estatistica-basica-3

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Unidade 3
Livro Didático 
Digital
Adauto José Valentim Neto e Dayanna Costa
Estatística Básica
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autor 
ADAUTO JOSÉ VALENTIM NETO E 
DAYANNA COSTA
OS AUTORES
Adauto José Valentim Neto e Dayanna Costa
Olá. Somos Adauto José Valentim Neto e Dayanna Costa. 
Eu, Adauto, sou formado em Administração, Comércio Exterior 
e Business Administration, além de bacharelando em Direito, com uma 
experiência técnico-profissional na área de Administração de Empresas. 
Passei por empresas da área de educação superior, nas quais lecionei, 
e sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de 
vida àqueles que estão iniciando em suas profissões. 
Eu, Dayanna, sou formada em Administração pela Universidade 
Federal de Campina Grande (UFCG) e tenho Mestrado acadêmico nessa 
mesma área de conhecimento, com ênfase em Estratégia e Inovação, 
pela Universidade Federal da Paraíba. Também possuo mestrado 
acadêmico em Gestão de Recursos Naturais (UFCG) com ênfase de 
pesquisa em Estratégia Ambiental focada em modelos e ferramentas 
de gestão na empresa, tendo experiência técnico-profissional no ensino 
da Administração ao ministrar disciplinas como Marketing, Planejamento 
Estratégico, Cultura organizacional e liderança e Administração de 
Recursos Materiais e Patrimoniais a níveis de graduação e pós-graduação. 
Eu sou apaixonada por Gestão de Atendimento ao Cliente, e lecionar 
esse conteúdo, para mim, consiste em emergir, junto dos discentes, 
em um universo de possibilidades de gestão, técnicas e práticas dentro 
do contexto de atuação dos futuros profissionais em formação. Adoro 
transmitir meus conhecimentos e minha experiência de vida àqueles que 
estão iniciando em suas profissões.
Por isso, fomos convidados pela Editora Telesapiens a integrar seu 
elenco de autores independentes. Estamos muito felizes em poder ajudar 
você nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte conosco!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
INTRODUÇÃO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Média aritmética como medida de tendência central ................10
Média aritmética () ....................................................................................................................... 10
Média aritmética com dados não agrupados ........................................ 12
Média aritmética com dados agrupados .................................................. 14
Outras medidas de tendência central ................................................17
Mediana (Md) ..................................................................................................................................... 17
Mediana de dados não agrupados ................................................................. 18
Mediana de dados agrupados .......................................................................... 20
Moda (Mo) ............................................................................................................................................. 21
Moda de dados não agrupados ........................................................................22
Moda de sados agrupados ...................................................................................23
Entender as medidas separatrizes .......................................................25
Quartil .......................................................................................................................................................25
Decil ..........................................................................................................................................................29
Percentil.................................................................................................................................................. 31
Tipos de medidas de variação ou dispersão ...................................34
Variância ...............................................................................................................................................34
Desvio Padrão ..................................................................................................................................37
7
UNIDADE
03
Estatística Básica
8
INTRODUÇÃO
Você sabia que a área estatística é uma das mais demandas no 
mercado e é responsável pela geração de muitas informações utilizadas 
para tomadas de decisões nas diversas áreas do conhecimento? Isso 
mesmo. A área da estatística faz parte da área da matemática que estuda 
o comportamento dos elementos que compõem o nosso cotidiano. Frente 
a isso, vamos estudar as medidas de tendências das variáveis estudadas. 
Nesta unidade, vamos observar as medidas de tendência central, como 
a média aritmética, comumente utilizadas em nosso dia a dia, e outras 
formas de medição central, como a mediana, que divide um grupo de 
dados em duas partes iguais, e a moda, que consiste em identificar os 
elementos que mais são frequentes em uma distribuição. Também 
abordaremos os conceitos que envolvem outros tipos de medidas de 
tendência, como as separatrizes (quartil, decil e percentil), e, por fim, 
estudaremos as medidas de dispersão, muito utilizadas nas diversas áreas 
do conhecimento, como é a variância e o desvio padrão, que representam 
a distâncias de algum valor em relação a sua média. Assim, sua principal 
responsabilidade é compreender os aspectos básicos e introdutórios da 
estatística, entendeu? Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar 
neste universo!
Estatística Básica
9
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 3. Nosso objetivo é auxiliar 
você na compreensão dos seguintes tópicos até o término desta etapa 
de estudos:
1. Média aritmética como medida de tendência central;
2. Outras medidas de tendência central;
3. Medidas separatrizes; 
4. Tipos de medidas de variação ou dispersão. 
Então? Preparado para adquirir conhecimento sobre um assunto 
fascinante e inovador como esse? Vamos lá!
Estatística Básica
10
Média aritmética como medida de 
tendência central
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
como funciona a média aritmética, e isso será fundamental 
para o exercício de sua profissão. Aqui, serão discutidos os 
aspectos de interpretação das informações coletadas, de 
forma a organizá-las para auxiliar o pesquisador em suas 
tarefas. Assim, neste capítulo, vamos compreender um 
pouco mais como executar isso. E então? Motivado para 
desenvolver essa competência? Então, vamos lá!
Média aritmética ()
Até então, estudamos distribuição de frequência, que, geralmente, 
pode descrever o conjunto de valores que uma variável pode assumir. 
Dessa forma, podemos encontrar a maior concentração do valor de uma 
dada distribuição,ou seja, se ela está localizada no início, no meio ou no 
final, e, ainda, uma distribuição igual.
Assim, para se identificar como se caracterizam as tendências de 
cada distribuição, que podem ser analisadas juntas ou de forma isolada, 
são necessários estudos de conceitos relacionados com os aspectos 
numéricos que envolvem as variáveis. Com isso, podemos traduzir tais 
informações como tendências, que nos permitem interpretar e justificar 
os dados coletados. 
Nessa perspectiva, iniciaremos nossos estudos a partir dos 
elementos típicos de uma distribuição, denominada medidas de posição. 
Na estatística, as medidas de posição são uma série de dados que 
representam a posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.
