Gomes Tópicos de Matemática 'ITA IME Olimpadas_pag530

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Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA528
Resolução:
B
1 1
C
A
1 1
D 1
( ) = Área
16
■■■ \
A
\y
E
— = — cos2 C - — cos C cos E + — cos2 E 
16 4 2 2
(EBCD)2 = ^sen2C + yhenCsenE + ^sen2E
(EBCD)2
cos C - 72 cos E = - —
2
1-1 1Na figura acima (ABE) = — = — .
Agora observemos o quadrilátero EBCD de lados 72,1, 1 e 1. Segue que
(EBCD) = (BCD) + (EBD) = ^1 -1 • senC + ^1 ■ V2senE =>
1 15(EBCD) = ^senC + ^y-senE
Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos BCD e EBD,
BD2 =2-2 cos C = 3 - 2V2 cos E => 2 cos C - 2-72 cos E = -1 =>
cos C - J5. cos E = - — 
2
Mas podemos reescrever cos C-71 cos E = como
1 _ -J2 c 1— cosC------ cosE = —
2 2 4
Assim, 
r1 72 - 1
- cos C------ cos E = —
2 2 4
1 J5
(EBCD) = — senC-r-^-senE
Adicionando as duas expressões acima
1 cos (C + E) +1 =. (EBCD) = ^-^cos(C + E)
16 2