Importância da Derivada na Matemática

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá! 
 
Nesta aula, estudaremos a importância da derivada no campo da 
matemática, destacando sua função central em determinar a taxa de variação de 
uma função em relação a uma de suas variáveis independentes. Abordaremos 
as regras fundamentais de derivação, como a regra do produto, do quociente e 
da cadeia, que são fundamentais para calcular derivadas em diversos tipos de 
funções. 
Utilizaremos exemplos práticos para ilustrar a aplicação dessas regras, 
visando proporcionar uma compreensão clara e abrangente de sua utilização em 
diferentes contextos. Por fim, enfatizaremos a importância da regra da cadeia, 
que se revela como uma ferramenta essencial para derivar funções compostas 
de forma eficiente, simplificando o processo de cálculo em situações mais 
complexas. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AULA 02 – 
DERIVADAS 
 
 
 
2 REGRAS DE DERIVAÇÃO 
A derivada é um conceito fundamental na matemática, especialmente na área 
do cálculo. Ela descreve a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas 
variáveis. Em termos mais simples, a derivada indica como uma função está mudando 
em um determinado ponto. 
Imagine uma função que descreve a posição de um objeto em movimento ao 
longo do tempo. A derivada dessa função em um ponto específico nos dirá qual é a 
velocidade instantânea desse objeto naquele momento exato. Em outras palavras, a 
derivada nos dá a inclinação da tangente à curva da função nesse ponto. 
Existem diferentes formas de calcular derivadas, dependendo do tipo de função 
e do método escolhido. Por exemplo, as derivadas podem ser calculadas usando 
regras básicas de diferenciação, como a regra do produto e a regra da cadeia, ou 
utilizando técnicas mais avançadas como diferenciação implícita. Aqui estão algumas 
das regras mais comuns de derivação: 
 Regra 1 - A derivada da função constante: (c)'= 0 
 Regra 2 - A derivada da função potência: (xn)'= n.x n-1 
 Regra 3 - A derivada do produto de uma constante por uma função: c ⋅ f (x )) ' 
= c ⋅( f (x ) ) ' 
 Regra 4 - A derivada da soma e da diferença de funções: ( f (x) + g(x )') = ( f (x 
)') + (g(x )') 
 ( f (x) − g(x )') = ( f (x )) ' − (g(x ) )' 
Neste módulo, estudaremos mais três regras fundamentais de derivação: a 
regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia. 
Regra do produto: 
Digamos que as funções f e g sejam deriváveis. Como podemos calcular a 
derivada do produto f(x). g(x)? 
A derivada do produto pode ser calculada usando a seguinte regra: 
(f (x)⋅ g (x)) ' = f (x)⋅ g' (x) + g(x)⋅ f '(x) 
Exemplo 1: Verifique a regra do produto para f(x) = x2 e g(x) = x3. 
 
 
 
Resolução: 
1º método - Note que: 
f(x). g(x) = x2. x3 = x5 
Logo: 
(f(x). g(x))’ = (x5)’ = 5x4. 
 
2º método - Usando a regra do produto, obtemos: 
(x2. x3)’ = x2. (x3)’ + x3. (x2)’ 
= x2. 3x2 + x3. 2x 
= 3x4 + 2x4 
= 5x4 
Observe que a resposta obtida com a regra do produto é a mesma que a obtida da 
maneira comum. 
Exemplo 2: Diferencie o produto (2x3 – 5x). (3x + 1). 
Resolução: 
Neste caso, temos que f(x) = 2x3 – 5x e g(x) = 3x + 1. 
Se f(x) = 2x3 – 5x, então f’(x) = 6x – 5. 
Se g(x) = 3x + 1, então g’(x) = 3. 
Assim, aplicando a regra do produto, temos que: 
 
Assim, temos que a derivada pedida é 24x3 + 6x2 – 30x – 5. 
Regra do quociente: 
Outra fórmula útil para o cálculo de derivadas é a regra do quociente: 
 
 
 
Note que a ordem das funções é importante, pois temos um sinal de negativo 
no numerador. 
Exemplo 3: Diferencie 
Resolução: 
Considere f(x) = x e g(x) = 2x + 3. Usando a regra do quociente, obtemos: 
 
Como (x)’ = 1 e (2x + 3)’ = 2, temos que: 
 
Assim, temos que y’ = 3/(2x+2)2 
Exemplo 4: Diferencie 
 
Resolução: 
Considere f(x) = x2 – 1 e g(x) = x3 + 2x + 1. Usando a regra do quociente,obtemos: 
 
Como (x2 – 1)’ = 2x e (x3 + 2x + 1)’ = 3x2 + 2, temos que: 
 
 
 
Assim temos que y’ = 
 
Regra da cadeia: 
Consideraremos o problema de derivar a função: 
y = (x3 + 2)4 
Podemos fazê-lo com os instrumentos que temos até agora, expandindo a 
função em um polinômio para depois encontrarmos a derivada: 
y = (x3 + 2) 4 = (x3 + 2)2. (x3 + 2)2 
y = (x6 + 4x3 + 4).(x6 + 4x3 + 4) 
y = x12 + 4x9 + 4x6 + 4x9 + 16x6 + 16x3 + 4x6 + 16x3 + 16 
y = x12 + 8x9 + 24x6 + 32x3 + 16 
Segue agora: 
y’ = 12x11 + 72x8 + 144x5 + 96x2 
Nesse caso, o trabalho de expandir (x3 + 2)4 é caracterizado como um trabalho 
meticuloso, embora não excessivamente complexo. No entanto, é improvável que haja 
o mesmo nível de disposição para realizar o mesmo procedimento em relação à 
função y = (x3 + 2)100. Para isso, aprenderemos a regra da cadeia, que nos permite 
derivar ambas as funções com igual facilidade. 
Para entendermos a regra da cadeia, é necessário compreendermos a 
estrutura da função y = (x3 + 2)4. Tomemos como exemplo a função y = (x3 + 2)4 . Para 
 
 
simplificar a análise, podemos introduzir uma variável auxiliar u = x3 + 2 , permitindo a 
decomposição da função composta em componentes mais elementares: 
y = u4 onde u = x3 + 2 
A regra da cadeia: Sendo y = f(u) e u = g(x), a derivada de y em relação a x 
pode ser obtida multiplicando a derivada de y em relação a u pela derivada de u em 
relação a x: 
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
=
ⅆ𝑦
ⅆ𝑢
⋅
ⅆ𝑢
ⅆ𝑥
 
No exemplo fornecido, temos: 
 
Logo: 
 
Substituindo u por x3 + 2, temos: 
 
Note que: 
 
Por meio da aplicação da regra da cadeia, alcançamos o mesmo resultado 
obtido ao expandir a função em forma de polinômio. 
Exemplo 5: Diferencie (x3+2)100 
Resolução: 
 
Sendo y = u100 e u = x3 + 2 temos: 
 
 
 
Pela regra da cadeia, temos: 
 
Substituindo u por x3 + 2, temos: 
 
Exemplo 6: Diferencie 
 
Resolução: 
Sendo temos: 
 
 
Pela regra da cadeia, temos: 
 
 
 
 
Substituindo u por 1 + x2 , temos: 
 
A derivada pedida é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ANTON, H. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática Aplicada: Economia, 
Administração e Contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
THOMAS, G. B. Cálculo: volume I. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	2 REGRAS DE DERIVAÇÃO
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS