Cap 09 - Cinemática Vetorial

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CAPÍTULO
9Cinemática vetorial
Cinemática vetorial 161
1. Vetor deslocamento
2. Velocidade vetorial 
média
3. Velocidade vetorial 
instantânea
4. Aceleração vetorial 
média
5. Aceleração vetorial 
instantânea
1. Vetor deslocamento
Consideremos uma partícula mo-
vendo-se em uma trajetória qualquer. 
Na Cinemática escalar determinamos a 
posição da partícula pela sua abscissa 
s; na Cinemática vetorial determina-
mos a posição da partícula através de 
seu vetor posição p (fi g. 1). O vetor 
posição da partícula, em um instante 
t, é um vetor que tem origem em um 
ponto O (arbitrariamente escolhido) e 
extremidade no ponto onde se encon-
tra a partícula. 
Sejam s
1
 e s
2
 as abscissas da par-
tícula nos instantes t
1
 e t
2
, respectiva-
mente (com t
2
 > t
1
), e sejam p
1
 e p
2
 os 
vetores posição da partícula nos mes-
mos instantes. Na Cinemática escalar 
defi nimos a variação de abscissa Δs por 
Δs = s
2
 – s
1
. Na Cinemática vetorial de-
fi nimos o vetor deslocamento (d ) da 
partícula entre os instantes t
1
 e t
2
 por:
d = p
2
 – p
1
 
isto é, o vetor deslocamento é o vetor representado pelo segmento orientado cuja 
origem é a extremidade do vetor p
1
 e cuja extremidade é a extremidade do vetor p
2
 
(fi g. 2).
Observando a fi gura 2, percebemos que:
|Δs| ⩾ |d|
O caso |Δs| = |d| ocorre quando a trajetória é retilínea (fi g. 3) ou quando Δs = 0.
p
O
s
t
Figura 1.
d
Δs
p
1
p
2
O
s
1
t
1
t
2
s
2
Figura 2.
d
s
1
s
2
Δs
Figura 3. Quando a trajetória é retilínea, 
temos |Δs| = |d|.
IL
u
ST
R
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
Capítulo 9162
2. Velocidade vetorial média
Na Cinemática escalar, definimos a velocidade escalar média v
m
 por:
v
m
 = 
Δs
Δt
Na Cinemática vetorial, definimos a velocidade vetorial média v
m
 por:
v
m
 = 
d
Δt
Como Δt > 0, o vetor v
m
 deve ter a mesma direção e o mesmo sentido de d (fig. 4), 
desde que d ≠ 0.
Vimos no item anterior que: |Δs| ⩾ |d|
Dividindo os dois membros por Δt, obtemos: 
|Δs|
Δt
 ⩾ 
|d|
Δt
 
ou:
|v
m
| ⩾ |v
m
|
isto é:
O módulo da velocidade escalar média é maior ou igual ao módulo da velocidade 
vetorial média, num mesmo intervalo de tempo.
v
m
d
Figura 4.
Exercícios de Aplicação
1. Uma partícula move-se sobre uma superfície 
plana horizontal. Ela parte de um ponto A, move- 
se 3,0 m para o norte, em trajetória retilínea, e, 
em seguida, move-se 4,0 m para o leste, também 
em trajetória retilínea, gastando 10 segundos 
nessa viagem. Calcule os módulos:
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
Resolu•‹o:
a) A partícula sai do ponto A (veja a figura) 
e move-se 3,0 m para o norte, atingindo o 
ponto B. A seguir move-se 4,0 m para o leste, 
atingindo o ponto C.
B
A
C
4,0 m
3,0 m
v
m
d
 
