Questões para Técnico de Enfermagem

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Como são 3 casos para cada bermuda, temos um to-
tal de 6 possibilidades.
Até este ponto, o leitor acha que contagem é fácil, 
mas agora, vamos “complicar” um pouco.
Imagine que agora você tenha 5 camisetas diferentes, 
3 bermudas diferentes, além de 3 tênis diferentes, quan-
tas maneiras distintas você poderá se vestir?
É possível resolver este problema com o procedimen-
to anterior mas levará um bom tempo para contar todas 
as soluções. Mas, se nós queremos apenas a quantidade 
total, sem a necessidade de lista-las, será que não tem 
um meio mais fácil?
A resposta é sim e você verá a seguir.
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
O princípio fundamental da contagem permite quan-
tificar situações ou casos de uma determinada situação 
ou evento. Em outras palavras, é uma maneira sistemáti-
ca de “contar” a quantidade de “coisas”.
A base deste princípio se dá pela separação de ca-
sos e quantificação dos mesmos. Após isso, uma mul-
tiplicação de todos estes números é feita para achar a 
quantidade total de possibilidades. O exemplo a seguir 
irá ilustrar isso.
“ João foi almoçar em um restaurante no centro da 
cidade, ao chegar no local, percebeu que oferecem 3 ti-
pos de saladas, 2 tipos de carne, 6 bebidas diferentes e 5 
sobremesas diferentes. De quantas maneiras distintas ele 
pode fazer um pedido, pegando apenas 1 tipo de cada 
alimento? ”
Resolução: O princípio da contagem depende forte-
mente de uma organização do problema. A sugestão é 
sempre organizar cada caso em traços e preenchendo a 
quantidade de possibilidades. Como temos 4 casos dis-
tintos (salada, carne, bebida e sobremesa), iremos fazer 
4 traços:
Agora, preencheremos a quantidade de possibilida-
des de cada caso:
Finalmente, multiplicamos os números:
Assim, João tem 180 possibilidades diferentes de se 
montar um prato.
Agora que aprendeu o princípio multiplicativo, você 
consegue resolver o exemplo das camisetas, bermudas e 
tênis da seção anterior?
Se temos 5 camisetas, 3 bermudas e 3 tênis distintos, 
a quantidade de jeitos de se vestir será 5𝑥3𝑥3 = 45 .
Os problemas de princípio multiplicativo são simples 
quando os grupos são fáceis de se identificar e se retira 
apenas 1 elemento de cada grupo. Agora, vamos apro-
fundar um pouco mais, considerando que podemos tirar 
mais de um elemento por grupo. Veja o exemplo do res-
taurante novamente, mas com uma pergunta diferente:
“João foi almoçar em um restaurante no centro da 
cidade, ao chegar no local, percebeu que oferecem 3 ti-
pos de saladas, 2 tipos de carne, 6 bebidas diferentes e 
5 sobremesas diferentes. De quantas maneiras distintas 
ele pode fazer um pedido, pegando 1 salada, 1 carne, 1 
bebida e 2 sobremesas diferentes? ”
Resolução: Agora, a montagem do problema ganha 
uma atenção especial pois não iremos retirar apenas 1 
elemento do grupo sobremesa, e sim 2. Neste caso, a 
montagem fica desta maneira:
Temos que adicionar uma linha, referente a segunda 
sobremesa e diferenciar da primeira, já que o enunciado 
fala que são sobremesas diferentes. Em relação aos valo-
res a serem colocados, os grupos salada, carne e bebida 
seguem a mesma linha do exercício anterior, tirando 1 
elemento de cada, logo:
Para a primeira sobremesa, temos a 5 disponíveis, 
logo:
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Já para a segunda sobremesa, devemos ficar atentos 
ao enunciado pois ele trata as mesmas como diferentes, 
ou seja, a que foi retirada anteriormente não pode entrar 
na contagem, assim, ao invés de 5 possibilidades, a se-
gunda sobremesa terá 4, logo:
Com tudo organizado, basta aplicar o princípio mul-
tiplicativo:
Ou seja, 720 maneiras de se montar um prato.
Outra variação dos problemas de princípio multipli-
cativo são os que possuem alguma restrição, ou seja, al-
guns casos devem ser descartados por não atenderem 
algum critério dado no enunciado. Veja o exemplo:
“Uma empresa de propaganda pretende criar panfle-
tos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode 
ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, en-
quanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho 
ou branco. De quantos modos distintos é possível esco-
lher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por 
uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto 
não podem ser iguais? ”
Resolução: O problema parece seguir o mesmo pa-
drão do princípio multiplicativo, onde se separa os gru-
pos e faz a multiplicação. Porém temos uma restrição 
onde não podemos ter papel e letra do texto iguais. Para 
resolver este problema a estratégia é simples: Calcula-
-se o total de casos, sem restrições, depois quantifica a 
quantidade de casos que não podem ser contabilizados 
e realiza-se a subtração. Veja como fica:
Sem restrições, temos 18 possibilidades. Olhando as 
cores dos papéis e dos textos, percebe-se que não se 
pode escolher o papel preto com o texto preto e o papel 
vermelho e o texto vermelho, o que totaliza 2 restrições. 
Logo, o número de casos possíveis será o total subtraído 
das restrições: 18-2=16.
