Anglo_Formação Geral_Matemática

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protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 11/03/2025, 08:44:06
CADERNO DO PROFESSOR
FORMAÇÃO GERAL
MATEMÁTICA 
PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO1
C A D E R N O
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PRIMEIRA
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
CADERNO DO PROFESSOR
1
C A D E R N O
FORMAÇÃO GERAL
MATEMÁTICA 
Antonio Carlos ROSSO Junior
Fábio PELICANO Borges Vieira
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
RODNEY Brasil Luzio
THIAGO Dutra de Araújo
Impresso por Gardjany da Costa, E-mail gardjanydacostamoreira@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material pode ser
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Presidência: Mario Ghio Júnior
Direção executiva: Thiago Brentano Rodrigues
Direção de soluções educacionais: Camila Montero Vaz Cardoso
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Direção pedagógica: Paulo Roberto Moraes
Coordenação pedagógica: Henrique Santos Braga
Gestão de projeto editorial: Flávio Matuguma (ger.), 
Michelle Yara Urcci Gonçalves (coord.) e Daniela Carvalho (analista)
Coordenação editorial: Pietro Ferrari
Edição: Adriana Ayami Takimoto, Cintia Parente, Erica Aparecida Capasio 
Rosa, Luana Fernandes de Souza e Tadeu Nestor Neto
Planejamento e controle de produção: Flávio Matuguma (ger.), 
Juliana Batista e Felipe Nogueira (coord.) e Anny Lima (analista) 
Revisão: Letícia Pieroni (coord.), Aline Cristina Vieira, Anna Clara Razvickas, 
Carla Bertinato, Cesar G. Sacramento, Danielle Modesto, Diego Carbone, 
Lilian M. Kumai, Maura Loria, Paula Rubia Baltazar, Raquel A. Taveira, 
Rita de Cássia C. Queiroz, Shirley Figueiredo Ayres, 
Tayra Alfonso e Thaise Rodrigues
Arte: André Gomes Vitale (ger.) , Catherine Saori Ishihara (coord.) 
e Fábio Cavalcante (edição de arte)
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e tratamento de imagem: André Gomes Vitale (ger.), 
Claudia Bertolazzi e Denise Durand Kremer (coord.), Célia Rosa, Evelyn Torrecilla, 
Fernanda Gomes, Fernando Cambetas, Jad Silva, Paula Dias, Roberta Freire 
Lacerda dos Santos, Tempo Composto e Thaisi Lima (pesquisa iconográfica) e 
Fernanda Crevin (tratamento de imagens)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Roberta Bento (ger.) , 
Jenis Oh (coord.), Liliane Rodrigues, Flávia Zambon e 
Raísa Maris Reina (analistas de licenciamento)
Ilustrações: Alex Argozino, Daniel das Neves, Dawidson França, 
Denis Pereira Cristo, Ericson Guilherme Luciano, Filipe Rocha, Julio Dian, 
Mauro Nakata, Murilo Moretti, Osni de Oliveira, Paulo Manzi, Studio Caparroz, 
Tate Diniz, YAN Comunicação
Design: Erik Taketa (coord.) e Adilson Casarotti (proj. gráfico e capa)
Foto de capa: Getty Images/EyeEm
Composição de imagens de abertura: Arquivo do jornal O Estado de 
S. Paulo/Agência Estado (Imagem Diretas Já), needpix.com, pexels.com, 
pixabay.com, unsplash.com / Fotomontagem: Michel Ramalho
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Avenida Paulista, 901, 6o andar – Bela Vista
São Paulo – SP – CEP 01310-200
http://www.somoseducacao.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 
 
 Anglo : Ensino médio : Formação geral básica : 1ª série : 
Matemática : Caderno 1 : Caderno do professor / Antonio 
Carlos Rosso Junior...[et al]. - 1. ed. -- São Paulo : –
SOMOS Sistemas de Ensino, 2020. 
 
 
Outros Autores: Fábio Pelicano Borges Vieira, Roberto 
Teixeira Cardoso, Rodney Brasil Luzio, Thiago Dutra de 
Araújo 
ISBN 978-85-4682-277-5 
 
 
 
1. Matemática (Ensino médio) I. Rosso Junior, Antonio Carlos 
 
 
 CDD 510 20-3440
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2020
ISBN 978 85 468 2277 5 (PR)
Código da obra 703907
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Caro(a) professor(a),
O grande desafio é aprimorar, em um curto espaço de tempo, competências e habilidades, além 
de consolidar conteúdos de todo o Ensino Médio.
Para o Anglo, essa conquista está apoiada em cinco pilares: aula bem proposta, aula bem pre-
parada, aula bem dada, aula bem acompanhada e aula bem estudada. 
Este material é resultado de uma ampla análise dos exames vestibulares de todo o Brasil, tendo 
em vista não apenas os conteúdos de maior incidência, mas também as abordagens adotadas pelas 
principais bancas e pelo Enem, trazendo, aula a aula, uma sequência e seleção de assuntos cuida-
dosamente escolhidos.
Para todos os conteúdos, apresentamos um conjunto de sugestões, escritas pelos próprios au-
tores, que auxiliam na preparação das aulas. Com este material procuramos dimensionar cada ex-
posição, de modo que haja tempo suficiente para a apresentação da teoria e para a aplicação de 
exercícios. Tudo isso fortalece o engajamento dos alunos, principalmente ao perceberem a forte 
conexão entre a aula, o material e os conteúdos cobrados nas provas.
O quinto e último pilar desse processo está diretamente relacionado à metodologia “aula dada, 
aula estudada”. Para cada tópico abordado em sala de aula, apresentamos uma orientação de estu-
do clara e organizada, na qual o aluno encontrará tarefas de níveis de complexidade diferentes de-
nominadas Tarefa Mínima, Tarefa Complementar e Tarefa Desafio. Além disso, há ainda uma série de 
exercícios adicionais à disposição dos alunos para auxiliá-los na sua preparação.
Você, professor(a), pode adaptar o curso de acordo com suas necessidades, escolhendo as es-
tratégias mais eficientes para a sua realidade; afinal, como todos sabemos, cada sala de aula tem 
suas particularidades. 
Desejamos a você um ótimo trabalho!
Os autores.
Apresentação
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Conheça seu material
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Potências de 
expoente inteiro
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT103 Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de 
diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de 
armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de 
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizag em
 Aula Descrição Anotações
1
Potência de expoente natural
Potências de expoente inteiro negativo
Propriedades das potências
Notação científica de um número racional
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
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Resolução de problemas que envolvamque o cálculo da variância e do desvio padrão é necessário. Assim, é preciso que eles se apropriem desse 
mecanismo, por mais trabalhoso que seja. 
Para a realização do exercício 5 da seção Desenvolvendo habilidades, sugere-se perguntar aos alu-
nos qual seria a resposta sem fazer os cálculos e registar esse número; a habilidade de realizar inferên-
cias é muito importante nesse conteúdo. A mesma estratégia pode ser repetida com o exercício 6; vale 
observar que ele retoma a construção de tabela de frequências com dados representados por classes. 
Nesse caso, no cálculo do desvio padrão, não colocar o peso de cada observação é um erro muito co-
mum. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões 7 e 8 da seção ou com o Extras!
exercício a seguir.
1 (UPE) Trezentos candidatos se submeteram ao teste de seleção para vaga de emprego em uma 
grande empresa sediada em Pernambuco. Os resultados estão agrupados na tabela a seguir:
DESEMPENHO DOS CANDIDATOS NO TESTE DE SELEÇÃO
Pontuação no teste de seleção Número de candidatos
80 90 20
90 100 100
100 110 120
110 120 50
120 130 10
 Com base nessas informações, os valores aproximados da variância e do desvio padrão são respecti-
vamente: 
 a) 103 e 10,15 
 b) 102,5 e 10,09 
 c) 94,6 e 9,72 
 d) 84,9 e 9,21 
 e) 76 e 8,71 
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Aula 4
Esta aula tem o propósito de reforçar e sintetizar os conceitos de Estatística estudados neste módulo 
e sua importância no cotidiano dos alunos. 
Sugerimos começar a aula com as perguntas do ponto de partida: 
“De que maneira podemos organizar, tratar, interpretar e realizar inferências sobre os dados obtidos 
em uma pesquisa?”
É interessante perceber se os alunos responderão a partir dos conceitos estudados. Como a Estatísti-
ca está presente no cotidiano deles, é muito comum as respostas serem dadas a partir do senso comum. 
Uma das habilidades que se deseja aprimorar no Ensino Médio é a capacidade de comunicação e de argu-
mentação. Esse é um excelente momento para trabalhá-la. 
Note se os alunos perceberam a importância da análise gráfica (tema extremamente recorrente no 
Enem) em Estatística e a análise de uma amostra a partir das medidas de centralidade, sobretudo a média 
aritmética. Eles podem ter ideias muito divergentes em relação ao conceito de média e o que ela significa 
na prática.
Para a realização do exercício 7 da seção Desenvolvendo habilidades, sugere-se retomar a organização 
de dados em classes de intervalos e o procedimento do cálculo da média para dados agrupados. Mais uma 
vez, a habilidade de justificar é trabalhada. Na realização do exercício 8 da seção Desenvolvendo habilida-
des pode haver dúvidas em relação à forma como o gráfico foi construído. Propositalmente, a questão foi 
pensada para que os alunos sejam capazes de realizar inferências e chegar a uma conclusão com base em 
aspectos que induzem uma tomada de decisão. Mais uma vez, os argumentos devem ser apoiados em 
dados justificados por cálculos. 
A seção propõe uma atividade na planilha eletrônica. Uma das habilidades da BNCC é Cultura digital
a familiarização (aprimoramento) dos alunos com o uso de tecnologia. Entendemos que é uma excelente 
oportunidade de fechamento do conteúdo de Estatística com o cálculo das medidas de centralidade e 
dispersão. Observe que o uso da planilha eletrônica para esses cálculos é relativamente fácil. Outra opor-
tunidade é a construção de gráficos estatísticos em planilhas eletrônicas ou em outro programa; a análise 
com o uso de planilhas eletrônicas ganha outra importância. Fazer os alunos variarem os dados e instan-
taneamente observarem a mudança nas medidas de centralidade ou no comportamento dos gráficos 
desenvolve a capacidade de relacionar causa e efeito além do poder de argumentação. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com o exercício 9 da seção ou com a Extras!
questão abaixo.
1 (UPE/SSA) O gráfico a seguir trata de um dos aspectos da violência no Grande Recife, em matéria 
veiculada no Jornal do Commercio do dia 30 de abril de 2017.
Com base nesse gráfico, analise as sentenças a seguir:
 I. Só houve queda no número de homicídios no período de 2008 a 2013.
 II. A média do número de homicídios no período de 2013 a 2016 é superior a 3700 casos.
 III. Apesar do crescimento acentuado dos homicídios a partir do ano de 2013, o ano de 2016, em 
comparação com o ano de 2004, apresentou um aumento aproximado de 7% em relação ao nú-
mero de casos.
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É CORRETO o que se afirma, apenas, em 
 a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. 
Nessa questão, assim como em outras que envolvem gráficos de linhas, é possível fazer um link com 
o próximo tema do setor: taxa de variação. Sugerimos, sempre que possível, levar os alunos a relacionar 
os conteúdos de forma a integrar o conhecimento. Um questionamento sugerido: É possível identificarmos 
dois períodos em que o crescimento ou o decrescimento é constante? Estimulá-los a raciocinar sem for-
malizar o conteúdo pode construir estruturas de raciocínio muito valiosas. 
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Variações e 
proporcionalidade
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT101 Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos 
gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT104 Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros, 
investigando os processos de cálculo desses números.
EM13MAT314 Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas compostas, determinadas pela razão ou pelo produto de duas outras, como 
velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.
EM13MAT401 Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1o grau em representações geométricas no plano cartesiano, 
distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
EM13MAT510 Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando tecnologias da informação, e, se 
apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Sugestão de roteiro de aula
 Aula Descrição Anotações
5
Razão e proporção
Desenvolvendo habilidades: 1 a 4
TM: 1 a 4
TC: 8 a 11
TD: 15 e 16
Extras!: 1 e 2
6
Escala
Taxa de variação
Desenvolvendo habilidades: 5 e 6
TM: 5 a 7
TC: 12 a 14
TD: 17 e 18
Extras!: 3 e 4
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Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar a razão entre duas grandezas e seu significado.
. Objetivo2: Inferir e concluir sobre dados apresentados na forma de razão.
. Objetivo 3: Identificar uma proporção e calcular dados usando essa proporção.
. Objetivo 4: Calcular, comparar e inferir sobre objetos, mapas e medidas, utilizando o conceito de 
escala.
. Objetivo 5: Inferir e concluir sobre dados por meio da taxa de variação.
Objetivos de aprendizagem
Ponto de partida
Ao explorar a primeira questão proposta (“Quando você baixa algum arquivo da internet, o tempo de 
espera para que isso ocorra depende do quê?”), encaminhe a discussão a partir das respostas dos alunos. 
Caso eles não percebam, comente que a velocidade da internet depende da operadora contratada ou da 
instalação feita, como a cabo ou fibra ótica. Consequentemente, esses fatores influenciam também na 
velocidade de . Através dessa questão, na aula 5, é possível conceituar razão. download
Para explorar bem a segunda questão proposta (“Você já utilizou a escala de um mapa para estimar 
uma distância?”), na aula 6, se possível, leve um mapa com escala para a sala de aula e discuta com os 
alunos sobre como fariam para medir, aproximadamente, a distância entre duas cidades. Deixe que eles 
apresentem suas ideias e conduza a solução para a utilização de proporção, mesmo que inicialmente de 
forma intuitiva.
Aula 5
O tema razão e proporção é amplamente utilizado não só na Matemática, mas também na Física e na 
Química. Por isso, é fundamental que os alunos compreendam esse assunto em suas diversas formas.
Na pergunta do Ponto de partida, aproveite as respostas dos alunos para mostrar as ideias de grande-
za e de proporcionalidade, de forma natural e sem aprofundar muito. O importante é fazer os alunos per-
ceberem que a resposta é uma razão: por segundo (Mb/s), por exemplo.megabits
Devemos diferenciar bem razão de proporção, pois os alunos tendem a confundir os conceitos e como 
trabalhar com eles. Após definir razão e dar alguns exemplos, como velocidade média e densidade, peça 
que resolvam os exercícios 1 e 2, corrigindo-os em seguida e destacando a ideia de razão.
Na sequência, defina proporção e dê exemplos simples, como o seguinte: Para a receita de um suco 
em que, para 1 parte de suco concentrado, devemos acrescentar 4 partes iguais de água, quanto de água 
precisamos acrescentar a 30 mL de suco concentrado?
Em seguida, peça aos alunos que resolvam os exercícios 3 e 4. Como o exercício 4 envolve a elabora-
ção de problemas, caso haja dificuldades, dê exemplos de grandezas compostas, como a densidade de-
mográfica ou a energia elétrica. 
Aula 6
Retome os conceitos de razão e proporção, se houver tempo, e verifique qual foi o exercício da tarefa 
em que os alunos tiveram maior dificuldade e resolva com eles.
Apresente a ideia de escala usando o e, se possível, mostre um mapa e faça algumas Ponto de partida
medições com a participação dos alunos, exercitando o conceito de escala. Na sequência, peça que resol-
vam o exercício 5.
O conceito da taxa de variação é muito importante. Nesse momento, a ideia não é aprofundar o as-
sunto, mas oferecer subsídios para as aulas de Física e Química deste início de curso, esclarecendo alguns 
itens necessários para essas áreas de conhecimento. Use vários exemplos de gráficos, com taxa de variação 
positiva e negativa, constante e variável. O mais importante nesse momento é transmitir a ideia, sendo 
desnecessário o aprofundamento. Na sequência, peça que resolvam o exercício 6.
Encaminhamento 
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Grandezas 
proporcionais
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT101 Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos 
gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT103 Interpretar e compreender o emprego de unidades de medida de diferentes grandezas, inclusive de novas unidades, como as de 
armazenamento de dados e de distâncias astronômicas e microscópicas, ligadas aos avanços tecnológicos, amplamente divulgadas na sociedade.
EM13MAT314 Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas compostas, determinadas pela razão ou pelo produto de duas outras, como 
velocidade, densidade demográfica, energia elétrica etc.
Sugestão de roteiro de aula
 Aula Descrição Anotações
7
Abertura do módulo
Grandezas diretamente e inversamente 
proporcionais
Desenvolvendo habilidades: 1 a 3
TM: 1 a 4
TC: 8 a 13
TD: 16 a 18
Extras!: 1 a 3
8
Divisão de um total em partes proporcionais
Desenvolvendo habilidades: 4 e 5
TM: 5 a 7
TC: 14 e 15
TD: 19 e 20
Extras!: 4
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar grandezas diretamente proporcionais e seu significado.
. Objetivo 2: Identificar grandezas inversamente proporcionais e seu significado.
Objetivos de aprendizagem
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. Objetivo 3: Calcular dados usando o conceito de grandezas proporcionais.
. Objetivo 4: Dividir um total em partes proporcionais.
Encaminhamento
Ponto de partida
Ao explorar as questões propostas para a aula 7, os alunos podem expor os conhecimentos que têm, 
ainda que não tenham sido sistematizados, sobre relações de proporcionalidade. Caso apresentem dificul-
dade em responder às perguntas, recorra a um breve experimento em sala de aula e solicite a um dos 
alunos que vá do começo ao fim da sala de aula e volte andando devagar. Depois, faça o mesmo percurso 
andando rápido. Em seguida, leve-os a perceber como o tempo que o aluno levou para fazer esses percur-
sos variou de acordo com o ritmo com que ele andou. Explore essa relação até que sejam compreendidas 
as dependências entre essas grandezas.
Para responder à questão proposta para a aula 8, é possível que os alunos apresentem um pouco mais 
de dificuldade. Nesse caso, procure usar recursos variados, como esquemas ou até mesmo simular a situa-
ção. Leve-os a perceber que é possível considerar o total de horas trabalhadas pelas duas pessoas, esta-
belecer um valor por hora e, depois, calcular quanto cada uma deve receber considerando a quantidade 
de horas que trabalhou. 
Aula 7
Após explorar com os alunos as questões apresentadas no , oriente-os a fazer a lei-Ponto de partida
tura dos itens 1, 2 e 3. Converse com eles sobre a importância da análise do comportamento de um gran-
deza de acordo com a variação da outra. Se possível, retome as questões do Ponto de partida e faça um 
quadro com os alunos para cada questão: um com velocidade e tempo de viagem, outro com distância e 
tempo de viagem. Com base nas informações, será possível definir grandezas diretamente proporcionais 
e grandezas inversamente proporcionais.
É muito importante que os alunos percebam que, se é inversamente proporcional a (com y x xy 5 k), 
então y é diretamente proporcional ao inverso de x com
1



.y k
x
5 ? Se possível, relacione as equações 
com as tabelas e explore os valores apresentados no quadro construído anteriormente para fazer essa 
constatação.
Na sequência, peça aos alunos que resolvam os exercícios 1, 2 e 3, corrigindo em seguida. No exercício 
2, se houver tempo, discuta, por exemplo, o que acontece se duplicarmos a massa. Por ser uma questão 
conceitual, é vantajoso iniciar essas discussões, para perceber a assimilação dos conteúdos pelos alunos.
O exercício 3 da aula explora a regra de três composta. Por ser um assuntoem que os alunos costumam 
apresentar dificuldade, sugerem-se três resoluções possíveis; assim, estamos contribuindo para que obs-
táculos sejam transpostos e para que os alunos aumentem seu repertório de estratégias de resolução.
Aula 8
O Ponto de partida, normalmente, causa uma boa reflexão entre os alunos. Para incentivar, pergunte 
como fariam a divisão de valores entre pessoas que trabalharam tempos diferentes. Não há a necessidade 
de chegarem à resposta; é importante apenas que promovam uma análise reflexiva diante da situação 
proposta. Após a discussão, retome os conceitos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas 
inversamente proporcionais. 
Após a análise de situações direta e inversamente proporcionais, apresente um exemplo para cada 
divisão. Dê um tempo para que eles resolvam os exercícios 4 e 5, corrigindo-os em seguida. 
Caso ainda haja tempo de aula disponível, é recomendável a resolução das questões disponíveis na 
seção , em que é possível retomar o conteúdo estudado. Corrija-os em seguida.Extras!
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Porcentagem
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
9
Definir porcentagem
Base de cálculo e valor absoluto
Variação percentual
Desenvolvendo habilidades: 1 a 3
TM: 1 a 4
TC: 17 a 19
TD: 31
Extras!: 1 a 3
10
Valor final após um aumento (ou redução)
Fator de correção
Desenvolvendo habilidades: 4 a 6
TM: 5 a 8
TC: 20 a 23
TD: 32 e 33
Extras!: 4 a 6
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT101 Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos 
gráficos das funções representadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT102 Analisar gráficos e métodos de amostragem de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de 
comunicação, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apropriadas.
EM13MAT104 Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros, 
investigando os processos de cálculo desses números.
EM13MAT203 Planejar e executar ações envolvendo a criação e a utilização de aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas para o controle de 
orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros compostos, dentre outros, para aplicar conceitos matemáticos e tomar decisões.
EM13MAT303 Resolver e elaborar problemas envolvendo porcentagens em diversos contextos e sobre juros compostos, destacando o crescimento 
exponencial.
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M
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D
U
LO
 4
 -
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C
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M
M
A
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A
 B
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar porcentagem como uma razão da parte pelo todo.
. Objetivo 2: Identificar e calcular variação absoluta e variação percentual.
. Objetivo 3: Calcular valores com aumentos ou reduções percentuais.
. Objetivo 4: Resolver problemas envolvendo o conceito de porcentagem calculando.
. Objetivo 5: Calcular valores em aumentos ou reduções percentuais sucessivas.
Objetivos de aprendizagem
Ponto de partida
Utilize as questões propostas para verificar os conhecimentos prévios dos alunos em relação à por-
centagem e como isso se relaciona com os conceitos de aumento e desconto. Estimule os alunos a explicar 
como fazer o cálculo da primeira questão (“Como calcular o novo preço de um produto após um aumento 
de 20%?”). Provavelmente eles já tenham estudado esse assunto em anos anteriores.
Explorando a segunda questão (“Após dois aumentos de 10% no preço de um produto, o aumento 
total é de 20%?”), leve-os a observar que muitas situações-problema de Matemática exigem mais do que 
a aplicação de um único conceito. Esse é um exemplo de como essa conexão de conceitos é feita para 
além da interpretação de texto, que é sempre muito importante. Reforce para os alunos o fato de que não 
basta apenas coletar os dados numéricos, deve-se saber como operá-los.
Aula 9
No início da aula, trabalhe com os alunos a ideia de que a porcentagem se refere à parte de um todo, 
e que esse todo pode ser contínuo ou discreto. Então, quando se fala em 35%, por exemplo, é necessário 
saber a que se refere para poder interpretar essa informação. 
Ao apresentar o conceito de porcentagem, sua forma fracionária e a decimal, use exemplos para mostrar 
o que é a base de cálculo e o que é o valor absoluto. Insista na ideia de que porcentagem é um valor relativo, 
ele relaciona a parte com o todo através de uma fração. Peça aos alunos que resolvam os exercícios 1 e 2.
Após corrigir os dois primeiros exercícios, defina o conceito de variação percentual e o significado do 
seu sinal. Peça a eles que resolvam o exercício 3, corrigindo-o na sequência. Se houver tempo, complemen-
te a aula com os exercícios 1 a 3 da seção Extras!.
Aula 10
Comece esta aula com a questão sugerida no Ponto de partida, no início deste módulo. Para isso, use 
um valor para o qual seja possível fazer o cálculo mental rapidamente, por exemplo: uma camisa custa 
R$ 80,00 e terá um aumento de 10%; qual será o preço após o aumento?
A partir disso, mude os números até que não seja possível calcular mentalmente. Mostre que mesmo 
assim eles podem calcular qual será o valor absoluto do aumento e somar com o valor inicial. Mas e se 
Encaminhamento
11
Problemas envolvendo porcentagem
Desenvolvendo habilidades: 7 e 8
TM: 9 a 12
TC: 24 a 27
TD: 34
Extras!: 7 e 8
12
Variações sucessivas
Desenvolvendo habilidades: 9 a 12
TM: 13 a 16
TC: 28 a 30
TD: 35 e 36
Extras!: 9
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quiséssemos fazer isso de um modo mais direto? Com esse argumento, deduza a expressão do valor 
final após um aumento ou uma redução. Na sequência, peça que resolvam os exercícios 4 a 6. Se houver 
tempo, complemente a aula com os exercícios 4 a 6 da seção Extras!.
Aula 11
Esta aula pode ser utilizada para resolver alguns problemas que envolvam cálculos de porcentagem. 
Caso julgue oportuno e com tempo disponível, você já pode abordar o assunto aumentos sucessivos.
Se optar pela primeira ideia, de resolver problemas envolvendo porcentagem, sugerimos iniciar a aula 
pedindo aos alunos que resolvam o exercício 7; dê algum tempo para que eles resolvam e corrija-o em aula, 
solicitando sugestões do encaminhamento. Proceda do mesmo modo com o exercício 8, mas é fundamen-
tal a participação da turma na resolução. Incentive-os a apresentar outros modos de resolução. Se houver 
tempo, complemente a aula com os exercícios 7 e 8 da seção Extras!.
Aula 12
Questione os alunos se dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de 20%. 
Depois dessa discussão, sugerimos mostrar exemplos genéricos em vez de numéricos simples. Mostre que 
resultará em um aumento maior do que 20%. Faça a mesma coisa com redução. Explore diversos exemplos, 
com dois aumentos distintos e com duas reduções distintas e, por fim, um aumento e uma redução, e uma 
redução e um aumento, mas com foco nos fatores de correção. Adote sempre o valor inicial V
0
, não use 
um valor numérico. Tente fazer com que eles concluam sozinhos que, para obtermos o valor final, é só 
multiplicar o valor inicial por todos osfatores de correção.
Após eles estarem com esse conceito claro, é praticamente imediato deduzir a expressão para aumen-
tos sucessivos iguais e reduções sucessivas iguais.
Mostre que trabalhar com essas expressões pode apresentar uma dificuldade maior, em função de, 
eventualmente, termos que utilizar potenciação e radiciação. Peça a eles que resolvam os exercícios 9 a 12, 
corrigindo-os na sequência. Se houver tempo, complemente a aula com o exercício 9 da seção Extras!.
G A B A R I T O 
Caderno de Estudos
Unidade 1 – Potências de números reais 
(Setor A, módulos 1 e 2), capítulos 1 e 2
Capítulo 1 – Potências de expoente inteiro
1 a) 54
 b) 64
 c) 214
2 a
3 d
4 c
5 b
6 d
7 d
8 b
9 d
10 a) 3
 b) 6
11 e
12 c
13 c
14 e
15 d
16 e
17 e
18 c
19 d
20 a) 216 e 216
 b) +2 1
21006
 