Estatística Básica
11
Figura 1 – Medidas de tendência central
Fonte: Elaborada pelos autores.
Nesse sentido, as medidas de posição consideradas mais 
importantes são aquelas denominadas medidas de tendência central. 
Essas medidas representam as informações relativas aos dados 
observados que, de maneira geral, tendem a se agrupar em torno dos 
valores centrais. Assim, são as medidas de tendência central: a média 
aritmética (); a mediana (Md); e a moda (Mo).
Em primeiro lugar, vamos estudar a média aritmética, que representa 
o resultado da divisão do somatório dos valores da variável pelo número 
deles, representada pela seguinte fórmula: 
Em que: 
 representa a média aritmética.
xi representa os valores da variável.
n representa o número de valores.
Temos, assim, duas formas de conhecer a média aritmética de 
uma variável: de forma que os dados não estejam agrupados e de forma 
que eles estejam agrupados, como por meio de uma distribuição de 
frequência. 
Estatística Básica
12
Média aritmética com dados não agrupados 
A denominada média aritmética simples será utilizada quando 
desejarmos encontrar a média de dados que não estejam agrupados. 
Podemos exemplificar da seguinte forma: suponha que as idades 
dos alunos que pertencem a uma turma em uma escola sejam de 10, 14, 
13, 15, 16, 18 e 12, dessa forma, vamos obter a média da seguinte maneira:

Logo,  = 14
Podemos concluir, então, que a média de idade dessa turma é de 
14 anos, isso também não implica dizer que a média sempre será um 
número pertencente a série de dados analisados; pode acontecer de a 
média ser um número diferente. 
Ademais, no estudo da média aritmética, também precisamos 
conhecer o desvio em relação à média, que representa a diferença entre 
cada elemento do conjunto de dados e a média aritmética (). Representado 
pela seguinte fórmula:
di = xi - 
Para identificarmos os desvios em relação à média das idades dos 
alunos, temos:
d1 = x1 -    d1 = 10 – 14 = -4
d2 = x2 -   d2 = 14 - 14 = 0
d3 = x3 -   d3 = 13 - 14 = -1
d4 = x4 -   d4 = 15 - 14 = 1
d5 = x5 -   d5 = 16 - 14 = 2
d6 = x6 -   d6 = 18 - 14 = 4
d7 = x7 -   d7 = 12 - 14 = -2
Estatística Básica
13
Assim, podemos concluir que cada dado possui uma distância em 
relação ao ponto central, que, aqui, denominamos de média. 
Dando continuidade ao estudo sobre a média aritmética (), vamos 
estudar, a partir de agora, algumas propriedades da média, e são três as 
principais, como vamos observar a seguir: 
1ª Propriedade
A 1ª propriedade da média determina que a soma algébrica dos 
desvios encontrados em relação à média é nula. Assim, podemos obter 
a partir de:
Quando substituímos os valores encontrados no exemplo anterior, 
concluímos o que propõe essa propriedade: 
2ª propriedade
A 2ª propriedade determina que, ao se somar ou subtrair uma 
constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto 
dessa constante fica aumentada ou diminuída, sendo representada por:
yi = xi ± c  =  ± c
Assim, se somarmos 2 a cada um dos valores da variável do exemplo 
anterior, obtemos as seguintes informações:
yi yi = xi ± c
y1 10 + 2 = 12
y2 14 + 2 = 16
y3 13 + 2 = 15
y4 15 + 2 = 17
y5 16 + 2 = 18
y6 18 + 2 = 20
y7 12 + 2 = 14
Estatística Básica
14
Dessa forma, a soma dos resultados será: = 12+ 16+ 15+ 17 + 18+ 
20+ 14 = 112
Como n = 7, obtém-se:  = = 16   = 16 = 14 + 2   =  + 2 
3ª propriedade
A 3ª propriedade define que se forem multiplicados ou divididos 
todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do 
conjunto ficará multiplicada ou dividida por essa constante, sendo 
representada por essas fórmulas:
yi = xi x c   =  x c ou yi =   = 
Se considerarmos que a constante (c) é 3, podemos multiplicar cada 
um dos valores da variável do exemplo que estamos seguindo, obtendo:
yi yi = xi ± c
y1 10 x 3 = 30
y2 14 x 3 = 42
y3 13 x 3 = 39
y4 15 x 3 = 45
y5 16 x 3 = 48
y6 18 x 3 = 54
y7 12 x 3 = 36
Dessa forma, a soma dos resultados será: 
= 30+42+39+45+48+54+36=294
Como n = 7, temos:  = = 42   = 42 = 14 x 3   =  x c 
Média aritmética com dados agrupados 
Em continuidade aos nossos estudos, a partir de agora, vamos 
estudar como calculamos a média aritmética com os dados agrupados, 
dessa forma, vamos considerar uma distribuição de frequência (fi) 
estudada em unidades anteriores. 
Estatística Básica
15
Para que fique mais clara a identificação da média em dados 
agrupados, vamos considerar um exemplo específico, em que foi realizado 
um estudo com 34 mulheres de uma região sobre quantidade de filhos, 
dessa forma, organizamos as informações coletadas da seguinte forma, 
por meio de uma tabela de distribuição de frequência: 
Tabela 1 — Distribuição de frequência
Nº de Filhos Frequência (fi)
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
∑ = 34
Fonte: Elaborada pelos autores.
Assim, como já estudamos anteriormente, as frequências nos indicarão 
a intensidade de cada valor da variável. Dessa forma, para calcularmos a 
média aritmética ponderada, precisaremos da seguinte fórmula:
Portanto, para obtenção da média ponderada dessas informações, 
vamos incluir, na tabela, uma coluna correspondente a xifi, assim:
Tabela 2 – Distribuição de frequência
Nº de Filhos (xi) Frequência (fi) xifi
0 2 0 x 2 = 0
1 6 1 x 6 = 6
2 10 2 x 10 = 20
3 12 3 x 12 = 36
4 4 4 x 4 = 16
∑ = 34 ∑ = 0 + 6 + 20 + 36 + 16 = 78
Fonte: Elaborada pelos autores.
