Aula1_Introdução

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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Engenharia de Produção
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professora Karen Godoi van Mierlo
Geometria Analítica e Álgebra Linear
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Aula 1 – Introdução
Geometria Analítica e Álgebra Linear 2
Matemática
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• Área da matemática que estuda figuras geométricas por meio de
um sistema de coordenadas, geralmente o sistema cartesiano.
Geometria Analítica
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• Conecta a geometria com a álgebra, permitindo a descrição de
formas geométricas (como linhas, círculos e elipses) por meio de
equações. Por exemplo:
• Uma reta no plano pode ser descrita pela equação 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, onde m é
a inclinação da reta e b é o intercepto no eixo y.
• Uma circunferência pode ser descrita pela equação 𝑥 − 𝑎 2+(𝑥 − 𝑏)2=
𝑟2, onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio.
Geometria Analítica
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• Área da Matemática que estuda vetores, espaços vetoriais
(também chamados de espaços lineares), transformações lineares
e sistemas de equações lineares.
• A Álgebra Linear é essencial em diversas áreas, como física,
engenharia, ciência da computação, economia, e mais, pois
oferece ferramentas para lidar com grandes conjuntos de dados,
sistemas de equações e modelos matemáticos complexos.
Álgebra Linear
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• Ajuste de dados (polinômios);
• Erros de medida.
Aplicações Álgebra Linear
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• Cidade 2 para Cidade 1: pelo menos dois voos;
Aplicações Álgebra Linear
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• Quantas rotas da Cidade 2 para a Cidade 1 existem com 
exatamente três voos? Parece fácil?
Aplicações Álgebra Linear
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Aplicações Álgebra Linear
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• Matriz de conectividade: 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) tal que
𝑐𝑖𝑗=
• A matriz C, juntamente com suas potências, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, fornecem 
toda a informação necessária para analisar a rede.
Aplicações Álgebra Linear
1, se existe um voo da Cidade 𝑖 para a Cidade 𝑗,
0, caso contrário.
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Coloração
• A imagem é dividida em uma grade de pequenas unidades
chamadas pixels (abreviação de "picture elements"). Cada pixel é
um pequeno ponto na tela que, quando combinado com muitos
outros pixels, forma a imagem completa.
Aplicações Álgebra Linear
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• Escala de cinza: variam de 0 (preto) a 255 (branco), com valores 
intermediários representando diferentes tons de cinza.
Aplicações Álgebra Linear
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• Escala RGB: R (vermelho), G (verde), e
B (azul). Esses valores também variam
de 0 a 255.
• Cada pixel na imagem final será uma
combinação desses três valores de
cor, criando a cor vista no pixel.
Aplicações Álgebra Linear
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Resolução
• Quantidade de pixels em
cada linha e em cada
coluna da tela.
• Resoluções diferentes:
• 1ª: 27 linhas e 33 colunas
• 3ª: 1.645 linhas e 2.008 
colunas
Aplicações Álgebra Linear
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• Imagem exibida com resolução 1920 x 1080, também conhecida 
por Full HD, é formada por 2 073 600 pixels. 
• Uma tela 4K (3840 x 2160 pixels) conta com 8 294 400 pixels e 
uma 8K (7680 x 4320 pixels) tem 33 177 600 pixels.
Aplicações Álgebra Linear
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• Na Geometria Analítica, vetores são frequentemente usados para
descrever posições, direções e magnitudes no espaço.
• Matrizes (um conceito da Álgebra Linear) podem ser usadas para
representar transformações geométricas como rotações, reflexões,
e translações em Geometria Analítica.
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Matrizes
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• A =(𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑛
Matrizes
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• Quadrada
• Nula
• Linha
• Coluna
• Diagonal
• Identidade
• Triangular Superior
• Triangular Inferior
Tipos de Matrizes
• Transposta
• Simétrica
• Antissimétrica
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• Toda matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, isto é, 
𝑚 = 𝑛.
Quadrada
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• Toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero, ou seja, 
𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 e 𝑗.
Nula
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• Matriz que só tem uma linha, isto é, 𝑚 = 1.
Linha
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• Toda matriz que possui uma única coluna, ou seja, 𝑛 =1.
Coluna
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• Toda matriz quadrada onde 𝑎𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗, isto é, os
elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a
zero.
Diagonal
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• Toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal
são iguais a 1, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 1, para todo 𝑖 = 𝑗; e 𝑎𝑖𝑗 = 0, para
todo 𝑖 ≠ 𝑗.
• Uma matriz identidade de ordem n é representada por 𝐼𝑛.
Identidade
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• Toda matriz quadrada que tem todos os elementos abaixo da
diagonal principal iguais a zero, isto é, 𝑚 = 𝑛 e 𝑎𝑖𝑗 = 0, para
todo 𝑖 > 𝑗.
Triangular Superior
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• Toda matriz quadrada que tem todos os elementos acima da
diagonal principal iguais a zero, isto é, 𝑚 = 𝑛 e 𝑎𝑖𝑗 = 0, para
todo 𝑖