FATORIAL
Antes de definirmos casos particulares de contagem, 
iremos definir uma operação matemática que será uti-
lizada nas próximas seções: o fatorial. Define-se o sinal 
de fatorial pelo ponto de exclamação, ou seja, “!“. Assim, 
quando encontrarmos 2! Significa que estaremos calcu-
lando o “fatorial de 2” ou “2 fatorial”. A definição de fato-
rial está apresentada a seguir:
n! = n ⋅ n − 1 ⋅ n − 2 ⋅ n − 3 … 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Ou seja, o fatorial de um número é caracterizado pelo 
produto deste número e seus antecessores, até se chegar 
ao número 1. Vejam os exemplos abaixo:
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
Assim, basta ir multiplicando os números até se che-
gar ao número 1. Observe que os fatoriais aumentam 
muito rápido, veja quanto é 10!:
10! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3628800
Já estamos na casa dos milhões! Para não trabalhar-
mos com valores tão altos, as operações com fatoriais 
são normalmente feitas por último, procurando fazer o 
maior número de simplificações possíveis. Observe este 
exemplo:
Calcule 10!
7! =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Resolução: Ao invés de calcular os valores de 7! e 10! 
separadamente e depois fazer a divisão, o que levaria 
muito tempo, nós simplificamos os fatoriais primeiro. 
Pela definição de fatorial, temos o seguinte:
10!
7! =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Observe que o denominador pode ser inteiramente 
cancelado, pois 10! Possui todos os termos de 7!. Essa 
é uma particularidade interessante e facilitará demais a 
simplificação. Se cancelarmos, restará apenas um produ-
to de 3 termos:
10!
7! =
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720
Essa operação é muito mais fácil que calcular os fato-
riais desde o começo!
Para casos onde temos mais de um fatorial no deno-
minador, a estratégia é mesma e a dica é simplificar o 
fatorial do numerador com o maior fatorial que temos no 
denominador. Veja o exemplo:
Calcule 8!
5! 3! =
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 3!
Vamos abrir os fatoriais de 8 e 5:
8!
5! 3! =
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 3!
Simplificamos os termos comuns e ficamos com:
8!
5! 3! =
8 ⋅ 7 ⋅ 6
3! =
8 ⋅ 7 ⋅ 6
3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8 ⋅ 7 = 56
Essa estratégia será muito utilizada quando abordar-
mos as seções seguintes, que envolvem fatorial em suas 
operações.
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PERMUTAÇÃO
Permutação sem repetições de elementos
As permutações são definidas como situações onde o 
número de elementos é igual ao número de posições em 
que podemos posicioná-los. Considere o exemplo onde 
temos 5 pessoas e 5 cadeiras alinhadas. Queremos saber 
de quantas maneiras diferentes podemos posicionar es-
sas pessoas. Esquematizando o problema, chamando de 
P as pessoas e C as cadeiras:
Em problemas onde o número de elementos é igual 
ao número de posições, sempre teremos uma permuta-
ção.A fórmula da permutação, considerando que não há 
repetição de elementos é a seguinte:
Pn = n!
Ou seja, para permutar 5 elementos em 5 posições, 
basta eu calcular o fatorial de 5:
P5 = 5! = 120
Logo, eu posso posicionar as pessoas de 120 manei-
ras diferentes na fileira de cadeiras.
Observe que a fórmula geral da permutação é utiliza-
da quando não há repetição de elementos, mas e quan-
do temos elementos repetidos? A seção seguinte tratará 
disso.
Permutações com repetição de elementos
A fórmula da permutação com repetição terá uma 
complementação, para desconsiderar casos repetidos 
que serão contados 2 ou mais vezes se utilizarmos a fór-
mula sem repetição.
O exemplo mais comum destes casos é o que chama-
mos de Anagramas. Os anagramas são permutações das 
letras de uma palavra, formando novas palavras, sem a 
necessidade de terem sentido ou não. Usando primeira-
mente um exemplo sem repetição, veja quantos anagra-
mas podemos formar com o nome BRUNO:
Montando a esquematização:
Ou seja, temos que posicionar as letras nas 5 casas 
correspondentes e neste caso, é um problema de permu-
tação sem repetição como já foi visto:
P5 = 5! = 120
Logo, podemos formar 120 anagramas com a pala-
vra BRUNO. Agora, vamos olhar o mesmo problema, mas 
com a palavra MARIANA. Ela possui 7 letras, logo tere-
mos 7 posições:
Entretanto, temos a repetição da letra A. Veja o que 
acontece quando montarmos um anagrama qualquer da 
palavra:
Não conseguimos saber qual letra “A” foi utilizada nas 
posições C1,C3 e C5. Se trocarmos as mesmas de posição 
entre si, ficaremos com os mesmos anagramas, caracte-
rizando uma repetição. Assim, para saber a quantidade 
de anagramas com repetição, corrigiremos a fórmula da 
permutação da seguinte forma:
Pna =
n!
a!
Ou seja, calcula-se a permutação de “n” elementos 
com “a” repetições. Considerando que MARIANA tem 7 
letras (n=7) e a letra “A” se repete 3 vezes, temos que:
P73 =
7!
3! =
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 840
Assim, a palavra MARIANA tem 840 anagramas pos-
síveis.
Outro exemplo para deixar este conceito bem claro, 
é quando temos dois elementos se repetindo. Por exem-
plo, vamos calcular os anagramas da palavra TALITA:
Observe que a letra “T” repete 2 vezes e a letra “A” 
também repete duas vezes. Na fórmula da permutação 
com repetição, faremos duas divisões:
Pn
a,b =
n!
a! b!
Ou seja, se houver 2 ou mais elementos se repetindo, 
a correção é feita dividindo pelas repetições de cada um. 
Como ambos repetem duas vezes:
P6
2,2 =
6!
2! 2! =
6.5.4.3.2.1
2.1 .2.1 =
6.5.4.3
2.1 =
360
2 = 180
Assim, a palavra TALITA tem 180 anagramas.
Esse mesmo tipo de problema pode ser feito com nú-
meros e segue o mesmo princípio.
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
A permutação circular é um caso bem especifico e 
normalmente suas questões são diferenciais entre os 
candidatos em concursos públicos. Para entender melhor