superfícies cilíndricas delimitadas por
secções planas, normais às geratrizes,
mergulhadas
num único fluido
p. 51
4
▪ Tem uma distribuição de pressões uniforme p em toda a área de contacto com o fluido S
▪ Módulo a força de pressão:
▪ Direção e sentido da força de pressão: 
o normal ao plano, do exterior para o plano.
▪ Ponto de aplicação
o No centroide (centro geométrico) da superfície plana.
Impulsão sobre superfícies planas horizontais

p
Área, S
 = pS
5
▪ a superfície plana de traço AB submersa
num líquido.
▪ o plano que contém a superfície AB interseta
o plano da superfície livre do líquido no eixo
Ox;
▪ estes planos fazem, entre si, um ângulo .
▪ a distância do centroide da superfície AB ao
eixo Ox é y0.
▪ a distância da superfície elementar de área
S a Ox é y
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais

p. 52
6
▪ A pressão na superfície elementar na superfície S é
▪ O módulo da força elementar é
▪ O módulo da impulsão  na superfície AB é (integração)
▪ Atendendo a que a coordenada y0 do centroide da 
superfície AB obedece à condição
▪ vem
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
=d dF p S
= = senp h y  
( ) = d sen dF y S 
( )  = = d sen d
S S
F y S = sen d
S
y S 
fluido homogéneo e incompressível
= 0d
S
y S Sy
 = 0sen y S 
 = 
0
h S ou  = 0p S sendo p0, a pressão no centroide
da superfície e S, a área da 
superfície.
sendo , o peso volúmico do fluido, 
h0, a profundidade no centroide da 
superfície e S, a área da superfície
( )= 0 seny S 
 = F p S vindo
p. 53
7
▪ A determinação da coordenada Y do ponto de aplicação da
impulsão é feita através da igualdade de momentos
provocados, em relação a Ox, pelas pressões que atuam
em S e pela impulsão resultante
▪ Donde vem
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
 =  d
S
Y y F = 
2sen d
S
y S ( )=  sen d
S
y y S 
momento de inércia da superfície 
plana em relação a Ox: Ix
 = senθ xY I
 
 =

sen xIY
 
=
 0
sen
sen
xI
y S
▪ De acordo com o teorema de Lagrange-Steiner, o momento de inércia Ix relaciona-se com o momento de 
inércia da superfície plana em relação ao eixo GG’ que passa pelo centroide e é paralelo ao eixo Ox, IG: 
= + 2
0x GI I Sy
▪ donde +
=
2
0
0
GSy I
Y
Sy
 = +0
0
GIY y
Sy
 =
0
' GIy
Sy
Distância entre o centro de impulsão e o centroide (o centro de impulsão
situa-se abaixo do centroide)
sendo IG, o momento de inercia da superfície plana
em relação a um eixo perpendicular à reta de maior
declive do plano que passa no centroide da
superfície plana
 =
0
xIY
y S
( ) =d sen dF y S
p. 54
8
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
Momentos de inércia IG tabelados
p. 554
9
▪ A distância X do centro de impulsão ao eixo Oy pode ser
determinada recorrendo ao mesmo método – igualdade de
momentos – com que se definiu a distância Y. Vem:
▪ Donde vem
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
▪ No caso de superfícies simétricas em relação a Oy, o produto de
inércia é nulo, pelo que X = 0, ou seja, o centro de impulsão situa-se
no eixo de simetria.
  = = d sen d
S S
X x F xy S
=