Capítulo 2 – Potências de expoente racional
1 a) ( )2 15 3 2 11 2
 b) 2 183
 c) 2
2 c
3 d
4 e
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A
 B
5 14
6 b
7 d
8 c
9 01 1 1 5 02 16 19
10 01 1 1 5 02 08 11
11 c
12 a
13 c
14 a
15 a
16 a) 333,33 metros, aproximadamente.
 b) ( )( )5 1 5 1 42 1 5 . 
 Sim, é possível. Ao multiplicarmos o numerador e o 
denominador da fração obtida no item anterior por 
5 11 , obteremos uma fração equivalente; porém, uti-
lizando a aproximação fornecida, a metragem total re-
sulta em 320 metros, aproximadamente, e não em 
333,33 metros.
17 01 1 5 08 09
18 b
19 c
20 512
Unidade 2 – Estatística e 
proporcionalidade (Setor B, módulos 1 a 4), 
capítulos 1, 2, 3 e 4
Cap’tulo 1 Ð Análise e interpretação de dados
1 a
2 c
3 c
4 Resposta pessoal.
5 
Número de 
passos por dia
f
a
f
r
%
4 000 5 000 206 0,2
5 000 6 000 206 0,2
6 000 7 000 103 0,1
7 000 8 000 7 0,23 23
8 000 9 000 8 0,27 27
Total 30 1 100
6 a) A variável é quantitativa, pois a quantidade de gols é 
uma característica mensurável.
 b) m n 5 10%; 5 0,3; o 5 5 15; p 0,4; 5; q 5 r 5 20; 
s t 5 20%; 5 0,2.
7 a) Sendo x 5 multas leves, médias, y 5 z 5 graves, 
w 5 gravíssimas, temos: (x, y z w, , ) 5 (0, 2, 1, 0), 
(1, 0, 2, 0), (2, 0, 0, 1) e (3, 1, 0, 0).
 b) R$ 122.900,00
8 c
9 a) 2011 e 2012
 b) 8,03%
 c) Aproximadamente 13.
10 b
11 c
12 c
13 a) 29 °C
 b) 68,4%
 c) 21,5 °C
14 c
15 d
16 d
17 A soma das notas que a professora sabe vale 66. Como a 
média pode ser 7 ou 8, temos que a única nota da prova 
é 4, o que resultaria em média 7. Se a média for 8, a nota 
da prova deveria ser 14, o que não é possível. 
18 1,777...
19 d
20 a) °5x 29,4 C 
 b) 1,1 °C
21 c
22 c
23 c
24 A ação deverá ser feita na cidade Y, pois o desvio-padrão 
é maior. Logo, as respostas foram menos regulares. 
25 a
26 e
27 Resposta pessoal.
28 a
29 c
30 d
31 d
32 d
33 a
G
A
B
A
R
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34 e
35 c
36 d
37 d
38 02 + 16 = 18
Capítulo 2 – Variações e proporcionalidade
1 b
2 d
3 a
4 a
5 c
6 b
7 d
8 c
9 e
10 c
11 d
12 a
13 d
14 c
15 e
16 600 bolos
17 b
18 c
19 c
20 a
21 c
22 e
Capítulo 3 – Grandezas proporcionais
1 e
2 e
3 c
4 70 kg
5 b
6 a
7 24, 42 e 48
8 d
9 c
10 e
11 b
12 c
13 b
14 d
15 c
16 b
17 a
18 b
19 a
20 d
Capítulo 4 – Porcentagem
1 c
2 b
3 a
4 a
5 c
6 e
7 d
8 a
9 e
10 c
11 b
12 a
13 d
14 d
15 b
16 a
17 a
18 a
19 c
20 Aumento de 50%. 
21 e
22 e
23 R$ 65.000,00
24 c
25 e
26 d
27 Aproximadamente 16,7%.
28 b
29 c
30 b
31 a) A variação percentual do preço do cafezinho é igual a 
50%, e a variação percentual do preço do cafezinho 
com leite é 60%.
 b) R$ 100,00
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ç
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A
 B
32 b
33 e
34 b
35 a
36 a) R$ 13.201,60
 b) R$ 110.662,60
 c) R$ 119,30
Unidade 3 – Introdução à linguagem 
algébrica (Setor A, módulos 3 a 5), 
capítulos 1, 2 e 3
Capítulo 1 – Técnicas algébricas
1 a) 5 2
34 3
4
2 1y by
y
 b) 16 9
2 22x y
 c) 3 3 22 21 2a x ax
2 d
3 d
4 d
5 e
6 a
7 c
8 21 222 324
9 a) ( )3 2 5 82 4 2? 1 2x x x
 b) ( ) ( )22 ? 1x y b
 b) ( ) ( )3 4 3 4
2 22 ? 1a y a y
10 b
11 d
12 e
13 a) ( )7
2
1x
 b) ( )2 2
2
2 ? 2y
 c) ( ) ( )+3 31 ? 1 2x y x y
14 b
15 b
16 a
17 e
18 a
19 c
20 a) Demonstração.
 b) 10 bilhões de reais.
21 b
22 d
23 a) 2 2 22 2 21 1 1 1 1a b c ab ac bc
 b) 3 3
3 2 2 31 1 1a a b ab b
 c) 3 33 2 2 32 1 2a a b ab b
24 b
25 d
26 d
27 c
28 c
29 202,1
30 a
31 c
32 01 1 1 1 5 04 08 16 29
33 d
34 a) Desenvolvendo a expressão ( )22a b , temos 
2 02 1 .a ab b , o que implica 21 .a b ab . Daí, 
concluímos que 
2
1 . ?
a b
a b.
 b) Sim. O menor valor de R registrado é 4
 c) x 5 28
35 e
36 c
37 b
38 c
39 15
40 a) 0,38
 b) A menor fração é 0,3 e ocorre quando o banco depo-
sitar quantidades iguais nos 3 fundos, ou seja, quando 
1
3
5 5 5a b c .
Capítulo 2 – Igualdades e desigualdades
1 a) 








19
6
 b) 








12
5
2
 c) { }32
 d) 








3
4
2 c
3 d
4 d
5 a) { }∈¡ 3| >x x
 b) { }∈¡ 1| ,s s
 c) ∈








¡
3
2
| , 2t t
 d) k k{ }∈ 18¡ | >
G
A
B
A
R
IT
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36
6 a
7 c
8 a
9 a) 








13
4
 b) 0
 c) ¡
 d) 








5
2
2
5
1
S
a
10 c
11 a) 300
 b) y 5 0,28 16x 1
12 b
13 b
14 a
15 a) ∈
− π








¡
5
9 2
| ,x x
 b) 0
 c) ¡
16 01 1 1 1 5 02 04 08 15
17 93 anos
18 c
19 d
20 a
Cap’tulo 3 – Modelagem algébrica de problemas
1 c
2 V, F, V, V e V.
3 d
4 a
5 a
6 b
7 e
8 c
9 d
10 a
11 a
12 d
13 c
14 a
15 b
16 02 1 5 04 06
17 02 1 1 5 04 16 22
18 c
19 a) 12 folhas.
 b) 248 figurinhas. 
20 a
21 A questão envolve a elaboração de um exercício com base 
em um problema e no conhecimento do tema. Assim, 
caso não seja possível desenvolver essa atividade duran-
te a aula, peça que tragam na próxima. 
A N O T A Ç Õ E S
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Matemática e suas 
Tecnologias
SETOR A
Módulo 1 Potências de expoente inteiro .................... 121
Módulo 2 Potências de expoente racional ................ 127
Módulo 3 Técnicas algébricas ......................................... 131
Módulo 4 Igualdades e desigualdades ........................ 138
Módulo 5 Modelagem algébrica de problemas ....... 143
SETOR B 
Módulo 1 Estatística: análise de dados ....................... 149
Módulo 2 Variações e proporcionalidade .................. 162
Módulo 3 Grandezas proporcionais ............................. 168
Módulo 4 Porcentagem ..................................................... 173
N
ik
a
d
a
/E
+
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
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A área de Matemática 
e suas Tecnologias
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 1 
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáti-
cos para interpretar situações em diversos contextos, sejam 
atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Nature-
za e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnoló-
gicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contri-
buir para uma formação geral.
Habilidades
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais 
e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de 
grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das 
taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT102) Analisar tabelas, gráficos e amostras de pesquisas 
estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes 
meios de comunicação, identificando, quando for o caso, inadequa-
ções que possam induzir a erros de
interpretação, como escalas e amostras não apropriadas.
(EM13MAT103) Interpretar e compreender textos científicos ou di-
vulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de di-
ferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas 
ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de armazenamento 
e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecno-
lógicos.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconô-
mica (índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre 
outros), investigando os processos de cálculo desses números, para 
analisar criticamente a realidade e produzir argumentos.
(EM13MAT105) Utilizar as noções de transformações isométricas 
(translação, reflexão, rotação e composições destas) e transforma-
ções homotéticas para construir figuras e analisar elementos da 
natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções 
civis, obras de arte, entre outras).
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja 
necessário fazer escolhas levando-se em conta os riscos probabilís-
ticos (usar este ou aquele método contraceptivo, optar por um tra-
tamento médico em detrimento de outro etc.).
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 2 
Propor ou participar de ações para investigar desafios do 
mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e social-
mente responsáveis, com base na análise de problemas 
sociais, como os voltados a situações de saúde, sustenta-
bilidade, das implicações da tecnologia no mundo do tra-
balho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, 
procedimentos e linguagens próprios da Matemática.
Habilidades
(EM13MAT201) Propor ou participar de ações adequadas às deman-
das da região, preferencialmente para sua comunidade, envolvendo 
medições e cálculos de perímetro, de área, de volume, de capacida-
de ou de massa.
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral sobre ques-
tões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em dife-
rentes fontes, e comunicar os resultados por meio de relatório con-
tendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e 
das medidas de dispersão (amplitude e desvio padrão), utilizando 
ou não recursos tecnológicos.
(EM13MAT203) Aplicar conceitos matemáticos no planejamento, na 
execução e na análise de ações envolvendo a utilização de aplicati-
vos e a criação de planilhas (para o controle de orçamento familiar, 
simuladores de cálculos de juros simples e compostos, entre outros), 
para tomar decisões.
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 3 
Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos 
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver 
problemas em diversos contextos, analisando a plausibili-
dade dos resultados e a adequação das soluções propostas, 
de modo a construir argumentação consistente.
Habilidades
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Ma-
temática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações 
lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou 
sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT302) Construir modelos empregando as funções polino-
miais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diver-
sos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT303) Interpretar e comparar situações que envolvam 
juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de 
representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o cres-
cimento linear ou exponencial de cada caso.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com funções expo-
nenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a va-
riação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemá-
tica Financeira, entre outros.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções loga-
rítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a va-
riação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos 
sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
(EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que 
envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, 
movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações 
com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem 
apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
(EM13MAT307) Empregar diferentes métodos para a obtenção da 
medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação 
por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em 
situações reais (como o remanejamento e a distribuição de planta-
ções, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
(EM13MAT308) Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do 
seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para 
resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados 
contextos.
(EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cál-
culo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos 
redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material 
para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam com-
posições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias 
digitais. 
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envol-
vendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio
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dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias di-
versas, como o diagrama de árvore. 
(EM13MAT311) Identificar e descrever o espaço amostral de eventos 
aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e 
elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cál-
culo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios su-
cessivos.
(EM13MAT313) Utilizar, quando necessário, a notação científica para 
expressar uma medida, compreendendo as noções de algarismos 
significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda 
medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvem gran-
dezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (veloci-
dade, densidade demográfica, energia elétrica etc.).
(EM13MAT315) Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, 
quando possível, um algoritmo que resolve um problema.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes con-
textos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de ten-
dência central (média, moda, mediana) e das medidas de dispersão 
(amplitude, variância e desvio padrão).
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 4 
Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, dife-
rentes registros de representação matemáticos (algébrico, 
geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de 
solução e comunicação de resultadosde problemas. 
Habilidades
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções 
polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano 
cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é 
proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álge-
bra e geometria dinâmica.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções 
polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano 
cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for direta-
mente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a 
softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre 
outros materiais.
(EM13MAT403) Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio 
de tecnologias digitais, entre as representações de funções expo-
nencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, 
para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, 
crescimento) de cada função.
(EM13MAT404) Analisar funções definidas por uma ou mais senten-
ças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em 
suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de 
validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo es-
sas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tec-
nologias digitais.
(EM13MAT405) Utilizar conceitos iniciais de uma linguagem de pro-
gramação na implementação de algoritmos escritos em linguagem 
corrente e/ou matemática.
(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequ-
ências com base em dados obtidos em pesquisas por amostras 
estatísticas, incluindo ou não o uso de softwares que inter-relacionem 
estatística, geometria e álgebra.
(EM13MAT407) Interpretar e comparar conjuntos de dados estatís-
ticos por meio de diferentes diagramas e gráficos (histograma, de 
caixa (box-plot), de ramos e folhas, entre outros), reconhecendo os 
mais eficientes para sua análise.
COMPETÊNCIA ESPECÍFICA 5
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferen-
tes conceitos e propriedades matemáticas, empregando 
estratégias e recursos, como observação de padrões, ex-
perimentações e diferentes tecnologias, identificando a 
necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais 
formal na validação das referidas conjecturas.
Habilidades
(EM13MAT501) Investigar relações entre números expressos em 
tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando pa-
drões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebrica-
mente essa generalização, reconhecendo quando essa representação 
é de função polinomial de 1º grau.
(EM13MAT502) Investigar relações entre números expressos em 
tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando pa-
drões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebrica-
mente essa generalização, reconhecendo quando essa representação 
é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
(EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de fun-
ções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática 
Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias 
digitais.
(EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do 
volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio 
de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do 
volume dessas figuras.
(EM13MAT505) Resolver problemas sobre ladrilhamento do plano, 
com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para con-
jecturar a respeito dos tipos ou composição de polígonos que podem 
ser utilizados em ladrilhamento, generalizando padrões observados.
(EM13MAT506) Representar graficamente a variação da área e do 
perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus 
lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
(EM13MAT507) Identificar e associar progressões aritméticas (PA) 
a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, 
dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT508) Identificar e associar progressões geométricas (PG) 
a funções
exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, 
dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
(EM13MAT509) Investigar a deformação de ângulos e áreas provo-
cada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a ci-
líndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados relativos ao compor-
tamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias 
da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e 
utilizar uma reta para descrever a relação observada.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferentes tipos de espa-
ços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, 
e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
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Antonio Carlos ROSSO Junior 
Fábio PELICANO Borges Vieira 
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY) 
RODNEY Brasil Luzio 
THIAGO Dutra de Araújo Matemática
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COMPETÊNCIAS 
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
EM13MAT103
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT313
M A T E M ÁT I C A A
Potências de expoente 
inteiro
C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 . C 3
Ponto de partida
Para motivar os alunos 
a rever alguns conceitos 
estudados no Ensino 
Fundamental, que se-
rão aprofundados ago-
ra, questione-os com a 
seguinte pergunta: 
• Quantas pessoas são 
os bisavós dos bisavós 
dos seus bisavós? 
Objetivos de aprendizagem
Neste módulo
1 Potências de expoente natural
Dado um número real e um número natural , maior que 1, definimos a potência de base a n a e expoen-
te n, representada por an, como o produto de n fatores iguais a a.
1 2444 3444
fatores
5 ? ? ? ?a a a a a
n
n
…
Ainda, definimos a1 5 a e a0 5 1. 
2 Potências de expoente inteiro negativo
Dado um número real não nulo e um número natural , definimos a potência representada por a n a2n 
como:
1
5
2
a
a
n
n
3 Propriedades das potências
Com base nas definições apresentadas nos itens anteriores, é possível mostrar que valem as seguintes 
propriedades:
 . ? 5 1a a a
n m n m
 . 5 5
?a a an
m
m
n
m n( ) ( )
 . 05 =
2
a
a
a , a
n
m
n m ( )
 . ? 5 ?a b a bn n
n( )
 . 05 =
a
b
a
b
, b
n
n
n
( )



 . Objetivo 1: aplicar as propriedades de potências em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
 . Objetivo 2: utilizar a notação científica na resolução de problemas. Aula 1
 . Objetivo 3: resolver situações-problema que façam uso da potenciação e de suas propriedades. Aula 2
Aula 1
Aula 1
Aula 1
Aula 1
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4 Notação científica de um número racional
Todo número racional pode ser escrito na forma 10 , com k ? n 1 10,itens a seguir, reduza as expressões nu-
méricas a uma só potência:
a) de base 7.
? ( )7 7
7
4 2 3
7
 
?
5
?
5 5
( )7 7
7
7 7
7
7
7
7
4 2
3
7
4 6
7
10
7
3
b) de base não inteira.
?( )11 16
2
4
24
 
?
5
?
5
?
5
?
5 5
( )
( ) ( )( )11 16
2
11 16
2
11 4
4
11 4
4
11
4
11
4
4
24
4 4
2
12
4 2
4
12
4 8
12
4
4
4
c) de base 3.
1 23 3 3
21
23 21 22
 
1 2
5
? 1 2
5
( )3 3 3
21
3 3 1 3
21
23 21 22 21 2 1
5
? 1 2
5
?
5 5
( )3 9 1 3
21
7 3
21
3
3
3
21 21 21
20
2 A gripe é uma infecção respiratória aguda de 
curta duração causada pelo vírus . Ao entrar no influenza
nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, dis-
seminando-se para a garganta e demais partes das vias 
respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é 
uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 
0,00011 mm. 
Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influen-
za, em mm, é 
a) 1,1 ? 1021.
b) 1,1 10?
22.
c) 1,1 ? 1023.
d) 1,1 10?
24.
e) 1,1 10?
25.
Aula 1 Aula 1Aula 1
Devemos ter 5 5 5 ?
2
,
, ,
,0 00011
11
10 000
11
10
11 10
4
4 .
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Aula 1
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3 A pirâmide financeira é um modelo comercial em que um 
indivíduo (ou um pequeno grupo) recruta pessoas com a 
condição de que cada recrutado associado a esse mode-
lo deve também recrutar uma certa quantidade de pessoas 
para se associarem. Em alguns casos, esse modelo é usa-
do para recrutar pessoas que, mediante o pagamento de 
um certo valor ao seu recrutador, acreditam que receberão 
um valor maior do que o valor pago, proveniente dos pa-
gamentos feitos pelos novos associados.
Suponha que um indivíduo inicie uma pirâmide financeira, 
recrutando duas novas pessoas a essa pirâmide; cada uma 
delas deverá recrutar outras duas pessoas, e assim por 
diante, cada novo associado recrutando outras duas pes-
soas. Considere que uma pessoa que acabou de se asso-
ciar à pirâmide tenha uma semana para recrutar os dois 
novos membros. 
a) Determine quantos associados essa pirâmide terá ao 
final das primeiras cinco semanas de recrutamento.
Observe a tabela a seguir:
Semana
Novos 
associados
Total de associados
1 2 1 1 2 5 3
2 4 1 1 2 1 4 5 7
3 8 1 1 2 1 4 1 8 5 15
4 16 1 1 2 1 4 1 8 1 16 5 31
5 32 1 1 2 4 1 1 8 32 1 16 1 5 63
Após cinco semanas, haverá 63 associados.
b) É possível que essa pirâmide associe novas pessoas, to-
das as semanas, durante 1 ano? Por quê? (Caso necessá-
rio, utilize uma calculadora para embasar sua resposta.)
 
 
 
c) Imagine que o número de associados dessa pirâmide 
se esgote. Considerando que cada associado pagou 
um valor de comissão a seu recrutador, você considera 
que o número de pessoas que não receberão comissão 
é maior, menor ou igual ao número de pessoas que 
receberão? Por quê?
A partir da tabela do item , é possível observar que, a cada semana, o número a
de novos associados é sempre maior do que o total de associados da semana 
anterior. Este é um fato bastante relevante nas fraudes conhecidas como 
esquemas em pirâmide: o número de pessoas prejudicadas financeiramente 
é sempre maior do que o número de pessoas beneficiadas. 
d) A partir do que foi discutido nos itens anteriores, qual é 
a sua opinião sobre a existência de propagandas que 
fazem referência ao item IX no artigo 2º da lei 1 521, de 
26/12/1951?
Art. 1º. Serão punidos, na forma desta lei, os crimes e 
as contravenções contra a economia popular. 
Art. 2º. São crimes desta natureza:
IX - Obter ou tentar obter ganhos ilícitos em detrimen-
to do povo ou de número indeterminado de pessoas 
mediante especulações ou processos fraudulentos.
Pena – detenção, de 6 meses a 2 anos.
Neste item, é possível discutir, com base no item anterior, que os esquemas 
em pirâmide prejudicam uma grande quantidade de pessoas, em benefício 
de algumas. Assim, a existência desta lei visa coibir esse tipo de fraude no 
país. O gráfico indicado na figura também reforça o argumento de que, nesses 
esquemas, há uma grande concentração de ganhos em poucas pessoas e 
há prejuízos financeiros a bastantes pessoas. 
Considerando o número de novos associados somente na última semana do 
ano, teríamos 252 5 4 503 599 627 370 496 associados, o que é impossível, 
pois essa quantidade é maior do que o número de habitantes do planeta Terra.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Aula 2
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124
4 Observe o gráfico ao lado, exibido por uma reportagem sobre a 
disseminação do novo coronavírus (covid-19), com informações 
do final de janeiro de 2020. 
Com base nas informações apresentadas, uma agência de saú-
de elaborou dois modelos de propagação do coronavírus, rela-
cionando o número de pacientes contaminados e o tempo N x, 
considerando que 0 corresponda ao dia 11 de janeiro de x 5
2020, x 5 1 corresponda ao dia 12 de janeiro de 2020, e assim 
por diante. Os modelos são mostrados a seguir:
Modelo 1 Modelo 2
N x N 5 167 1 38 5 ? 40 (1,3)x
Essa agência deseja determinar qual desses dois modelos mais se 
adequa ao comportamento da propagação do coronavírus.
a) Construa, usando o sistema de coordenadas abaixo, os gráficos correspondentes a esses dois modelos e, com base nes-
tes gráficos, decida qual desses modelos é o mais adequado para se representar a propagação do coronavírus.
 (Se necessário, utilize as aproximações: 1,33 ã 2,2, 1,34 ã 2,9 e 1,39 ã 10) 
Número de
contaminados
Tempo0
0
500
1
 
000
1
 
500
2 000
 
2
 
500
3 000
 
2 4 6 8 10
201
41
578
2
 
552
1
 
160
1
 
541
2
 
209
400
2
 
700
2
 
710
12 14 16 18
modelo 1
modelo 2
A partir das informações do enunciado, temos:
Dia x Modelo 1 Modelo 2
11 de janeiro 0 167 ? 0 38 40 1 5 38 ? (1,3)0 5 40
20 de janeiro 9 167 ? 9 38 1541 40 1 5 ? (1,3)9 5 40 ? 10 5 400
24 de janeiro 13 167 ? 1 13 38 2209 40 5 ? (1,3)13 5 400 ? (1,3)4 5 400 ? 2,9 5 1160
27 de janeiro 16 167 ? 16 1 38 2710 40 5 ? (1,3)16 5 1160 ? (1,3)3 5 1160 2,2 ? 5 25
Esses dados estão traçados no gráfico acima. Assim, entre os dois modelos, o mais adequado é o modelo 2.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
9
0
59* 41
201
578
Pelo menos 2 700
(58 fora da China)
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Epidemia do novo coronav’rus
Evolução diária segundo números divulgados pelas autoridades
1° morto 3 18
81 mortos
(0 fora da China)
500
1
 
