2 Cinemátic de ponto material-Movimento Curvilíneo

Prévia do material em texto

2. CINEMÁTICA DE UM PONTO 
MATERIAL 
 
Movimento Curvilíneo 
(Movimento em duas dimensões e três dimensões) 
terça-feira, 17 de março de 2025 1 
MSc. Fernando Tacho 
terça-feira, 17 de março de 2025 2 
Tópicos 
 2.1 Introdução 
 2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração; 
 2.3. Movimento com aceleração constante 
 2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis; 
 2.5 Caso especial 2: movimento circular; 
 2.6 Aceleração tangencial e normal no movimento circular. 
 
 
terça-feira, 17 de março de 2025 3 
2.1 Introdução 
 
Na aula anterior foi estudado o movimento de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta. Esta 
aula trata da cinemática de uma partícula movendo-se em duas dimensões ou numa trajetória curvilinea. O 
estudo do movimento bidimensional permite analisar uma ampla variedade de movimentos, desde o 
movimento de satélites em órbita até o movimento de elétrons em um campo elétrico uniforme. 
O estudo do movimento bidimensional será analisado usando a natureza vetorial do deslocamento, 
velocidade e aceleração. As equações cinemáticas para o movimento bidimensional serão obtidas a partir das 
definições fundamentais dessas três quantidades. 
Dois casos especiais de movimento em duas dimensões serão estudados: o movimento de projéteis e o 
movimento circular uniforme. 
terça-feira, 17 de março de 2025 4 
A descrição da posição de uma partícula é feita pelo seu vetor posição 𝑟 , traçado desde a origem de algum 
sistema de coordenadas até a partícula localizada no plano xy (figura 1). 
2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
Figura 1 Uma partícula se movendo no plano xy está 
localizado com a posição vetor r extraído da origem para a 
partícula. 
À medida que a partícula se move de A para B no intervalo 
de tempo ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0, seu vetor posição muda de 𝑟 0 para 𝑟 
Dado que o deslocamento é um vetor, e o deslocamento da 
partícula é a diferença entre sua posição final e sua posição 
inicial, tém-se: 
∆𝑟 = 𝑟 − 𝑟 0 Eq. 1 
Posição e Deslocamento 
Onde 𝑟 no plano xy pode ser escrito: 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
Eq. 2 
𝑣 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟 
∆𝑡
 
Muitas vezes é útil quantificar o movimento fazendo a razão entre um deslocamento e intervalo de tempo 
durante o qual esse deslocamento ocorreu, conhecido como velocidade média e é expresso por: 
A velocidade média é uma grandeza vetorial direcionada ao longo de ∆𝑟 . 
A velocidade média entre os pontos é 
independente do caminho percorrido. A velocidade 
média é proporcional ao deslocamento, que 
depende apenas dos vetores de posição inicial e 
final e não do caminho percorrido 
Eq. 3 
Velocidade média 
2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟 
∆𝑡
 
No movimento curvilíneo, a velocidade instantânea é um vector tangente à trajectória, e é definido 
como o limite da velocidade média: 
𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
 
Ou seja, a velocidade instantânea é igual à derivada do vetor posição em 
relação ao tempo. A direção do vetor velocidade instantânea em 
qualquer ponto da trajetória de uma partícula é ao longo de uma 
linha tangente à trajetória naquele ponto e na direção do 
movimento (figura 2). 
Figura 2 Uma partícula se move de posição em 
posição. Seu vetor velocidade muda de vi para vf 
Eq. 4 
Velocidade instantânea 
2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
 𝑣 no plano xy pode ser escrito: 𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 
Eq. 5 
À medida que uma partícula se move de um ponto a outro ao longo de alguma trajetória, seu vetor 
velocidade instantânea muda de 𝑣 0 no instante 𝑡0 para 𝑣 no instante 𝑡. Conhecendo a velocidade nestes 
pontos permite determinar a aceleração média da partícula: 
𝑎 𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑣 
∆𝑡
 
O módulo varia porque a velocidade da partícula pode 
aumentar ou diminuir. 
A direcção da velocidade varia porque a velocidade é tangente 
`a trajectória, que esta continuamente se curvando. 
 
Fig. 3 – Aceleração no movimento curvilíneo 
Eq. 6 
No movimento curvilíneo, a velocidade varia tanto em módulo como em 
direcção. 
Aceleração média 
2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
Quando a aceleração média de uma partícula muda durante diferentes intervalos de tempo, é útil definir sua 
aceleração instantânea que é definido como o valor limite da aceleração média quando t se aproxima de zero: 
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣 
∆𝑡
 𝑎 =
𝑑𝑣 
𝑑𝑡
 
Em outras palavras, a aceleração 
instantânea é igual à derivada do 
vetor velocidade em relação ao 
tempo. 
É importante reconhecer que várias mudanças podem ocorrer quando uma partícula acelera. Tanto a 
magnitude quanto a a direção do vetor velocidade pode mudar simultaneamente 
Eq. 7 
Aceleração instantânea 
2.2 Deslocamento, Velocidade e Aceleração 
 𝑎 no plano xy pode ser escrito: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 Eq. 8 
𝑣 = 𝑣 0 + 𝑎 𝑡 
𝑟 = 𝑟 0 + 𝑣 0𝑡 +
1
2
𝑎 𝑡2 
As equações da cinemática ou funções de vector posição 𝑟 e velocidade 𝑣 são expressas de acordo: 
Eq. 9 
Eq. 10 
2.3. Movimento com aceleração constante 
Uma partícula parte da origem em 𝑡 = 0 com uma velocidade inicial tendo uma componente x de 20 𝑚/𝑠 e 
uma componente y de − 15𝑚/𝑠. A partícula se move no plano xy com uma componente x apenas de 
aceleração, dada por 𝑎𝑥 = 4,0 𝑚 𝑠2 . Determine 
(a) As componentes do vetor velocidade a qualquer instante e o vetor velocidade total em qualquer 
instante. 
(b) A velocidade da partícula em t igual a 5,0 segundos. 
(c) Determine as coordenadas x e y da partícula em qualquer instante t e o vetor posição neste instante. 
2.3. Movimento com aceleração constante 
Exemplo 
terça-feira, 17 de março de 2025 11 
Objetos LANÇADOS AO AR geralmente realizam um movimento designado por movimento de projétil. 
O corpo se move em uma trajetória curva e seu movimento é simples de analisar fazendo duas suposições: 
 A aceleração de queda livre g é constante ao longo da amplitude de movimento 
e é direcionada para baixo, 
 
 O efeito da resistência do ar é insignificante. 
Com essas suposições, descobre-se que a trajetória de um projétil é sempre uma parábola. 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
Introdução 
12 
A expressão vetorial para o vetor posição do projétil em função do tempo, com 𝑟 0 e 𝑎 = 𝑔 é: 
𝑟 = 𝑣 0𝑡 +
1
2
𝑔 𝑡2 
Esta expressão está representada graficamente na Figura 4. 
Figura 4 o vetor posição 
do projétil 
Eq. 11 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
13 
O movimento do projétil é a superposição de dois movimentos: 
(1) movimento de velocidade constante na direção horizontal, e 
 
(2) movimento de queda livre na direção vertical. 
Com exceção de t, o tempo de voo, os componentes horizontais e verticais do movimento de um projétil 
são completamente independentes um do outro. 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
14 
A figura 5 representa um projétil disparado da origem em 𝑡0 = 0 com uma componente 𝑣0𝑦 positiva, como 
mostra a Figura 5. Dois pontos são especialmente interessantes de analisar: 
 