LO
N
S
|Δs| = 3,0 + 4,0
|Δs| = 7,0 m
b) |d|2 = (3,0)2 + (4,0)2 = 25
|d| = 5,0 m
c) |v
m
| = 
|Δs|
Δt
 = 
7,0
10
|v
m
| = 0,70 m/s
d) |v
m
|
 = 
|d|
Δt = 
5,0
10
|v
m
| = 0,50 m/s
2. Uma partícula move-se em linha reta com veloci-
dade escalar constante e igual a 5,0 m/s. Para um 
intervalo de tempo Δt = 4,0 segundos, calcule os 
módulos:
Cinemática vetorial 163
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
3. Uma partícula move-se com velocidade escalar 
constante sobre uma circunferência de raio 
R = 20 m, gastando 12 segundos para completar 
uma volta. Para um intervalo de tempo Δt = 2,0 s, 
calcule os módulos:
a) da distância percorrida; 
b) do vetor deslocamento; 
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.
Exercícios de Reforço
4. (UF-MA) Partindo de um ponto A (figura a 
seguir) um menino anda, passando pelos pontos 
B, C, D, B e E, onde para. 
C
20 m 20 m
40 m40 m
30 m
30 m
D
E
B
A
O caminho percorrido e o módulo do vetor deslo-
camento são, respectivamente, iguais a:
a) 150 m e 30 m d) 160 m e 30 m
b) 150 m e 20 m e) 180 m e 20 m
c) 160 m e 20 m
5. Uma partícula tem trajetória circular de raio 
R = 2,0 m. Num certo intervalo de tempo Δt, a 
partícula executa um quarto de volta. Para esse 
intervalo de tempo calcule o módulo do vetor 
deslocamento.
6. Uma partícula percorreu em dois segundos a tra-
jetória ABCD da figura a seguir. 
1 cm
C D
BA
1 cm
Para esse percurso calcule os módulos da:
a) velocidade escalar média;
b) velocidade vetorial média.
7. Uma pedra é lançada verticalmente para 
cima, a partir do solo, com velocidade ini-
cial 40 m/s, num local onde g = 10 m/s2. 
Calcule o módulo da velocidade vetorial média 
da pedra para o intervalo de tempo que vai do 
instante de lançamento até o instante em que a 
pedra volta ao solo.
3. Velocidade vetorial instantânea
Na Cinemática escalar definimos a velocidade escalar instantânea (v) por:
v = lim
Δt→0
 
Δs
Δt
Agora definiremos a velocidade vetorial instant‰nea (v) por:
v = lim
Δt→0
 
d
Δt
Assim, se quisermos calcular a velocidade vetorial instantânea de uma partícula 
quando esta passa por um ponto P, devemos tomar outro ponto Q da trajetória, de-
Capítulo 9164
v
2
v
1
|v
1
| = |v
2
|, mas
v
1
 ≠ v
2
Figura 8.
terminar o deslocamento entre P e Q e fazer Q tender a P. Mas é fácil 
perceber que quando isso ocorre (fig. 5) a direção de d aproxima-se da 
direção da reta tangente à trajetória no ponto P. Portanto, a direção da 
velocidade vetorial instantânea é a da tangente à trajetória no ponto 
considerado (fig. 6). O sentido será o mesmo do movimento.
Outro fato importante é que, para Δt → 0, teremos |Δs| → |d|. Assim: 
lim
Δt→0
 
|Δs|
Δt
 = lim
Δt→0
 
|d|
Δt
 ou |v| = |v|, isto é:
O módulo da velocidade vetorial instantânea é igual ao 
módulo da velocidade escalar instantânea.
Lembremos que para as velocidades médias a conclusão é diferente 
(como vimos no item anterior): 
|v
m
| ⩾ |v
m
|
Resumindo:
 