0
d
S
xy S
X
Sy
Oy

X
p. 54
10
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
 = 
0
h S sendo , o peso volúmico do fluido, 
h0, a profundidade no centroide da 
superfície e S, a área da superfície
0
0
GIY y
Sy
= +  =
0
' GIy
Sy
sendo IG, o momento de inercia da superfície plana
em relação a um eixo perpendicular à reta de maior
declive do plano que passa no centroide da
superfície plana
p. 53-54
11
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
Caso particular: superfície rectangular com dois lados horizontais
▪ O módulo da força elementar na área elementar S é
▪ O módulo da impulsão  sobre o retângulo é
▪ A impulsão é igual ao produto da largura b do retângulo
pela resultante do diagrama de pressões ao longo da linha
de maior declive. Este diagrama é linear e as pressões nas
extremidades são dadas por p1 = h1 e p2 = h2, assim:
▪ A posição Y do centro de impulsão corresponde,
necessariamente, à posição do centroide do diagrama de
pressões. Demonstra-se que:
 = F p S   =  F pb y
 = = 
2
1
d d
y
S
y
F b p y
( ) ( )

 
  + + −
 = −   =   = −  
  
2 21 2 1 2 2 1
2 1 2 1 
2 2 sen 2sen
p p h h h h b
y y b b h h
( )−
=
+
2
1 2
1 2
'
12
h h
y
h h

Método do diagrama 
de pressões
p. 55
12
Impulsão sobre superfícies planas não horizontais
 = 
0
h S sendo , o peso volúmico do fluido, 
h0, a profundidade no centroide da 
superfície e S, a área da superfície
0
0
GIY y
Sy
= +  =
0
' GIy
Sy
sendo IG, o momento de inercia da superfície plana
em relação a um eixo perpendicular à reta de maior
declive do plano que passa no centroide da
superfície plana
p. 53-54
13
Problema 2.4
14
Problema 2.4 p. 84
20
Exemplo 2.9 p. 64
23
Um recipiente de forma cúbica, fechado, com 1 m de
aresta, contém, até meia altura, um óleo de densidade
0,85, sendo a pressão do gás contido sua metade superior
pg = 7 kPa. Admitindo que a pressão do gás é constante,
determine:
a) A impulsão total sobre uma das faces laterais do
recipiente.
b) A posição do centro de impulsão na mesma face.
Exemplo 2.7 (se houver tempo)
Enunciado
p. 59
24
▪ a) A impulsão total sobre uma das faces laterais.
o A situação descrita traduz-se no diagrama de
pressões indicado
o A pressão na base do recipiente é dada por:
o A impulsão total na face vem:
Exemplo 2.7
Resolução
b g oleo oleop p d h= +    7000 0,85 9800 0,5= +  
11165 Pa=
1 1gp h b =  1 2 = +
1
2
,7000 0 5 1=  
=h1
=h2
2 2
2
g bp p
h b
+
 =   ,
7000 11165
0 5 1
2
+
=   ,4541 25N=
3500 N=
,8041 25N =
25
▪ b) A posição do centro de impulsão
o Para a resolução desta alínea é mais fácil decompor o diagrama de
pressões na parte retangular e triangular indicadas
o A parte rectangular do diagrama de pressões
▪ Impulsão:
▪ Posição do centro de impulsão = centro da face
o A parte triangular do diagrama de pressões
▪ Impulsão (= impulsão total  – impulsão ’)
▪ Posição do centro de impulsão = 1/3 da altura do triângulo
Exemplo 2.7
Resolução
’ = 21
’’
=h1
z0
1' 2 2 3500 7000 N =  =  =
'' ' 8041,25 7000 1041,25 N =  − = − =
o A distância do centro de impulsão ao fundo é obtida por ponderação dos centros de impulsão com
os valores da impulsão associados às áreas retangular e triangular do diagrama de pressões:
' ''
0
' ''
' ''
z z
z    +  
=
 + 

7000 0,5 1041,25 0,5 / 3
8041,25
 + 
= 0,457m=
26
▪ Forças sobre superfícies curvas
▪ Princípio de Arquimedes
▪ Impulsão sobre um corpo mergulhado na interface de dois líquidos 
Superfícies curvas e princípio de Arquimedes
27
▪ Para determinar o módulo e a linha de ação da impulsão sobre uma
superfície curva é conveniente calcular primeiro as respetivas
componentes vertical e horizontal e adicioná-lasvectorialmente.
▪ Considere-se a superfície AB que verifica a condição de bijeção
com as respetivas projeções vertical, Sv, e horizontal, Sh
Analise-se a superfície elementar de área S
▪ Esta superfície é atuada pela uma força de pressão: 
▪ A componente horizontal desta força é:
em que é área da projeção da superfície S no plano 
vertical.
▪ Na área infinitesimal Sv atua a força:
Impulsão sobre superfícies curvas
Sv
Sh
h
v
 =  F h S
( ) =    =  senh VF h S h S
 =  senvS S
= d dh vF h S
Componentes horizontal e vertical
p. 61
28
▪ O módulo da componente horizontal da impulsão é o integral de dFh
na totalidade da superfície AB
▪ Esta equação mostra que componente horizontal da impulsão numa 
superfície curva é igual:
o à impulsão na superfície vertical projetada Sv:
o ou seja, ao produto da pressão no centroide 
da superfície projetada pela respetiva área: 
Impulsão sobre superfícies curvas
Sh
 =  dh hS
F  =  dh vS
h S
 constante
p=hA
 =  0h vh S
sendo h0 é a distância entre a superfície
livre e o centroide da superfície plana
vertical projetada e Sv é a respetiva área.
 = 0h vp S
 = 
vh S
 =  dh vS
h S
= d dh vF h S
Sv
Sv
Componente horizontal
Sv
Sv
0
h0
y'
CI
p=hB
p. 62
29
▪ Esta equação mostra que componente horizontal da impulsão numa 
superfície curva é igual:
o à impulsão na superfície vertical projetada Sv:
▪ Sendo Sv a área da superfície projetada plana, a linha de ação 
da componente horizontal da impulsão pode ser obtida por 
Impulsão sobre superfícies curvas
Sh
p=hA
Sv
Sv
Componente horizontal
=
0
' GIy
Sy
Sv
Sv
0
h0
y'
CI
substituindo S por Sv e y0 por h0.
p=hB
 =  0h vh S
p. 62
30
Impulsão sobre superfícies curvas
Componente vertical
▪ O módulo da componente vertical da força elementar de pressão é:
o sendo a área da secção transversal do prisma de líquido situado 
acima da superfície elementar de área S
▪ Como o volume do prisma elementar é =hSh, tem-se
▪ O módulo da componente vertical da impulsão é dado por:
( ) =    =  cosv hF h S h S
 =  coshS S
 =  v hF h S  = vF

 =   = v d em que  é o volume situado por cima da superfície curva (i.e., o volume
limitado pela superfície curva, pelas geratrizes verticais definidas ao longo
do contorno da superfície curva e pela superfície livre do líquido)
Sh
v
0CI
p. 63
31
Impulsão sobre superfícies curvas
Componente vertical
▪ O módulo da componente vertical da impulsão é dado por:
▪ O valor da componente vertical da impulsão é igual ao volume situado
verticalmente entre a superfície livre e a superfície AB multiplicado pelo
peso volúmico do líquido.
▪ A sua linha de ação passa pelo centroide do referido volume de líquido
(se líquido único) ou no centro de gravidade do volume (se vários
líquidos).

 =   = v d
em que  é o volume situado por cima da superfície curva (i.e., o volume
limitado pela superfície curva, pelas geratrizes verticais definidas ao longo
do contorno da superfície curva e pela superfície livre do líquido)
Sh
v
0CI
p. 63
32
Problema 2.7
33
Problema 2.7
38
▪ Sempre que não se verifique a condição de bijeção entre uma superfície curva e as respetivas 
projeções, a superfície curva deve ser decomposta em trechos que verifiquem aquela condição, nos 
quais se aplicam os resultados aqui obtidos. 
▪ A impulsão sobre a superfície resulta da soma vetorial das impulsões parcelares
Impulsão sobre superfícies curvas
Componentes horizontal e vertical
Exemplo 2.11
Há pontos da 
superfície projetada 
que têm dois pontos 
associados da 
superfície curva
Divisão da superfície em duas partes, de modo 
que cada uma verifique a condição de bijecção
p. 64
39
Problema 2.6
40
Problema 2.6 p. 85
43
▪ O princípio de Arquimedes estabelece que um corpo imóvel
completamente mergulhado num fluido homogéneo recebe deste uma
impulsão vertical, de baixo para cima, igual ao peso do volume de fluido
deslocado.
Princípio de Arquimedes
 = 