Estatística Básica
16
Dessa forma, se substituirmos na fórmula, temos: 
Isto implica concluirmos que a média será de:  = 2,3 filhos.
Algumas observações são importantes no estudo da média 
ponderada, como o resultado de 2,3 filhos. Isso implica dizer que são dois 
filhos e 3 décimos. Quando os resultados são expressos dessa forma, 
sugere-se que a interpretação relate a quantidade numérica exata, como 
2 filhos, já que não podemos relacionar décimos de pessoas. 
RESUMINDO:
E então? Você gostou do que apresentamos? Conseguiu 
apreender tudo? Agora, só para termos a certeza de 
que você realmente entendeu o tema de estudo deste 
capítulo, vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter 
aprendido que, para a determinação da média aritmética 
(), é necessário conhecer os seus conceitos, assim como 
a medida de tendência central e outras, denominadas 
mediana (Md) e moda (Mo). Estudamos, ainda, que a 
média pode ser identificada por meio de dados que estão 
estruturados e não estruturados, e o primeiro se refere 
principalmente às informações contidas nas distribuições 
de frequências, como já estudamos em outros momentos. 
Compreendemos, ainda, que existem três principais 
propriedades que envolvem o cálculo da média aritmética. 
Ademais, vimos que existe, também, uma distância 
dos dados em relação ao ponto central das variáveis e 
denominamos de variação em relação à média (di). Com isso, 
espero que você tenha compreendido como a estatística 
pode ser importante no nosso cotidiano, principalmente 
em relação ao agrupamento de informações que nos 
auxilia nos processos rotineiros de geração de dados.
Estatística Básica
17
Outras medidas de tendência central
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você será capazde entender 
as outras medidas de tendência central, como é o caso 
da mediana e da moda, e isso será fundamental para o 
exercício de sua profissão. As medidas aqui analisadas 
serão fundamentais para a identificação dos pontos 
centrais e frequentes dos dados. Assim, neste capítulo, 
vamos compreender um pouco mais como executar isso. 
E então? Motivado para desenvolver essa competência? 
Então, vamos lá!
Mediana (Md) 
Além da média aritmética () utilizada como medida de tendência 
central, existem outras medidas que podem nos auxiliar na geração e 
organização dos dados coletados em nossas pesquisas. Essas medidas 
são denominadas de mediana (Md) e moda (Mo), também consideradas 
na literatura estatística como medidas de tendência central. 
Para iniciarmos este capítulo, vamos compreender como a mediana 
(Md) se comporta para ser considerada uma forma de medida central. 
Assim, podemos considerar a mediana (Md) como o número que se 
encontra no centro de um conjunto de dados de forma ordenada. 
Assim sendo, a mediana (Md) é considerada um valor central 
determinado a partir de um conjunto de valores que serão separados em 
dois grupos de elementos a partir da mediana (Md). 
Estatística Básica
18
DEFINIÇÃO:
Para Larson e Betsy (2015), o meio dos dados, quando estes 
estão ordenados, denomina-se mediana de um conjunto 
de dados. Por isso, a mediana indica exatamente o ponto 
central de um conjunto de dados ordenado, dividindo-o 
em duas partes com quantidades iguais de valores. Assim, 
mesmo que um conjunto de dados seja composto por 
número ímpar de observações, a mediana será o elemento 
do meio. Nesse sentido, caso o conjunto de dados seja 
composto por um número par de elementos, a mediana 
será a média dos dois elementos que ocupam as posições 
centrais (LARSON; BETSY, 2015).
Mediana de dados não agrupados
Para determinação da mediana de dados não agrupados, é 
necessário que o usuário ordene as informações por meio de uma 
composição crescente ou decrescente. Assim, vamos considerar como 
exemplo um conjunto de valores, como segue:
5 13 10 2 18 15 6 16 9
Com isso, o primeiro passo para identificação da mediana (Md) desse 
grupo de valores é ordená-lo. Assim, vamos considerar para esse exemplo 
a ordem de forma crescente, ou seja, do menor para o maior, como segue:
2 5 6 9 10 13 15 16 18
Em seguida, vamos identificar o valor central, que apresentará o mesmo 
número de elementos à direita e à esquerda. Nesse caso, o valor 
identificado é o 10, pois, nessa série, há quatro elementos acima dele e 
quatro abaixo, como mostra:
2 5 6 9 10 13 15 16 18
Estatística Básica
19
Assim, podemos concluir que a mediana (Md) dessa série de dados 
é igual a 10, visto que o número de elementos é um número ímpar (9), 
logo, o centro será o ponto exato da divisão dos dados em dois grupos. 
Entretanto, se utilizarmos uma série com número par de elementos, 
calcularemos da seguinte forma: 
2 6 7 10 12 13 18 20
Observe que temos, a partir desse exemplo, um número par de 
elementos (8). Assim, a mediana será calculada a partir de qualquer dos 
números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Entende-
se por esses valores centrais o ponto médio. Logo, identificamos como:
2 6 7 10 12 13 18 20
Ponto médio 
(dois valores centrais)
Dessa forma, para determinarmos a mediana (Md) desse grupo de 
valores, calculamos a média aritmética entre 10 e 12.
Logo, a mediana (Md) = 
Portanto, concluímos que, a partir da ordenação dos dados de 
uma série, sendo a quantidade de dados (n) ímpar ou par, a forma para 
determinação da mediana (Md) é diferente. 
Se a quantidade de elementos (n) for um número ímpar, teremos a 
seguinte equação: 
No nosso exemplo, o número de elementos (n) foi 9, logo, temos 
que = 5, ou seja, a mediana (Md) está no 5º elemento da série, que é 
o valor de 10, como encontrado no exemplo. 
Entretanto, se o número de elementos (n) de uma série for um 
número par, a equação será representada da seguinte forma: + 1.
