001-EXERCICIOS AULA 2

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1. 
 
 
Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela 
expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: 
 
 
20, 14 e 2 
 
 
-20, 2 e -14 
 
 
-14, 2 e -20 
 
2, -14 e -20 
 
 
-2, 14 e 20 
 
 
 
Explicação: 
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) 
(0,-9,-12) - (-2,5,8) 
(2,-14,-20) 
 
 
 
 
 
2. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 0 
 
 
a = 2 
 
a = 4 
 
 
a = - 2 
 
 
a = - 4 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 
unidade? 
 
 
s=12us=12u 
 
 
s=11us=11u 
 
s=13us=13u 
 
 
s=10us=10u 
 
 
s=9us=9u 
 
 
 
Explicação: 
122+52=|s|2122+52=|s|2 
s=√ 164 s=164 
s=13us=13u 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z 
respectivamente são: 
 
 
31 ; 90 ; 121 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
 
121 ; 31 ; 90 
 
 
90 ; 31 ; 121 
 
90 ; 121 ; 31 
 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34 034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34−334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34 534 ⇒ z = 30,96º 
 
 
 
 
 
5. 
 
Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v 
 
 
3 i - 18 j 
 
 
9 i + 4 j 
 
 
17 i + 6 j 
 
 
12 i - 8 j 
 
4 i - 17 j 
 
 
 
Explicação: 
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a? 
 
 
a=3a=3 
 
 
a=12a=12 
 
 
a=−3a=−3 
 
 
a=32a=32 
 
 
a=0a=0 
 
 
 
Explicação: 
y=mx+qy=mx+q 
r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x 
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 
−1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ? 
 
 
66,32º 
 
 
87,88º 
 
 
76,77º 
 
 
45º 
 
 
55,68º 
 
 
 
Explicação: 
Módulo do vetor v ⇒ 5 
Módulo do vetor s ⇒ √ 30 30 
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11 
cos x = 115√ 30 11530 
x ≈ 66,32º 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam 
perpendiculares. 
 
 
6 
 
 
9 
 
 
12 
 
3 
 
 
5 
 
 
 
Explicação: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto: 
U= (5, m) V= (-15, 25) 
-75+25m=0 
25m=75 
m=75/25 
m=3 
 
 
 
1. 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 
48° 
 
 
46° 
 
 
49° 
 
 
47° 
 
45° 
 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√ 8 =42√ 8 cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√ 8 cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é: 
 
 
x = 1 
 
 
x = -5 
 
x = -1 
 
 
x = 2 
 
 
x = 25 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores são proporcionais e não podem se cruzar (paralelos), logo: 
Se em →vv→, y=10y=10 
e em →uu→, y=5y=5 
(temos aqui uma divisão por 2) 
Logo, 
Se em →vv→, x=−2x=−2 
então em →uu→, x=−1x=−1 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 
3v - 5s + t é dado por: 
 
 
(6,-22) 
 
 
(-22,-6) 
 
 
Nenhuma das alternativas 
 
 
(22,-6) 
 
 
(-6,-22) 
 
 
 
Explicação: 
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3) 
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3) 
(6,-22) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e 
v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 
9V17 
 
6V22 
 
 
5V21 
 
 
7V19 
 
 
2V23 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). 
 
 
α=44°α=44° 
 
α=45°α=45° 
 
 
α=48°α=48° 
 
 
α=47°α=47° 
 
 
α=46°α=46° 
 
 
 
Explicação: 
I)|v|=√ 22+22 =√ 8 =2√ 2 |u|=√ 02+22 =√ 4 =2II)|u|.|v|=2.2√ 2 =4√ 2 I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√ 2 cosα=1√ 2 cosα=√ 2 2α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cos α=442cos α=
12cos	 α=22α=45° 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as 
posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 
1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória 
retilínea que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x + 3y - 6 = 0 
 
 
x + y - 3 = 0 
 
 
x + y = 3 
 
 
x - y = 0 
 
x + 2y - 6 = 0 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
Gabarito letra b 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) 
 
 
x=3x=3 
 
 
x=7x=7 
 
 
x=5x=5 
 
 
x=8x=8 
 
 
x=1x=1 
 
 
 
Explicação: 
x9=26x9=26 
6x=186x=18 
x=186x=186 
x=3x=3 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = - 4 
 
 
a = - 2 
 
a = 4 
 
 
a = 0 
 
 
a = 2 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
1. 
 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam 
perpendiculares. 
 