 = G

G
’ = G 
G
Três situações de equilíbrio 
G
são as indicadas na figura. Determine:
a) O valor da impulsão total na tampa circular.
b) A densidade mínima do corpo cúbico para que a tampa se encontre
em equilíbrio estático
Problema 2.10
Enunciado
53
Outros problemas
54
Problema 2.9
55
O cilindro retém uma massa de água parada com altura
h = r = 2 m.
(a) Calcule a força, F, por unidade de comprimento a
aplicar no eixo do cilindro para que este não se desloque
horizontalmente por rolamento.
(b) Calcule a densidade mínima do cilindro para que este
não se desloque verticalmente.
Problema 2.9
Enunciado
= = 2h r
56
a) Cálculo da força, F, por unidade de comprimento
o A impulsão horizontal no cilindro (por unidade de
comprimento) é:
o Admite-se que no ponto onde o cilindro assenta no
pavimento apenas existe reação vertical.
o As únicas forças horizontais a que o cilindro está
sujeito nesta situação são a impulsão horizontal e a
força F.
o Por equilíbrio das forças horizontais,
Problema 2.9
Resolução
 =  0h vh S ( )=   9800 1
2
h
h ( )=   9800 1
2
h
h = = 2h r
=19600 N
h
0HF =
+
19 600 NhF =  =0hF − =
N
H=0
57
b) Cálculo da densidade mínima do cilindro, dmin, para
que este não se desloque verticalmente.
o A impulsão vertical no cilindro (por unidade de
comprimento) é:
sendo  o volume de líquido situado por cima da
superfície curva
o O peso do cilindro é
Problema 2.9
Resolução
= = 2h r
c cG =   ( )2 1cd r=    123 150,4 Ncd=
G
v
v =  ( ) 
= 
2 1
4
r 
= 
22
9800
4
= 30 787,6 N
o Na situação limite (associada a dmin), a reação normal é nula.
o Por equilíbrio de forças verticais, tem-se:
0vF =+
min30 787,6 123 150,4 0d− =0v G − =
min 0,25d =
N=0
	Slide 1: Hidrostática (2)
	Slide 2: Conteúdo da Aula
	Slide 3: Impulsão hidrostática (ou impulsão)
	Slide 4: Impulsão sobre superfícies planas horizontais 
	Slide 5: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 6: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 7: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 8: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 9: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 10: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 11: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 12: Impulsão sobre superfícies planas não horizontais 
	Slide 13
	Slide 14: Problema 2.4
	Slide 20: Exemplo 2.9
	Slide 23: Exemplo 2.7 (se houver tempo)
	Slide 24: Exemplo 2.7
	Slide 25: Exemplo 2.7
	Slide 26: Superfícies curvas e princípio de Arquimedes
	Slide 27: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 28: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 29: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 30: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 31: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 32
	Slide 33: Problema 2.7
	Slide 38: Impulsão sobre superfícies curvas
	Slide 39
	Slide 40: Problema 2.6
	Slide 43: Princípio de Arquimedes
	Slide 44: Princípio de Arquimedes
	Slide 45: Princípio de Arquimedes
	Slide 46: Princípio de Arquimedes
	Slide 47: Princípio de Arquimedes
	Slide 48
	Slide 49: Problema 2.10
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55: Problema 2.9
	Slide 56: Problema 2.9
	Slide 57: Problema 2.9