Assim, em nosso exemplo, o número de elementos (n) foi 8, logo, 
temos que . Agora, a mediana (Md) será determinada a 
}
Estatística Básica
20
partir da média aritmética do 4º e 5º elemento da série, ou seja: Md = 
 = 11, como determinado no exemplo. 
Mediana de dados agrupados
Na mesma perspectiva dos dados não agrupados, a mediana 
(Md) nesse caso dos dados agrupados, a partir de uma distribuição de 
frequência, dá-se pela determinação da frequência acumulada. 
Dessa forma, aqui também será determinado o valor que divide a 
distribuição dos elementos ao meio, de forma a encontrar o valor central 
dos dados, ou seja, dividi-los em dois grupos iguais de elementos. 
Para isso, é necessário, então, aplicar a seguinte fórmula: 
Nesse sentido, para identificação da mediana (Md) de uma 
frequência, é necessário compreender a frequência acumulada 
imediatamente superior à metade da soma das frequências. Assim, a 
mediana (Md) será representada pelo valor da variável que corresponde a 
tal frequência acumulada.
Para exemplificarmos a situação, suponha os seguintes dados 
relativos ao número de filhos do grupo de 34 mulheres de uma região, 
como segue: 
Tabela 3 – Distribuição de frequência
Nº de Filhos (f) Frequência (fi) Frequência Acumulada (Fi)
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
∑ = 34
Fonte: Elaborada pelos autores.
Estatística Básica
21
Nesse caso, para identificarmos a mediana (Md), substituiremos os 
valores na fórmula, logo: 
Logo, como não temos, na distribuição da frequência, um valor de 
frequência acumulada (Fi) de 17, precisamos identificar a menor frequência 
acumulada que supera esse valor. Assim, determinado o valor de 18, que 
corresponde ao valor 2 da variável, e esse, então, o valor a mediana (Md) 
dessa frequência. Agora, a mediana (Md) será de 2 filhos.
Concluímos, então, que a mediana (Md) será o centro dos dados 
analisados, fazendo com que as informações sejam divididas em dois 
principais grupos, auxiliando o pesquisador ou usuário da informação a 
encontrar o ponto central das informações e caracterizar a mediana (Md) 
como uma medida de tendência central. 
Moda (Mo)
Assim como a média aritmética () e a mediana (Md), a moda (Mo) 
também é considerada, pela literatura da estatística, uma medida de 
tendência central. 
Nesse sentido, podemos denominar a moda (Mo) como o valor que 
é mais frequente, ou seja, ocorre com mais frequência em uma série de 
elementos analisados. 
Dessa forma, podemos dizer que um valor é modal quando, entre 
os valores distribuídos em uma série, é o mais comum, ou seja, quando 
esse valor se repete mais vezes. 
Estatística Básica
22
DEFINIÇÃO:
Larson e Betsy (2015) definem que a moda (Mo) em um 
conjunto de dados é caracterizada pelo valor que aparece 
com maior frequência. Desse modo, em um conjunto de 
dados, pode ter uma moda, mais de uma moda, ou não 
ter moda. Assim, é possível que nenhum valor se repita e 
que o conjunto de dados não tenha uma moda, chamado 
de amodal. Do mesmo modo, quando dois valores ocorrem 
com a mesma frequência, cada um é considerado uma 
moda, e tal conjunto é denominado bimodal (LARSON; 
BETSY, 2015).
Moda de dados não agrupados
Assim como nas demais medidas de tendência central que 
estudamos, a moda (Mo) também pode ser calculada a partir dos dados 
não agrupados, de forma que será identificada com maior facilidade, 
considerando, de acordo com a definição, o(s) valor(es) que mais se 
repete(m).
Para exemplificarmos tal definição, vamos considerar a seguinte 
série ordenada de valores: 
7 8 9 10 10 10 11 12 13 15
Nesses dados, podemos concluir que a moda (Mo) é 10, pois é o 
valor que mais se repete na série analisada. 
Nessa mesma perspectiva, podemos observar uma série de dados 
em que não existe moda (Mo), ou seja, não existe um valor que se repita 
durante a relação dos dados, como o exemplo a seguir:
3 5 8 10 12 13
Percebemos, então, que, nesse exemplo, nenhum valor serepete, logo, 
essa distribuição é denominada como amodal, ou seja, não possui moda. 
De mesmo modo, podemos verificar outra situação, quando existem 
mais de uma moda em uma mesma série de dados, ou seja, existe mais 
de um valor a ser repetido, como observado no exemplo a seguir:
Estatística Básica
23
2 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 9
Logo, nessa situação, podemos observar que os números 4 e 7 
se repetem com maior frequência, assim, obtemos duas modas (Mo). 
Quando tal situação ocorre, denominamos série de dados bimodal, ou 
seja, quando mais de um valor se repete na mesma distribuição. 
Moda de sados agrupados
A moda (Mo) também pode ser analisada a partir de uma distribuição 
de frequência, assim denominada moda (Mo) de dados agrupados. 
Da mesma forma que a análise da moda (Mo) de dados não 
agrupados, aqui, identificaremos o valor da variável com maior frequência. 
Para exemplificarmos, vamos imaginar que foram medidas as 
estaturas de um grupo de 40 pessoas, chegando-se a tais valores:
Estaturas (cm) Frequência (fi)
1 150 - 154 4
2 155 - 158 9
3 159 - 162 11
4 163 - 166 8
5 167 - 170 5
6 171 - 174 3
∑ = 40
Percebemos que, nessa distribuição, a frequência máxima é de 11, 
logo, o valor da variável que corresponde a essa frequência é 3. Desse 
modo, podemos concluir que a moda (Mo) dessa distribuição é 3. 
Ademais, podemos considerar que a classe que apresenta a maior 
frequência é denominada classe modal, pois possui um único valor máximo 
de frequência. Assim sendo, podemos afirmar, ainda, que a moda será o 
valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.
Nesse caso, existe um método simples para o cálculo da moda 
(Mo), que considera o ponto médio da classe modal. Assim, utilizamos a 
seguinte fórmula: 
Estatística Básica
24
Lembrando que li corresponde ao limite inferior da classe modal e 
Li representa o limite superior da classe modal.