000
1
 
500
2
 
000
2
 
500
3
 
000
11 13 16 20 27
Janeiro
*Número divulgado revisado em baixa pelas autoridades chinesas 
Fonte: autoridades dos países envolvidos.
Fonte: IstoÉ. Disponível em: https://istoe.com.br/ 
o-que-se-sabe-sobre-o-coronavirus/. Acesso em: 27 mar. 2020.
Aula 2
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Material de Consulta: Caderno de Estudos 1 – Potências de números reais – Capítulo 1
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima TarefaComplementar Tarefa Desafio
1
Aula 1
• Leia os itens 1 a 3 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 1 a 3.
• Faça as questões 9 a 11. 
• Leia os itens 1 a 4.
• Faça as questões 17 e 18.
2
Aula 1
• Leia o item 4 da seção 
Neste módulo.
• Faça a questão 4.
• Faça a questão 12.
• Leia o item 5.
3
Aula 2
• Faça as questões 5 a 8. • Faça as questões 13 a 16. • Faça as questões 19 e 20.
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula:
Aula 1: objetivos 1 e 2; Aula 2: objetivo 3.
EX TR AS!
1 Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de 
Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos.
Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é 
a) 0,4318 10?
2. 
b) 4,318 10?
1. 
c) 43,18 ? 100. 
d) 431,8 10?
21. 
e) 4318 ? 1022. 
2 (Unifesp) Em um experimento, uma população inicial de 100 bactérias dobra a cada 3 horas. Sendo y o número de bactérias 
após horas, segue quex 100 23
5 ?y
x
.
a) Depois de um certo número de horas a partir do início do experimento, a população de bactérias atingiu 
1 677 721 600. Calcule esse número de horas. (dado: 16 777216 256 5
3) 
b) Sabendo-se que da 45ª para a 48ª hora o número de bactérias aumentou de 100 ? 2k, calcule o valor de k. 
b) A partir do modelo escolhido, estime o número de pacientes contaminados pelo coronavírus no dia 31 de janeiro de 2020. 
Usando o modelo 2, para x 5 20, obtemos 40 . Do item anterior, temos ? (1,3)20
? ã)( ,40 1 3 2552
16
 e, portanto, ? ã ? ã ?) )( (, , ,40 1 3 2552 1 3 2552 2 9
20 4
 5 7400. Logo, 
são estimados 7400 pacientes contaminados pelo coronavírus.
DESENVOLVENDO H A BIL I D A DE S
Aula 1
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126
Texto para a questão 3
Admita que a ordem de grandeza de um número escri-
to na forma a ? 10n, com 1 10, a , então a ordem de grandeza 
vale 10 . Ainda, considere n 1 1 ,ã10 3 1.
3 Em uma das cenas de um filme de ficção científica, a he-
roína ouve de seu tutor a seguinte frase:
“Mil gerações vivem em você agora.”
Considere que, no contexto deste filme, cada indivíduo foi 
gerado por dois outros indivíduos de uma geração ante-
rior, como mostra o esquema:
Com base nessas informações e nas conclusões obtidas 
na questão 3 da seção Desenvolvendo habilidades, de-
termine:
a) a quantidade de indivíduos que "vivem" na heroína (in-
cluindo ela mesma), se a frase do tutor fosse “Dez ge-
rações vivem em você agora”;
b) a ordem de grandeza do total de indivíduos que "vivem" 
na heroína, considerando a frase dita por seu tutor.
4 (Fuvest-SP) Forma se uma pilha de folhas de papel, em ‐
que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é for-
mada da seguinte maneira: coloca se uma folha na pri-‐
meira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas 
quantas já houverem sido colocadas anteriormente. De-
pois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a or-
dem de grandeza
a) da altura de um poste.
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do 
Rio de Janeiro (RJ).
e) do diâmetro da Terra.
E X T R A S !
Betting on Zero
Para outras informações sobre pirâmide financeira, assista ao documentário , produzido nos Betting on Zero
Estados Unidos, que investiga a alegação de que uma famosa empresa é um esquema em pirâmide e que 
está prestes a entrar em colapso, o que prejudicará inúmeras pessoas – em especial pessoas de baixa renda, 
que depositaram suas economias e confiança na empresa. 
Esse documentário reforça o conceito de esquema em pirâmide e seus malefícios para a sociedade.
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Aula 2
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Potências de 
expoente racional
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Objetivos de aprendizagem
 . Objetivo 1: Aplicar as propriedades dos radicais em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
 . Objetivo 2: Escrever uma potência de expoente racional usando um radical. Aula 4
 . Objetivo 3: Resolver situações-problema que façam uso dos radicais e de suas propriedades. Aula 4 
Neste módulo
1 A operação radiciação
Dados um número real b . 0 e um número natural não nulo n, então existe um único número real a . 0 
tal que an 5 b. Nessas condições, o número é representado por a bn . 
= ⇔ =a b a b
n n
2 Propriedades dos radicais
Se a e são números reais não negativos e b n, m p e são números naturais não nulos, então são válidas 
as seguintes propriedades:
 . ⋅ = ⋅a b a bn n n
 . =
a
b
a
b
n
n
n ( ≠ 0b )
 . =
⋅
a anm m n
 . =⋅⋅
a a
m pn p mn
3 Potências de expoente racional
Dado um número real b . 0 e os números inteiros e , com 0, então:m n n >
( )= =b b b
m
n mn n
m
Aula 3
Aula 3
Aula 3
Aula 4
COMPETÊNCIA
ESPECÍFICA 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT304
EM13MAT313
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1 Escreva cada uma das expressões a seguir, com radicandos distintos, usando a menor quantidade possível de radicais.
a) 





8 3 7
1
2
? 1 2
 8 3 7
1
2
24 56 4 24 56 2 2 6 14 1( )



? 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2
b) ( )4 3 243 3 3? 1
 4 3 24 4 3 2 3 4 3 3 3 12
3 3 3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( )? 1 5 ? 1 5 ? 5
c) 
72 50 8
32 2
1 2
2
 
72  50 8 
32 2
6 2 5 2 2 2
4 2 2
9 2
3 2
3
1 2
2
5
1 2
2
5 5
2 Observe os três números abaixo, representados pelas letras , e A B C:
C ( )( )3 5 3 55 1 2B
4
2
4
5A 29635
Desses, são números inteiros somente:
a) A.
b) A e B.
c) A e C.
d) B C e .
e) A, e B C.
3 Determine o valor de ,
,27 32 0 25
1
3
3
5 0 5( )2 2 1 2 .
, ,
27 32 0 25 27 32
1
4
3 2 4 3 8 2 13
1
3
3
5 0 5 3 3
5
1
2
3( ) ( ) ( )



−2 2 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 1 1 5
2
4 O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desen-
volvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda 
per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os 
seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor , o segundo X X , o terceiro 
1
3X , o quarto 
X2 e o último X3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH?
a) O primeiro.
b) O segundo.
c) O terceiro.
d) O quarto.
e) O quinto.
Aula 3
Aula 3
A partir das propriedades da radiciação, temos:
29 29 29
63 66A = = =
4
2
2
2
2
2
1
4 24
B = = = =
( )( )= + − = − + − = =C 3 5 3 5 9 3 5 3 5 5 4 2
Logo, , e são números inteiros.A B C
Aula 4
Aula 4
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Professor: Neste momento do curso, talvez nem todos os alunos estejam acostumados com o fato de que, com 0 bY implica 
Xmencionado neste exercício.
Considerando =
1
2X X , vamos ordenar os números X , 
1
2X , 
1
3X , X 2 e X 3 segundo uma sequência crescente. Como 0Veja:
a ? b 1 ? a c 5 a ? (b 1 c)
4 Diferença de quadrados
A fatoração de uma diferença entre os quadrados de dois números e a b conduz ao produto da soma 
pela diferença entre esses dois números, ou seja:
a b2 2
2 5 (a 1 b) ? (a 2 )b
5 Trinômio quadrado perfeito
A fatoração de um trinômio quadrado perfeito conduz ao quadrado de uma soma ou de uma diferença:
a2 1 2ab 1 b2
5 (a b 1 )2
e
a2 2 2ab 1 b2
5 (a b 2 )2 
Aula 7
Aula 8
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
1 Desenvolva as seguintes expressões algébricas:
a) 3 2
1
2
5
? 1 2




x x a
x
 
x x a
x
x ax
x
3 2
1
3 2
12
5
3 2
3




? 1 2 5 1 2
b) 1 ? 22 2a b a b( ) ( )
 
a b a b a b a b2 2 2 4
2 2
2( ) ( ) ( )( )?1 2 5 2 5 2
c) (m 1 n m)2 2 ( 2 n)2
(m 1 n)2 2 (m 2 n)2 5 m2 1 2mn 1 n2 2 (m2 2 2mn 1 n2 ) 5 
5 2mn 1 2mn 5 4mn
2 Observe os valores no quadro a seguir:
14 ? 1 16 1 2255
 19 1 400? 21 1 5
23 ? 25 1 5 1 576
 34 ? 36 1 5 1 1 225
a) Com base nos valores observados no quadro, calcule 
o valor numérico de 59 1 e, em seguida, descreva ? 61 1
o padrão numérico que você identificou.
Calculando, temos: 
59 61 1 (60 (60 1 ? 1 5 2 1) ? 1 1) 1 5 60 2 2 12 5 602 5 3 600 
Essa pergunta admite diversas respostas possíveis e a esperada é: o 
padrão numérico identificado é o quadrado do número localizado entre 
os fatores do produto. 
b) A partir do padrão numérico identificado anteriormen-
te, verifique e justifique se é verdadeira ou falsa a se-
guinte afirmação: 
 “O sucessor do produto de dois números ímpares con-
secutivos (ou do produto de dois números pares conse-
cutivos) é sempre um número quadrado perfeito”.
Essa afirmação é verdadeira. Para justificá-la, vamos nos valer da lingua-
gem algébrica: representando por 1 e x 2 x 1 1 dois números ímpares 
consecutivos (ou dois pares consecutivos), o produto deles é dado por 
(x 2 1) ? 5 (x + 1) x 2 2 1. 
O sucessor desse número é (x 2 2 1) 1 1 5 x 2, que é sempre um qua-
drado perfeito.
Professor, neste momento, pode ser conveniente comentar com os alu-
nos uma das importâncias da linguagem algébrica em Matemática, que 
é justificar a validade de propriedades relativas a um conjunto de valores 
sem a necessidade de se testar cada um desses valores.
Aula 5
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3 Algoritmos computacionais são conjuntos de ações (ope-
rações) que resultam na solução de um problema em um 
número finito de etapas. Quanto menor for a quantidade 
de etapas de um algoritmo, menor será seu tempo de 
processamento pelo computador e, portanto, mais efi-
ciente ele será.
Observe o seguinte algoritmo:
> Iniciar programa
> 
> Criar o algoritmo A:
> 
> Digite as etapas do algoritmo e depois 
digite FIM.
> 
> 1. Digite um número qualquer 
> 2. Some 1 ao número digitado 
> 3. Multiplique o resultado obtido por 6 
> 4. Subtraia 4 do resultado anterior 
> 5. Divida o resultado obtido por 2 
> FIM
> 
a) No quadro abaixo, reescreva esse algoritmo de modo que 
tenha menos etapas, mas forneça o mesmo resultado.
> Iniciar programa
> 
> Criar o algoritmo A:
> 
> Digite as etapas do algoritmo e depois 
digite FIM.
> 
> 1. Digite um número qualquer
> 2. Multiplique este número por 3
> 3. Some 1 ao resultado obtido
> FIM
> 
> 
b) Um programador precisa escrever um algoritmo que 
seja capaz de realizar todas as etapas do algoritmo A 
e, em seguida, realizar as etapas do algoritmo B, con-
forme descrito a seguir:
> Iniciar programa
> 
> Criar o algoritmo B:
> 
> Digite as etapas do algoritmo e depois 
digite FIM.
> 
> 1. Subtraia 1 do número obtido na última 
etapa do algoritmo A
> 2. Divida o resultado obtido por 3 
> 3. Eleve ao quadrado o resultado anterior 
> FIM
 Complete o quadro a seguir com o algoritmo que deve 
ser escrito pelo programador a fim de que esse algo-
ritmo seja o mais eficiente possível.
> Iniciar programa
> 
> Criar o algoritmo AB:
> 
> Digite as etapas do algoritmo e depois 
digite FIM.
> 
> 1. Digite um número qualquer
> 2. Eleve ao quadrado o número digitado
> FIM
> 
> 
> 
> 
> 
4 Se α é um número real não nulo tal que 1 5
1
5α
α
, deter-
mine o valor de:
a) 1
1
2
α
α




 
1
5 25
2
2α
α




1 5 5
b) 1
12
2
α
α
 
1
25
2
α
α




1 5
 
2
1 1
252
2
α α
α α




1 ? ? 1 5
 2
1
25
2
2
α
α
1 1 5
 
1
23
2
2
α
α
1 5
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Aula 6
Professor, caso julgue conveniente, comente com os alunos que cada algoritmo pode ser entendido como a 
lei de uma função, cujas operações são as etapas descritas. Assim, sendo o número digitado, os algoritmos x
representam as leis A( (x) e B x) e o algoritmo respondido no item representa a lei b B(A(x)) da função composta. 
Reforçamos que a composição de funções será estudada com profundidade no Caderno 2 deste setor. 
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134
5 A figura abaixo é um quadrado cujo lado mede 
a 1 b 1 c 1 d. As letras representam as medidas dos seg-
mentos indicados, e as linhas tracejadas são paralelas a 
um par de lados desse quadrado:
a
a
b
b
c
c
d
d
a) Escreva a expressão algébrica correspondente à área 
de cada um dos quadrados e retângulos internos ao 
quadrado cujo lado mede a 1 b 1 c 1 d. 
a
a
b
b
c
c
d
d
a 2
b 2
c 2
d 2
ab
ab
ac
ac
bc
bc
bd
cd
cdbd
ad
ad
b) Com base nas expressões obtidas no item anterior, cal-
cule o valor de 11 , 1112 2 e 1 1112.
1
1
10
100
1000
1 10
10
100
1000
10000
10
100
100
1000
10000
100000
100
1000
1000
10000
100000
10000
A partir da figura, podemos escrever:
112 5 (1 1 10)2 5 1 1 2 ? 10 100 1 5 121
1112 5 (1 + 10 + 100)2 5 1 1 2 3 ? 10 1 ? 100 1 2 ? 1 000 10 000 1 5 12 321
1 1112 5 (1 1 10 100 1 1 1 000)2 5 1 2 1 ? 10 100 1 3 ? 1 4 ? 1 000 1 3 ? 10 000 1 
1 2 ? 100 000 1 1 000 000 5 1 234 321
Professor, caso julgue relevante, mostre aos alunos que os quadrados de números 
da forma 1 24 4 34 4É111 1
n vezes
 são escritos como 123... ... 321, compotências
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: aplicar as propriedades de potências em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
. Objetivo 2: utilizar a notação científica na resolução de problemas. 
. Objetivo 3: resolver situações-problema que façam uso da potenciação e de suas propriedades. 
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Fatores de textualidade
C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 . C 3 . C 4
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13LGG103 Analisar o funcionamento das linguagens, para interpretar e produzir criticamente discursos em textos de diversas semioses (visuais, 
verbais, sonoras, gestuais).
EM13LP02 Estabelecer relações entre as partes do texto, tanto na produção como na leitura/escuta, considerando a construção composicional e o 
estilo do gênero, usando/reconhecendo adequadamente elementos e recursos coesivos diversos que contribuam para a coerência, a continuidade do 
texto e sua progressão temática, e organizando informações, tendo em vista as condições de produção e as relações lógico-discursivas envolvidas 
(causa/efeito ou consequência; tese/argumentos; problema/solução; definição/exemplos etc.).
EM13LGG203 Analisar os diálogos e os processos de disputa por legitimidade nas práticas de linguagem e em suas produções (artísticas, 
corporais e verbais).
EM13LP01 Relacionar o texto, tanto na produção como na leitura/escuta, com suas condições de produção e seu contexto sócio-histórico de 
circulação (leitor/audiência previstos, objetivos, pontos de vista e perspectivas, papel social do autor, época, gênero do discurso etc.) de forma a ampliar 
as possibilidades de construção de sentidos e de análise crítica e produzir textos adequados a diferentes situações.
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
1
Interação, contextualização e significado
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1, 2 e 3
TC: 4 e 5
TD: 6
Extras!: 1
2
Princípios fundamentais para a leitura 
Desenvolvendo habilidades: 3, 4 e 5
TM: 7, 8, 11 e 12
TC: 9 e 10
TD: 13
Extras!: 2 
Objetivos de aprendizag em
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: identificar influência do contexto sócio-histórico na construção do significado em textos 
de diferentes gêneros.
. Objetivo 2: utilizar conhecimentos prévios para atribuir significado a textos de diferentes gêneros.
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Aula 1
Nesta primeira aula, a proposta é apresentar o método científico como a forma básica de estudo das 
Ciências da Natureza. Os componentes curriculares de Química e Física também estão introduzindo seus 
temas a partir de uma abordagem do método científico; assim, é importante uma linguagem comum.
Recomendamos que a abordagem inicial seja mostrar a diferença entre senso comum e pensamento 
científico. Convém caracterizar o senso comum como o conjunto de conhecimentos transmitidos pela 
experiência e aceitos como verdadeiros por um grupo social. Esses conhecimentos englobam tradições, 
crenças, hábitos familiares e preconceitos, sendo transmitidos de geração em geração. O senso comum 
não é racional nem tem base científica. Pode-se utilizar exemplos como: o número 13 é sinal de má sorte; 
não pode comer manga e beber leite; cortar o cabelo na lua cheia o fortalece e o faz crescer mais rápido; 
tomar banho depois de comer provoca congestão; se pegar friagem, vai ficar gripado. Sugerimos estimu-
lar os alunos a citar outros exemplos.
Em seguida, é importante mostrar como, a partir do senso comum, desenvolveu-se o pensamento 
científico, que é crítico e metódico. A ciência procura explicações racionais para os fenômenos naturais 
que permitam a descoberta de relações universais e que possibilitem a previsão de eventos para que, 
desse modo, possamos atuar sobre as condições naturais. Convém reforçar que a ciência não é um conhe-
cimento definitivo e absoluto, mas está em contínua modificação pelo surgimento de novos fatos, desco-
bertas ou aperfeiçoamentos tecnológicos.
Pode-se apresentar, então, as etapas do método dedutivo, mais comumente usado pelas Ciências da 
Natureza e explicar que não existe um método universal ou único, e as Ciências Humanas podem usar méto-
dos diferentes, mas também científicos Recomendamos destacar a importância da problematização (a ela-
boração de pergunta sobre um fato observado), que leva à produção da hipótese, que deve ser testada por 
uma experiência controlada e repetível. É importante explicar o que são as variáveis consideradas nos expe-
rimentos e sua importância.
Sugerimos mostrar como um conjunto de hipóteses pode levar a uma teoria, que é apenas a melhor 
explicação para um fenômeno específico em determinado momento e permite estabelecer previsões tes-
táveis; convém ressaltar que a teoria não é uma verdade final e dogmática e pode ser alterada ou abando-
nada por uma explicação melhor; toda teoria deve ser submetida à análise de falseamento.
Recomendamos trabalhar com os alunos a questão 1 da seção . Pode-se Desenvolvendo habilidades
reservar um momento para que leiam a questão e, na sequência, discutir com eles os passos necessários 
para chegar ao resultado observado. Convém destacar como a observação de um evento casual levou a 
uma descoberta de imensa importância, que rendeu a Fleming – juntamente com Howard Florey e Ernst 
Boris Chain – o prêmio Nobel de Fisiologia ou Medicina, em 1945, e resultou em um impacto incalculável 
na saúde pública mundial.
Recomendamos, então, apresentar como a metodologia científica foi aplicada na investigação sobre 
a origem da vida, inicialmente nos trabalhos envolvendo o debate abiogênese biogênese. Pode-se apre-3
sentar o conceito de geração espontânea elaborado por Aristóteles e explicar como, pelo senso comum, 
essa ideia se manteve sem contestação até o século XVII.
Em seguida, sugerimos descrever o experimento de Redi, mostrando que ele estava investigando a 
origem dos vermes que surgiam na carne em decomposição e, por meio de um experimento controlado e 
reproduzível, forneceu evidências sólidas para a contestação da abiogênese dos vermes.
É importante citar como a descoberta dos microrganismos na mesma época das experiências de Redi 
reacendeu a discussão sobre a abiogênese no universo microscópico. E essa ideia só foi finalmente refu-
tada em meados do século XIX com o experimento de Pasteur. Por fim, a explicação do experimento com 
frascos com gargalos em formato de pescoço de cisne pode ser feita em conjunto com a resolução da 
questão 2 da seção Desenvolvendo habilidades.
Uma sugestão neste momento é fazer a análise dos experimentos de Pasteur sob um aspecto investi-
gativo, organizando os alunos em duplas ou grupos pequenos e sugerindo que resolvam as questões. Ao 
final, pode-se estimular uma discussão acerca dos conceitos trabalhados. É importante estimar o tempo 
de aula necessário, estabelecendo limites para as análises e para a discussão.
Encaminhamento
SUGESTÃO DE 
ROTEIRO DE AULA
Os módulos são previstos para 
uma ou mais aulas. Neste 
quadro, há uma sugestão de 
como trabalhar aula a aula.
ENCAMINHAMENTO
Nesta seção, há sugestões 
aula a aula para se 
trabalhar o conteúdo 
com os alunos.
SETOR
Este material é dividido em
setores que definem um arranjo
dos conteúdos adequado às
especificidades da disciplina.
OBJETIVOS DE 
APRENDIZAGEM 
Nesta seção, explicita-se a expectativa 
de aprendizagem do módulo.
HABILIDADES BNCC 
NORTEADORAS DO MÓDULO
Aqui você encontrará as habilidades 
da Base Nacional Comum Curricular 
trabalhadas no módulo.
3
Encaminhamento
Ponto de partida
As perguntas disparadoras – do Módulo e, neste caso, do curso – têm o objetivo de fazer a turma 
perceber que a escrita não pode ser reduzida à representação visual da fala. São competências comple-
mentares, mas distintas: o1 168
Assim, a taxa de ocupação vale 
1168
2000
0 584,5 .
Aula 7
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
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b) As mudanças relativas a taxas de ocupação devem ser 
informadas à prefeitura da cidade na qual o terreno está 
localizado; no código de obras da cidade (contido no 
plano diretor do município), há um conjunto de regras 
que definem quais são as taxas de ocupação permitidas 
aos terrenos daquele município.
 Na cidade de São Paulo, o artigo 27 da lei no 16.642, de 
9 de maio de 2017 (referente ao código de obra da 
cidade), menciona:
Art. 27. Após a emissão do Alvará de Execução, 
somente são aceitas pequenas alterações no pro-
jeto, não se admitindo mudança de uso, categoria 
de uso ou subcategoria de uso e alteração da área 
de terreno.
Parágrafo único. Na hipótese prevista no “caput” 
deste artigo, o projeto modificativo a ser aprova-
do não pode conter, em relação ao projeto ante-
riormente aprovado:
 I. alteração superior a 5% (cinco por cento) nas 
áreas computáveis;
 II. alteração superior a 5% (cinco por cento) nas 
áreas não computáveis;
III. alteração superior a 5% (cinco por cento) na 
taxa de ocupação.
Uma vez aprovado o projeto do prédio e emitido o Alvará 
de Execução, se o proprietário do imóvel quiser construir 
uma garagem nesse terreno, de modo que a área da pro-
jeção da edificação seja 1 270 m2, ele poderá ser autuado 
por não cumprir a lei? Justifique.
Sim. De acordo com o item III do parágrafo, o limite de aumento na taxa de 
ocupação é de 5% 0,05. A partir da taxa obtida no item anterior, a nova taxa 5
de ocupação deverá ser 0,584 1 0,05 5 0,634, o que implica a projeção da 
edificação ter área máxima, em metro quadrado, de 0,634 ? 2 000 5 1 268. 
Como a área proposta pelo proprietário, de 1 270 m2, é maior do que a área 
máxima, então esse proprietário poderá ser autuado. 
8 Fatore, em , as seguintes expressões algébricas:
a) 7x2 1 42x 1 63
7x2 1 42x 1 63 5 7 ? (x2 1 6x 1 5 ? 1 9) 7 (x 3)2
b) –t2 1 2t 2 1 
2t2 1 2t 2 1 5 –(t2 2 1)2
c) p2 1 2pq 1 q2
2 r2
p2 1 2pq 1 q2 2 r 2 5 (p 1 q)2 2 r2 5 (p 1 q 1 r)(p 1 q 2 r)
Aula 8
9 Trabalhar sob pressão está se tornando um requisito para 
diversas profissões no Brasil e no mundo. Para medir a 
frequência com que o indivíduo tem de lidar com pressão 
e críticas diariamente no trabalho, foi definido um índice I 
de estresse diário, com 0 100I, , , de modo que, quanto 
maior esse índice, mais estressante é a profissão.
Para trabalhos em uma determinada empresa do setor de 
finanças, este índice I pode ser expresso em função do tem-
po t (em horas) trabalhado diariamente e da meta de lucros 
M (em milhares de reais) definida pela diretoria da empresa, 
a ser cumprida mensalmente, de acordo com a lei
I t 5
2 1 2 M2 10 80t 2 M 1 1 684
A legislação trabalhista, relativa a esse setor, impõe um 
limite máximo de 10 horas diárias de trabalho e uma meta 
mensal de 36 mil a 44 mil reais.
a) Segundo esse modelo, qual é o índice de estresse diário 
de um indivíduo que trabalha nessa empresa 8 horas 
diárias e cuja meta mensal de lucros é de 40 mil reais?
Substituindo os valores dados na expressão que determina o índice, temos: 
I 5 82 1 402 2 10 ? 8 2 80 40 ? 1 1 684
I 5 64 80 1 1 600 2 2 3 200 1 1 684
I 5 68
Portanto, o índice é 68.
b) Ao ser entrevistada, uma pessoa afirma que só trabalha-
rá nessa empresa se o índice de estresse diário for, no 
máximo, igual a 50. De acordo com o modelo proposto, 
essa pessoa poderá trabalhar na empresa? Justifique.
De acordo com o modelo proposto, temos:
I = t2 + M2 – 10t – 80 + 1 684M
I = t2 – 10t + 25 + M2 – 80 + 1 600 + 1 684 – 1 600 – 25M
I t = ( – 5)2 + ( – 40)M 2 + 59
Como ( )t 5 0
2
2 . e ( )40 0
2
M 2 . , então 59I . . A partir disso, note 
que, com 5 e t 5 M 5 40, o menor índice de estresse diário nesse ramo 
é 59, maior do que o valor estipulado pela pessoa. Assim, segundo 
o modelo, não será possível essa pessoa trabalhar nessa empresa.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
 
d
rs
e
rg
/S
h
u
tt
e
rs
to
c
k
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136
1 (UTFPR) Dados e A x y 5 1 , B 5 x 2 y C 5 x ? y, para 
x y x y = , = 0 e = 0, simplificando a expressão algébrica 
−2 2A B
C
, obtém-se:
a) 0
b) 
2y
x
c) 4
d) −
2x
y
e) 
2x
y
2 (IFMG) Se e são dois números reais positivos, então a x y
expressão 






