Cálculo AV2

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Cálculo (IL10009)
Entrega da Avaliação - Trabalho da Disciplina [AVA 2]
Aluno: José Caetano Tourinho Neto
Modelo trigonométrico no controle de satélites 
 
Satélites de comunicação são usados para fornecer serviços de telecomunicações, como televisão, telefonia e internet. Os movimentos desses satélites em torno da Terra podem ser descritos por funções trigonométricas, devido à sua natureza periódica.  
Uma órbita é a trajetória de um objeto em torno de outro objeto sob a influência da força gravitacional. Esses movimentos, em geral, exibem uma repetição regular ao longo do tempo, como a Terra orbitando o Sol, ou um satélite artificial de comunicação em órbita ao redor da Terra. Nesse movimento, o perigeu é o ponto em que o satélite, em órbita, está mais próximo da Terra e o apogeu é o ponto em que está mais distante.  
Esses satélites precisam ser monitorados e os modelos envolvendo funções trigonométricas podem auxiliar nesse controle. 
 
Considere que a distância do satélite Telekom até a Terra é descrita pelo modelo: 
 
Em que d é a distância do satélite à Terra, em quilômetros; e x  é o tempo de movimento em sua órbita, dado em minutos.
Para monitorar o movimento desse satélite, é necessário controlar sua distância do centro da Terra. Uma medida de controle importante é a soma do apogeu com o perigeu, representada por D. 
 
Considerando o modelo d(x) e os conceitos de perigeu e apogeu descritos no texto anterior, defina: 
1. A distância correspondente ao apogeu.
2. A distância correspondente ao perigeu
3. A medida de controle D.
4. O tempo em órbita para alcançar o perigeu.
5. O tempo em órbita para alcançar o apogeu. 
 Procedimentos para elaboração:
Para cada um dos itens de 1 a 5, registre todos os cálculos necessários e escreva uma frase que apresente a resposta, baseada nos valores que encontrou por meio dos seus cálculos já registrados.
Respostas:
1. A distância correspondente ao apogeu.
d(x) = 9804 . 
 1 + 0,14 * cos(0,05x)
d(x) = 9804 .
 1 + 0,14 * (-1)
d(x) = 9804 .
 1 - 0,14
d(x) = = 9804 .
 0,86
d(x) = 11.400 Km
Para encontrar o apogeu, o ponto em que o satélite está mais distante da Terra e considerando que o cosseno pode variar de -1 a +1, foi utilizado para cáculo -1 por se tratar de menor valor, o que corresponde a maior distância, encontra-se como resultado 11.400 Km.
2. A distância correspondente ao perigeu
d(x) = 9804 . 
 1 + 0,14 * cos(0,05x)
d(x) = 9804 .
 1 + 0,14 * (+1)
d(x) = 9804 .
 1 + 0,14
d(x) = = 9804 .
 1,14
d(x) = 8.600 Km
O cálculo do perigeu, ponto em que o satélite, em órbita, está mais próximo da Terra e considerando que o cosseno pode variar de -1 a +1, foi utilizado para cáculo +1 por se tratar do maior valor, o que corresponde a menor distância, encontra-se como resultado 8.600 Km.
3. A medida de controle D.
D = Apogeu + Perigeu
D = 11400 + 8.600
D = 20.000 Km
Somando o valor do Apogeu (11.400 Km) com o do Perigeu (8.600 Km) será encontrado o valor de D = 20.000 Km.
4. O tempo em órbita para alcançar o perigeu.
- Cos (0,05x) = -1
- Cos π = -1
Cos (0,05x) = Cos (π)
Cos (0,05x) = Cos (π)
0,05x = π x= π/0,05 = (π*100)/5 = 62.83 minutos
Considerando que no perigeu o cos(0,05x) é igual a -1 e -1 = cos (π), logo x será igual (π/0.05) que é igual a 62.83 minutos.
5. O tempo em órbita para alcançar o apogeu
- Cos (0,05x) = 1
- Cos 2π = 1
Cos (0,05x) = Cos (2π)
Cos (0,05x) = Cos (2π)
0,05x = 2π x= 2π/0,05 = (2π*100)/5 = 125.66 minutos
Considerando que no apogeu o cos(0,05x) é igual a +1 e [1 = cos(2π)], logo x será igual (2π/0.05) que é igual a 125.66 minutos.
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