A velocidade vetorial instantânea tem as seguintes características:
•	direção: a reta tangente à trajetória no ponto considerado;
•	sentido: o mesmo do movimento;
•	módulo: igual ao módulo da velocidade escalar instantânea.
P
Q
3
Q
2
Q
1
reta tangente
em P
sentido
do
movimento
d
3
d
2
d
1
Figura 5.
P
reta tangente
em P
sentido
do
movimento
v
Figura 6.
ObsERVAçõEs
1ª. ) Quando se fala em velocidade 
vetorial e não se esclarece 
se é média ou instantânea, 
admite-se que se trata da 
instantânea.
2ª. ) Quando se fala em velocidade 
e não se dá nenhuma outra 
informação, admite-se que se 
trata da velocidade vetorial.
Alguns casos particulares
Movimento retilíneo uniforme
Como a trajetória é retilínea, a velocidade vetorial terá 
sempre a mesma direção. Como o movimento é uniforme, a 
velocidade vetorial terá sempre o mesmo módulo e sentido 
(fig. 7).
Podemos então dizer que, nesse caso, a velocidade veto-
rial é constante.
Movimento circular e uniforme
Como a trajetória é circular, a direção da velocidade ve-
torial não é constante; mas, como o movimento é unifor-
me, o módulo da velocidade é constante. Podemos então 
dizer que, nesse caso, a velocidade vetorial é variável, 
pois muda a direção da velocidade, embora o módulo fique 
constante (fig. 8).
Figura 7.
v
1 trajetóriav
2 |v
1
| = |v
2
|
v
1
 = v
2
Cinemática vetorial 165
Movimento retilíneo uniformemente acelerado
Pelo fato de a trajetória ser retilínea, a direção da velocidade vetorial é constante. 
Como o movimento é acelerado, o módulo da velocidade vetorial aumenta sempre e o 
sentido se mantém constante (fig. 9).
v
1 trajetóriav
2
|v
1
| ≠ |v
2
|
v
2
 ≠ v
1
Figura 9.
Movimento retilíneo uniformemente retardado
Como a trajetória é retilínea, a direção de v se mantém constante. Pelo fato de o 
movimento ser retardado, o módulo de v diminui. O sentido permanece constante (fig. 
10).
v
2 trajetóriav
1
|v
1
| ≠ |v
2
|
v
1
 ≠ v
2
Figura 10.
Movimento circular uniformemente acelerado
Nessecaso variam tanto o módulo como a direção da velocidade vetorial, conforme 
podemos observar na figura 11.
v
1
v
2
Figura 11.
Exercícios de Aplicação
8. Consideremos um movimento retilíneo e uniforme 
com velocidade escalar v = 2,0 m/s. Assinale ver-
dadeiro (V) ou falso (F) nas seguintes sentenças:
a) A velocidade vetorial é constante em módulo, 
mas tem direção variável.
b) A velocidade vetorial é constante.
9. Consideremos um movimento circular e unifor-
me com velocidade escalar constante v = 3 m/s. 
Assinale verdadeiro ou falso nas seguintes sentenças:
a) A velocidade vetorial é constante.
b) A velocidade vetorial é constante em módulo.
c) A velocidade vetorial é variável em direção.
10. No movimento retilíneo uniformemente acelerado 
temos:
a) A velocidade é constante em módulo.
b) A velocidade é constante em direção.
c) A velocidade varia em direção.
11. No movimento circular uniformemente acelerado 
temos:
a) A velocidade é constante em módulo.
b) A velocidade é constante em direção.
c) A velocidade varia em direção e módulo.
4. Aceleração vetorial média
Consideremos uma partícula que tem velocidade vetorial v
1
 no instante t
1 
e veloci-
dade vetorial v
2
 no instante t
2
 (com t
2
 > t
1
). A acelera•‹o vetorial mŽdia da partícula 
(a
m
) entre os instantes t
1
 e t
2
 é definida por:
a
m
 = 
Δv
Δt
 = 
v
2
 – v
1
t
2
 – t
1
Capítulo 9166
Exercícios de Reforço
14. (FEI-SP) A velocidade v de um móvel em função 
do tempo acha-se representada pelo diagrama 
vetorial da figura. A intensidade da velocidade 
inicial é v
0
 = 20 m/s. 
v
0
t = 0
t = 8 s
t = 2 s
t = 4 s
t = 6 s
0
30°
Determine o módulo da aceleração vetorial média 
entre os instantes t = 0 e t = 8 s.
15. Uma partícula tem movimento circular e unifor-
me sobre uma circunferência de raio R = 4,0 m, 
com velocidade escalar 8,0 m/s. Calcule:
a) o módulo da aceleração escalar;
b) o módulo da aceleração vetorial média para 
um intervalo de tempo em que a partícula 
percorre 
1
4
 de volta;
c) o módulo da aceleração vetorial média para 
um intervalo de tempo em que a partícula 
percorre meia volta.
12. Uma partícula move-se em trajetória circular, 
com velocidade escalar constante e igual a 
4,0 m/s, dando uma volta a cada 12 segundos. 
Calcule o módulo da aceleração vetorial média 
para um intervalo de tempo Δt = 2,0 s.
13. Uma partícula move-se sobre uma circunferência, 
de modo que no instante t
1
 = 7, 0 s sua velocidade 
Consideremos uma partícula em movimento circular uniforme de velocidade escalar 10 m/s, dando uma volta a cada 
8,0 segundos. Como a velocidade escalar é constante, a aceleração escalar é nula; no entanto, dependendo do intervalo de 
tempo considerado, a aceleração vetorial média pode ser não nula. 
Tomemos, por exemplo, o intervalo de tempo Δt, em que a partícula dá 1
4
 de volta (fig. 
12); como a volta toda é completada em 8,0 segundos, para 1
4
 de volta teremos Δt = 2,0 
segundos. Nesse intervalo de tempo, a velocidade vetorial inicial (v
1
) e a velocidade vetorial final 
(v
2
) são perpendiculares (fig. 13) e teremos:
|v
1
| = |v
2
| = 10 m/s
Determinemos a seguir a variação da velocidade vetorial (Δv ):
Δv = v
2
 – v
1
|Δv |2 = |v
1
|2 + |v
2
|2 = 102 + 102 = 200
|Δv | = 200 ⇒ |Δv | = 10 2 m/s
Podemos agora obter a aceleração vetorial média a
m
 = Δv
Δt
, 
que tem a mesma direção de Δv (fig. 14).
|a
m
| = 
|Δv |
Δt
 = 
10 2
2,0
 ⇒ |a
m
| = 5 2 m/s2
Exemplo
v
1
v
2
Figura 12.
Δv
v
1
v
2
Figura 13.
a
m
Δv
Figura 14.
Exercícios de Aplicação
é v
1
 e no instante t
2
 = 11 s 
sua velocidade é v
2
. 
Sabendo que |v
1
| = 6, 0 m/s 
e |v
2
| = 8,0 m/s, calcule o 
módulo da aceleração veto-
rial média do movimento 
para o intervalo de tempo 
Δt = t
2
 – t
1
.
v
2
v
1
53¡
Cinemática vetorial 167
5. Aceleração vetorial instantânea
Na Cinemática escalar definimos a aceleração escalar instantânea (α) por:
α = lim
Δt→0
 