Diante disso, quando substituímos a fórmula pelos valores do 
exemplo, obtemos as seguintes informações: 
A classe modal encontrada  i = 3
Logo, os li = 159 e Li = 162 
Assim, a moda 
Concluímos, então, que a moda dessa distribuição é de 160 cm, 
pois é a média encontrada da classe modal, ou seja, a 3ª classe. 
RESUMINDO:
E então? Você gostou do que apresentamos? Conseguiu 
apreendeu tudo? Agora, só para termos a certeza de que 
você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
outras medidas de tendência central, como foi o caso da 
mediana (Md) e da moda (Mo). Estudamos que a mediana 
(Md) é o valor que representa o ponto central de uma série 
de elementos (n), que, se for ímpar ou par, deverá ser 
calculada de forma distinta, mas que sua essência continua 
a mesma, a de identificar o centro dos dados, de maneira 
que divida as informações em dois grupos distintos 
e com a mesma quantidade de elementos. Também 
estudamos a moda (Mo), que representa o número que 
mais se repete em uma série de dados. Nesse sentido, 
estudamos ainda, que uma distribuição de dados pode 
conter uma moda, denominada modal, mais de uma moda, 
denominada bimodal, ou, ainda, não conter uma moda, 
sendo denominada amodal. Assim, esperamos que, com 
essas informações, você tenha compreendido como as 
medidas de tendência central podem auxiliá-lo na análise 
e interpretação dos dados, facilitando sua organização e 
transcrição.
Estatística Básica
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Entender as medidas separatrizes
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender 
quais são as medidas separatrizes, como quartil, decil 
e percentil, e isso será fundamental para o exercício 
de sua profissão. As separatrizes dividem um grupo de 
elementos em diversas partes iguais, a depender do tipo 
de medida que se deseja analisar, e isso auxilia o usuário 
na sua interpretação. E então? Você está motivado para 
desenvolver essa competência? Então, vamos lá!
Quartil
As separatrizes, como vimos nos capítulos anteriores, utilizam, 
assim como a mediana (Md), características de uma série de valores 
devido à sua posição central. 
No entanto, essas medidas possuem uma características seme-
lhante e muito importante para a continuidade de nossos estudos, que é 
a separação de uma série de elementos (n) em grupos.
Desse modo, além das medidas de posição central que estudamos 
(média, mediana e moda), existem outras medidas de posição que 
se baseiam em sua posição na série. Essas medidas são os quartis, os 
percentis e os decis, que, juntamente à mediana, são conhecidas pelo 
nome genérico de separatrizes.
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Figura 2 – Medidas separatrizes 
Fonte: Elaborada pelos autores.
Em primeiro lugar, vamos estudar os quartis, em que consideramos 
os valores de uma série dividida em quatro partes iguais.
DEFINIÇÃO:
Para Larson e Betsy (2015), os quartis devem ser ordenados 
em 4 partes iguais (Q1, Q2 e Q3), que dividirão um conjunto 
de dados. Geralmente, 25% dos dados de um conjunto de 
valores estarão sobre ou abaixo do primeiro quartil (Q1). Da 
mesma forma, 50% dos dados, geralmente, encontram-se 
sobre ou abaixo do segundo quartil (Q2), e vale ressaltarmos 
que o Q2 é o mesmo que a mediana (Md) do conjunto de 
dados. Por fim, acredita-se que 75% dos dados recaem 
sobre ou abaixo do terceiro quartil (Q3) (LARSON; BETSY, 
2015).
Então, já sabemos que um grupo de dados pode ser dividido 
em quatro partes iguais, denominados quartil. Portanto, precisamos 
determinar os três principais quartis: 
Q1  O primeiro quartil (Q1) é o valor que representa 25% de uma 
série de dados, ou seja, encontra-se na ¼ parte de uma distribuição. 
Q2  O segundo quartil (Q2) é o valor que representa 50% de uma 
série de dados, e essa informação coincide com a mediana (Q2 =Md).
Q3  O terceiro quartil (Q3) é o valor que representa 75% de uma 
série de dados, ou seja, está situado na 3/4 parte de uma distribuição.
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Para exemplificarmos o cálculo do quartil, vamos julgar a seguinte 
situação: suponha que você coletou os seguintes dados relativos às 
idades das mulheres de um clube de jogos:
22 25 18 19 21 43 32 35 27 30 42 44 37 28 38
A partir desses dados, vamos encontrar o primeiro quartil (Q1), o 
segundo quartil (Q2) e o terceiro quartil (Q3) do conjunto de dados. 
O que devemos fazer, em primeiro lugar, é ordenar o conjunto de 
dados e encontrar a mediana (Md), ou seja, o segundo quartil (Q2).
18 19 21 22 25 27 28 30 32 35 37 38 42 43 44
Assim, o segundo quartil (Q2) é o número 30, que está localizado no 
8º elemento da distribuição ordenada de forma crescente. 
Para identificação do primeiro quartil (Q1), vamos encontrar a mediana 
dos valores à esquerda de Q2, já o terceiro quartil (Q3), identificamos a 
partir da mediana dos valores à direita de Q2. Assim temos: 
18 19 21 22 25 27 28 30 32 35 37 38 42 43 44
Assim, podemos concluir o seguinte: 
 • Aproximadamente, 25% das mulheres que pertencem ao clube 
possuem 22 anos ou menos. 
 • Quase 50% ou metade das mulheres do clube possuem 30 anos 
ou menos. 
 • Cerca de 75% das mulheres do clube possuem 38 anos ou menos.
Desse modo, precisamos atentar que a mediana (Md), considerada 
aqui como o segundo quartil (Q2), será sempre uma medida de tendência 
}}Valores à esquerda do Q2 Valores à direita do Q2
Q3Q2Q1
Estatística Básica
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central para ser utilizada como base de posição. Assim, a medida de 
variação será utilizada na posição dos quatis. 