2
M x
y
x
y
x
y
5 1 é equivalente a
a) xy . b) 2xy. c) 4xy. d) 2 xy .
3 (Uece) Se u, v e são números reais tais que w
u 1 v 1 w 5 17, u v ? ? w u 5 135 e ? v 1 u ? w 1 v ? w 5 87, 
então o valor da soma 
u
v w
v
u w
w
u v?
1
?
1
?
 é 
a) 
23
27
. b) 
17
135
. c) 
27
87
. d) 
16
27
.
4 Considere um número qualquer com três algarismos que 
sejam consecutivos e que estejam escritos em ordem de-
crescente, ou seja, cujo algarismo das dezenas é uma uni-
dade menor do que o das centenas e o algarismo das uni-
dades é uma unidade menor do que o das dezenas.
Aula 5
Aula 5
Aula 6
Aula 6
Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Introdução à linguagem algébrica – Capítulo 1
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia os itens 1 e 2 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 1 a 3.
• Faça as questões 17 a 19.
• Leia os itens 1 a 3.
• Faça a questão 33.
2
• Faça a questão 4. • Faça a questão 20. • Faça a questão 34.
3
• Faça as questões 5 a 8. • Faça as questões 21 a 24. • Faça as questões 35 e 36.
4
• Leia os itens 3 e 4 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 9 e 10.
• Faça as questões 26 a 28.
• Leia os itens 4 e 5.
• Faça a questão 37.
5
• Faça as questões 11 e 12. • Faça a questão 25. • Faça a questão 38.
6
• Leia o item 5 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 13 a 15.
• Faça as questões 29 a 32.
• Leia o item 6.
• Faça a questão 39.
7
• Faça a questão 16. • Faça a questão 40.
Aula 5
Aula 7
Aula 8
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula:
Aula 5: objetivos 1 e 2. Aula 7: objetivos 4 e 5.
Aula 6: objetivo 3. Aula 8: objetivos 6 e 7.
a) Escreva um número nessas condições, inverta a ordem 
de seus algarismos – obtendo um novo número – e 
subtraia o menor do maior entre o número escrito e o 
número obtido. Qual foi o resultado?
b) Escreva outro número nas condições do enunciado e 
repita as operações descritas no item anterior. O re-
sultado se manteve? Se sim, justifique por que se 
manteve.
5 (IFRJ) Seja a forma fatorada irredutível equivalente à F
expressão algébrica a seguir:
1 2 2 1 1
1
2
2
2
x x x x x
x
( ) ( ) ( ) ( )? 2 1 2 2 2 ? 2 2
2
a) Escreva F.
b) Calcule o valor numérico de quando F x 5 2.
6 (ESPM-SP) O valor numérico da expressão 
x y
x x y xy
3 3
3 2 2
2
1 1
 
para x 5 0,8 e y 5 0,3 é igual a: 
a) 0,325
b) 0,125
c) 0,415
d) 0,625
e) 0,275
Aula 7
Aula 8
EX TR AS!
Aula 5
Aula 6
Aula 7
Aula 8
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B
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A
S
M
A
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M
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A
 A
7 Observe os valores no quadro a seguir:
1 2 3 4 1 25 5? ? ? 1 5 5
2
2 3 4 5 1 121 11? ? ? 1 5 5
2
3 4 5 6 1 361 19? ? ? 1 5 5
2
4 5 6 7 1 841 29? ? ? 1 5 5
2
a) Com base nos valores observados no quadro,calcule 
o valor numérico de 25 26 28 1.? ? 27 ? 1
Aula 8
E X T R A S !
b) Desenvolva a expressão [n ? (n 1 3) 1 1]2.
c) A partir do padrão numérico identificado no item a, 
verifique (e justifique) se é verdadeira ou falsa a seguin-
te afirmação: 
 “O sucessor do produto de quatro números inteiros 
consecutivos é sempre um número quadrado perfeito”.
Estratégias diferentes para multiplicar números inteiros
Você já assistiu a algum vídeo na internet que mostra uma estratégia “rápida” para multiplicar números inteiros? 
Uma dessas estratégias, conhecida como “multiplicação chinesa”, envolve o uso de linhas cujas intersecções indicam os algarismos 
do produto. Veja o exemplo a seguir.
13 ? 12 = 156
Agora, tente justificar, algebricamente, o motivo de a estratégia funcionar (e em quais condições ela funciona).
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138
4 M A T E M ÁT I C A A
Igualdades e 
desigualdades
M
Ó
D
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COMPETÊNCIA
ESPECÍFICA 
E HABILIDADE 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT302
Objetivos de aprendizagem
 . Objetivo 1: Resolver equações e situações-problema que envolvam equações. Aula 9
 . Objetivo 2: Resolver inequações e situações-problema que envolvam inequações. Aula 10
Neste módulo
1 Equação, inequação e solução
Expressões algébricas relacionadas pelos símbolos 5 (igual), (maior) ou (menor) são sentenças > 
4U 2 5 > U U (inequação na incógnita )
7
3
2
t
t?
2
 q, é verdadeiro afirmar que
a) 2 2 2 p 2 .q
c) 
2
p q
q
1
2
.
e) 
p q
2 2
 , multiplicando ambos os membros por q 21, temos . Adi-2pmenores têm o lado medindo 
1
5
 da medida do lado do quadrado que os circunda.
A empresa deseja fabricar uma réplica desse logotipo para decorar a entrada da sede. A peça será fabricada por uma cor-
tadora a a partir de uma chapa de aço, na qual será cortado, inicialmente, o quadrado que representa o contorno do laser
logotipo e, em seguida, serão cortados os 4 quadrados menores.
O custo da cortadora a é de R$ 100,00 pela ativação, mais R$ 8,00 por centímetro de corte. Além disso, a máquina laser
só é capaz de cortar quantidades inteiras em centímetro, ou seja, não é possível fazer cortes de, por exemplo, 4,6 cm. 
Sabendo que o custo de fabricação com os cortes deve ser de até R$ 1.000,00, qual é o maior valor possível para a medida 
do lado do quadrado que representa o contorno do logotipo?
Se o contorno do logotipo tiver lado com medida cm, cada um dos lados dos quadrados do interior medirá x
x
5
 cm. Assim, o custo com o corte será de:
x
x



100 8 4 4
4
5
1 ? 1 ?
Como esse custo deve ser de até R$ 1.000,00, temos:
x
x
1 ? 1 ? ,100 8 4 4
4
5
1000








? 1 ,x
x
8 4
16
5
900 ~ 
x
8
36
5
900? , ~ x
5 900
8 36
,
?
?
~ x
4500
288
,
_ x , 15,625
Dessa forma, o maior valor inteiro possível para a medida do lado do contorno do logotipo é 15 cm.
Aula 10
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula:
Aula 9: objetivo 1. Aula 10: objetivo 2.
Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Introdução à linguagem algébrica – Capítulo 2
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia os itens 1 e 2 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 1 a 4.
• Faça as questões 9 a 12.
• Leia os itens 1 a 3.
• Faça as questões 17 e 18.
2
• Leia o item 3 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 5 a 8.
• Faça as questões 13 a 16.
• Leia o item 4.
• Faça as questões 19 e 20.
Aula 9
Aula 10
DESENVOLVENDO H A BIL I D A DE S
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142
1 (EBMSP-BA) Segundo dados das Nações Unidas, em 2016, 
cerca de 125 milhões de pessoas devastadas por conflitos 
armados, terrorismo, guerras civis e por desastres naturais 
demandaram algum tipo de assistência humanitária. Além 
disso, para atender a essa demanda, foram necessários 
cerca de 25 bilhões de dólares, montante doze vezes maior 
do que o registrado em 2002. 
Uma organização de ajuda humanitária dispõe de vinte 
veículos para transportar suprimentos e resgatar pessoas 
em situação de risco, abrigadas, temporariamente, em um 
acampamento.
Sabe-se que os veículos são de dois modelos distintos – V 
e W – e que:
 . cada veículo do modelo V pode, na ida, levar 45 caixas 
de suprimentos e, na volta, regatar 20 pessoas.
 . cada veículo do modelo W pode, na ida, levar 30 caixas 
de suprimentos e, na volta, resgatar 32 pessoas.
 . o total de caixas de suprimentos a serem transportadas 
deve ser de, pelo menos, 690.
 . o total de pessoas a serem resgatadas deve ser de, 
pelo menos, 508.
Com base nessas informações, determine o número má-
ximo de pessoas regatadas e o número de veículos de 
cada tipo utilizados nesse resgate. 
2 (Fuvest-SP) Em uma família, o número de irmãs de cada 
filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho 
tem o mesmo número de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é
a) 4. b) 5. c) 7. d) 10. e) 15.
3 Considere as afirmações a seguir, sendo , , e a b c d nú-
meros reais.
(I) Se , então a ab
(III) Se e a b c > d, então a ? c > b .? d
(V) Se a b > , o conjunto solução da inequação na incógni-
ta x dada por b(x 1 1) > a(x 1 1) é o intervalo ]2ÿ, 21[.
Dessas afirmações, são verdadeiras apenas
a) 1 delas.
b) 2 delas.
c) 3 delas.
d) 4 delas.
e) 5 delas.
4 Uma empresa de comunicação tem a tarefa de 
elaborar um material publicitário de um estaleiro para 
divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 
15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento. No 
desenho desse navio, a representação do guindaste deve 
ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve 
apresentar comprimento superior a 4 cm. 
Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1 : X.
Os valores possíveis para são, apenas,X
a) X > 1 500.
b) X100 5 200 40
? 1 ? 5
? 2
?
1 ? 5
2
?
1 ? 5
2
?
1 ? 5 2
2
?
1
?
52 2
?
5 2 2 ? 5 2 5






⇒ ⇒ ⇒
c b
b
b
b
b
b
b
b b b
b b
Obtido o valor de , podemos usar a equação b 195
3
2
c
b
5 2
?
(ou qualquer uma das duas equações 
do sistema) para obter c:
195
3 40
2
195 60 1355 2
?
5 2 5⇒ ⇒c c c
Dessa forma, é possível concluir que a calça custa R$ 135,00 e a bermuda, R$ 40,00.
3 Do enunciado textual para a linguagem algébrica
Traduzir enunciados textuais para a linguagem algébrica é uma habilidade que exige treino e muita 
atenção. Porém, é possível traçar algumas diretrizes para começar esse desenvolvimento. Veja alguns 
exemplos a seguir:
 . o antecessor do quádruplo de um número inteiro x x: 4? 2 1
 . o triplo do sucessor de um número inteiro n: 3? 1(n 1)
 . a soma dos quadrados de e : a b a2
1 b2
 . o cubo da diferença entre e : ( a b a 2 b)3
 . a metade do inverso de um número : k
1
2
1 1
2k k
? 5
?
 . g é, no mínimo, igual a : h g . h
 . g não supera h: g , h
Além disso, as expressões “a cada” e “por” também são frequentes em enunciados:
 . o número de novos casos de uma doença evolui no ritmo de 100 pessoas dia; em dias, haverá por n
100 ? n novos casos.
 . a cada ano nascem cerca de 1 200 pessoas em certa cidade; após x anos, terão nascido 1 200?x pessoas 
nessa cidade.
Aula 11
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 A
1 (Unesp-SP) Uma imobiliária exige dos novos locatários de imóveis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma 
taxa, junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou um imóvel nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final 
do primeiro mês. No período de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou gastos totais de R$ 6.950,00 com a loca-
ção do imóvel. 
Na situação descrita, a taxa paga foi de 
a) R$ 450,00. 
b) R$ 250,00. 
c) R$ 300,00. 
d) R$ 350,00. 
e) R$ 550,00. 
Sendo o valor do aluguel e a taxa paga ao final do 1m t o mês, temos m 1 t 5 900 e 900 1 11?m 5 6950. Logo m 5 550 e t 5 350.
2 (UFPR) Uma empresa de telefonia oferece três planos mensais de internet móvel, descritos abaixo.
 . Plano Ilimitado: mensalidade fixa de R$ 100,00 que permite ao cliente utilizar quantos gigabytes (GB) de dados desejar, 
sem pagar nada a mais. 
 . Plano Intermediário: mensalidade fixa de R$ 28,00 mais R$ 4,50 por GB de dados consumidos. 
 . Plano Simples: não há mensalidade, porém o cliente paga R$ 12,00 por GB de dados consumidos. 
Por exemplo, um consumo de 5 GB de dados em um mês custa R$ 100,00 para clientes do Plano Ilimitado, custa 
R$ 28,00 1 5 R$ 4,50 R$ 50,50 para clientes do Plano Intermediário e custa 5 R$ 12,00 R$ 60,00 para clientes do ? 5 ? 5
Plano Simples.
a) A partir de quantos GB de dados consumidos por mês o Plano Ilimitado fica mais vantajoso, ou seja, mais barato, que o 
Plano Intermediário?
Sendo a quantidade de GB de dados consumidos, devemos ter 100 28 x 16.
Logo, o Plano Ilimitado fica mais barato para quantidades maiores que 16 GB.
b) A empresa pretende criar um novo plano de dados, chamado Plano Básico. Esse plano terá formato semelhante ao do 
Plano Intermediário, consistindo também de uma mensalidade fixa mais um preço por GB de dados consumidos. Além 
disso, o Plano Básico deverá satisfazer a duas condições:
 . Ter o mesmo valor que o Plano Simples para clientes que consumirem 3 GB de dados por mês. 
 . Ter o mesmo valor que o Plano Intermediário para clientes que consumirem 8 GB de dados por mês. 
Quais devem ser o valor da mensalidade e o valor de cada GB de dados consumidos para que o Plano Básico cumpra as 
duas condições acima? 
No Plano Simples, os clientes que consomem 3 GB por mês gastam R$ 12,00 3 R$ 36,00. Já no Plano Intermediário, os clientes que consomem ? 5
8 GB por mês gastam R$ 28,00 R$ 4,50 8 R$ 64,00. Logo, pode-se afirmar que o custo de 8 GB 3 GB 5 GB é R$ 64,00 R$ 36,00 R$ 28,00. 1 ? 5 2 5 2 5
Assim, 
28
5
5 60,5 . Portanto, cada GB custa R$ 5,60.
Como 3 R$ 5,60 R$ 16,80, então a mensalidade desse plano deve ser R$ 36,00 – R$ 16,80 ? 5 5 R$ 19,20. 
3 (Unicamp-SP) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs 
igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
Considerando que:
x: número de filhos 
y: número de filhas
cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos: y 5 x 2 1
cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos: 
x 5 2 (y 2 1) 
Assim, temos:
⇒




⇒ ⇒
⇒ ⇒
y x
x y x y
x x x x x
y x y y
1
2( 1) 2 2
2 ( 1) 2 2 4 4
1 4 1 3
5 2
5 2 5 2
5 ? 2 2 5 2 5
5 2 5 2 5
Portanto, o total de filhos e filhas é 3 4 1 5 7.
Aula 11
Aula 11
Professor: neste item, também é possível determinar essas duas quantidades por meio de um sistema com duas equações. Caso prefira, poderá instigar esta 
resolução nos alunos, por meio de algum tipo de metodologia de aula invertida (em relação à próxima aula).
Aula 12
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
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146
4 Uma loja vende automóveis em parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o N
cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se 
ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, 
nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em 
nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja? 
a) 20 b) 24 c) 29 d) 40 58 e) 
Sendo x o valor inicial de cada uma das parcelas, o total pago por um automóvel pode ser representado por N ? x. A partir do enunciado, este mesmo total também 
pode ser representado por: (N 1 5) 200) e ( 4) ? (x 2 N 2 ? (x 1 232). Logo:
1 ? 2 5
2 ? 1 5
2 5
2 1 5
2 5
2 1 5




⇒




⇒




N x Nx
N x Nx
x N
x N
x N
x N
( 5) ( 200)
( 4) ( 232)
5 200 1000
4 232 928
40 200
58 232
Resolvendo o sistema, obtemos N 5 24.
5 Um modelo simplificado de precificação de viagens usando serviços de motoristas por aplicativos utiliza 3 critérios: um 
custo fixo, que paga os custos operacionais e de segurança; o preço base, que determina o custo por quilômetro rodado; e 
a tarifa dinâmica, que é um percentual de aumento (ou desconto) aplicado no custo fixo e no preço base, quando há muita 
demanda e pouca oferta ou vice-versa.
Em um determinado dia, um motorista realizou uma viagem na qual foram percorridos 3,6 km, sem aplicar a tarifa dinâmica, 
e cobrou o valor de R$8,25; no dia seguinte, esse mesmo motorista realizou outra viagem na qual foram percorridos 2,8 km, 
mas com a aplicação da tarifa dinâmica em 20%, e cobrou o valor de R$ 8,70.1
Assim, se um passageiro deseja estimar o preço de uma viagem de 30 km, em um dia sem aplicação da tarifa dinâmica, o 
valor correto dessa estimativa, segundo o modelo, é 
a) R$ 41,25.
b) R$ 50,00.
c) R$ 62,50.
d) R$ 75,75.
e) R$ 81,50.
Sendo o custo fixo e o preço base, do enunciado devemos ter:x y 




⇒




x , y ,
, x , y ,
x , y ,
x , y ,
3 6 8 25
1 2 ( 2 8 ) 8 70
3 6 8 25
2 8 7 25
1 ? 5
? 1 ? 5
1 ? 5
1 5
Subtraindo a segunda da primeiraequação desse sistema, obtemos 0,8 1 e, assim, y 5 y 5 1,25.
Logo, 3,75; consequentemente, a estimativa de preço será de 3,75 30 1,25 x 5 1 ? 5 41,25. 
Professor, na resolução desse exercício, note que será utilizado o conceito de variação percentual, que está sendo estudado pelos alunos nas aulas 11 e 12 do 
setor B. Este pode ser um bom momento para mostrar à turma uma integração maior entre os setores em Matemática.
Aula 12
Aula 12
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
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1 Uma escola organizou uma corrida de revezamento 4 400 metros, que consiste em uma prova esportiva na qual 3
os atletas correm 400 metros cada um deles, segurando um bastão, repassando-o de um atleta para outro da mesma equi-
pe, realizando três trocas ao longo do percurso, até o quarto atleta, que cruzará a linha de chegada com o bastão. A equipe 
ganhadora realizou a prova em um tempo total de 325 segundos.
O segundo corredor da equipe ganhadora correu seus 400 metros 15 segundos mais rápido do que o primeiro; já o terceiro 
realizou seus 400 metros 5 segundos mais rápido que o segundo corredor, e o último realizou seu percurso em 
3
4
 do tem-
po realizado pelo primeiro.
Qual foi o tempo, em segundo, em que o último atleta da equipe ganhadora realizou seu percurso de 400 metros? 
a) 58 b) 61 c) 69 d) 72 e) 96 
2 As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2.718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C 
tivesse R$ 10,00 a mais do que tem e D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, então todos teriam a mesma quantia. 
Dessas quatro pessoas, qual é a que tem a maior quantia?
3 (FGV-RJ) Prudêncio dirige seu carro a 60 km/h quando não está chovendo e a 40 km/h quando está chovendo. Certo dia, 
Prudêncio dirigiu seu carro pela manhã, quando não estava chovendo, e no final da tarde, quando estava chovendo. No 
total ele percorreu 50 km em 65 minutos.
O tempo, em minutos, que Prudêncio dirigiu na chuva foi 
a) d) 40 b) 35 c) 30 45 
4 Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais ven-
didos é o de morango com acerola, que é preparado com 
2
3
de polpa de morango e 
1
3
 de polpa de acerola. 
Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual volume. Atualmente, a embalagem da polpa de moran-
go custa R$ 18,00 e a de acerola, R$ 14,70. Porém, está prevista uma alta no preço da embalagem da polpa de acerola no 
próximo mês, passando a custar R$ 15,30.
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da embalagem da 
polpa de morango.
A redução, em real, no preço da embalagem da polpa de morango deverá ser de
a) R$ 1,20.
b) R$ 0,90.
c) R$ 0,60.
d) R$ 0,40.
e) R$ 0,30.
Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Introdução à linguagem algébrica – Capítulo 3
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia os itens 1 e 3 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 1 a 3.
• Faça as questões 8 a 11.
• Leia os itens 1 e 3.
• Faça as questões 16 e 17.
2
• Leia o item 2 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 4 a 7.
• Faça as questões 12 a 15.
• Leia o item 2.
• Faça as questões 18 e 19.
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula:
Aula 11: objetivo 1. Aula 12: objetivo 2.
EX TR AS!
Aula 12
Aula 11
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Numb3rs
É uma série estadunidense que retrata a vida de dois irmãos, Don Eppes e Charlie Eppes. 
Don é um experiente agente do FBI que, ao investigar os crimes, conta com a ajuda de 
seu irmão Charlie, um excelente matemático que é também professor universitário.
Em cada episódio, Charlie usa algum modelo matemático para ajudar a solucionar o 
crime investigado por seu irmão. É uma ótima série que mostra a importância de se 
resolver problemas do mundo real modelando-os matematicamente. Todos os modelos 
matemáticos divulgados nos episódios são reais, e seu uso foi possibilitado graças a 
uma equipe real de matemáticos que atuaram como consultores dos roteiristas da série.
G A B A R I T O - E X T R A S !
Módulo 1 – Potências de expoente inteiro
1 b
2 a) 72 horas
 b) 15
3 a) 2047
 b) 10301
4 d 
Módulo 2 – Potências de expoente racional
1 56
2 b
3 a
Módulo 3 – Técnicas algébricas
1 c
2 c
3 a
4 a) 198.
 b) Sim, o resultado será sempre 198. Isso pode ser justi-
ficado do seguinte modo:
 Todo número, nas condições do enunciado, pode ser 
escrito como 100x 1 10(x 2 1 1) (x 2 2), em que é o x
algarismo das centenas. Ao invertermos a ordem dos 
algarismos, obtemos 100(x 2 2) 1 10(x 2 1) 1 x. 
Assim, temos: 
100x 1 10(x 2 1 1) (x 2 2 2) [100(x 2 2) 10(1 x 2 1 1) x] 5
5 100x 1 10x 2 10 1 x 2 2 1002 x 1 200 2 10x 1 10 2 x 5 198
5 a) F 5 x 2 1
 b) 1
6 d
7 a) 25 26 28 1 ? ? 27 ? 1 5 (25 28 ? 1 1)2 5 5 7012 491 401
 b) n4 1 6n3 1 11n2 1 6 1n 1
 c) Essa afirmação é verdadeira.
Módulo 4 – Igualdades e desigualdades
1 O número máximo de pessoas resgatadas é 568, usando 
6 veículos do modelo V e 14 do modelo W.
2 c
3 e
4 c
Módulo 5 –Modelagem algébrica de problemas
1 d
2 A pessoa B.
3 d
4 e
A
.F
. 
A
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1
COMPETÊNCIAS 
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
EM13MAT102
COMPETÊNCIA 2
EM13MAT202
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT316
COMPETÊNCIA 4
EM13MAT406
EM13MAT407
M A T E M ÁT I C A B
Estatística: análise 
de dados
C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 . C 2 . C 3 . C 4 . C 7 . C 1 0
Ponto de partida
Você já realizou uma pes-
quisa?
De que maneira podemos 
organizar, tratar, interpre-
tar e realizar inferências 
sobre os dados obtidos 
em uma pesquisa? 
Quais outras medidas 
podem nos auxiliar no 
tratamento das informa-
ções das observações de 
uma amostra? 
Objetivos de aprendizagem
Neste módulo
 . Objetivo 1: Identificar, analisar e interpretar dados apresentados em tabelas e gráficos.
 . Objetivo 2: Analisar e calcular dados referentes às medidas de tendência central.
 . Objetivo 3: Analisar, calcular, comparar e inferir dados referentes às medidas de dispersão.
 . Objetivo 4: Relacionar, calcular, analisar, inferir e concluir os conceitos estatísticos relacionados à 
representação de dados e ao tratamento da informação.
1 Análise e interpretação de dados
Antes de iniciar o estudo e a interpretação de dados estatísticos, é preciso conhecer alguns conceitos:
 . Estatística é a parte da Matemática que coleta, organiza, representa e interpreta dados.
 . População é o alvo de uma pesquisa estatística. Exemplo: todos os moradores de uma cidade.
 . Amostra é um subconjunto da população. Exemplo: uma determinada porcentagem dos moradores 
de uma cidade que tenha proporcionalmente indivíduos com a mesma idade e gênero da população 
dessa mesma cidade.
Os dados coletados de uma pesquisa podem ser classificados em duas categorias:
 . variáveis quantitativas: indicam uma quantidade. Por exemplo, a quantidade de irmãos que uma 
pessoa tem;nesse caso, é uma variável quantitativa discreta, pois só é possível obter como respos-
ta números inteiros; ou a massa de um pedaço de queijo, que, nesse caso, é uma variável quantita-
tiva contínua;
 . variáveis qualitativas: indicam uma característica. Por exemplo, a preferência musical de um grupo 
de alunos.
Os resultados de uma pesquisa podem ser representados por meio de e gráficos tabelas.
1.1 Frequência
Existem dois tipos de frequência que utilizamos na análise de dados estatísticos:
 . frequência absoluta (f
a
): é o número que uma variável assume um valor. Por exemplo, em uma 
pesquisa 15 alunos responderam que preferem ir ao parque; 15 é a frequência absoluta.
 . frequência relativa (f
r
): é a razão entre a frequência absoluta e o total de dados coletados para a 
observação. Por exemplo, entre os 30 alunos que responderam à pesquisa, 15 preferem ir ao parque.
Aula 1
Aula 2
Aula 3
Aula 4
Aula 1
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f
f
n
r
a
5 , em que é o total de dados observados.n
A frequência relativa pode ser expressa na forma decimal ou em porcentagem. Por exemplo, 
6
10
0 65 5f ,
r
 