Δv
Δt
Definiremos agora a aceleração vetorial instantânea (a) por:
a = lim
Δt→0
 
Δv 
Δt
Se a = 0, teremos v constante, o que significa que ou a partícula 
está em repouso ou está em movimento retilíneo uniforme. Se a ≠ 0, 
consideremos dois casos: trajetória retilínea e trajetória curvilínea.
Trajetória retilínea
Nesse caso o vetor a tem a mesma direção da trajetória e módulo 
igual ao módulo da aceleração escalar α (|a| = |α|). Se o movimento for 
acelerado, a terá o mesmo sentido da velocidade vetorial v (fig. 15); se 
o movimento for retardado, a terá sentido contrário ao de v (fig. 16).
Trajetória curvilínea
Nesse caso, verifica-se que a “aponta para dentro” da curva (como, 
por exemplo, na figura 17) e pode ser decomposta em duas acelerações 
componentes, como ilustra a figura 18: uma componente tangente à 
trajetória, chamada aceleração tangencial (a
t
), e outra componente 
normal à trajetória, chamada aceleração normal ou centrípeta (a
c
).
a = a
t
 + a
c
Pelo Teorema de Pitágoras: |a|2 = |a
t
|2 + |a
c
|2
É possível demonstrar que a aceleração tangencial a
t
 tem módulo 
igual ao módulo da aceleração escalar α:
|a
t
| = |α|
Portanto, se α = 0, isto é, se o movimento for uniforme, teremos 
|a
t
| = 0.
A aceleração tangencial está relacionada com a variação do mó-
dulo de v (e às vezes do sentido de v , quando o movimento passa de 
retardado para acelerado), mas não muda a sua direção.
O sentido de a
t
 é o mesmo da velocidade vetorial instantânea v , 
se o movimento for acelerado (fig. 19), e contrário ao de v , se o movi-
mento for retardado (fig. 20).
Quanto à aceleração centrípeta a
c
, é possível demonstrar que seu 
módulo é dado por:
|a
c
| = v2
R
em que v é o módulo da velocidade e R é o raio de curvatura. 
a
v
Figura 15. Movimento retilíneo 
e acelerado.
a v
Figura 16. Movimento retilíneo 
e retardado.
IL
u
ST
RA
ç
õ
eS
: Z
A
PT
a
Figura 17.
tan
gen
te
trajetória
normal
a
a
c
a
t
Figura 18.
a
a
c
a
t
v
Figura 19. Movimento acelerado.
a
a
c
a
t
v
Figura 20. Movimento retardado.
Capítulo 9168
Quando a trajetória é circular, o raio de curvatura é o próprio raio da cir-
cunferência. Quando a trajetória é curva mas não circular, é possível obter 
uma circunferência tangente à trajetória (fig. 21), denominada circunfe-
rência osculadora, cujo raio é o raio de curvatura a ser usado no cálculo 
do módulo da aceleração centrípeta, a qual aponta para o centro da circun-
ferência osculadora.
No CD, demonstramos a fórmula a
c
 = v2
R
 para o caso particular do mo-
vimento circular e uniforme.
A aceleração centrípeta está relacionada com a variação da direção da 
velocidade.
É importante então ressaltar que:
1º. ) Se o movimento for retilíneo, teremos sempre a
c
 = 0, isto é, a aceleração 
centrípeta é não nula apenas nos movimentos de trajetória curvilínea.
2º. ) Se o movimento for uniforme, teremos sempre a
t
 = 0.
3º. ) Quando se fala em aceleração e não se dá nenhuma outra informação, 
admite-se que se trata da aceleração vetorial instantânea ( a).
Alguns casos particulares
Movimento retilíneo e uniforme
Nesse caso, temos a
t
 = 0 e a
c
 = 0, isto é, a = 0.
Movimento circular e uniforme
Como o movimento é uniforme, a aceleração escalar α é nula 
e, portanto, a aceleração tangencial também é nula: a
t
 = 0. Po-
rém, a trajetória é curva, e assim temos a
c
 ≠ 0 . Nesse caso, a ace-
leração centrípeta coincide com a aceleração vetorial instantânea: 
a
c
 = a (fig. 22). Sabemos que o módulo de a
c
 é dado por |a
c
| = v2
R
; já 
que o movimento é circular e uniforme, os valores de R e v são constan-
tes, e assim |a
c
| é constante, isto é, o módulo da aceleração centrípeta é 
constante. Porém, como a direção de a
c
 é variável, podemos dizer que a 
aceleração vetorial é variável. Assim, na figura 23 temos a
c1
 ≠ a
c2
, embora 
|a
c1
| = |a
c2
| = 
v2
R
.
Movimento circular uniformemente acelerado
Sendo o movimento uniformemente acelerado, a aceleração escalarα 
é constante e não nula; assim, a aceleração tangencial a
t
 (cujo módulo é 
igual ao módulo de α) é não nula e tem módulo constante. Porém, a di-
reção de a
t
 varia; então podemos dizer que a
t