 
5 
 
 
9 
 
3 
 
 
6 
 
 
12 
 
 
 
Explicação: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto: 
U= (5, m) V= (-15, 25) 
-75+25m=0 
25m=75 
m=75/25 
m=3 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela 
expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: 
 
 
20, 14 e 2 
 
2, -14 e -20 
 
 
-2, 14 e 20 
 
 
-20, 2 e -14 
 
 
-14, 2 e -20 
 
 
 
Explicação: 
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) 
(0,-9,-12) - (-2,5,8) 
(2,-14,-20) 
 
 
 
 
 
3. 
 
Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 
unidade? 
 
 
s=9us=9u 
 
 
s=12us=12u 
 
 
s=11us=11u 
 
 
s=10us=10u 
 
s=13us=13u 
 
 
 
Explicação: 
122+52=|s|2122+52=|s|2 
s=√ 164 s=164 
s=13us=13u 
 
 
 
 
 
4. 
 
Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z 
respectivamente são: 
 
 
90 ; 90 ; 0 
 
90 ; 121 ; 31 
 
 
90 ; 31 ; 121 
 
 
31 ; 90 ; 121 
 
 
121 ; 31 ; 90 
 
 
 
Explicação: 
Os ângulos diretores são dados por: 
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√ 34 034 ⇒ x = 90º 
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√ 34−334 ⇒ y = 120,96° 
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√ 34 534 ⇒ z = 30,96º 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v 
 
 
17 i + 6 j 
 
4 i - 17 j 
 
 
12 i - 8 j 
 
 
9 i + 4 j 
 
 
3 i - 18 j 
 
 
 
Explicação: 
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
 
 
 
 
 
6. 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o 
valor de a? 
 
 
a=3a=3 
 
 
a=12a=12 
 
 
a=−3a=−3 
 
 
a=0a=0 
 
 
a=32a=32 
 
 
 
Explicação: 
y=mx+qy=mx+q 
r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x 
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3−1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ? 
 
 
87,88º 
 
 
76,77º 
 
66,32º 
 
 
55,68º 
 
 
45º 
 
 
 
Explicação: 
Módulo do vetor v ⇒ 5 
Módulo do vetor s ⇒ √ 30 30 
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11 
cos x = 115√ 30 11530 
x ≈ 66,32º 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 2 
 
 
a = - 4 
 
a = 4 
 
 
a = - 2 
 
 
a = 0 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
1. 
 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 
48° 
 
 
49° 
 
 
47° 
 
45° 
 
 
46° 
 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√ 8 =42√ 8 cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√ 8 cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 
2. 
 
Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é: 
 
 
x = -5 
 
 
x = 25 
 
 
x = 1 
 
 
x = 2 
 
x = -1 
 
 
 
Explicação: 
Os vetores são proporcionais e não podem se cruzar (paralelos), logo: 
Se em →vv→, y=10y=10 
e em →uu→, y=5y=5 
(temos aqui uma divisão por 2) 
Logo, 
Se em →vv→, x=−2x=−2 
então em →uu→, x=−1x=−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 
3v - 5s + t é dado por: 
 
 
(6,-22) 
 
 
(-6,-22) 
 
 
Nenhuma das alternativas 
 
 
(-22,-6) 
 
 
(22,-6) 
 
 
 
Explicação: 
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3) 
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3) 
(6,-22) 
 
 
 
 
 
4. 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e 
v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 
9V17 
 
 
5V21 
 
 
7V19 
 
6V22 
 
 
2V23 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). 
 
 
α=47°α=47° 
 
 
α=48°α=48° 
 
α=45°α=45° 
 
 
α=46°α=46° 
 
 
α=44°α=44° 
 
 
 
Explicação: 
I)|v|=√ 22+22 =√ 8 =2√ 2 |u|=√ 02+22 =√ 4 =2II)|u|.|v|=2.2√ 2 =4√ 2 I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√ 2 cosα=1√ 2 cosα=√ 2 2α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cos α=442cos α=
12cos	 α=22α=45° 
 
 
 
 
 
6. 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as 
posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 
1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória 
retilínea que passa pelos pontos A e B. 
 
 
x + y - 3 = 0 
 
x + 2y - 6 = 0 
 
 
x + y = 3 
 
 
x - y = 0 
 
 
x + 3y - 6 = 0 
 
 
 
Explicação: 
 
 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
Gabarito letra b 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) 
 
 
x=8x=8 
 
x=3x=3 
 
 
x=1x=1 
 
 
x=7x=7 
 
 
x=5x=5 
 
 
 
Explicação: 
x9=26x9=26 
6x=186x=18 
x=186x=186 
x=3x=3 
 
 
 
 
 
8. 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o 
vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? 
 
 
a = 2 
 
a = 4 
 
 
a = 0 
 
 
a = - 4 
 
 
a = - 2 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4