ou 60%.
1.2 Principais tipos de gráfico
Depois de coletados e analisados, os dados de uma pesquisa podem ser representados em diferentes 
tipos de gráfico, que deve ser escolhido de acordo com a informação que se quer passar. Por exemplo, 
para representar porcentagens, usa-se o gráfico de setores; para representar o comportamento da variável, 
usa-se o gráfico de linhas. 
x
y
0 
y
x0 
y
0 x
 
x0
y
2 Medidas de tendência central
As medidas de tendência central indicam os valores que se comportam de modo a se posicionar no 
centro de uma amostra. São elas: média aritmética, mediana e moda. 
2.1 Média aritmética
Existem dois tipos de média aritmética:
 . Média aritmética simples: a média aritmética (ou média) dos valores , , ..., é dada por: x n x
1
x
2
x
n
x
x x x
n
n
5
1 1 1
1 2
…
 . Média aritmética ponderada: a média aritmética ponderada (ou média ponderada) x dos n valores 
x x x f f f x x x
1
, 
2
, ..., 
n
, em que 
1
, 
2
, ..., 
n
 são as frequências de 
1
, 
2
, ..., 
n
,
 
respectivamente, é dada por:
x
f x f x f x
f f f
n n
n
5
? 1 ? 1 1 ?
1 1 1
1 1 2 2
1 2
…
…
2.2 Mediana
A mediana (Me) é o valor que separa a amostra, organizada em um , em dois conjuntos com a mes-rol
ma quantidade de elementos.
Sendo (x
1
; ; ...; ) um rol, temos:x
2
x
n
Se é ímpar, a mediana é o termo central do rol: n
Me
1
2
5
1
x
n




Colunas SetoresBarras HistogramaLinhas
Rol: 
organização dos dados 
em ordem de valor; 
pode ser crescente ou 
decrescente
Aula 2
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 B
Se é par, calculamos a média dos dois termos centrais do rol:n
Me
2
2 2
1
5
1
1
x x
n n




Exemplos:
a) A mediana da amostra (2; 3; 5; 6; 8; 12; 20) é 6, pois = 7; logo, o termo central é n Me 6
7 1
2
4
5 5 5
1
x x .



b) A mediana da amostra (2; 3; 5; 6; 8; 12; 20; 22) é dada por 
Me
2 2
6 8
2
7
8
2
8
2
1
4 5
5 5
1
5
1
5
1
x x
x x
.
+












Observe que, na determinação da mediana, o valor encontrado nem sempre pertence a ela.
2.3 Moda
É o valor com maior frequência em uma amostra.
Exemplos:
a) (1; 2; 3; 3; 4; 5) a moda é 3.→
b) (azul; amarelo; verde; verde; branco; branco) → as modas são verde e branco. Essa amostra é bimodal. 
c) (a; b; c; d; e; f; g; h) não há moda. Essa amostra é→ amodal.
3 Medidas de dispersão
As amostras em uma pesquisa podem revelar dados muito parecidos quando analisamos apenas as 
medidas de centralidade. Para uma análise que apresente mais informações condizentes com a realidade, 
usamos as medidas de dispersão: desvio médio, variância desvio padrãoe . Essas medidas nos permitem 
diferenciar as amostras nos auxiliando a tomar decisões com base em informações mais consistentes. 
3.1 Desvio médio
Chamamos de desvio médio a média aritmética da diferença entre um valor e a média aritmética desses 
dados.
Sendo x a média aritmética de uma amostra de n elementos, temos:
11 2
1
5
2 1 2 1 1 2
5 2
5
D
x x x x x x
n n
x x
M
n
i
n
i∑
…
3.2 Variância
É a medida de dispersão que mostra quão distante os valores estão da média. 
Ela é dada por: 
5
2 1 2 1 1 2
5 2
5
∑
( ) ( ) ( ) ( )σ
…x x x x x x
n n
x x
n
i
n
i
12 1
2
2
2 2
1
2
3.3 Desvio padrão
É uma média que apresenta o grau de dispersão de um conjunto de dados.
É dado pela raiz quadrada da variância, simbolizada por . Quanto mais próximo de zero for o desvio s
padrão, mais regular é a amostra, ou seja, ela está mais próxima da média aritmética. 
5 2
5
∑ ( )σ
n
x x
i
n
i
1
1
2
É possível explorar 
esse conceito, sobre-
tudo quando as médias 
aritméticas são iguais e 
necessitamos escolher 
entre várias amostras. 
Exemplos do cotidiano, 
como o controle de qua-
lidade de produção em 
indústrias, podem ser 
citados. 
É possível que os alunos 
questionem a diferença 
entre variância e desvio 
padrão. Lembre-se de 
que, com o desvio pa-
drão, podemos compa-
rar amostras na mesma 
unidade da observação 
apresentada, o que não 
ocorre com a variância, 
por se tratar de uma me-
dida ao quadrado. 
Aula 3
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152
Caro professor, caso ainda não se tenha mencionado, é importante sinalizar que, de todos os conceitos apresentados nas aulas anteriores, 
a leitura de gráficos e o conceito de média aritmética são os mais frequentes nos exames vestibulares e no Enem. 
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
1 Uma academia pesquisou o tempo médio diário em que cada aluno praticava atividades físicas. Os dados estão expressos 
em minutos, no quadro abaixo.
30 60 90 120 120 90 60 60 60 30
60 30 120 90 60 60 60 120 90 90
120 60 60 30 90 120 60 60 90 90
90 60 60 120 60 60 90 90 90 60
90 60 90 60 120 90 30 60 60 60
a) A variável é qualitativa ou quantitativa? Justifique.
A variável é quantitativa, pois ela indica um número, algo que foi medido. 
b) Construa uma tabela de frequências indicando frequência absoluta, frequência relativa e porcentagem para cada observação.
Tempo médio diário dos alunos em uma academia
Tempo médio Frequência absoluta Frequência relativa %
30 5 0,1 10
60 22 0,44 44
90 15 0,3 30
120 8 0,16 16
Total 50 1 100
2 Considere o gráfico de barras abaixo, que indica a variação anual, em porcentagem, do valor da cesta básica em algumas 
cidades. Os dados são do mês de janeiro de 2019.
Variação e valor da cesta básica
15,46% 422,88
Valor da cesta (R$)Variação anual (%)
Pesquisa nacional
Campo Grande
Brasília
Belo Horizonte
Curitiba
Rio de Janeiro
São Paulo
Floriánopolis
Porto Alegre
Salvador
Fortaleza
Goiânia
Belém
São Luís
Aracaju
Vitória
João Pessoa
Natal
Recife
435,83
408,71
419,05
466,75
471,44
457,82
464,72
343,82
397,34
388,86
382,31
353,40
358,75
403,79
345,21
341,40
340,57
14,76%
13,03%
11,76%
11,47%
11,09%
9,37%
8,90%
8,58%
8,13%
7,81%
7,19%
5,77%
5,51%
4,83%
4,76%
3,09%
2,53%
Professor, os alunos podem fazer uma leitura incorreta do gráfico, respondendo Campo Grande, por 
se tratar da maior variação em porcentagem, sem avaliar o valor absoluto. É importante sinalizar que 
Fonte: DIEESE.Disponível em: https://www.opovo.com.br/jornal/economia/2019/01/ 
cesta-basica-ficou-8-mais-cara-em-um-ano.html. Acesso em: 3 abr. 2020.
a leitura de gráficos estatísticos requer uma análise cuidadosa 
das variáveis e das informações apresentadas. 
Aula 1
Aula 1
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De acordo com o gráfico, responda:
a) Qual é a cidade que possui a cesta básica mais cara? 
Qual é esse valor?
A cidade que possui a cesta básica mais cara é São Paulo, cujo valor é 
de R$ 471,44.
b) Qual é a diferença entre o valor da cesta básica nas 
cidades de Campo Grande e do Recife em janeiro de 
2019, em porcentagem?
Campo Grande: R$ 422,88
Recife: R$ 340,57
A diferença, em reais, é de R$ 82,31, o que corresponde a 
82 31
340 57
24 17%
,
,
, .ã
Portanto, a cesta básica em Campo Grande é 24,17% mais cara que a 
cesta básica no Recife em janeiro de 2019.
c) Qual era o valor da cesta básica em Florianópolis em 
janeiro de 2018? 
Em janeiro de 2019, a cesta básica em Florianópolis estava custando 
R$ 457,82, e o aumento foi de 9,37%. Assim, em janeiro de 2018, o 
valor da cesta básica era: 
457 82
1 0937
418 6
,
,
,ã .
3 Agora você vai realizar uma pesquisa. Para isso, organi-
zem-se em duplas ou trios e em conjunto sigam as orien-
tações abaixo:
 . Escolham uma variável quantitativa que possa ser pes-
quisada na sua sala de aula.
 . Elaborem uma pergunta referente à variável escolhida.
 . Utilize a questão para realizar a pesquisa com todos os 
alunos da sala. Você e os membros de seu grupo tam-
bém devem responder a questão escolhida.
Agora, responda:
a) Todas as respostas à sua pergunta foram iguais? O que 
os valores respondidos representam? 
Os valores tendem a não ser iguais, pois as amostras podem revelar 
observações com valores discrepantes.
b) Determine a média aritmética, a mediana e a moda 
desses dados. Qual desses valores é mais fiel à apre-
sentação dos dados?
Em geral, quando temos amostras com observações mais 
homogêneas, a média aritmética é mais eficaz para uma interpretação 
de dados; caso contrário, a mediana e a moda terão maior eficácia. 
4 Define-se, em Física, que velocidade média ( ) é o quo-v
m
ciente entre a variação do espaço percorrido pela variação 
de tempo. Ou seja: v
s
t
m
5
∆
∆
. 
Considere três veículos, A, B e C, que percorrem, respecti-
vamente, 240 km em 3 h, 360 km em 4 h e 500 km em 5 h.
a) Calcule a velocidade média, em km/h, de cada veículo. 
Em seguida, calcule a média aritmética das velocidades 
dos três veículos. 
v mA
5 5
240
3
80 km/h
v mB
5 5
360
4
90 km/h
v mC
5 5
500
5
100 km/h
x 5
1 1
5
80 90 100
3
90 km/h
b) Calcule a média aritmética dos espaços percorridos e 
dos tempos utilizados. Em seguida, calcule a velocida-
de média com esses dados. 
∆s m 5
1 1
5
240 360 500
3
1100
3
km
3 4 5
3
12
3
4 ht
m
∆ 5
1 1
5 5
1100
3
4
91 67 km/hv , m
5 ã
c) Compare os resultados dos itens a b e . Por que eles são 
diferentes? 
Os valores são diferentes porque velocidade média é diferente de média 
das velocidades. 
5 Em um concurso vestibular, o desempate, após a segunda 
fase, é feito com base em vários critérios. Um deles é a 
média aritmética. O candidato que tiver a maior média 
será o classificado para a vaga. Caso esse critério não seja 
suficiente, utiliza-se o desvio padrão, classificando-se, as-
sim, o candidato que tenha as notas mais uniformes. 
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Aula 2
Aula 3
Aula 2
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154
Dois candidatos, A e B, concorrem a uma mesma vaga. Observe suas notas na tabela abaixo.
Disciplina A B
Língua Portuguesa 9,0 9,5
Matemática 9,0 9,5
Física 8,5 8,0
Química 9,5 9,0
Analise os dados apresentados, conclua e justifique matematicamente qual candidato será aprovado. 
Calculando a média aritmética de cada candidato, temos: 
( )x
, ,
,5
1 1 1
5A
9 9 8 5 9 5
4
9 0
( )x
, ,
,5
1 1 1
5B
9 5 9 5 8 9
4
9 0
Logo, a média aritmética não define a classificação.
Cálculo da variância de cada candidato:
5
2 1 2 1 2 2
5( )
( ) ( ) ( ) ( )
σ
+, ,
,A
9 9 9 9 8 5 9 9 5 9
4
0 1252
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
σ
, ,
,5
2 1 2 1 2 1 2
5B
9 5 9 9 5 9 8 9 9 9
4
0 375
2
2 2 2 2
Cálculo do desvio padrão de cada candidato:
A 0 125 0 35, ,( )σ 5 ã
B 0 375 0 61, ,( )σ 5 ã
Como o candidato A possui menor desvio padrão, ele é o candidato com notas mais regulares, ou seja, o que se afastou menos da média, e será o aprovado. 
6 As massas, em quilogramas, de alguns atletas de basquete foram medidas indicando os seguintes dados:
100 80 90 85 110 116 82 94 100 118
105 98 88 96 110 80 102 94 98 112
a) Construa uma tabela de frequências com os dados representados em 4 classes de amplitude 10 kg.
Massa (em kg) f
a
f
r
%
80 
&
 90 5 0,25 25
90 
&
 100 6 0,3 30
100 
&
 110 4 0,2 20
110 
&
 120 5 0,25 25
Total 20 1 100
b) Calcule a média aritmética das massas desses atletas.
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
Tente instigar a curiosi-
dade dos alunos pergun-
tando: Sem fazer conta 
alguma, alguém pode 
inferir a média dessa 
distribuição? Analisando 
ainda os dados, vocês 
acham que essa distri-
buição é homogênea? 
x ,5
? 1 ? 1 ? 1 ?
5
85 5 95 6 105 4 115 5
20
99 5kg
Tomando o ponto médio de cada intervalo, temos:
Aula 3
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c) Calcule o desvio padrão desses dados. 
d) Analisando os dados, podemos dizer que essa distribuição é homogênea? 
Não, pois o desvio padrão está bem distante de zero. 
7 Preocupada com os acidentes de trânsito, uma cidade decidiu medir a incidência dessas multas em relação à velocidade 
limite de 80 km/h. O gráfico abaixo registra os dados das multas aplicadas em um dia. 
40
25
15
90 100 100 110 110 120 120 ñ ñ ñ ñ 130 130 ñ 140 
20
10
Multas de trânsito
a) Qual o valor total de multas aplicadas em um dia? 
Sendo o valor de multas aplicadas, temos:n
n = 15 + 25 + 40 + 20 + 10 = 110
b) Sem realizar cálculos, responda: qual é a classe que provavelmente contém a velocidade média das multas aplicadas?
A terceira classe, pois apresenta a maior frequência.
c) Justifique matematicamente o item anterior. 
x , 5
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
5
95 15 105 25 115 40 125 20 135 10
110
113 6 km/h
8 Analise os gráficos a seguir, que mostram o rendimento, no período de 1 ano, de uma carteira de investimento de um cliente 
que aplica em três produtos oferecidos por uma instituição financeira. 
Abr
Carteira
CDI
Jun Ago Out Dez Fev
0%
4,00%
8,00%
12,00%
16,00%
Gráfico rentabilidade acumulada (12 meses)
 
Abr
Carteira
CDI
Jun Ago Out Dez Fev
0%
6,00%
12,00%
18,00%
24,00%
Ibovespa
Gráfico rentabilidade acumulada (12 meses)
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
( ) ( ) ( ) ( )
σ
, , , ,
,5
2 1 2 1 2 1 2
5
5 85 99 5 6 95 99 5 4 105 99 5 5 115 99 5
20
124 75
2 2 2 2
124,75 1117 kg,σ 5 ‹
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Aula 4
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Abr
Carteira
CDI
Jun Ago Out Dez Fev
0%
6,00%
12,00%
18,00%24,00%
Gráfico rentabilidade acumulada (12 meses)
Dólar
Ibovespa
a) No período mostrado nos gráficos, o cliente obteve 
lucro nesses investimentos? Justifique matematicamen-
te sinalizando qual indicador você utilizou. 
Analisando a carteira do cliente (linha verde-clara no gráfico), observa-se 
que ele obteve lucro de aproximadamente 14% em seus 
investimentos no período de 1 ano. 
Este item tem como objetivo trabalhar a habilidade de estimar e inferir a partir dos 
dados do gráfico. A escala, propositalmente, foi feita de modo a levar os alunos a 
estimar as porcentagens. 
b) O cliente possui R$ 100.000,00 para aplicar e deseja 
continuar investindo nos três produtos da seguinte ma-
neira: 50% no produto com o qual obteve a maior ren-
tabilidade média, 20% no produto com que obteve a 
menor rentabilidade média e o restante no produto de 
rentabilidade intermediária. Determine o valor que o 
cliente aplicará em cada produto e o seu rendimento 
para os próximos 12 meses, admitindo que seja manti-
da a rentabilidade média atual. 
Rentabilidades médias (aproximadas): 
CDI: 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%: 3 5%x ,5
Ibovespa: 1%, 6%, 5%, 12%, 21%, 18%: 10 5%x ,5
Dólar: 6%, 3%, 11%, 7%, 8%, 15%: 8 3%x ,5
Assim, o cliente aplicará R$ 50.000,00 na Ibovespa e terá um 
rendimento de R$ 5.250,00; aplicará R$ 20.000,00 em CDI e terá um 
rendimento de R$ 700,00 e investirá R$ 30.000,00 em dólares e terá um 
rendimento de R$ 2.490,00. 
Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Estatística e proporcionalidade – Capítulo 1
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia o item 1 da seção Neste 
m—dulo.
• Faça as questões 1 a 3.
• Faça as questões 4 a 7.
• Leia os itens 1 a 3.
• Faça as questões 8 e 9.
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula: 
Aula 1: objetivo 1; Aula 2: objetivo 2; Aula 3: objetivo 3; Aula 4: objetivo 4.
DESENVOLVENDO H A BIL I D A DE S
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2
• Leia o item 2 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 10 a 13.
• Faça as questões 14 a 17.
• Leia o item 4.
• Faça as questões 18 e 19.
3
• Leia o item 3 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 20 a 23.
• Faça as questões 24 a 26.
• Leia o item 5.
• Faça as questões 27 e 28.
4
• Faça as questões 29 a 32. • Faça as questões 33 a 36. • Faça as questões 37 e 38.
EX TRAS!
1 O serviço de meteorologia de uma cidade emite 
relatórios diários com a previsão do tempo. De posse des-
sas informações, a prefeitura emite três tipos de alertas 
para a população:
 . Alerta cinza: deverá ser emitido sempre que a previsão 
do tempo estimar que a temperatura será inferior a 
10°C e a umidade relativa do ar for inferior a 40%;
 . Alerta laranja: deverá ser emitido sempre que a previ-
são do tempo estimar que a temperatura deve variar 
entre 35 °C e 40 °C, e a umidade relativa do ar deve 
ficar abaixo de 30%;
 . Alerta vermelho: deverá ser emitido sempre que a pre-
visão do tempo estimar que a temperatura será superior 
a 40 °C, e a umidade relativa do ar for inferior a 25%.
Um resumo da previsão do tempo nessa cidade, para um 
período de 15 dias, foi apresentado no gráfico.
Decorridos os 15 dias de validade desse relatório, um fun-
cionário percebeu que, no período a que se refere o grá-
fico, foram emitidos os seguintes alertas:
 . Dia 1: alerta cinza;
 . Dia 12: alerta laranja;
 . Dia 13: alerta vermelho.
Em qual(is) desses dias o(s) aviso(s) foi(ram) emitido(s) 
corretamente? 
a) 1 
b) 12 
c) 1 e 12 
d) 1 e 13 
e) 1, 12 e 13 
2 (Uerj) Técnicos do órgão de trânsito recomendaram ve-
locidade máxima de 80 km/h no trecho de uma rodovia 
onde ocorrem muitos acidentes. Para saber se os moto-
ristas estavam cumprindo as recomendações, foi instala-
do um radar móvel no local. O aparelho registrou os se-
guintes resultados percentuais relativos às velocidades 
dos veículos ao longo de trinta dias, conforme o gráfico 
abaixo:
Determine a média de velocidade, em km/h, dos veículos 
que trafegaram no local nesse período. 
3 Acesse o : https://www.br.undp.org/content/brazil/pt/site
home/idh0/rankings/idhm-municipios-2010.html (acesso 
em: 5 ago. 2020). Nele você encontrará o índice de de-
senvolvimento humano municipal (IDHM) do Brasil em 
2010. Selecione os dados dos 10 primeiros municípios 
segundo o IDHM. Escolha um tipo de gráfico estudado 
nesta aula que seja apropriado para apresentar esses 
dados e construa-o. 
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4 Os alunos de uma turma escolar foram divididos em dois grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro 
jogaria futebol. Sabe-se que o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do 
que o grupo de futebol. A tabela seguinte apresenta informações sobre as alturas dos alunos da turma. 
Média Mediana Moda
1,65 1,67 1,70
Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1,66 m, 1,67 m e 1,68 m e as suas alturas não são iguais à de nenhum 
outro colega da sala.
Segundo essas informações, argumenta-se que os alunos P, J, F e M jogaram, respectivamente, 
a) basquete, basquete, basquete, basquete. 
b) futebol, basquete, basquete, basquete. 
c) futebol, futebol, basquete, basquete. 
d) futebol, futebol, futebol, basquete. 
e) futebol, futebol, futebol, futebol.
5 (UnB-DF) Considerando a figura abaixo, que ilustra o mecanismo de funcionamento de um coração, os itens a seguir.julgue
a) Se a e b representam, respectivamente, a média e a mediana de todos os valores percentuais incluídos na figura, então 
|a – | > 3%.b
b) Considere os valores percentuais incluídos na figura que são termos de uma progressão aritmética em que o primeiro 
termo é igual a 4% e a razão é igual a 6%. Nesse caso, é igual a 1 a soma desses valores. 
6 (FGV-SP) A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$ nos 12 meses de 2013.
Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18
a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.
b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro 
de 2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como 
média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
Dado:
Desvio Médio 
∑
1
| x x |
n
i
n
i
5
2
5 , sendo a média aritmética. x
E X T R A S !
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7 Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o tempo, em minuto, que um motorista novato gasta para completar 
certo percurso. No Quadro 1 figuram os tempos gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes. O Quadro2 
apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo, segundo o valor do desvio padrão.
Quadro 1
Tempos
(em minuto)48 54 50 46 44 52 49
Quadro 2
Variabilidade
Desvio padrão do
tempo (min)
Extremamente baixa 0 2
Com base nas informações apresentadas nos quadros, a variabilidade do tempo é
a) extremamente baixa.
b) baixa.
c) moderada.
d) alta.
e) extremamente alta.
8 Um dos critérios de controle de qualidade de um produto é a regularidade. Um determinado tipo de bala é vendido em 
pacotes de 50 gramas e uma amostra foi retirada para avaliar a regularidade.
Informações da amostra
Amostra Média Desvio padrão
8 unidades 50 g 2 gramas
Fonte: Departamento de controle de qualidade.
Decidiu-se pegar mais dois pacotes que estavam com 54 gramas e 46 gramas. Usando 6 4, = 2,5, o desvio padrão da nova 
amostra
a) fica igual ao desvio padrão da amostra original.
b) aumenta 100% em relação ao desvio padrão da amostra original.
c) diminui 50% em relação ao desvio padrão da amostra original.
d) aumenta 50% em relação ao desvio padrão da amostra original.
e) aumenta 25% em relação ao desvio padrão da amostra original.
9 Durante uma palestra sobre saúde pública, uma nuvem 
de palavras foi feita com os assuntos mais comentados.
Elabore uma questão que envolva estatística a partir 
de um gráfico que analise algum aspecto ligado à nu-
vem de palavras ao lado. Procure relacionar os concei-
tos estatísticos estudados neste módulo.
E X T R A S !
Hubei
Coronavírus
Coronavírus
Coronavírus
Coronavírus
EpidemiaEpidemia
Epidemia
Coronavírus
Coronavírus
Coronavírus
ChinaChina
China
China
China
China
China
China
Wuhan
Wuhan
Wuhan
Europa
Saúde
Saúde PúblicaSaúde
Saúde
Saúde
Pública
Pública
Pública
Wuhan
Brasil Brasil
Brasil
Surto
Brasil
Surto
Brasil
Dengue
Dengue
Dengue
Dengue
Dengue
Europa
Dengue
Surto
Sarampo
Sarampo
Sarampo
Sarampo
Sarampo
Brasil
Brasil
Surto
Brasil
Wuhan
Wuhan
Wuhan
Hubei
Hubei
Hubei
Hubei
Hubei
Hubei
Hubei
Morte
Morte
Wuhan
Surto
Morte
Morte
Morte
Morte
Morte
São Paulo
Saúde Pública
Pública
Epidemia
Epidemia
Epidemia
São Paulo
São Paulo
São Paulo Coronavírus São Paulo São Paulo
São Paulo
São Paulo
Surto
Epidemia
Epidemia
Dengue
Europa
Europa
Europa
Europa
Europa
Morte
Sarampo
Sarampo
Saúde Pública
Caro professor, neste exercício, caso queira, é possível utilizar 
a metodologia ativa de instrução entre pares.
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#cultura_digital
Calculando medidas de centralidade e de dispersão a partir de uma 
planilha eletrônica
I. Cálculo da média, da mediana e da moda
• Entre na planilha eletrônica disponível em seu computador.
• Crie uma tabela a partir de uma variável qualquer, por exemplo: 
• Abaixo, crie uma tabela para calcular a média, a moda e a mediana:
• Clique na célula ao lado da palavra MÉDIA (B16). Digite =media( ; em seguida, selecione os dados nu-
méricos da tabela e tecle enter. A média aritmética desses dados aparecerá. 
• Clique na célula ao lado da palavra MODA (B17). Digite =modo( ; selecione os dados numéricos da ta-
bela e tecle . A moda desses dados aparecerá. enter
• Agora, clique na célula ao lado da palavra MEDIANA (B18). Digite =med( ; selecione os dados numéricos 
da tabela e tecle . A mediana desses dados aparecerá. enter
II. Cálculo do desvio médio e desvio padrão
• Crie, no Excel, a tabela:
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• Clique na célula ao lado das palavras DESVIO MÉDIO (B20). Digite =DESV.MÉDIO( ; selecione os dados 
numéricos da tabela e tecle enter. O desvio médio desses dados aparecerá. 
• Clique na célula ao lado das palavras DESVIO PADRÃO (B21). Digite =DESVPAD.P( ; selecione os dados 
numéricos da tabela e tecle enter. O desvio padrão desses dados aparecerá. 
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COMPETÊNCIAS 
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
EM13MAT101
EM13MAT104
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT314
COMPETÊNCIA 4
EM13MAT401
COMPETÊNCIA 5
EM13MAT510
M A T E M ÁT I C A B
Variações e 
proporcionalidade
Ponto de partida
• Quando você baixa al-
gum arquivo da inter-
net, o tempo de espe-
ra para que isso ocorra 
depende do quê? 
• Você já utilizou a escala 
de um mapa para esti -
mar uma distância?
Objetivos de aprendizagem
Neste módulo
1 Razão 
A razão entre dois números reais não nulos e é o quociente a b
a
b
.
2 Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Sendo 
a
b
 e 
c
d
, duas razões, se elas formam uma pro-
porção, então 
a
b
c
d
5 .
3 Escala
Escala numérica é a razão entre a medida do comprimento na representação e a medida do compri-
mento na realidade.
5Escala
medida de representação
medida real
4 Taxa de variação
Dadas duas grandezas e representadas por pares ordenados (A B x, , y), sendo (x
1
y
1
) e (x
2 2
, y ) dois 
desses pares ordenados, chamamos de taxa de variação média no intervalo [x
1
, x
2
] à razão:
∆
∆
2 1
2 1
y
x
y y
x x
5
2
2
 . Objetivo 1: Identificar a razão entre duas grandezas e seu significado.
 . Objetivo 2: Inferir e concluir sobre dados apresentados na forma de razão.
 . Objetivo 3: Identificar uma proporção e calcular dados usando essa proporção.
 . Objetivo 4: Calcular, comparar e inferir objetos, mapas e medidas, utilizando o conceito de escala.
 . Objetivo 5: Inferir e concluir sobre dados por meio da taxa de variação.
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DESENVOLVENDO HABIL IDADES
1 Um professor pediu aos alunos que realizassem uma pes-
quisa sobre o time de futebol para o qual cada aluno tor-
cia. Na pesquisa, só era permitido indicar um time, e todos 
os alunos responderam. Os alunos apresentaram como 
resultado o gráfico a seguir.
Vasco
Santos
Palmeiras
São Paulo
Corinthians
Flamengo
Torcedores
4
8
10
18
20
24
Time do coração
A terceira maior torcida entre os alunos corresponde a 
qual fração do total?
a) 
5
42
 
