DCCCIII geometrica

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**Questão:** Considere a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \). 
Qual é o determinante da matriz \( A \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 4 
c) 3 
d) 7 
 
**Resposta:** b) 4 
 
**Explicação:** Para calcular o determinante de uma matriz \( 2 \times 2 \) dada por \( A = 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), utilizamos a fórmula: 
 
\[ 
\text{det}(A) = ad - bc 
\] 
 
Neste caso, para a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \), temos os 
seguintes valores: 
 
- \( a = 2 \) 
- \( b = 1 \) 
- \( c = 5 \) 
- \( d = 3 \) 
 
Agora, aplicamos a fórmula do determinante: 
 
\[ 
\text{det}(A) = (2)(3) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 
\] 
 
Portanto, parece que houve um erro na resposta inicial listada. O determinante é, de fato, 
**1**, e não **4**. A alternativa correta não está presente nas opções fornecidas. Verifique 
se está correto, caso contrário, as alternativas devem ser ajustadas. 
 
 Contudo, as opções disponíveis não estavam corretas. 
 
**Questão:** Um polinômio quadrático \( P(x) = ax^2 + bx + c \) possui duas raízes reais e 
distintas. Se o valor de \( a \) é positivo e a soma das raízes é igual a \( -3 \), qual é a 
expressão correta para o produto das raízes em termos de \( a \) e da soma \( -3 \)? 
 
Alternativas: 
a) \( \frac{c}{a} \) 
b) \( -\frac{c}{a} \) 
c) \( \frac{b^2}{4a} \) 
d) \( \frac{9}{a} \) 
 
**Resposta:** d) \( \frac{9}{a} \) 
 
**Explicação:** 
 
De acordo com a fórmula de Vieta para polinômios quadráticos, temos duas relações 
importantes para as raízes \( r_1 \) e \( r_2 \) de um polinômio \( P(x) = ax^2 + bx + c \): 
1. A soma das raízes é dada por \( r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} \). 
2. O produto das raízes é dado por \( r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} \). 
 
Dada a condição da questão, sabemos que a soma das raízes é igual a \( -3 \). Portanto, 
podemos escrever: 
 
\[ 
-\frac{b}{a} = -3 \implies \frac{b}{a} = 3 \implies b = 3a. 
\] 
 
Agora, como não foi fornecido o valor de \( c \), precisamos encontrar o produto das raízes 
em termos de \( a \). Usando a relação do produto das raízes com a soma, temos que, para 
um polinômio quadrático, a condição de ter duas raízes reais e distintas é que o 
discriminante deve ser positivo: 
 
\[ 
D = b^2 - 4ac > 0. 
\] 
 
Substituindo \( b = 3a \): 
 
\[ 
D = (3a)^2 - 4ac = 9a^2 - 4ac > 0. 
\] 
 
Para que haja duas raízes reais e distintas, \( 9a^2 > 4ac \), ou \( c