Operações Matemáticas

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Operações Matemáticas: porcentagem, regra de três simples, razão, proporção, juros simples e compostos
Neste capítulo, faça uma breve reflexão sobre a importância da matemática financeira para a contabilidade.
No mercado financeiro, a compreensão desses dois conhecimentos é imprescindível para que investidores tomem as melhores decisões. Em empresas, a análise dos registros contábeis é fundamental para que financeiras verifiquem a viabilidade de oferecer crédito para as essas empresas, visto que os referidos registros evidenciarão o quão saudável financeiramente está, ou não, a organização.
Por essas e outras questões, você estudará neste capítulo os conhecimentos que o auxiliarão, como técnico em contabilidade, a compreender o funcionamento da matemática financeira, bem como o valor do dinheiro no tempo.
Razão
Relembre agora alguns conceitos sobre razão.
Na matemática, a palavra razão significa divisão.
Utiliza-se a razão para comparar duas grandezas, ou seja, quando se divide uma grandeza pela outra, está-se comparando a primeira com a segunda.
Em termos gerais, se houver dois números reais a e b, com b diferente de zero, denomina-se razão entre a e b o seu quociente q, Ou seja, a/b = q.
Você pode estar se perguntando “para que serve a razão”?
Sua utilidade no dia a dia profissional é ampla, pois ela pode ser utilizada no cálculo de partilha de bens ou de dinheiro, na redução ou ampliação de desenhos ou de figuras em escalas, nos cálculos das amortizações para sistema de amortização constante, para transformar uma taxa de juros que está em percentual, para taxa unitária, entre outros casos.
Exemplo 1:
Em uma indústria, observou-se que, no setor de produção, existem 100 colaboradores. Desses 100 colaboradores, 75 têm curso técnico em determinada área. Qual é a razão entre o número de colaboradores com curso técnico em relação ao número de colaboradores existentes nesse departamento?
Observe que o antecedente e o consequente são divisíveis por 25, logo, pode-se simplificar a razão da seguinte maneira:
Chegou-se ao quociente 3/4 . Isso significa que, para cada 4 colaboradores da produção, 3 contêm curso técnico em determinada área.
Exemplo 2:
Em determinado escritório de contabilidade, observou-se que, próximo ao encerramento do período para enviar à Receita Federal as declarações dos impostos de renda, 88 já haviam sido emitidas, enquanto 16 declarações ainda aguardavam informações dos clientes para serem concluídas. Nesse sentido, qual é a razão entre o número de declarações em fase de conclusão em relação àquelas que já foram enviadas à Receita Federal?
Observe que o antecedente e o consequente são divisíveis por 8, logo, é possível simplificar a razão da seguinte maneira:
Chegou-se ao quociente 2/11 ! Isso significa que para cada 2 declarações em fase de conclusão, 11 já foram enviadas à Receita Federal.
Proporção
Agora que você já entendeu o que é uma razão, confira o tema proporção.
A palavra proporção significa relação comparativa. Sendo assim, é possível definir proporção como a igualdade entre duas razões.
Em uma proporção a/b = c/d , os termos a e d são chamados de extremos e os termos b e c são chamados de meios. Vale ressaltar que a, b, c e d devem ser diferentes de zero.
Leitura: “a está para b, assim como c está para d”.
Você já ouviu falar na propriedade fundamental da proporção? Relembre.
Em toda proporção, o produto* dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
* produto = resultado da multiplicação
Simbolicamente, o exemplo a seguir demonstrará a utilização da propriedade fundamental da proporção.
Analise as informações a seguir.
Qual o valor de “x” na proporção a seguir?
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, você terá:
10 . x = 16 . 30
10x = 480
x = 480/10
x = 48
Lembre-se:
Neste momento, você está trabalhando com uma equação de primeiro grau e, para encontrar o valor de “x”, é preciso isolá-lo. Para isso, mude o valor (número) que o acompanha para o outro lado da igualdade.
Sempre que há essa “mudança de lado”, deve-se alterar para a operação inversa.
Nesse caso, o número 10, que inicialmente é multiplicado por “x”, passa para o outro lado da igualdade dividindo, pois a divisão é a operação inversa à multiplicação.
Que tal utilizar esses conhecimentos e aplicá-los em uma situação do dia a dia?
Exemplo 1:
Determinada empresa recebeu uma oportunidade de ampliar os seus negócios adquirindo uma nova filial. Com o planejamento desse novo negócio, o lucro ou prejuízo será dividido entre os dois sócios proporcionalmente. Sabemos que o sócio A investiu R$ 20 mil, o sócio B investiu R$ 30 mil e, no final do primeiro ano de funcionamento, o lucro recebido foi de R$ 60 mil. Qual o valor que cada sócio receberá de acordo com o lucro obtido?
Para resolver esse problema, considere os seguintes dados:
Sócio A investiu R$ 20 mil e deve receber “a”.