Figura 5 pontos interessantes de analisar 
num projectil. 
A distância R é chamada de alcance horizontal do projétil, e a 
distância h é sua altura máxima 
 O ponto de pico , que possui coordenadas cartesianas 
(R/2, h), 
 
 e o ponto , que possui coordenadas (R, 0) 
A 
B 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
Alcance horizontal e altura máxima de um projétil 
15 
Determinar-se o h observando que no pico, 𝑣𝑦𝐴 = 0. Primeiro é determinado o tempo 𝑡𝐴 que o projétil leva 
para atingir o pico: 
Usando expressão tA e substituindo na expressão de função posição y(t) e substituindo y por h, obtem-se 
uma expressão para h em termos da magnitude e direção do vetor velocidade inicial: 
Eq. 12 
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦𝑡 
0 = 𝑣0 sin 𝜃0 − 𝑔𝑡𝐴 
 
𝑡𝐴 =
𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
 
ℎ = 𝑣0 sin 𝜃0
𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
− 1
2𝑔
𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
2
 
ℎ =
𝑣0
2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃0
𝑔
 
2.4 Caso especial 1: movimentode projécteis 
Alcance horizontal e altura máxima de um projétil 
16 
O alcance R é a distância horizontal que o projétil percorre no dobro do tempo que leva para atingir seu pico, 
ou seja, em um tempo 𝑡𝐵 = 2𝑡𝐴 
Usando função de posição x e observando que 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑥𝐵 = 𝑣0 cos 𝜃0 e fixando 𝑅 ≡ 𝑥𝐵, em 𝑡 = 2𝑡𝐴 tem se: 
Usando a identidade sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 escrevemos R na forma mais compacta 
Eq. 13 
𝑅 = 𝑣0𝑥𝑡𝐵 = 𝑣0 cos 𝜃0 2𝑡𝐴 
 
= 𝑣0 cos 𝜃0
2𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
=
2𝑣0
2 sin 𝜃0 cos 𝜃0
𝑔
 
𝑅 =
𝑣0
2 sin 2𝜃0
𝑔
 
Alcance horizontal e altura máxima de um projétil 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
17 
As Equações 12 e 13 são úteis para calcular h e R somente se 𝑣0 e 𝜃0 forem conhecidos (o que significa que 
apenas 𝑣0 precisa ser especificado) e se o projétil cair na mesma altura de onde partiu como na Figura 5. 
A Figura 3 ilustra várias trajetórias para um projétil com 
uma determinada velocidade inicial, mas lançado em ângulos 
diferentes. 
A Figura 6 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
Alcance horizontal e altura máxima de um projétil 
Um saltador em distância deixa o solo a um ângulo de 20,0° acima da horizontal e a uma 
velocidade de 11,0 m/s. 
 
(a) Que distância ele salta na direção horizontal? (Suponha que seu movimento seja equivalente 
ao de uma partícula.) 
 
(a) Qual é a altura máxima atingida? 
18 
2.4 Caso especial 1: movimento de projécteis 
Problema 
terça-feira, 17 de março de 2025 19 
A Figura 7 mostra um carro movendo-se em uma trajetória circular com módulo de velocidade linear 
constante. Esse movimento é chamado de movimento circular uniforme. Como a direção do movimento do 
carro muda, o carro tem uma aceleração. 
Para qualquer movimento, o vetor velocidade é tangente à trajetória. 
Figura 7movimento circular uniforme 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
Introdução 
 
terça-feira, 17 de março de 2025 20 
Conseqüentemente, quando um objeto se move em uma trajetória circular, seu vetor velocidade é 
perpendicular ao raio do círculo. 
Vetor aceleração em movimento circular uniforme é sempre perpendicular à trajetória e sempre aponta em 
direção ao centro do círculo. Uma aceleração desta natureza é chamada de aceleração centrípeta (em busca do 
centro), e sua magnitude é 
onde r é o raio do círculo e a notação 𝑎𝑟 é usada para indicar que a aceleração centrípeta ocorre ao longo da 
direção radial. 
Assim, concluí-se que no movimento circular uniforme, a aceleração é direcionada para o centro do círculo 
e tem módulo dado por 𝑣2/𝑟, onde v é a velocidade da partícula e r é o raio do círculo. 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
Eq. 14 𝑎𝑟 =
𝑣2
𝜌
 