b) 
3
14
 
c) 
11
42
 
d) 
9
37
 
e) 
3
13
 
O número total de torcedores é 24 + 20 + 18 + 10 + 8 + 4 = 84.
A terceira maior torcida é a do São Paulo, 18 torcedores; logo, a razão 
pedida é 
18
84
3
14
5 . 
2 Os exercícios físicos são recomendados para o 
bom funcionamento do organismo, pois aceleram o 
metabolismo e, em consequência, elevam o consumo 
de calorias. 
No gráfico, estão registrados os valores calóricos, em kcal 
gastos em cinco diferentes atividades físicas, em função 
do tempo dedicado às atividades, contado em minuto.
Qual dessas atividades físicas proporciona o maior con-
sumo de quilocalorias por minuto? 
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) VDe acordo com o gráfico, tem-se os seguintes consumos calóricos, em 
kcal/min:
• atividade I: 
20
10
25 
• atividade II: 
100
15
6 67,ã 
• atividade III: 
120
20
65 
• atividade IV: 
100
24
45 
• atividade V: 
80
30
2 67,ã 
Assim, o maior consumo é proporcionado pela atividade II.
3 (Unicamp-SP) A eficiência de um veículo pode ser avalia-
da pela quantidade de quilômetros que ele é capaz de 
percorrer com um litro de combustível. Tal eficiência de-
pende de vários fatores, entre eles a velocidade adotada. 
O gráfico abaixo exibe o número de quilômetros percor-
ridos por litro de combustível, para um determinado veí-
culo, em função da velocidade.
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a) Supondo que o veículo trafegue com velocidade constante de 100 km/h, determine quantos litros de combustível ele 
consome para percorrer 60 km. 
Com velocidade constante de 100 km/h, ele percorre 15 km com 1 litro; logo, sendo x a quantidade de litros que ele consumirá para percorrer 60 km, temos 
⇒
x
x
60
1
15
45 5 
Portanto, ele consome 4 litros.
b) Considere que o veículo tenha 50 litros de combustível em seu tanque. Determine a sua autonomia máxima, isto é, a maior 
distância que ele pode percorrer, supondo que ele trafegue a uma velocidade constante. 
Para que a autonomia seja máxima, o automóvel deverá trafegar com a velocidade constante que oferece a maior eficiência, ou seja, 80 km/h, e assim ele percorre 
20 km por litro. Logo, sendo a distância pedida, temos y
y
y
50 1
20
1000⇒5 5
A maior distância que o veículo pode percorrer a uma velocidade constante é 1 000 km.
4 Considere uma grandeza composta, como a apresentada no exercício anterior: a velocidade. Esse tipo de grandeza é deter-
minado pela razão ou pelo produto de outras duas. A velocidade, por exemplo é a razão da distância pelo tempo. Agora, 
elabore um exercício contextualizado em que seja usada uma grandeza composta.
Exercício de criação. Resposta pessoal.
5 O mapa a seguir representa uma parte do estado de São Paulo.
Santos
Jundiaí
Ilhabela
Campinas
Indaiatuba
Itu
Caraguatatuba
Guarulhos
São Paulo
Guarujá
Ubatuba
São José
dos Campos
São Bernardo
do Campo
Aparecida
Taubaté
MINAS
GERAIS
OCEANO
ATLåNTICO
SÃO PAULO
N
21
km
0
B
R
 0
5
0
B
R
 1
1
6
B
R
 3
81
SP 055
B
R
 1
01
SP 065
BR 1
16
Utilizando uma régua, estime a distância, em linha reta, entre as seguintes cidades:
a) São Paulo e Taubaté;
Com a régua podemos estimar que, no mapa, a medida da distância pedida é 6 vezes a medida equivalente a 21 km. Logo, a distância real em quilômetros é de, 
aproximadamente, 6 21 = 126.?
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
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b) Campinas e Caraguatatuba.
Com a régua podemos estimar que, no mapa, a medida da distância pedida é 9 vezes a medida equivalente a 21 km. Logo, a distância real em quilômetros é de, 
aproximadamente, 9 21 = 189.?
6 (Uerj) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, de-
pendendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, 
a partir de sua compra na fábrica.
Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
As taxas de desvalorização anual dos veículos I, II, III e IV foram, respectivamente, iguais a
I) 
25 75
5 0
10
2
2
5 2
II) ,
10 60
4 0
12 5
2
2
5 2
III) 
14 50
6 0
6
2
2
5 2
IV) 
2
2
16 36
4 0
 5 25
Portanto, o veículo que mais desvalorizou por ano foi o II.
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Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Estatística e proporcionalidade – Capítulo 2 
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia os itens 1 e 2 da seção 
Neste módulo.
• Faça a questão 1.
• Faça a questão 8.
• Leia os itens 1 a 3. –
2
• Faça a questão 2. • Faça as questões 9 e 10.
–
3
• Faça as questões 3 e 4. • Faça a questão 11. • Faça as questões 15 e 16.
4
• Leia os itens 3 e 4 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 5 e 6.
• Faça as questões 12 e 13.
• Leia o item 4. –
5
• Faça a questão 7. • Faça a questão 14. • Faça as questões 17 e 18.
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula: 
Aula 5: objetivos 1, 2 e 3; Aula 6: objetivos 4 e 5.
EX TR AS!
1 Para a compra de um repelente eletrônico, uma pessoa fez uma pesquisa nos mercados de seu bairro. Cada tipo de 
repelente pesquisado traz escrito no rótulo da embalagem as informações quanto à duração, em dia, associada à quantidade 
de horas de utilização por dia. Essas informações e o preço por unidade foram representados no quadro.
Tipo Duração em dia Horas por dia de utilização Preço em real
I 30 12 12,00
II 32 9 9,00
III 40 10 10,00
IV 44 8 11,00
V 48 8 12,00
A pessoa comprará aquele que apresentar o menor custo diário, quando ligado durante 8 horas por dia.
Nessas condições, o repelente eletrônico que essa pessoa comprará é do tipo 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
2 Em uma corrida de dez voltas disputada por dois carros antigos, A e B, o carro A completou as dez voltas antes que 
o carro B completasse a oitava volta. Sabe-se que durante toda a corrida os dois carros mantiveram velocidades constantes 
iguais a 18 m/s e 14 m/s. Sabe-se também que o carro B gastaria 288 segundos para completar oito voltas.
A distância, em metro, que o carro B percorreu do início da corrida até o momento em que o carro A completou a décima 
volta foi mais próxima de 
a) 6480. 
b) 5184. 
c) 5040. 
d) 4032. 
e) 3920. 
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Aula 5
Aula 5
Aula 5
Aula 6
Aula 6
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3 Um pintor cobra R$ 240,00 por dia de trabalho, 
que equivale a 8 horas de trabalho num dia. Quando é 
chamado para um serviço, esse pintor trabalha 8 horas 
por dia com exceção, talvez, do seu último dia nesse ser-
viço. Nesse último dia, caso trabalhe até 4 horas, ele cobra 
metade do valor de um dia de trabalho. Caso trabalhe mais 
de 4 horas, cobra o valor correspondente a um dia de 
trabalho. Esse pintor gasta 8 horas para pintar uma vez 
uma área de 40 m2. Um cliente deseja pintar as paredes 
de sua casa, com uma área total de 260 m2. Ele quer que 
essa área seja pintada o maior número possível de vezes 
para que a qualidade da pintura seja a melhor possível. O 
orçamento desse cliente para a pintura é de R$ 4.600,00. 
Quantas vezes, no máximo, as paredes da casa poderão 
ser pintadas com o orçamento do cliente? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 6 e) 
4 Uma empresa de comunicação tem a tarefa de 
elaborar um material publicitário de um estaleiro para 
divulgar umprocesso de desenvolvimento é bastante diferente, bem como as situações 
sociais em que cada uma delas é mais necessária.
Neste Módulo, abordaremos mais detalhadamente as diferenças entre essas modalidades. Os alunos que 
começam o Ensino Médio falam há treze ou quatorze anos e escrevem há quase dez. Por isso, aulas sobre fala 
e escrita não chegam a ser uma novidade. É interessante, então, partir do que eles já sabem sobre o tema. Isso 
pode ser feito a partir das perguntas disparadoras presentes para o professor no Caderno do Aluno.
Aula 1
Por se tratar da primeira aula do curso, sugerimos começá-la apresentando duas gravações de lingua-
gem oral, de preferência em vídeo, curtas. A ideia é que uma seja bastante espontânea, e outra indique um 
grau maior de planejamento. Na internet, não é difícil encontrar material com boas amostras de linguagem 
falada, em diversos graus de formalidade. 
Ao discutir com a turma a linguagem dos vídeos, pretendemos, em primeiro lugar, mostrar que os 
gestos, as expressões faciais e a postura corporal de quem fala contribuem para a produção de sentido. 
São signos não verbais que interpretamos juntamente com os verbais. Esse pode ser o gancho para a 
resolução dos três primeiros exercícios: o primeiro focando na interpretação de um texto multissemió-
tico; o segundo mostrando a relação entre a linguagem dos quadrinhos e a do cinema; e o terceiro 
analisando o significado político-cultural mais amplo de certos gestos em nossa sociedade.
Em segundo lugar, esses estímulos iniciais podem servir para começar a desenvolver a percepção 
entre os alunos e as alunas de que, quando pensamos em linguagem falada e linguagem escrita, uma não 
pode ser considerada mera decorrência da outra. Qualquer tentativa de traduzir a fala em escrita, e vice-
-versa, exigirá adaptações, levando à exploração de recursos específicos de cada uma dessas modalidades 
de atividade linguística. 
Aula 2
A tabela apresentada na seção pode ser usada para resumir o assunto desta segunda Neste Módulo
aula do Módulo, embora parte das distinções entre linguagem falada e linguagem escrita já tenha sido 
discutida na aula anterior.
#cultura_digital
Quando falamos sobre os áudios nos aplicativos de trocas de mensagem de celular e, principalmen-
te, dos textos escritos nesse ramo do universo digital, parece haver uma mistura entre fala e escrita. 
A combinação de palavras, , figurinhas, sinais de pontuação, letras maiúsculas e minúsculas emojis
procura reproduzir a espontaneidade da fala. Porém, mesmo quando a escrita pretende criar a im-
pressão de proximidade com a fala, ela o faz à custa de uma exploração bastante consciente de me-
canismos específicos, o que exige planejamento.
Para que os alunos compreendam, por meio da experiência prática, essa diferença entre a fala e a 
escrita no mundo digital, sugerimos a seguinte atividade: peça aos alunos que se dividam em duplas. 
Eles não precisam estar próximos na sala. Um aluno envia, por meio de aplicativo de mensagem do 
celular, uma mensagem de voz. O aluno que recebe a mensagem tem de transcrevê-la. Ele pode 
fazer uso de e outros recursos para ilustrar como ficaria aquela mensagem se fosse escrita.emojis
Para a realização dessa atividade, certifique-se de que os alunos têm os recursos eletrônicos neces-
sários e de que não há nenhum impeditivo por parte da escola.
Objetivos de aprendizag em
Ao fim destas aulas, o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: compreender que os sentidos podem ser produzidos por elementos verbais, visuais e 
sonoros, podendo ser associados a textos ou aparecer isoladamente.
. Objetivo 2: associar a linguagem falada aos gestos e às expressões faciais.
. Objetivo 3: reconhecer a importância dos textos da tradição oral.
. Objetivo 4: analisar as diferenças entre a linguagem escrita e a linguagem oral, reconhecendo a es-
pecificidade de cada modalidade.
. Objetivo 5: elaborar, de forma colaborativa, textos multissemióticos, envolvendo a análise de textos 
de âmbito normativo que tratem de direitos e deveres, especialmente relativos a adolescentes e jovens.
CULTURA_DIGITAL 
Boxe que faz indicação de 
como trabalhar as TDIC em 
sala de aula. Ele pode indicar 
softwares e orientar seu uso.
8
Para terminar a aula, sugerimos examinar de que forma a hegemonia ateniense alimentou a rivalidade 
entre as cidades e levou as pólis ao enfraquecimento no contexto da Guerra do Peloponeso.
Aula 3
Para iniciar a aula, é importante apresentar brevemente a invasão macedônica e as principais carac-
terísticas do Período Helenístico. Sugerimos que, a partir da resolução da questão 5 da seção Desenvol-
vendo habilidades, sejam tratadas as relações de Alexandre com a cultura grega e suas conquistas mili-
tares. É um momento oportuno para estabelecer uma reflexão em torno do etnocentrismo. O que 
Alexandre considerava “bárbaro” e “civilizado” pode ser útil para problematizar a ideia de superioridade 
da cultura helênica.
Sobre a cultura helênica, analisar o quanto ela foi marcada pela busca da compreensão do ser huma-
no e por sua capacidade de transformar e dar sentido ao Universo. A partir da análise da e da Ilíada
Odisseia, refletir sobre o papel da língua e da religiosidade na formação da identidade grega. Depois, 
sugerimos tratar, sequencialmente, das relações entre a democracia e o desenvolvimento da filosofia 
grega, apresentar as principais caraterísticas do teatro grego e destacar o papel dos Jogos Olímpicos. A 
partir da resolução da questão 6 da seção , abordar o quanto as esculturas, Desenvolvendo habilidades
por meio da busca da perfeição das formas, transformaram-se em uma referência para a arte ocidental. 
Sugerimos, se for viável, projetar em sala de aula algumas das principais obras de arte gregas. 
#cultura_digital
A apresentação do Museu da Acrópole traz oportunidades de refle
xões que estarão presentes no transcorrer do aprendizado de His-
tória. Algumas perguntas podem ser lançadas aos alunos: “Como 
utilizar a internet para obter fontes históricas confiáveis?”; “Como 
lidar com essas informações e contribuir para democratizar as dis-
cussões sobre a sociedade contemporânea?”; “Qual é o papel dos 
museus em uma sociedade marcada pela cultura digital?”. 
Não consideramos oportuno trazer “respostas prontas” a essas 
perguntas, mas mostrar que a discussão em torno dessas ferra-
mentas estará presente em outros momentos do curso. 
O vídeo traz elementos para uma reflexão sobre os intercâmbios no mar Mediterrâneo, particularmente no 
plano das artes. É importante ressaltar que a política expansionista romana através do Mediterrâneo ampliou 
fortemente os contatos com a cultura grega. Fascinados pela cultura helena, militares retornavam a Roma 
com saques que incluíam inúmeras obras de arte gregas. No apogeu econômico de Roma, ocorreu um gran-
de volume de reproduções de obras de arte gregas.
Ao trazer os elementos do vídeo para a aula, sugerimos ressaltar a presença grega em outros campos, como 
a religiosidade, a língua e a filosofia.
Seguindo uma estratégia de aula invertida, sugerimos a realização da seguinte pergunta sobre o vídeo:
A Roma Antiga, relacionava-se com as culturas dos povos do Mediterrâneo, por meio:
a) da negociação de estratégias de livre-comércio.
b) do controle sobre as redes comercias.
c) da fiscalização intensiva.
d) da dinâmica agro-exportadora.
e) da tributação sobre o comércio.
Resposta: B
O texto a seguir pode auxiliar a discussão sobre o tema:
Os estudos sobre o Mediterrâneo não têm por objeto, propriamente, o mar, mas as terras in-
fluenciadas por ele. É nas terras, não no mar, que vivem os mais diferentes povos. [...] É um mundo 
de pequenas regiões terrestres, isoladas umas das outras, mas unidas pelo mar. O vale do rio Nilo é 
a única grande exceção. Por isso mesmo forma um mundo à parte.
PREPARE-SE
G
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o
g
le
 
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o
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PREPARE-SE
Neste boxe, você receberá sugestõesnovo navio, equipado com um guindaste de 
15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento. No 
desenho desse navio, a representação do guindaste deve 
ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve 
apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho 
deverá ser feito em uma escala 1 : X. 
Os valores possíveis para são, apenas, X
a) X > 1500. 
b) Xedital que, 
entre outras cláusulas, previa:
 . Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital;
 . O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31.000,00;
 . O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa 
para o presente edital.
As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.
Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso? 
a) R$ 3.100,00 R$ 6.000,00 R$ 6.200,00b) c) d) R$ 15.000,00 R$ 15.500,00e) 
É possível obter a solução de dois modos:
1o modo
Sendo x, y e z, respectivamente, os valores recebidos pelos contratos das 
máquinas com 2, 3 e 5 anos de uso, e se e x, y z são inversamente propor-
cionais a 2, 3 e 5, então são diretamente proporcionais a 
1
2
,
1
3
e
1
5
, isto é: 
x y z x y z
5 5 5
1 1
1 1
1
2
1
3
1
5
1
2
1
3
1
5
Como x 1 1 y z 5 31 000, temos:
2 3 5
31000
31
30
2 3 5 30 000
x y z
x y z
5 5 5
5 5 5
A máquina de maior idade de uso é a que receberá z, logo:
5 5⇒z z5 30000 6 000
2o modo
Considere x, y e z, respectivamente, os valores recebidos pelos contratos 
das máquinas com 2, 3 e 5 anos de uso. Se , e x y z são 
inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, então 2x 5 3y 5 5z 5 k, em que é a k
constante de proporcionalidade. 
Logo: x
k
5
2
, y
k
5
3
 e z
k
5
5
Como x 1 y 1 z 5 31 000, temos:
k k k
1 1 5
2 3 5
31 000
k k k1 1
5
15 10 6
30
 31 000
k
5
31
39
31 000 ~ 5 k 30 000
Logo, 5 30000 6 000z z⇒5 5 .
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Aula 8
Aula 8
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1 Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, 
chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente trans-
mite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta. As diferentes marchas ficam definidas 
pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura.
O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida 
em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catra-
ca, a cada volta completa dos pedais.
O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é 
a) 2,3. 
b) 3,5. 
c) 4,7. 
d) 5,3. 
e) 10,5. 
Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Estatística e proporcionalidade – Capítulo 3 
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia os itens 1 e 2 da seção 
Neste módulo.
• Faça a questão 1.
• Faça a questão 8.
• Leia os itens 1 e 2. –
2
• Faça a questão 2. • Faça as questões 9 e 10.
• Leia o item 3.
–
3 • Faça as questões 3 e 4. • Faça as questões 11 a 13. • Faça as questões 16 a 18. 
4
• Leia o item 3 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 5 a 7.
• Faça as questões 14 e 15.
• Leia o item 4.
• Faça as questões 19 e 20.
Aula 7
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Aula 8
Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula: 
Aula 7: objetivos 1, 2 e 3; Aula 8: objetivo 4.
EX TR AS!
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172
2 O estado de qualquer substância gasosa é determinado pela medida de três grandezas: o volume (V), a pressão (P) 
e a temperatura ( ) dessa substância. Para os chamados gases “ideais”, o valor do quociente T
P V
T
?
 é sempre constante. 
Considere um reservatório que está cheio de um gás ideal. Sem vazar o gás, realiza-se uma compressão do reservatório, 
reduzindo seu volume à metade. Ao mesmo tempo, uma fonte de calor faz a temperatura do gás ser quadruplicada. Consi-
dere P
0 1
 e P , respectivamente, os valores da pressão do gás no reservatório, antes e depois do procedimento descrito.
A relação entre P
0
 e P
1
 é 
a) 
8
1
0
P
P
5 .
b) 
2
1
0
P
P
5 . 
c) P
1
 5 P
0
.
d) P
1
 5 2P
0
. 
e) P
1 0
 5 8P . 
3 (Unisc) Considere que 12 eletricistas levam 21 horas para realizar a instalação elétrica de uma casa e que todos os eletricistas 
trabalham com a mesma eficiência. Nesse caso, se a esses eletricistas se juntarem outros dois, com igual eficiência, então o 
tempo necessário para realizar o mesmo serviço será de 
a) 24,5 horas. 
b) 22 horas. 
c) 20 horas. 
d) 19 horas. 
e) 18 horas. 
4 Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas iguais, que trabalham simultânea e 
ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse período, as máquinas são desligadas por 30 minutos para 
manutenção. Se alguma máquina precisar de mais manutenção, ficará parada até a próxima manutenção.
Certo dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um total de 9 000 itens. O trabalho começou a ser feito às 8 
horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6 000 itens, mas na manutenção observou-se que uma máquina preci-
sava ficar parada. Quando o serviço foi finalizado, as três máquinas que continuaram operando passaram por uma nova 
manutenção, chamada de manutenção de esgotamento.
Em que horário começou a manutenção de esgotamento? 
a) 16 h 45 min
b) 18 h 30 min
c) 19 h 50 min
d) 21 h 15 min
e) 22 h 30 min
E X T R A S !
Aula 8
Aula 7
Aula 7
A N O T A Ç Õ E S
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COMPETÊNCIAS 
ESPECÍFICAS 
E HABILIDADES 
DA BNCC
COMPETÊNCIA 1
EM13MAT101
EM13MAT102
EM13MAT104
COMPETÊNCIA 2
EM13MAT203
COMPETÊNCIA 3
EM13MAT303
M A T E M ÁT I C A B
Porcentagem
Ponto de partida
• Como calcular o novo 
preço de um produto 
após um aumento de 
20%?
• Após dois aumentos 
de 10% no preço de 
um produto, o aumento 
total é de 20%? 
Objetivos de aprendizagem
Neste módulo
1 Base de cálculo e valor absoluto 
Sendo o valor absoluto, a base de cálculo e % a porcentagem, temos a seguinte relação:A B p
100
5 ?A
p
B
Também podemos escrever 100%5 ?p
A
B
.
2 Variação percentual
A variação percentual apresenta, em porcentagem, quanto uma grandeza aumentou ou diminuiu. 
Dada uma variável V com valor inicial V
0
 não nulo e um valor final , a variação porcentual é dada porV
f
100%
0
0
2
?
V V
V
f
3 Valor final após um aumento ou uma redução
Muitas vezes temos um valor inicial de um produto, por exemplo, e é dado um desconto em porcen-
tagem, mas não nos é dito o valor final; precisamos estar atentos a como fazer esse tipo de cálculo. Veja 
como ele pode ser feito. 
Sendo V
0
 e , respectivamente, os valores iniciais e finais de uma grandeza , temos que:V
f
V
 . Após um aumento de %, com > 0p p