Da mesma forma, podemos analisar o quartil a partir dos dados 
agrupados, ou seja, por meio de uma distribuição de frequência. Nessa 
perspectiva, utilizaremos a mesma equação da mediana (Md), substituindo 
o número 2 pelo número 4, já que estamos falando em quartil. Assim, a 
equação será: 
Nessa equação, a letra k representa o número de ordem do quartil. 
Logo, para calcularmos o valor do quartil, precisamos utilizar a 
seguinte equação: 
Para exemplificarmos o cálculo do quartil, vamos utilizar o exemplo 
anterior, emque foi medida a estatura de 40 pessoas, apresentando os 
valores a seguir:
i Estaturas (cm) Frequência (fi)
Frequência 
acumulada (Fi)
1 150 - 154 4 4
2 154 - 158 9 13
3 158 - 162 11 24
4 162 - 166 8 32
5 166 - 170 5 37
6 170 - 174 3 40
∑ = 40
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Nesse exemplo específico, vamos considerar que, na distribuição 
das estaturas, não serão considerados intervalos de uma classe para 
outra. Assim, para a determinação do primeiro quartil (Q1), vamos substituir 
as informações da fórmula pelos dados da tabela de distribuição de 
frequência: 
Primeiro Quartil (Q1)
Em primeiro lugar, vamos identificar o quartil  
Em seguida, vamos encontrar o valor do quartil 
Segundo Quartil (Q2)
Em primeiro lugar, vamos identificar o quartil  
Em seguida, vamos encontrar o valor do quartil  
Terceiro Quartil (Q3)
Em primeiro lugar, vamos identificar o quartil  
Em seguida, vamos encontrar o valor do quartil  
Decil
Além do estudo dos quartis sobre as determinações das medidas 
de posição, podemos utilizar, também, os percentis e os decis. Assim, 
podemos determinar que as separatrizes consistem em:
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Tabela 4 – Separatrizes
Separatrizes Descrição Símbolos
Quartis
Divide o conjunto de 
elementos em 4 partes 
iguais.
Q1, Q2 e Q3
Decis
Divide o conjunto de 
elementos em 10 par-
tes iguais.
D1, D2, D3... D9
Percentis
Divide o conjunto de 
elementos em 100 
partes iguais.
P1, P2, P3... P99
 
Fonte: Adaptada de Crespo (2009).
Para a determinação dos decis, é necessário seguir os mesmos 
procedimentos que foram utilizados para os cálculos dos quartis, sendo 
que os decis dividem a distribuição de elementos em 10 partes iguais em 
vez de 4 partes, como se faz no quartil. 
Por isso, para se dividir os elementos agrupados, dividem-se os 
dados em décimas partes, em que cada parte terá 10% dos dados e será 
indicada por D1, D2 [...], D9. 
Desse modo, os decis serão representados por: 
Para exemplificarmos o cálculo dos decis, vamos analisar os 16 
valores ordenados a seguir: 
5 7 7 9 10 11 11 12 13 13 15 18 21 22 25 25
Para a determinação dos decis, utilizaremos a fórmula: 
Posto posição, isso implica dizer que o D1 estará 
na 2ª posição, logo, o valor do D1 será igual a 7:
5 7 7 9 10 11 11 12 13 13 15 18 21 22 25 25
D1
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Posto , isso implica dizer que o D5 estará na 8ª 
posição, logo, o valor do D5 será igual a 12:
5 7 7 9 10 11 11 12 13 13 15 18 21 22 25 25
Posto , isso implica dizer que o D9 estará na 
15ª posição, logo, o valor do D9 será igual a 25.
5 7 7 9 10 11 11 12 13 13 15 18 21 22 25 25
Percentil
Ademais, estudaremos os percentis, que são muito comuns nas 
áreas que necessitam de informações quanto a comparações, como é 
o caso das áreas da saúde, demográficas e regionais, pois utilizam tais 
dados em comparação a outros grupos. 
Por sua vez, os percentis podem ser utilizados para identificar os 
valores que estão abaixo ou acima do normal. Como exemplo, podemos 
citar as medidas das taxas de mortalidade infantil, desnutrição infantil, 
entre outros de uma determinada região. Com isso, podemos observar 
que, se o percentil se aproximar da 99º posição, indicará índices altos, e 
se o percentil se aproximar da 2º posição, indicará índices mais baixos. 
Dessa forma, os percentis serão divididos em 99 valores, que 
separarão uma série de dados em 100 partes iguais, sendo identificadas 
da seguinte maneira: 
P1,P2…P32,…,P99
Vale destacarmos que, se uma série de dados for dividida em 99 
partes iguais, logo, o centro dessa divisão, ou seja, o percentil na posição 
50 será a mediana (Md), assim como o percentil na posição 25º será o 
primeiro quartil e o percentil na 75º posição será o terceiro quartil, como 
podemos observar a seguir:
D5D1
D9D5D1
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Contudo, para a determinação do percentil desejado, ou seja, um 
valor específico x, usaremos a seguinte fórmula: 
A partir de então, o valor encontrado deverá ser arredondado para 
o valor inteiro mais próximo. Para exemplificarmos o cálculo do percentil, 
vamos analisar a seguinte situação:
Suponha que foram pesquisados 30 valores diferentes em relação 
ao custo de uma máquina fabril em milhares (R$) de reais e que as 
informações foram ordenadas de forma crescente:
10 12 13 15 17 18 19 21 22 24 25 26 28 29 30
31 32 34 35 37 39 41 42 44 46 47 48 50 52 54
Dessa forma, percebemos que, para a identificação do 25º percentil 
(P25), é preciso o seguinte cálculo:
Isso implica dizer que 34% dos valores em relação a essa máquina 
fabril é igual ou inferior a 25.000,00.
Com isso, podemos concluir que as separatrizes (quartil, decil e 
percentil) são meios alternativos de cálculo das medidas de tendência 
central, pois, assim como a média (), a mediana (Md) e a moda (Mo), 
elas também propõem ao usuário uma noção de posição sobre os 
dados analisados. Com isso, torna-se mais fácil e prática a realização das 
interpretações sobre os elementos coletados e ordenados.