 é variável (fig. 24). Como o 
movimento é acelerado, o módulo da velocidade é variável e, portanto, o 
módulo da aceleração centrípeta também é variável pois |a
c
| = v2
R
. Assim, 
a aceleração centrípeta varia em módulo e direção (fig. 24).
a
t1
 ≠ a
t2
 e |a
t1
| = |a
t2
| = α
a
c1
 ≠ a
c2
 e |a
c1
| ≠ |a
c2
| 
R
circunferência
osculadora
trajetória
a
c
Figura 21.
a
c
 = a
Figura 22.
a
c
1
a
c
2
Figura 23.
IL
u
ST
RA
ç
õ
eS
: Z
A
PT
a
1
a
c
1
a
t
1
a
c
2
a
t
2
a
2
Figura 24.
Cinemática vetorial 169
Exercícios de Aplicação
16. Uma partícula move-se em trajetória circular de 
raio R = 2,0 m com velocidade escalar constante 
igual a 6,0 m/s. Calcule:
a) o módulo da aceleração tangencial;
b) o módulo da aceleração centrípeta;
c) o módulo da aceleração vetorial instantânea.
Resolução:
a) Como a velocidade escalar é constante, a ace-
leração escalar α é nula e, assim, a aceleração 
tangencial também é nula. Trata-se então de 
um movimento circular e uniforme. Logo:
a
t
 = 0
b) |a
c
|
 = 
v2
R
 = 
(6,0)2
2,0
 ⇒ |a
c
| = 18 m/s2
c) Sabemos que a aceleração vetorial instantâ-
nea é dada por a = a
t
 + a
c
. Mas, como a
t
 = 0, 
temos a = a
c
 e, portanto, |a| = |a
c
|:
 |a| = 18 m/s2
17. Consideremos uma partícula em movimento cir-
cular e uniforme cuja velocidade escalar é 
20 m/s. Sabendo que o raio da trajetória é igual 
a 4,0 m, calcule os módulos da:
a) aceleração tangencial; 
b) aceleração centrípeta;
c) aceleração vetorial instantânea.
18. Uma partícula move-se em trajetória circular de 
raio R = 24 m, em movimento uniformemente 
acelerado, de aceleração escalar α = 3,0 m/s2. 
Sabendo que no instante t = 0 a velocidade esca-
lar da partícula é 6,0 m/s, calcule no instante 
t = 2,0 s os módulos da:
a) aceleração tangencial; c) aceleração.
b) aceleração normal;
Resolução:
a) O módulo da aceleração tangencial a
t
 é igual 
ao módulo da aceleração escalar α:
|a
t
| = |α|
 ⇒ |a
t
| = 3,0 m/s2
b) Como o movimento é uniformemente acelerado, 
a velocidade escalar v é dada por v = v
0
 + αt. 
Assim, no instante t = 2,0 s, temos:
v = 6,0 + 3,0(2,0) ⇒ v = 12 m/s 
Portanto, a aceleração normal (ou centrípeta) 
tem módulo dado por:
|a
c
|
 = 
v2
R
 = 
(12)2
24
 = 6,0 ⇒ |a
c
| = 6,0 m/s2
c) Quando se pede a acele-
ração e não se diz mais 
nada, supõe-se que seja 
a aceleração vetorial ins-
tantânea. Temos então:
|a|2 = |a
t
|2 + |a
c
|2
|a| = (3,0)2 + (6,0)2
Assim:
|a| = 45 = 3 5 ⇒ |a| = 3 5 m/s2
19. Uma partícula tem movimento uniformemente ace-
lerado, de aceleração escalar α = 3,0 m/s2, sobre 
uma trajetória circular de raio R = 25 m, tendo 
velocidade escalar v
0
 = 4,0 m/s no instante t = 0. 
No instante t = 2,0 s, calcule os módulos da:
a) aceleração tangencial;
b) aceleração normal;
c) aceleração.
a
a
c
a
t
Exercícios de Reforço
20. Um movimento retilíneo uniforme tem velocida-
de escalar 3,0 m/s. Calcule os módulos da:
a) aceleração escalar;
b) aceleração tangencial;
c) aceleração centrípeta;
d) aceleração.
21. Um movimento retilíneo uniformemente variado 
tem aceleração escalar 8 m/s2. Calcule os módu-
los da:
a) aceleração tangencial; 
b) aceleração centrípeta;
c) aceleração.
Capítulo 9170
Exercícios de Aprofundamento
Enunciado para as questões 27 e 28.
Uma partícula tem movimento 
uniforme sobre uma circunfe-
rência de raio R = 6 m. Num 
intervalo de tempo Δt = 2 s 
percorre um arco corresponden-
te a um ângulo central de 120°.
A
v
A
B
v
B
C
v
C
D
v
D
E
v
E
F
v
F
Em seu caderno, identifique a(s) proposição(ões) 
correta(s):
 I. O carro tem movimento uniforme de A até C.
 II. O carro tem movimento uniforme de A até F.
 III. O carro tem aceleração de A até C.
 IV. O carro tem aceleração de D até F.
 V. O carro tem movimento retilíneo uniforme-
mente variado de D até F.
26. (Cefet-MG) Nos esquemas seguintes estão repre-
sentadas a velocidade v e a aceleração a do pon- 
to material P. O módulo da velocidade desse 
ponto material permanece constante em:
a) 
a
P v
b) 
a
P v
c) 
a
P v
d) 
a P v
e) 
a
P
v
IL
u
ST
R
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
22. Consideremos um movimento circular uniforme 
de velocidade escalar 6,0 m/s e raio da trajetória 