Sócio B investiu R$ 30 mil e deve receber “b”.
O total do investimento foi de R$ 50 mil.
O lucro que os sócios receberão será de R$ 60 mil, ou seja, a + b = R$ 60.000,00.
A divisão dos lucros deverá ser proporcional ao investimento.
Observe as seguintes razões proporcionais:
De acordo com as razões obtidas e utilizando a propriedade fundamental das proporções, serão feitos os seguintes cálculos:
Conclui-se então que o sócio A recebeu R$ 24 mil do lucro obtido e o sócio B recebeu R$ 36 mil, consequentemente.
Perceba que é possível calcular de outra maneira, usando a razão em que aparece o valor b:
Regra de três simples
Segundo Castanheira (2011, p. 53), a regra de três simples é uma regra prática utilizada para resolver certos problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, cujos valores formam uma proporção, sendo conhecidos apenas três termos desta.
Quando se trabalha com regra de três, são interpretadas questões diversas e aplicados os conhecimentos de razão e proporção para encontrar a solução.
De acordo com o mesmo autor, o principal cuidado que se deve tomar é na hora de escrever a proporção, uma vez que, caso as grandezas sejam inversamente proporcionais, deve-se inverter uma das razões
No dia a dia, as empresas utilizam os conhecimentos sobre regra de três simples que envolvam as grandezas direta e inversamente proporcionais, por meio de seus indicadores, cujo objetivo é identificar, por exemplo, qual o tempo necessário para produzir certa quantidade de determinado produto com relação à quantidade de colaboradores existentes.
Que tal colocar em prática essas definições?
Exemplo 1:
Ana é auxiliar de contabilidade em determinado escritório. Devido a uma solicitação de seu gestor, ela precisa atualizar 130 fichas cadastrais dos clientes que estão inativos. Sabendo que em 2 dias ela atualiza 20 fichas cadastrais, quantos dias ela levará para concluir o trabalho?
Observe:
	Fichas cadastrais
	Tempo em dias
	20
	2
	130
	x
Veja que a grandeza é diretamente proporcional, pois se se aumentar o número de fichas cadastrais para atualizar, a quantidade de dias que Ana levará para concluir a tarefa também aumentará.
Após realizar essa comparação, pode-se organizar a proporção da seguinte forma:
20/130 = 2/x
Aplicando-se a propriedade fundamental das proporções vista anteriormente, tem-se que:
Logo, Ana levará 13 dias para realizar a atualização das 130 fichas cadastrais.
Exemplo 2:
Em uma determinada empresa, 3 colaboradores de contábeis realizam a conferência das notas fiscais emitidas em 8 horas. Diminuindo para 2 colaboradores, considerando a mesma eficiência, quantas horas seriam necessárias para realizar a mesma conferência?
	Colaboradores
	Horas
	3
	8
	2
	x
Perceba que, diminuindo o número de colaboradores para realizar a conferência das notas fiscais, o tempo necessário para realizar a mesma tarefa aumentará. Logo, as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Nesse sentido, deve-se inverter uma das razões.
2/3 = 8/x
Aplicando-se a propriedade fundamental das proporções, o que se terá é o seguinte:
Logo, se o número for diminuído para 2 colaboradores, serão necessárias12 horas para realizar a mesma conferência.
Porcentagem
Outro assunto muito presente e de grande utilidade é a porcentagem.
Reveja agora alguns conceitos e exemplos.
Porcentagem é uma parte do principal, ou seja, uma parte do todo, e é representada pelo símbolo “%” (CASTANHEIRA; MACEDO, 2010).
Um por cento significa que foi dividido o inteiro em 100 partes iguais e considerada apenas uma dessas partes.
Mas como fica essa representação?
Pode-se representar do seguinte modo:
Nos exemplos acima, são chamados de forma unitária os resultados “0,01” e “0,15”.
A porcentagem está muito presente no dia a dia, pois os tributos e impostos são cobrados e pagos em forma de percentuais. Em seguida, você aprenderá mais sobre a aplicabilidade dessas taxas.
Para se determinar uma porcentagem, então, pode-se utilizar os conhecimentos vistos antes referentes à regra de três simples.
Observe o seguinte exemplo: determinada empresa paga R$ 8.700,00 mensais de aluguel pelo prédio onde está instalada. Sabendo que no próximo ano esse custo passará para R$ 9.135,00, qual foi o percentual de acréscimo?
É possível calcular utilizando uma regra de três simples.
Se o aluguel subiu de R$ 8.700,00 para R$ 9.135,00, houve um aumento de R$ 435,00.
	Valor
	Percentual correspondente
	8700
	100% (é o valor integral do aluguel)
	435
	x (x é o percentual que se quer calcular)
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, tem-se que:
Logo, o percentual de aumento do aluguel foi de 5%.
