Vamos analisar a transformação linear T: ℝ² → ℝ² dada por T(x, y) = (x + 2y, -x + 4y). Para encontrar os autovalores (λ) e autovetores (v), fazemos: T(v) = λv, onde v = (x, y) ≠ 0. Escrevendo em forma matricial: A = \(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & 4\end{pmatrix}\) Queremos λ e v tais que: A v = λ v Ou: (A - λ I) v = 0 Determinante de (A - λ I) deve ser zero para existir v ≠ 0: \[ \det \begin{pmatrix}1 - λ & 2 \\ -1 & 4 - λ\end{pmatrix} = 0 \] Calculando o determinante: (1 - λ)(4 - λ) - (-1)(2) = 0 Expandindo: (1 - λ)(4 - λ) + 2 = 0 (1*4 - 1*λ - 4*λ + λ²) + 2 = 0 (4 - 5λ + λ²) + 2 = 0 λ² - 5λ + 6 = 0 Resolvendo a equação quadrática: λ² - 5λ + 6 = 0 Δ = 25 - 24 = 1 λ = [5 ± 1]/2 λ₁ = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3 λ₂ = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2 Agora, para cada λ, encontramos o autovetor v: Para λ = 3: (A - 3I) v = 0 \[ \begin{pmatrix}1 - 3 & 2 \\ -1 & 4 - 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} \] Da primeira linha: -2x + 2y = 0 → -2x + 2y = 0 → y = x Autovetor associado: v₁ = (1, 1) (qualquer múltiplo) Para λ = 2: (A - 2I) v = 0 \[ \begin{pmatrix}1 - 2 & 2 \\ -1 & 4 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] Da primeira linha: -1 x + 2 y = 0 → 2 y = x → y = x/2 Autovetor associado: v₂ = (2, 1) (qualquer múltiplo) Resposta correta: Autovalores: λ₁ = 3, λ₂ = 2 Autovetores: v₁ = (1,1), v₂ = (2,1) Nenhuma das alternativas que você apresentou corresponde exatamente a essa resposta, mas se houver uma alternativa que diga: λ₁ = 3, λ₂ = 2, v₁ = (1,1), v₂ = (2,1) Essa é a correta. Se precisar, me envie as alternativas para confirmar.