R = 4,0 m. Calcule:
a) a aceleração escalar;
b) o módulo da aceleração tangencial;
c) o módulo da aceleração centrípeta;
d) o módulo da aceleração.
23. Uma partícula percorre uma trajetória circular de 
raio R = 18 m, com movimento uniformemente 
variado cuja aceleração escalar é 6,0 m/s2. Sabendo 
que no instante t = 0 sua velocidade é nula, calcu-
le, no instante t = 2,0 s, os módulos da:
a) velocidade vetorial;
b) aceleração tangencial;
c) aceleração normal;
d) aceleração vetorial.
24. (Unifesp-SP) A trajetória de uma partícula, 
representada na figura, é um arco de circunferên-
cia de raio r = 2,0 m, percorrido com velocidade 
de módulo constante v = 3,0 m/s.
v
O módulo da aceleração vetorial dessa partícula 
nesse trecho, em m/s2, é:
a) zero
b) 1,5
c) 3,0
d) 4,5
e) impossível de ser calculado.
25. (UF-SC) Um carro com velocidade de módulo cons-
tante de 20 m/s percorre a trajetória descrita na 
figura, sendo que de A a C a trajetória é retilínea 
e de D a F é circular, no sentido indicado.
27. O módulo da velocidade vale:
a) 
3π
2
 m/s d) 
5π
2
 m/s
b) 2π m/s e) zero
c) 
4π
3
 m/s
120¡
Capítulo 9170
Cinemática vetorial 171
a) 
a2
t
 · t
R c) 
v2
R e) 
a
t
 · t2
R
b) 
R
a2
t
 · t d) 
a
t
 · t
R
33. (FESP-SP) Em determinado instante, a velocidade 
vetorial e a aceleração vetorial de uma partícula 
estão representadas na figura. Qual dos pares 
oferecidos representa, no instante considerado, 
os valores da aceleração escalar α e do raio de 
curvatura R da trajetória?
a) α = 4,0 m/s2 e R = 0
b) α = 4,0 m/s2 e R → ∞
c) α = 2,0 m/s2 e R = 29 m
d) α = 2,0 m/s2 e R = 2,9 m
e) α = 3,4 m/s2 e R = 29 m 
60°
10 m/s
4,0 m/s2
34. (ITA-SP) Na figura, um ciclista percorre o trecho 
AB com velocidade escalar média de 22,5 km/h e, 
em seguida, o trecho BC de 3,00 km de extensão. No 
retorno, ao passar em B, verifica ser de 20,0 km/h 
sua velocidade escalar média no percurso então 
percorrido, ABCB. Finalmente, ele chega a A per-
fazendo todo o percurso de ida e volta em 1,00 h, 
com velocidade escalar média de 24,0 km/h. 
A B
C
3,00 km
Assinale o módulo v do vetor velocidade média 
referente ao percurso ABCB.
a) v = 12,0 km/h d) v = 20,00 km/h
b) v = 12,00 km/h e) v = 36,0 km/h
c) v = 20,0 km/h
35. (UE-CE) Um ventilador acaba 
de ser desligado e está paran-
do vagarosamente, girando 
no sentido horário, conforme 
a figura.
A aceleração vetorial da pá 
do ventilador no ponto P tem 
orientação mais bem representada na opção:
a) 
P
 c) 
P
b) 
P
 d) 
P
IL
u
ST
R
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
28. O módulo da aceleração vetorial média para o 
intervalo de tempo dado é:
a) π 3 m/s2 d) 3
2
 m/s2
b) π m/s2 e) zero
c) π 2
3
 m/s2
29. Uma partícula P move-se 
em trajetória circular de 
centro O, tendo velocidade 
escalar v
0
 = 8,0 m/s no 
instante t = 0. No instan-
te t = 1,0 s a aceleração 
vetorial instantânea a tem 
módulo 20 m/s2 e está 
representada no desenho. 
Sabendo que sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80, calcule:
a) o módulo da aceleração escalar;
b) o módulo da aceleração centrípeta no instan-
te t = 1,0 s;
c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;
d) o raio da trajetória.
30. A figura representa a veloci-
dade vetorial v e a aceleração 
vetorial a de uma partícula 
que se move em trajetória 
circular de centro O, num 
mesmo instante t. 
Sabendo que θ = 30°, 
|v| = 6,0 m/s e |a| = 4,0 m/s2, 
calcule:
a) o raio da trajetória;
b) o módulo da aceleração tangencial no instan-
te t.
31. Um automóvel executa umavolta completa em 
uma pista circular, em dois minutos, mantendo 
constante a indicação do velocímetro. Em um 
dos pontos da trajetória, a aceleração vetorial do 
automóvel tem módulo igual a 4 m/s2. O raio da 
pista é aproximadamente igual a:
a) zero c) 1 000 m e) 3 000 m
b) 500 m d) 1 500 m
32. (ITA-SP) Uma partícula descreve um movimento 
circular de raio R, partindo do repouso no ins-
tante t = 0 e com uma aceleração tangencial a
t
 
cujo módulo é constante. Sendo t o tempo e a
c
 
a aceleração centrípeta no instante t, podemos 
afirmar que 
a
c
a
t
 é igual a:
a
O
θ
P
a
v
O
θ
P
Cinemática vetorial 171