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RESUMINDO:
E então? Você gostou do que apresentamos? Conseguiu 
apreender tudo? Agora, só para termos a certeza de que 
você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
vamos resumir tudo o que vimos. Você deve ter aprendido 
que existem outras medidas de tendência centrais que 
podem dividir um conjunto de elementos coletados em 
diversas partes iguais. Assim, chamamos essas medidas 
de separatrizes, que são classificadas em quartil (Qi), 
decil (Di) e percentil (Pi). Vimos que o quartil (Qi) divide os 
dados em 4 partes iguais e que o segundo quartil (Q2) 
representa a mediana (Md). Além disso, também vimos 
que os decis (Di) dividem o conjunto de elementos em 10 
partes iguais e, nesse caso, a mediana será o quinto decil 
(D5). Por fim, e não menos importante, estudamos que um 
conjunto de dados também pode ser dividido em 100 
partes iguais, que serão classificadas em 99 partes. Com 
isso, a mediana se encontrará na 50º posição do percentil, 
o primeiro quartil (Q1) se encontrará na 25º posição do 
percentil e o terceiro quartil (Q3) será encontrado na 75º 
posição do percentil. Assim sendo, entendemos o quanto é 
importante o entendimento das separatrizes para geração 
de informações cotidianas, auxiliando, assim, os usuários 
nas decisões e na interpretação das informações.
Estatística Básica
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Tipos de medidas de variação ou dispersão
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de 
conhecer os tipos de medidas de variação e dispersão, 
como a variância e o desvio padrão. Este conteúdo é 
importante, pois o auxiliar na identificação da distância 
de um valor específico e sua média. E então? Você está 
motivado para desenvolver essa competência? Então, 
vamos lá!
Variância 
Como vimos, até então, usamos as medidas de tendência central 
para identificarmos como os dados estão alocados em uma distribuição, 
de forma que consigamos identificar suas posições e o que elas podem 
nos dizer. 
Para tanto, é necessário o estudo das medidas de dispersão, que 
nos orienta a identificar qual a distância de determinados valores em 
relação à média aritmética. 
Assim, essas medidas de dispersão são conhecidas como variância 
e desvio padrão. 
Figura 3 – Medidas de dispersão
Fonte: Elaborada pelos autores.
Estatística Básica
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Desse modo, compreendemos que tanto a variância como o desvio 
padrão são medidas que consideram a totalidade dos valores da variável 
estudada, que faz delas índices de variabilidade estáveis e, por isso, as 
torna, geralmente, mais empregadas.
Desse modo, iniciamos nossos estudos pela variância, que é uma 
medida que se baseia nos desvios em torno da média aritmética (). 
Assim, podemos representar a variância por s2, por meio da fórmula:
Para exemplificarmos, vamos imaginar a seguinte situação: 
existem quatro fábricas que produzem um mesmo produto, dessa forma, 
precisamos saber quanto, em média, são produzidos por cada fábricadurante os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira. Precisamos 
ter consciência de que cada fábrica tem desempenho diferente e, por 
isso, a produção varia entre elas. Dessa forma, chegamos à seguinte 
tabela de dados:
Fábricas
Quantidade produzidas por dia da semana (mil)
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
Fábrica A 10 12 8 14 9
Fábrica B 12 7 10 8 11
Fábrica C 8 10 12 9 10
Fábrica D 11 5 7 8 9
Em primeiro lugar, deve ser determinada a média aritmética de 
cada uma das fábricas analisadas nesse caso. Assim, a média aritmética 
() será calculada da seguinte forma:
Fábricas Cálculo da média aritmética ()
Fábrica A A = 10,6
Fábrica B B = 9,6
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Fábrica C C = 9,8
Fábrica D D = 8
A partir desse cálculo, identificamos as médias diárias de cada uma 
das fábricas. A fábrica A produz, em média, 10,6 produtos por dia, já a fábrica 
B produz, em média, 9,6 produtos por dia, a fábrica C produz 9,8 produtos 
por dia e, por fim, a fábrica D produz, em média, 8 produtos por dia. 
Com essas informações, podemos observar que é variável o 
resultado obtido por cada uma das fábricas, fazendo com que cada uma 
tenha desempenho diferente e que seus resultados sejam específicos, de 
acordo com cada situação. 
Vale ressaltarmos que, nesse exemplo, estamos lidando com 
poucos dados, mas que, no dia a dia, a quantidade de informações é 
muito maior, sendo necessário, muitas vezes, o auxílio de softwares e 
sistemas que auxiliem a organização das informações. 
Continuando a resolução do nosso exemplo, vamos identificar, a 
partir de agora, o valor da variância de cada uma das fábricas estudadas. 
Assim, os resultados serão obtidos a partir da soma dos quadrados da 
diferença entre cada valor e a média aritmética () dividida pela quantidade 
de elementos observados.
Então, o valor da variância de cada uma das fábricas será:
Variância  Fábrica A:
Variância  Fábrica B:
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Variância  Fábrica C:
Variância  Fábrica D:
A partir desses dados, podemos afirmar que a fábrica que se 
mantém mais estável na produção é a fábrica C, pois é a que apresenta a 
menor distância entre a média aritmética. 
Por isso, quando estudamos a variância, temos que observar que, 
quanto maior o resultado, maior a distância do valor em relação à média 
dos dados. 
Com isso, podemos definir, ainda, que a fábrica que se mantém 
menos estável é a fábrica D, pois seus valores são os maiores, e a depender 
do dia da semana, os valores mudam em relação à média. 
Vale alertarmos que, a análise da variância, muitas vezes, pode não 
ser suficiente, pois há valores altos e baixos demais que influenciam ou 
dispersam muito as informações. 
Nesse sentido, uma alternativa utilizada para se eliminar tal dispersão 
causada por essas extremidades é o cálculo por meio do desvio padrão, 
que estudaremos a seguir. 
Desvio Padrão 
Aqui, estudaremos outra medida de dispersão, denominada desvio 
padrão. O desvio padrão (s), por sua vez, representa a raiz quadrada da 
variância (s²) de forma positiva. Nesse sentido, essa medida reduz os erros 
existentes durante o cálculo da variância em relação à média. 