terça-feira, 17 de março de 2025 21 
A Figura 8 mostra uma partícula movendo-se ao longo de uma trajetória curva onde a velocidade muda tanto 
em direção quanto em magnitude ou seja movimento não uniforme. 
Como sempre acontece, o vetor velocidade é 
tangente à trajetória, mas agora a direção do vetor 
aceleração a muda de ponto a ponto 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
ACELERAÇÃO TANGENCIAL E RADIAL 
terça-feira, 17 de março de 2025 22 
Este vetor pode ser resolvido em dois vetores componentes: um vetor componente radial 𝑎𝑟 e um vetor 
componente tangencial 𝒂𝒕. Assim, 𝑎 pode ser escrito como a soma vetorial desses vetores componentes: 
A aceleração tangencial causa a mudança na velocidade da partícula. É paralelo à velocidade instantânea e seu 
módulo é 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
Eq. 15 
Eq. 16 𝑎𝑇 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
terça-feira, 17 de março de 2025 23 
A aceleração radial surge da mudança na direção do vetor velocidade e tem uma magnitude absoluta dada por 
onde r é o raio de curvatura do caminho no ponto em questão. Como 𝑎𝑟 e 𝒂𝒕 são vetores componentes 
mutuamente perpendiculares de a, segue-se que 
o movimento circular uniforme é um caso especial de movimento ao longo de uma trajetória curva 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
Eq. 17 𝑎 = 𝑎𝑇
2 + 𝑎𝑁
2 
Cada componente de aceleração têm o seu significado. 
Quando a partícula se move, o módulo da velocidade pode variar, essa variação esta relacionada com a 
aceleração tangencial. A direção da velocidade também varia e essa variação está relacionada com a 
aceleração normal. 
Variação no módulo da velocidade: Aceleração Tangencial 
Variação na direção da velocidade: Aceleração Normal 
Tem-se 
𝑎 = 𝑢𝑇
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑢𝑁
𝑣2
𝜌
 
onde 𝜌 é o raio de curvatura 
Eq. 9 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
O primeiro termo da eq. 9 é um vector tangente à curva e é proporcional à variação no tempo do 
módulo da velocidade. Esse termo corresponde a aceleração tangencial. O segundo termo é um vector 
normal à curva e corresponde à aceleração normal. Esse termo está relacionado com a variação em 
direção 
O módulo da aceleração é dado por 
𝑎 = 𝑎𝑇
2 + 𝑎𝑁
2 = (𝑑𝑣/𝑑𝑡)2+(𝑣4/𝜌2) Eq. 12 
Se o movimento curvilíneo é uniforme (módulo de velocidade constante), não há aceleração tangencial, 
ou seja, 𝑎𝑇 = 0 
Por outro lado, se o movimento é rectilíneo (a direção da velocidade não varia) Não há aceleração 
normal, ou seja, 𝑎𝑁 = 0 de modo que o raio da curvatura é Infinito. 
2.5 Caso especial 2: movimento circular 
• Halliday e Resnick. (2009). Fundamentos de Física, Mecânica (8a ed., Vol. 1). Rio de Janeiro, Brazil: LTC; 
 
• Sears & Zemansky.(2009). Física I, Mecânica (12a ed.). São Paulo, Brazil: Addison Wesley; 
 
• Tipler, P., Mosca, G. (2006). Física para Cientistas e Engenheiros, Mecânica, Oscilações e Ondas, 
Termodinâmica (6a ed., Vol. I). Rio de Janeiro, Brazil: LTC; 
 
• Knight, Randall D.(2009). Mecânica Newtoniana, Gravitação e Oscilações e Onda (2ª ed., Vol. 1). Porto 
Alegre, Brazil:Bookman 
Bibliografia