1
1000
5 ? 1V V
p
f
 . Após uma redução de %, com 0. Objetivo 4: Resolver problemas envolvendo o conceito de porcentagem.
 . Objetivo 5: Calcular valores em aumentos ou reduções percentuais sucessivas.
Aula 9
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174
DESENVOLVENDO HABIL IDADES
4 Variações sucessivas
Muitas vezes, uma grandeza sofre mais do que uma variação, e é necessário determinarmos a variação 
final de seu valor. Por exemplo, se um produto sofre um aumento de 40% e depois uma redução de 30% 
no preço da etiqueta, isso quer dizer que o preço sofreu uma variação de 10%? Para saber essa resposta, 
é preciso calcular as variações sucessivas.
Sendo uma grandeza positiva, de valor inicial V V
0 
e valor final , após variações sucessivas, temos:V
f
i 
V
f
 5 f
1
 ? f
2
 ? f
3
 ? ? ... f
i
 ? V
0
em que é o fator de correção correspondente à variação de %, ou seja, f
i
 p
i
f
i
 5 
6





p
i
1
100
.
5 Variações sucessivas iguais 
 . Sendo V uma variável positiva, com valor inicial não nulo, uma constante positiva e o valor V
0
p V
n
de após aumentos sucessivos de %, então:V n p




1
1000
5 ? 1V V
p
n
n
 . Sendo V uma variável positiva, com valor inicial não nulo, uma constante positiva, com V
0
 p
0 100 e o valor de após reduções sucessivas de %, então:caixa de tu-
bos de ensaio e, ao abri-la, constatou que 5% deles apre-
sentavam defeitos e não poderiam ser utilizados. Dos 
tubos sem defeitos, 36 foram utilizados imediatamente, 
60% dos demais foram guardados no estoque e os 92 
tubos restantes foram colocados nos armários do labora-
tório. O número total de tubos de ensaio da caixa era 
a) 240. 
b) 300. 
c) 320. 
d) 260. 
e) 280. 
Considerando que havia x tubos de ensaio na caixa e que 5% deles 
estão com defeitos, concluímos que o número de tubos de ensaio sem 
defeitos é dado por 0,95x. 
Sabendo que 36 foram utilizados imediatamente, ainda nos restam 
0,95x – 36.
Como 60% de (0,95x – 36) foram guardados no laboratório e os 
92 restantes foram colocados nos armários, podemos escrever que:
0,40 – 36) ? (0,95x 5 92
0,95x – 36 5 230
0,95x 5 266
x 5 280
Aula 11
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9 (Unicamp-SP) Os preços que aparecem no cardápio de 
um restaurante já incluem um acréscimo de 10% refe-
rente ao total de impostos. Na conta, o valor a ser pago 
contém o acréscimo de 10% relativo aos serviços (gor-
jeta). Se o valor total da conta for reais, o cliente p
estará desembolsando pelo custo original da refeição, 
em reais, a quantia de 
a) 
1 20
p
,
. 
b) 
1 21
p
,
. 
c) 
0 80
p
,
. 
d) 
p
0,81
. 
Seja o preço original da refeição.x
Como há um acréscimo de 10% referente ao total de impostos e outro, 
sucessivo, também de 10%, referente à gorjeta, temos:
1,1· 1,1· x 5 p
5x
p
,1 21
10 
Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatísti-
ca (IBGE), o rendimento médio mensal dos trabalhadores 
brasileiros, no ano 2000, era de R$ 1.250,00. Já o Censo 2010 
mostrou que, em 2010, esse valor teve um aumento de 
7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto projeta que, 
em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores 
brasileiros poderá ser 10% maior do que foi em 2010.
IBGE. Censo 2010. Disponível em: www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).
Aula 12
Aula 12
Supondo que as projeções do IBGE se realizem, o ren-
dimento médio mensal dos brasileiros em 2020 será de 
a) R$ 1.340,00. 
b) R$ 1.349,00. 
c) R$ 1.375,00. 
d) R$ 1.465,00. 
e) R$ 1.474,00. 
Sendo r
20
 o rendimento médio mensal em 2020, em reais, temos:
r
20
 5 1,10 ? 1,072 ? 1 250 5 1 474
11 (UEFS-BA) Em uma mesma semana, a cotação do dólar, 
em relação ao real, sofreu grande variação: na quarta-feira, 
o valor do dólar subiu 10% em relação ao de segunda-feira 
e, na sexta-feira, baixou 5% em relação ao de quarta-feira.
Nessas condições, o aumento da cotação do dólar, na 
sexta-feira, em relação à segunda-feira, correspondeu a 
a) 3,2%. b) 3,7%. c) 4,0%. d) 4,2%. e) 4,5%. 
Sendo V
0
 o valor do dólar na segunda feira e V
f
 o valor na sexta feira, temos:
V
f
 5 1,1 ? 0,95V
0
V
f
 5 1,045V
0
5 1 ?V
,
V
f
1
4 5
100 0
Assim, o aumento da cotação do dólar foi de 4,5%.
12 (UEG-GO) A capacidade de um tanque é de 1 000 L e está 
cheio de água. Ao abrir o tampão, o volume da água de-
cresce 20% por minuto. Depois de 5 minutos, o volume 
será de aproximadamente 
a) 258 L.
b) 327 L. 
c) 376 L. 
d) 431 L. 
e) 512 L. 
O volume final V
f
 será:
ø5 ? 1 5 ?V 1000 1
20
100
1000 (0,8) 327
f
5
5 L
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Material de consulta: Caderno de Estudos 1 – Estatística e proporcionalidade – Capítulo 4
Objetivo de
aprendizagem
Tarefa Mínima Tarefa Complementar Tarefa Desafio
1
• Leia o item 1 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 1 e 2.
• Faça as questões 17 e 18.
• Leia os itens 1 e 2. _
2
• Leia o item 2 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 3 e 4.
• Faça a questão 19. • Faça a questão 31.
3
• Leia o item 3 da seção Neste 
módulo.
• Faça as questões 5 a 8.
• Faça as questões 20 a 23.
• Leia o item 3.
• Faça as questões 32 e 33.
4
• Faça as questões 9 a 12. • Faça as questões 24 a 27.
• Leia o item 4.
• Faça a questão 34.
5
• Leia os itens 4 e 5 da seção 
Neste módulo.
• Faça as questões 13 a 16.
• Faça as questões 28 a 30.
• Leia os itens 5 e 6.
• Faça as questões 35 e 36.
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Orientação de estudo Sugestão de divisão aula a aula: 
Aula 9: objetivos 1 e 2; Aula 10: objetivo 3; Aula 11: objetivo 4; Aula 12: objetivo 5.
1 A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido na horizontal, mede-se 
xcentímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de %, como no exemplo da figura:x
A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do 
nível da rua, tem 8 metros de comprimento.
Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está 
localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%. Se a rampa 
projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, 
mantendo o comprimento da base da rampa.
Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser 
a) elevado em 40 cm. 
b) elevado em 50 cm. 
c) mantido no mesmo nível. 
d) rebaixado em 40 cm. 
e) rebaixado em 50 cm. 
EX TR AS!
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2 Para pintar um automóvel, cuja cor é personalizada, a oficina encarregada de fazer o serviço terá de, por meio de 
uma mistura adequada de tintas, compor tons de azul e de branco. O tom azul representa 40% dessa mistura. Sabe-se, ain-
da, que a oficina deverá adquirir somente a tinta de tom azul, pois já possui, em seus estoques, 6 litros da tinta de tom 
branco, que serão totalmente utilizados na referida composição.
A quantidade, em litro, de tinta de tom azul que a oficina deverá adquirir para compor essa mistura, sem que haja sobras, é 
a) 2,4. 
b) 3,6. 
c) 4,0. 
d) 9,0. 
e) 10,0. 
3 A conta de telefone de uma loja foi, nesse mês, de R$ 200,00. O valor da assinatura mensal, já incluso na conta, é de 
R$ 40,00, o qual dá direito a realizar uma quantidade ilimitada de ligações locais para telefones fixos. As ligações para celula-
res são tarifadas separadamente. Nessa loja, são feitas somente ligações locais, tanto para telefones fixos quanto para celulares. 
Para reduzir os custos, o gerente planeja, para o próximo mês, uma conta de telefone com valor de R$ 80,00. 
Para que esse planejamento se cumpra, a redução percentual com gastos em ligações para celulares nessa loja deverá ser de 
a) 25%.
b) 40%.
c) 50%.
d) 60%.
e) 75%.
4 Quanto tempo você fica conectado à internet? Para responder a essa pergunta foi criado um miniaplicativo de compu-
tador que roda na área de trabalho, para gerar automaticamente um gráfico de setores, mapeando o tempo que uma pessoa 
acessa cinco visitados. Em um computador, foi observado que houve um aumento significativo do tempo de acesso da sites
sexta-feira para o sábado, nos cinco mais acessados.A seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias.sites
Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira para o sábado, foi no site 
a) X. 
b) Y. 
c) Z. 
d) W. 
e) U. 
5 Uma fábrica de papel higiênico produz embalagens com quatro rolos de 30 m cada, cujo preço para o consumidor 
é R$ 3,60. Uma nova embalagem com dez rolos de 50 m cada, de mesma largura, será lançada no mercado. O preço do 
produto na nova embalagem deve ser equivalente ao já produzido, mas, para incentivar as vendas, inicialmente o preço de 
venda terá um desconto de 10%.
Para que isso aconteça, o preço de venda da nova embalagem, em real, deve ser 
a) 8,10. 
b) 9,00. 
c) 9,90. 
d) 13,50. 
e) 15,00. 
6 (Unicamp-SP) A tabela abaixo exibe o valor das mensalidades do Ensino Fundamental em três escolas particulares nos anos 
de 2017 e 2018.
Ano Escola A Escola B Escola C
2017 R$ 1.000,00 R$ 1.200,00 R$ 1.500,00
2018 R$ 1.150,00 R$ 1.320,00 R$ 1.680,00
a) Determine qual escola teve o maior aumento percentual nas mensalidades de 2017 para 2018.
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180
b) Uma família tem três filhos matriculados na Escola B. 
Suponha que essa escola ofereça um desconto de 10% 
na mensalidade para o segundo filho e de 20% para o 
terceiro filho. Calcule o valor a ser gasto mensalmente 
com os três filhos em 2018. 
7 Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos 
organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não 
participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns 
compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e mui-
tos compraram apenas um. O total de alunos que comprou 
um único bilhete era 20% do número total de bilhetes 
vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o 
número total de alunos do colégio.
Quantos alunos compraram somente um bilhete? 
a) 34 
b) 42 
c) 47 
d) 48 
e) 79 
8 (Unesp-SP) Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2alu-
nos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e 
alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina também 
estavam gripados. Dentre os meninos presentes à aula, a 
porcentagem dos que estavam gripados era 8% e, dentre 
as meninas, a porcentagem das que estavam gripadas 
era 5%. Nos dias em que a turma está completa, a por-
centagem de meninos nessa turma é de 
a) 52%. 
b) 50%. 
c) 54%. 
d) 56%. 
e) 46%.
9 Uma pessoa se interessou em adquirir um produto 
anunciado em uma loja. Negociou com o gerente e conse-
guiu comprá-lo a uma taxa de juros compostos de 1% ao 
mês. O primeiro pagamento será um mês após a aquisição 
do produto, e no valor de R$ 202,00. O segundo pagamen-
to será efetuado um mês após o primeiro, e terá o valor de 
R$ 204,02. Para concretizar a compra, o gerente emitirá 
uma nota fiscal com o valor do produto à vista negociado 
com o cliente, correspondendo ao financiamento aprovado.
O valor à vista, em real, que deverá constar na nota fiscal 
é de
a) 398,02.
b) 400,00. 
c) 401,94. 
d) 404,00. 
e) 406,02.
Módulo 1
1 a
2 77,5 km/h
3 Resposta pessoal. 
4 c
5 a) Incorreto: |a – | = 2,7%de como 
os alunos podem se preparar para a próxima 
aula. Em uma busca por uma aprendizagem 
mais autônoma e ativa, vamos indicar alguns 
vídeos, textos, atividades, pesquisas, etc., que os 
alunos podem fazer em casa para que na aula 
seguinte eles já tenham algum conhecimento 
sobre o assunto.
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Sumário
Matemática A
Módulo 1. Potências de expoente de 
número inteiro .............................................................6
Módulo 2. Potências de expoente 
racional ...........................................................................9
Módulo 3. Técnicas algébricas ........................11
Módulo 4. Igualdades e desigualdades ......14
Módulo 5. Modelagem algébrica 
de problemas ............................................................16
Matemática B
Módulo 1. Estatística: análise de dados ..... 18
Módulo 2. Variações e 
proporcionalidade.................................................. 26
Módulo 3. Grandezas proporcionais ........... 28
Módulo 4. Porcentagem ....................................30
ja
n
ie
c
b
ro
s
/E
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/G
e
tt
y
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1 M A T E M Á T I C A A C O M P E T Ê N C I A S G E R A I S C 1 . C 2 . C 3 . C 4 . C 7 . C 1 0 
Potências de 
expoente inteiro
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT103 Interpretar e compreender textos científicos ou divulgados pelas mídias, que empregam unidades de medida de 
diferentes grandezas e as conversões possíveis entre elas, adotadas ou não pelo Sistema Internacional (SI), como as de 
armazenamento e velocidade de transferência de dados, ligadas aos avanços tecnológicos.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de 
algarismos significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizagem
 Aula Descrição Anotações
1
Potência de expoente natural
Potências de expoente inteiro negativo
Propriedades das potências
Notação científica de um número racional
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
2
Resolução de problemas que envolvam 
potências
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: aplicar as propriedades de potências em cálculos que envolvam expressões numéricas. 
. Objetivo 2: utilizar a notação científica na resolução de problemas. 
. Objetivo 3: resolver situações-problema que façam uso da potenciação e de suas propriedades. 
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Ponto de partida
Como este é o primeiro módulo do curso, pode ser interessante motivar os alunos a rever alguns con-
ceitos já estudados, que serão aprofundados agora, por meio da apresentação de uma situação-problema, 
como a indicada no Caderno do Aluno: “Quantas pessoas são os bisavós dos bisavós dos seus bisavós?”.
Se julgar conveniente, deixe um tempo para que os alunos pensem e respondam. A ideia desta pergun-
ta é utilizá-la como um ponto de partida para a noção de potenciação: uma vez que cada indivíduo possui 
8 bisavós, então cada pessoa tem 8 8 ? 5 64 bisavós dos bisavós e, consequentemente, 8 8 ? ? 8 512 bisa-5
vós dos bisavós dos seus bisavós. 
Aula 1
Após iniciar a aula com a apresentação de algum problema como o mencionado no Ponto de partida, 
defina a potência de um número real com expoente natural , maior que 1, como o produto de a n n fatores 
iguais a a:
1 2444 3444
É
fatores
5 ? ? ? ?a a a a an
n
Em seguida, mostre aos alunos que, de posse dessa definição, é possível deduzir duas propriedades 
relevantes: no produto de duas potências de mesma base, mantém-se a base e adicionam-se os expoentes; 
na potência de uma potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes. Essas propriedades são 
importantes, pois podem motivar os alunos a buscar uma definição para a1 e , de modo que tais proprie-a0
dades se mantenham válidas também para esses expoentes.
Depois, defina a potência de um expoente inteiro negativo, conforme indicado no Caderno de Estudos. 
Com isso, é possível deduzir algumas outras propriedades que também terão aplicação na resolução de 
exercícios.
Após definir potências cujos expoentes sejam um número natural qualquer, resolva com os alunos a 
questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades. Depois, introduza a notação científica de um número ra-
cional e deixe-os pensar na questão 2, para, em seguida, corrigi-la. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção Extras!.
Aula 2
Nesta aula, é importante que se retome os conceitos vistos na aula anterior, para, em seguida, discutir 
alguns problemas que utilizam a potenciação e suas propriedades em sua resolução.
Dê um tempo para que os alunos pensem na questão 3 e, depois, corrija-a. Essa questão é interessan-
te porque, além de evidenciar as potências de base 2, também permite que se estabeleçam investigações 
matemáticas na descoberta de propriedades aritméticas das potências de 2 (o que será retomado poste-
riormente nas aulas sobre progressão geométrica).
Os últimos itens dessa questão também buscam desenvolver habilidades mais complexas do que 
efetuar operações com expressões numéricas ou resolver problemas, que são a análise e a avaliação da 
razoabilidade de um resultado numérico na resolução do problema e o raciocínio matemático na constru-
ção de uma argumentação consistente.
Fique à vontade para ampliar a discussão sobre pirâmide financeira, mostrando exemplos de situações 
que se comportam tal qual os esquemas em pirâmides: “correntes”, propagação de notícias falsas ou 
outro que julgar conveniente. Pode ser um bom momento para propor aos alunos que realizem algum 
estudo de caso, como o da empresa americana Herbalife, que ficou mundialmente conhecido e foi re-
tratado em diversos documentários. Há uma indicação de um documentário sobre esse assunto no final 
do capítulo.
Caso julgue adequado, é possível ampliar a discussão sobre esse tema, com os seguintes questiona-
mentos:
. o fato de a tabela apresentar cinco situações em que o número de novos associados na semana é 
maior do que o total de associados na semana anterior garante que isso irá ocorrer toda semana?
. caso a resposta da questão anterior seja afirmativa, como justificar isso (ou seja, como provar tal 
afirmação)?
Encaminhamento
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8
Estas perguntas propõem uma investigação, levantando hipóteses (conjecturas) que podem ser pro-
vadas na própria aula ou em algum momento futuro (por exemplo, na aula que trata sobre a soma dos 
termos de uma progressão geométrica).
A questão 4 busca, além de operacionalizar a potenciação, já introduzir alguns elementos relativos às 
relações de dependências entre grandezas, tanto algebricamente quanto graficamente. A ideia é que o 
aluno consiga decidir, com base nos gráficos dos modelos, qualé o gráfico mais adequado para se repre-
sentar um problema real.
Caso sobre tempo, complete a aula com alguma das questões da seção Extras!.
A N O T A Ç Õ E S
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Potências de expoente 
racional
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT304 Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais é necessário compreender e interpretar a variação das 
grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira e o do crescimento de seres vivos microscópicos, entre outros.
EM13MAT313 Utilizar, quando necessário, a notação científica para expressar uma medida, compreendendo as noções de algarismos 
significativos e algarismos duvidosos, e reconhecendo que toda medida é inevitavelmente acompanhada de erro.
Sugestão de roteiro de aula
Objetivos de aprendizagem
 M A T E M ÁT I C A A
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Aplicar as propriedades dos radicais em cálculos que envolvam expressões numéricas.
. Objetivo 2: Escrever uma potência de expoente racional usando um radical.
. Objetivo 3: Resolver situações-problema que façam uso dos radicais e de suas propriedades. 
Aula Descrição Anotações
3
A operação radiciação
Propriedades dos radicais
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1 e 2
4
Potência de expoente racional
Desenvolvendo habilidades: 3 a 5
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
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10
Encaminhamento
Aula 3
Inicie a aula retomando o conceito de potenciação, estudado nas aulas anteriores. Nessa retomada, é 
importante mostrar aos alunos que, conhecidos o valor da base e o do expoente, é possível determinar o 
valor da potência. Em seguida, pode ser feita a seguinte pergunta a eles: Se forem conhecidos o valor da 
potência e o do expoente, é possível determinar o valor da base? Reforce que a resposta a essa pergunta 
nem sempre é afirmativa e, nos casos em que é, nem sempre é única. Para que a pergunta admita uma 
única resposta, é necessário estabelecer condições para o expoente, a potência e a base: o expoente deve 
ser natural não nulo e a potência e a base devem ser números não negativos. Caso considere relevante, dê 
exemplos que ilustrem essa situação. Então, defina a operação radiciação como uma das inversas da ope-
ração potenciação e apresente algumas propriedades relativas à radiciação.
Caso queira, é possível demonstrar essas propriedades usando somente a definição de radical; no 
entanto, também é possível demonstrá-las na próxima aula, a partir da relação entre radiciação e potências 
de expoente racional.
Resolva com os alunos a questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades e deixe-os pensar na questão 
2 para, em seguida, corrigi-la. Caso haja tempo, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção 
Extras!. 
Aula 4
O objetivo principal desta aula é relacionar a operação radiciação com as potências de expoente ra-
cional. Por mais que seja conveniente simplesmente definir potências de expoente racional, pode ser rele-
vante investigar com os alunos como obter essa relação, tal qual é apresentada no capítulo corresponden-
te no Caderno de Estudos. 
Valendo-se da notação, demonstre, caso julgue pertinente, as propriedades dos radicais apresentadas 
na aula anterior. Essas demonstrações podem ser sugeridas como leitura, no Caderno de Estudos. Em 
seguida, resolva as questões 3 e 4 da seção Desenvolvendo habilidades.
A resolução proposta no exercício 4 envolve uma propriedade relativa às potências cujas bases são 
números pertencentes ao intervalo ]0, 1[. No entanto, também é possível resolver essa questão da forma 
apresentada a seguir.
Com 0 1, temos:o menor do maior 
desses números. Em seguida, inverta a ordem dos algarismos da diferença obtida, de modo que o algarismo do 
meio se mantenha novamente, e adicione-o à diferença obtida. Qual é o resultado dessa adição? 
Se julgar conveniente, dê um tempo para que os alunos pensem e respondam; ou, se preferir, peça a 
eles que façam a conta e não divulguem o resultado. Você pode “adivinhar” o resultado: independente-
mente do número inicial pensado, a resposta será sempre igual a 1 089. Mostre a eles que uma das vanta-
gens da linguagem algébrica, além de permitir a representação de quantidades desconhecidas, é possi-
bilitar a determinação de padrões e algoritmos em contas, o que pode ser relevante em diversas áreas, 
incluindo a Computação. 
Aula 5
Esta aula trata de um tema que, de modo geral, é familiar aos alunos, já que é explorado no Ensino 
Fundamental – Anos Finais: a propriedade distributiva. Caso queira motivá-los com uma aplicação prática, 
sugerimos apresentar os exemplos de cálculo mental, disponíveis no primeiro item do Caderno de Estudos.
Inicie a exposição teórica apresentando a propriedade distributiva e, em seguida, os produtos notáveis: 
produto da soma pela diferença, quadrado da soma e quadrado da diferença. Nos dois últimos, enfatize 
que, de modo geral, (x 1 y)2 = 1x2 y2, erro que pode ser cometido pelos alunos.
Depois, dê algum tempo para que os alunos façam a questão 1 da seção Desenvolvendo habilidades. 
No item , caso os alunos apliquem a propriedade distributiva, em vez de reconhecer o produto notável, b
enfatize que, por mais que os produtos notáveis sejam consequências diretas da propriedade distributiva, 
aplicá-los pode trazer grande agilidade nos cálculos.
No item , vale o mesmo comentário: desenvolver os quadrados é mais rápido do que reescrevê-los c
como um produto e aplicar a distributiva. Porém, sugerimos que não seja estimulada a fatoração da dife-
rença de quadrados, já que as técnicas de fatoração são temas das aulas 7 e 8. 
Após fazer a correção, dê algum tempo para que os alunos tentem resolver a questão 2. É possível que 
alguns alunos consigam entender a lógica, mas não saibam expressá-la textualmente. Durante a correção, 
enfatize a importância da clareza no texto, dando o exemplo no quadro.
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção Extras!, ou 
com outra atividade que julgar conveniente. 
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Aula 6
Nesta aula, os alunos devem exercitar o conteúdo visto até aqui. Assim, inicie a aula retomando as 
ideias vistas e, em seguida, dê tempo para que os alunos pensem nas questões de 3 a 5.
Faça intervenções conforme necessário e, antes de corrigir cada questão, dê algumas dicas caso os alunos 
não estejam conseguindo avançar. Por exemplo, na questão 3, é possível que alguns alunos não entendam a 
relação com o que foi visto na exposição teórica. Aproveite a oportunidade para ilustrar como a linguagem 
algébrica pode ajudar em situações desse tipo. Aproveite para apresentar também uma outra maneira de 
entender um algoritmo, através de um fluxograma. Recomendamos ilustrá-lo da seguinte maneira:
Digite um número 
qualquer
Some 1 ao 
número digitado
Multiplique o 
resultado obtido 
por 6
Subtraia 4 do 
resultado anterior
Divida o resultado 
obtido por 2
Caso julgue adequado, proponha a criação de um fluxograma como esse nos itens e a b.
Na questão 4, os alunos terão de se lembrar de elevar ao quadrado. É comum que alguns alunos se 
sintam desconfortáveis porque não tiveram essa ideia, mas enfatize que, com treino e repetição, as ideias 
passam a ocorrer naturalmente.
A questão 5, por sua vez, é uma boa oportunidade para mostrar a relação entre o aspecto algébrico e 
o aspecto geométrico das técnicas estudadas.
Após corrigir as questões, caso sobre tempo, complete a aula com as questões 3 e 4 da seção Extras! 
ou com outra atividade que julgar necessária.
Aula 7
A diferença entre os temas estudados nas aulas anteriores e nesta aula é sutil, mas os alunos costumam 
ter dificuldade com esse conteúdo. Basicamente, as igualdades das aulas 5 e 6 serão lidas no sentido con-
trário ao tradicional de leitura: por exemplo, apesar de as igualdades a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c e 
a b a ? 1 ? c 5 a ? (b c 1 ) representarem a mesma afirmação, se considerarmos que o sentido de leitura 
tradicional é seguido, temos que a primeira igualdade exige uma simples aplicação da propriedade distri-
butiva, ao passo que a segunda exige o reconhecimento de um padrão. 
Assim, é importante enfatizar que o aprendizado das técnicas de fatoração exige bastante treino, já 
que é mais difícil reconhecer padrões que não foram vistos em uma quantidade suficiente de vezes.
Caso deseje, inicie a aula com um exemplo análogo ao explorado no item 1 do Caderno de Estudos, 
sobre o escultor. Mostre que a estratégia aplicada exigiu que o resultado do desenvolvimento de um pro-
duto notável fosse reconhecido.
Em seguida, faça a exposição teórica, apresentando a técnica do fator comum por meio de exemplos, 
seguida pela da diferença de quadrados. Dê um tempo para que os alunos resolvam a questão 6, corrigin-
do-a em seguida.
Dê mais um tempo para que façam a questão 7. Após fazer a correção, caso haja tempo disponível, é 
possível completar a aula com a questão 5 da seção Extras!, ou com outra atividade que julgar conveniente. 
Aula 8
Após retomar as técnicas de fatoração vistas na aula anterior, apresente a fatoração do trinômio qua-
drado perfeito. Sugerimos não utilizar, neste momento, a estratégia do cálculo do discriminante, já que os 
alunos ainda não estudaram (no Ensino Médio) as equações do 2º grau.
Em vez disso, sugerimos a identificação dos termos a2 e b2 na expressão a2 1 2ab 1 b2, seguida pela “con-
firmação” por meio do termo 2 . Por exemplo, no caso do trinômio ab x2 61 xy 1 9y2 , identificamos os termos 
x2 e 9y2, que são os quadrados, respectivamente, de x e 3 . Em seguida, verificamos que 2 y ? x ? 3y 5 6xy, con-
firmando que se trata, de fato, de um trinômio quadrado perfeito.
Feito isso, enfatize que as técnicas de fatoração não são livremente intercambiáveis. Há situações em 
que é necessário aplicar tanto a estratégia do fator comum, quanto a diferença de quadrados e o trinômio 
quadrado perfeito. Uma boa diretriz, mesmo que não seja válida em todas as situações, é começar procu-
rando o fator comum e, após fazer a fatoração, verificar se é possível aplicar outra técnica.
Dê um tempo para que os alunos façam a questão 8, corrigindo-a em seguida. Feita a correção, dê 
mais um tempo para que pensem na questão 9, fazendo a correção posteriormente.
Após corrigir as questões, caso sobre tempo, complete a aula com as questões 6 e 7 da seção Extras! 
ou com outra atividade que julgue oportuna.
O passo a passo da estratégia apresentada no boxe de indicação pode ser visto no vídeo disponível 
em (acesso em: 30 jun. 2020) e apresentado aos alunos.
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Igualdades e 
desigualdades
HABILIDADE BNCC NORTEADORA DO MÓDULO
EM13MAT302 Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1o ou 2o graus, para resolver problemas em contextos 
diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Sugestão de roteiro de aula
 M A T E M ÁT I C A A
Aula Descrição Anotações
9
Igualdades
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4 
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!:1 e 2
10
Desigualdades
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 5 a 8 
TC: 13 a 16 
TD: 19 e 20
Extras!: 3 e 4
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Resolver equações e situações-problema que envolvam equações.
. Objetivo 2: Resolver inequações e situações-problema que envolvam inequações. 
Encaminhamento
Aula 9
O conteúdo desta aula foi estudado no Ensino Fundamental – Anos Finais. Dessa forma, pode ser uma 
boa estratégia iniciar a aula com uma equação simples e perguntar aos alunos se eles sabem resolvê-la. 
Neste momento, é bastante provável que algum aluno use expressões como “passar para o outro lado 
subtraindo”, o que sugere que o procedimento foi mecanizado, porém, talvez, não compreendido. Pergun-
te, então, o que significa “passar para o outro lado”, conduzindo a discussão de modo que os alunos enten-
dam que é necessário revisar as ideias e buscar estratégias que consigam defender, em vez de apenas 
memorizá-las.
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Em seguida, defina equação e apresente a estratégia de resolução baseada na ideia de aplicar uma 
mesma operação a ambos os membros até que a incógnita seja isolada. É possível usar a comparação com 
uma balança de pratos para ilustrar esse fato, caso julgue necessário.
Após apresentar a técnica, dê algum tempo para que os alunos façam a questão 1, corrigindo-a em segui-
da. Feita a correção, leia o enunciado da questão 2 com os alunos e aponte o fato de que, em contraste à 
questão 1, essa questão não traz a equação no enunciado, sendo necessário modelar algebricamente a situa-
ção-problema. A habilidade de construir um modelo para uma situação-problema é fundamental e cada vez 
mais exigida em provas e vestibulares.
Deixe que os alunos tentem fazer a questão 2 e, em seguida, corrija-a. Caso haja tempo disponível, é pos-
sível completar a aula com as questões 1 e 2 da seção ou com outra atividade que julgar conveniente. Extras! 
Aula 10
Assim como sugerido na aula anterior, inicie esta aula apresentando uma inequação simples para ve-
rificar como os alunos a resolveriam. É possível que, durante a discussão, algum aluno aponte que a reso-
lução de inequação exige cuidado com relação a números negativos, mas talvez não saiba especificar. 
Novamente, enfatize a importância de entender o procedimento, em vez de apenas memorizá-lo.
Retome a definição de equação, defina inequação e, em seguida, ressalte que a estratégia de resolução 
que será vista é similar à que foi apresentada na aula 9, porém com diferenças importantes. 
Após apresentar a técnica, dê um tempo para que os alunos façam a questão 3, corrigindo-a em se-
guida. Caso haja tempo, explore também as alternativas incorretas.
Antes de orientar a resolução da questão 4, reitere a importância da habilidade de modelar algebrica-
mente. Em seguida, deixe que os alunos tentem fazê-la e, depois, corrija-a. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com as questões 3 e 4 da seção ou Extras!
com outra atividade que julgar conveniente. 
A N O T A Ç Õ E S
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Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
11
Modelar para não intuir
Do enunciado textual para a linguagem
algébrica
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 4
TC: 9 a 12
TD: 17 e 18
Extras!: 1
12
Modelagem que conduz a duas equações
Desenvolvendo habilidades: 3 a 5
TM: 5 a 8
TC: 13 a 16
TD: 19 e 20
Extras!: 2 a 4
Objetivos de aprendizagem
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Modelar problemas usando a linguagem algébrica e resolvê-los a partir da estratégia de 
isolar a incógnita. 
. Objetivo 2: Resolver problemas cuja modelagem algébrica recai em um sistema formado por duas 
equações, com duas incógnitas. 
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Modelagem algébrica de 
problemas
HABILIDADE(S) BNCC NORTEADORA(S) DO MÓDULO
EM13MAT301 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem 
equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, incluindo ou não tecnologias digitais.
EM13MAT302 Resolver e elaborar problemas cujos modelos são as funções polinomiais de 1º e 2º graus, em contextos diversos, 
incluindo ou não tecnologias digitais.
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Encaminhamento
Aula 11
Esta aula não tem novidades teóricas, já que as primeiras técnicas de resolução de equações e inequa-
ções foram apresentadas no módulo anterior. O foco é a obtenção das equações e inequações que permi-
tem resolver uma situação-problema a partir da interpretação de textos. Para isso, são apresentadas 
equações e inequações com apenas uma incógnita; na aula 12, há, também, sistemas de duas equações 
com duas incógnitas.
Para motivar os alunos, sugerimos iniciar a aula com uma pergunta ou problema simples que incen-
tive a resolução por intuição, em vez de modelagem algébrica. Tanto a seção , no Caderno Neste módulo
do Aluno, quanto o capítulo teórico trazem exemplos desse tipo de problema.
Podem ser usados um desses problemas, ou outros podem ser criados. A ideia é que os alunos perce-
bam que a intuição, de maneira geral, não é muito confiável para se resolver problemas desse tipo.
Em seguida, comente sobre o processo de tradução do enunciado textual para a linguagem algébrica. 
Por mais que não seja possível criar uma lista exaustiva, há alguns casos mais comuns que merecem ser 
comentados, como “dobro do sucessor”, “quadrado da soma” e outros. Novamente, tanto a seção Neste
módulo, no Caderno do Aluno, quanto o capítulo teórico trazem alguns exemplos desse tipo.
Para a realização das atividades, permita que os alunos pensem nas questões 1 e 2, corrigindo-as em 
seguida. Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com a questão 1 da seção Extras!, ou 
ainda com outra atividade que julgar conveniente. 
Aula 12
Nesta aula, apresentaremos problemas cuja modelagem recai em sistemas de duas equações com 
duas incógnitas. Nesse momento, é possível apresentar estratégias para resolver sistemas lineares do “tipo 
2 por 2”. A estratégia de resolução proposta segue diretamente a partir do que foi visto no módulo ante-
rior, ou seja, isolar a incógnita.
Novamente, comece com algum exemplo (o Caderno do Aluno e o capítulo teórico trazem exemplos 
desse tipo) e, em seguida, dê tempo para que os alunos pensem nas questões 3 e 4, corrigindo-as em 
seguida.
Antes de dar tempo para que os alunos resolvam a questão 5, faça uma breve verificação sobre varia-
ções percentuais, que estão sendo estudadas nas aulas 11 e 12 do setor B. Em seguida, discuta a questão e 
dê um tempo para que a resolvam, corrigindo-a posteriormente. 
Caso haja tempo disponível, é possível completar a aula com alguma das outras três questões da seção 
Extras!, ou ainda com outra atividade que julgar conveniente. 
A N O T A Ç Õ E S
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Estatística: análise 
de dados
HABILIDADES BNCC NORTEADORAS DO MÓDULO
EM13MAT102 Analisar gráficos e métodos de amostragem de pesquisas estatísticas apresentadas em relatórios divulgados por diferentes meios de 
comunicação, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apropriadas. 
EM13MAT202 Planejar e executar pesquisa amostral sobre questões relevantes, usando dados coletados diretamente ou em diferentes fontes, e 
comunicar os resultados por meio de relatório contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das medidas de dispersão 
(amplitude e desvio padrão), utilizando ou não recursos tecnológicos. 
EM13MAT316 Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central 
(média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão).
EM13MAT406 Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências, com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo 
ou não o uso de softwares que inter-relacionem estatística, geometria e álgebra.
EM13MAT407 Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de diferentes diagramas e gráficos, como o histograma, o de caixa 
(box-plot ), o de ramos e folhas, reconhecendo os mais eficientes para sua análise. 
Sugestão de roteiro de aula
Aula Descrição Anotações
1
Análise e interpretação de dados
Desenvolvendo habilidades: 1 e 2
TM: 1 a 3
TC: 4 a 7
TD: 8 e 9
Extras!: 1 a 3
2
Medidas de tendência central
Desenvolvendo habilidades: 3 e 4
TM: 10 a 13
TC: 14 a 17
TD: 18 e 19
Extras!: 4 a 6
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Objetivos de aprendizagem
3
Medidas de dispersão
Desenvolvendo habilidades: 5 e 6
TM: 20 a 23
TC: 24 a 26
TD: 27 e 28
Extras!: 7 e 8 
4
Resolução de exercícios
Desenvolvendo habilidades: 7 e 8
TM: 29 a 32
TC: 33 a 35
TD: 36 a 38
Extras!: 9
Ao fim desta(s) aula(s), o aluno deve ser capaz de:
. Objetivo 1: Identificar, analisar e interpretar dados apresentados em tabelas e gráficos.
. Objetivo 2: Analisar e calcular dados referentes às medidas de tendência central.
. Objetivo 3: Analisar, calcular, comparar e inferir dados referentes às medidas de dispersão.
. Objetivo 4: Relacionar, calcular, analisar, inferir e concluir os conceitos estatísticos relacionados à 
representação de dados e tratamento da informação.
Encaminhamento
Ponto de partida
Com a pergunta “Você já realizou uma pesquisa?”, questione os alunos se eles já participaram de al-
guma pesquisa, estimulando o debate de modo que cheguem à conclusão do que é necessário para rea-
lizar uma pesquisa estatística.
O questionamento “De que maneira podemos organizar, tratar, interpretar e realizar inferências sobre 
os dados obtidos em uma pesquisa?” remete ao tratamento e à interpretação de dados. Para aprofundar 
esse questionamento, é possível apresentar aos alunos diferentes tipos de tabela e gráfico, solicitando a 
eles que os interpretem. Se possível, trabalhe gráficos com histórico de precipitação de chuvas e tempe-
ratura. Mostre que essa também é uma maneira de apresentar diferentes tipos de dado utilizando um 
único recurso.
Em relação à pergunta “Quais outras medidas podem nos auxiliar no tratamento das informações das 
observações de uma amostra?”, é possível questionar os alunos sobre as medidas de tendência central e 
de dispersão, se eles já ouviram falar ou se já utilizaram. Aproveite a oportunidade para questioná-los se 
a mediana ou a moda seria a melhor medida para analisar as notas obtidas por um aluno ao longo de um 
semestre.
Aula 1
Nesta aula, iniciaremos o estudo da Estatística, mostrando aos alunos o papel desta área da Matemá-
tica: coletar, organizar e interpretar dados coletados em pesquisas. Como sugestão, é possível perguntar 
se eles já realizaram uma pesquisa ou se já responderam a uma. Exemplos do cotidiano, como pesquisas 
eleitorais, censo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) ou pesquisas com aspectos pes-
soais, como preferência de estilo musical, podem ser citados. Nesse momento, é aconselhável definir os 
conceitos de população e amostra a partir dos exemplos que a turma apresentar, além de explorar os 
conceitos de variável qualitativa e variável quantitativa. 
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Em seguida, sugere-se perguntar aos alunos como esses dados obtidos podem ser representados e 
organizados. As tabelas, a definição de frequência e os diferentes tipos de gráfico podem ser apresentados 
nesse momento. Entre os objetivos desta aula estão refinar e aprofundar com os alunos a leitura e a inter-
pretação de gráficos estatísticos. 
No Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), essa habilidade é amplamente explorada, inclusive em 
outros componentes curriculares. A capacidade de concluir e realizar inferências pode ser levada em con-
ta se o objetivo é trabalhar habilidades de complexidades média e alta. Além disso, sugere-se discutir com 
os alunos, não apenas nesta aula, os aspectos negativos em publicações de gráficos estatísticos que indu-
zem a interpretações e conclusões equivocadas. Como exemplo disso, observe os gráficos a seguir. 
GRÁFICO I
Intenção de votos para a Presidência da República (2014) 
Observe que, na construção do gráfico, há intencionalmente um dado que ressalta a liderança do 
candidato Aécio: a largura da coluna que representa a intenção de votos nesse candidato é bem maior que 
a largura da coluna da sua adversária. Além disso, no gráfico original (em cores), a primeira coluna está 
pintada de verde, chamando a atenção do leitor, enquanto a outra coluna está em branco, com menor 
destaque. É curioso notar que a diferença em porcentagem (54% e 46%) não justifica essa discrepância 
geométrica na apresentação do gráfico. 
GRÁFICO II
1985 1986 1987 1988
Renda (kf)
1989 1990 1991
200
202
204
206
208
210
 1985 1986 1987 1988
Renda (kf)
1989 1990 1991
0
50
100
150
200
250
Fonte: Besson (1992)
Nesse segundo caso, é importante observar que a escolha da escala no eixo vertical muda completa-
mente a forma do gráfico. Esse artifício é muito utilizado em apresentações dependendo do enfoque que 
se pretende dar. Assim, o tratamento de informações em Estatística evidencia claramente as intenções de 
quem divulgará esses dados. 
Campanha de Aécio Neves promove 
pesquisa do Instituto Paraná no 
Facebook, em 8 de outubro de 2014. 
Reprodução Facebook.
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Fonte: (http://www.brasil.elpais.com).El Pa’s
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Em seguida, oriente os alunos na resolução dos exercícios. Outra maneira de abordar o conteúdo é apre-
sentar o modelo de tabela e, consequentemente, a definição de frequência absoluta e frequência relativa e, 
em seguida, resolver o exercício 1. A partir daí, sugere-se apresentar os tipos de gráfico e resolver o exercício 2. 
Nesta questão, é importante aprofundar, como já mencionado,a leitura e a interpretação de gráficos estatís-
ticos e sinalizar aos alunos que são esperadas duas respostas para o item a, pois há dois comandos.
Ao final desta aula, estimule os alunos a fazer pesquisas referentes ao conteúdo que será trabalhado 
na aula seguinte. O objetivo é acostumá-los a ter autonomia e buscar o conhecimento por fontes diversas. 
Sugere-se mostrar claramente essa intenção, bem como que a construção do conhecimento pode ocorrer 
de diferentes maneiras. Incentivar os alunos a realizar essa atividade certamente é o início de uma cons-
trução de trabalho com base em metodologias ativas. 
Na seção Desenvolvendo habilidades da próxima aula haverá uma questão em que os alunos realizarão uma 
pesquisa na sala de aula. Na tentativa de otimizar o tempo da próxima aula, sugere-se pedir aos alunos que se 
organizem divididos em grupos de, no máximo, 3 integrantes e que pensem em uma variável quantitativa sobre 
a qual se possa fazer perguntas e que tenha possibilidade de ser colhida em sala aula entre os colegas. 
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões 1 a 3 da seção ou com algum Extras!
exercício como os sugeridos abaixo.
1 As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande número de paí-
ses, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam refletir características 
culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 me-
dalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte distribuição entre os 196 países participantes 
como mostra o gráfico. 
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000, 
 a) cada país participante conquistou pelo menos uma. 
 b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países. 
 c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados. 
 d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados.
 e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.
2 A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levan-
tada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram 
conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos 
de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no 
gráfico a seguir. 
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS. 
Summer Course – 1992 (adaptado). 
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De acordo com as informações do gráfico, 
 a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversa-
mente proporcionais. 
 b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não 
se relacionam. 
 c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas direta-
mente proporcionais.
 d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. 
 e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Aula 2
Caso na aula anterior tenha sido proposta uma pesquisa sobre medidas de centralidade, é interessan-
te começar a aula perguntando aos alunos quem realizou a pesquisa, colhendo as respostas, ressaltando 
e explicando novamente a tentativa de levar os alunos a pesquisar de antemão os conteúdos que serão 
trabalhados. Nessas situações, elaborar na lousa um quadro com o conteúdo que eles conseguiram estudar 
antecipadamente é uma possibilidade de metodologia. Pode-se retomar o conceito de variável qualitativa 
e quantitativa a partir das observações trazidas por eles.
Os alunos provavelmente apresentarão conceitos das principais medidas de centralidade: média arit-
mética, mediana e moda. Conceituar pode ser uma habilidade em que eles ainda apresentem dificuldade, 
se for realizada sem o apoio de uma pesquisa prévia. Ajudá-los nesse momento faz parte do processo, bem 
como a habilidade de relacionar conceito e aplicação. Entender e aplicar o conceito das medidas de cen-
tralidade é o principal objetivo desta aula. 
Se julgar conveniente, escolha um dos exemplos apresentados pelos alunos e calcule as três medidas. 
É fundamental ressaltar a diferença entre média aritmética simples e ponderada. 
Para a realização do exercício 3 da seção Desenvolvendo habilidades sugere-se organizar os alunos em 
grupos de, no máximo, 3 integrantes. A pesquisa indicada deve ser rápida. É importante que eles realizem so-
zinhos os cálculos indicados na questão e tentem responder aos itens propostos. Essa discussão criará impor-
tantes estruturas para o assunto da aula seguinte: medidas de dispersão. Durante esta aula, é interessante que 
todos permaneçam nos grupos em que realizaram a pesquisa. Apropriar-se em conjunto dos erros e aprender 
com eles é uma excelente ferramenta nesse processo. Em seguida, sugere-se pedir aos grupos que resolvam 
o exercício 4. Mais uma vez, uma rodada de discussões pode ser realizada, bem como um painel de soluções. 
Caro professor, informe previamente os alunos que na próxima aula será necessário o uso de uma 
calculadora.
Caso haja tempo, a aula pode ser complementada com as questões de 4 a 6 da seção ou com Extras!
algum exercício como os sugeridos a seguir.
1 (Fuvest-SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, 
é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: 
 a) 16 
 b) 20 
 c) 50 
 d) 70 
 e) 100
2 Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no ata-
cado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. 
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
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 De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse 
período era igual a 
 a) R$ 73,10. 
 b) R$ 81,50. 
 c) R$ 82,00. 
 d) R$ 83,00. 
 e) R$ 85,30.
Aula 3
Caso você tenha orientado os alunos na pesquisa prévia sobre o assunto que seria trabalhado nesta 
aula, é interessante começar a aula coletando as informações pesquisadas. É muito provável que, ao longo 
dessa prática, os próprios alunos sintam-se confortáveis em esclarecer as dúvidas dos colegas. 
É possível que os alunos apresentem as seguintes dúvidas: 
a) o porquê de se utilizar as medidas de dispersão;
b) a diferença entre variância e desvio padrão. 
Diferenciar as medidas de centralidade e de dispersão, assim como diferença entre variância e desvio 
padrão são alguns dos objetivos desta aula. O objetivo principal é que os alunos se apropriem de que 
quanto menor for o desvio padrão, mais regular será o conjunto de dados, além de sinalizar certa incidên-
cia desse conceito no Enem. Outro aspecto que merece ser discutido nesta aula é o uso da calculadora. 
Por se tratar de um conceito que envolve cálculo de quadrados (para variância) e extração de raiz quadra-
da (para desvio padrão), é muito comum esse questionamento por parte dos alunos. Ao analisarmos os 
exames vestibulares e o Enem, as questões variam de análise pura de dados já calculados a questões em