Nessa perspectiva, consideramos que um desvio é um valor x, em 
uma população específica, que representará a diferença em relação à 
média. Logo, o desvio de x = x –.
Estatística Básica
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Por esse motivo, utilizamos esta nova medida, de fácil utilidade 
e interpretação, denominada desvio padrão (s). Para o seu cálculo, é 
necessário encontrar a raiz quadrada da variância, como exposto a seguir:
 
Vale ressaltarmos que tanto a variância como o desvio padrão 
são medidas consideradas de dispersão ou, comumente conhecidas 
por variabilidade. Assim, a utilização de cada uma delas dependerá da 
necessidade do usuário, lembrando de seus pontos fortes e fracos em 
relação aos erros que podem ser identificados. 
Nesse sentido, vamos dar continuidade ao exemplo citado no tópico 
anterior em relação à produção das fábricas. Dessa vez, determinaremos 
o desvio padrão de cada uma delas, lembrando que a variância de cada 
uma já foi identificada, como representado a seguir: 
Fábricas Variância (s²) Desvio padrão (s)
Fábrica A s² (A) = 3
Fábrica B s² (B) = 3,5
Fábrica C s² (C) = 1,7
Fábrica D s² (D) = 4
Desse modo, a partir dessas informações definidas, utilizaremos os 
desvios padrão (s) em relação à média para identificarmos a confiabilidade 
dos valores apresentados. Com isso, precisamos entender que, para a 
identificação disso, precisamos encontrar: 
média aritmética () ± desvio padrão (s)
Assim, na utilização de nosso exemplo, para identificação da média 
diária de produção de cada uma das fábricas, precisamos calcular da 
seguinte forma: 
Estatística Básica
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Fábricas Média () ± Desvio padrão (s)
Fábrica A A = 10,6 ± 1,73 (por dia)
Fábrica B B = 9,6 ± 1,87 (por dia)
Fábrica C C = 9,8 ± 1,30 (por dia)
Fábrica D D = 8 ± 2 (por dia)
Concluímos, então, a partir desses dados, que o desvio padrão (s) 
em relação à variância aproxima os valores em relação à média, visto que 
ele elimina os possíveis erros em relação aos valores extremos, fazendo 
com que os dados se tornem mais confiáveis. 
Ainda nessa perspectiva, segue uma tabela que o auxiliará no 
estudo das medidas estudadas até agora: 
Tabela 5 – Fórmulas
Medidas Fórmula
Média aritmética ()
Número de observações N ou n
Variância (s²)
Desvio padrão (s)
Desvio x - 
Fonte: Elaborada pelos autores.
Assim, vimos que a variância (s²) indica a variação dos valores e a 
distância destes em relação à média () encontrada. 
Da mesma forma, para eliminar os possíveis erros, em relação aos 
valores extremos que afetam a variância, o desvio padrão é utilizado 
como alternativa, implicando a identificação da volatilidade dos dados, 
oferecendo, assim que possível, mais confiança em relação aos valores. 
Nesse sentido, para identificação do desvio padrão, é necessário extrair a 
raiz quadrada da variância, desenvolvendo, assim, uma dependência de 
informações, em que uma dependerá da outra para ser encontrada. 
Estatística Básica
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Por fim, chegamos ao final dos nossos estudos sobre as medidas de 
tendências na estatística, estudando que tais medidas podem ser centrais 
(média, mediana e moda), separatrizes (quartil, decil e percentil) e, ainda, 
de dispersão (variância e o desvio padrão). Todos esses conteúdos são 
essenciais para o desenvolvimento profissional de qualquer área, pois, 
como vimos durante nossos estudos, tais informações fazem parte do 
nosso cotidiano. 
RESUMINDO:
E então? Você gostou do que apresentamos? 
Conseguiu apreender tudo? Agora, só para termos 
a certeza de que você realmente entendeu o tema 
de estudo deste capítulo, vamos resumir tudo o que 
vimos. Você deve ter aprendido que existem meios 
alternativos de determinação de medidas e que eles 
são caracterizados pela identificação do desvio ou pela 
distância de determinada variável em relação a sua média. 
Estudamos, então, que são duas as principais medidas 
consideradas de dispersão ou de variabilidade, a variância 
e o desvio padrão. Em primeiro lugar, descrevemos o 
comportamento da variância, em que, para o seu cálculo, 
foi necessária a identificação da média. Estudamos, ainda, 
que a variância é uma medida que indica quão distantes 
da média os valores estão, por isso, quanto maior for o 
valor encontrado, pior será a análise, visto que se distancia 
do ponto médio da variável. Da mesma forma, estudamos 
a medida denominada desvio padrão, que é alternativa e 
mais segura, pois elimina os possíveis erros que podem 
ser encontrados na variância. Com isso, para identificarmos 
o desvio padrão, calculamos a raiz quadrada da variância, 
assim, o cálculo de um dependerá do resultado do outro, 
ocasionando uma dependência de informações. Por fim, 
entendemos o quão importante é o estudo das medidas 
de dispersão no nosso cotidiano e como ele pode nosauxiliar nas interpretações e informações rotineiras. 
Estatística Básica
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REFERÊNCIAS
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
LARSON, R.; BETSY, F. Estatística aplicada. Tradução de José 
Fernando Pereira Gonçalves. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
Estatística Básica
Adauto José Valentim Neto e Dayanna Costa
Estatística Básica
	Média aritmética como medida de tendência central
	Média aritmética ()
	Média aritmética com dados não agrupados 
	Média aritmética com dados agrupados 
	Outras medidas de tendência central
	Mediana (Md) 
	Mediana de dados não agrupados
	Mediana de dados agrupados
	Moda (Mo)
	Moda de dados não agrupados
	Moda de sados agrupados
	Entender as medidas separatrizes
	Quartil
	Decil
	Percentil
	Tipos de medidas de variação ou dispersão
	Variância 
	Desvio Padrão