Você observou nesse exemplo que os números a que se referiam ficaram um abaixo do outro?
Isso acontece porque, na regra de três, as grandezas da mesma espécie devem ficar na mesma coluna.
Lembre-se dessa dica.
Agora que você observou o quanto razão, proporção, regra de três e porcentagem podem ser úteis em nossas rotinas diárias, veja os cálculos dos juros.
Juros
Em qualquer país em que se esteja, seja ele um país de economia bem desenvolvida ou não, tenha ele uma moeda forte ou fraca, operações são realizadas com a utilização de dinheiro (moeda) com o propósito da obtenção de lucro (CASTANHEIRA; MACEDO, 2010).
Tais operações, denominadas financeiras, requerem os conhecimentos que serão demonstrados a seguir.
Capital
O capital é qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para uma operação financeira (CASTANHEIRA; MACEDO, 2010).
Usualmente, é representado pela letra C, mas existem bibliografias que representam o capital da seguinte maneira:
P = principal
PV = valor presente
VA = valor atual
Taxa de juro (i)
O juro é calculado por intermédio de uma taxa percentual aplicada sobre o capital e é representado pela letra i.
A taxa de juro geralmente é apresentada na forma porcentual, por exemplo 15% a.m. (lê-se quinze por cento ao mês). Observe, no entanto, que, nos cálculos feitos aqui, a taxa é utilizada em sua forma unitária (ou centesimal), por exemplo: 0,15 ao mês.
Prazo (n)
O prazo refere-se ao tempo no qual se está pagando ou recebendo juros. Ele é representado pela letra n.
Montante (M)
É denominado montante o resultado da soma do capital com os juros obtidos em uma operação financeira. Ele é representado pela letra M.
Existem mais alguns conceitos utilizados na matemática financeira, tais como:
Valor nominal (N)
O valor nominal é o que consta no documento, ou seja, é o valor que o título tem na data de seu vencimento.
Valor real/corrente/presente
O valor real de um título é o valor que ele tem em uma data anterior à do seu vencimento. Se render juros a partir dessa data, esse valor atingirá um montante igual ao valor nominal no vencimento do título.
O valor real também é denominado valor atual, valor corrente ou presente.
Juros simples ou capitalização simples
Segundo Castanheira (2011, p. 110), quando o regime é de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial (valor atual), não incidindo, portanto, sobre os juros acumulados. São representados pela letra J.
Quando se usa a fórmula para calcular os juros simples, é preciso observar que o período da taxa deve coincidir com a unidade do prazo de aplicação, ou seja, deve estar na mesma unidade de tempo.
Confira então como ficam essas representações:
· Se for utilizada uma taxa anual, o prazo obrigatoriamente deverá ser anual.
· Se for utilizada uma taxa mensal, o prazo obrigatoriamente deverá ser mensal.
· Se for utilizada uma taxa trimestral, o prazo obrigatoriamente deverá ser trimestral e, assim, sucessivamente.
Após essas definições, o cálculo dos juros simples é obtido por meio da seguinte fórmula:
J = C . i . n
Onde:
J = Juros
C = Capital
i = taxa de juros
n = prazo
Verifique um exemplo que mostra perfeitamente o que foi visto até aqui.
No balancete de uma empresa consta que um capital de R$ 5.500,00 foi aplicado a uma taxa simples de 1,5% ao mês durante 1 ano. Nesse sentido, quanto de juros rendeu essa aplicação?
Para resolver esse problema, considere os dados:
C = Capital = R$ 5.500,00
i = Taxa de juros = 1,5% a.m.
n = Prazo = 1 ano
J = Juros = ?
M = Montante = ?
Primeiramente, devemos transformar a taxa de juros em taxa unitária, ou seja, em uma fração decimal.
Você lembra como realizar essa transformação?
Taxa = i = 1,5%. a.m. = 1,5/100 = 0,015 a.m.
Em seguida, verifique se o prazo e a taxa de juros estão na mesma unidade de tempo:
i = 0,015 ao mês n = 1 ano
Observe que a taxa está ao mês e o prazo está ao ano.
Como não estão na mesma unidade de medida, deve-se transformar uma das informações para resolver a questão. Nesse caso, o tempo é que será transformado:
Como a taxa está ao mês, 1 ano será o mesmo que 12 meses.
Por fim, aplica-se a fórmula:
J = C . i . n
J = 5.500,00 . 0,015 . 12
J = R$ 990,00
Assim, conclui-se que o valor correspondente aos juros é de R$ 990,00.
Quanto ao valor do montante?
O valor do montante refere-se à soma do capital e dos juros produzidos.
Assim:
Montante = C + J
Montante = R$ 5.500,00 + R$ 990,00
Montante = R$ 6.490,00
Juros compostos ou capitalização composta
No dia a dia, quando se realiza uma compra a prazo ou quando se toma emprestada uma quantia em dinheiro em um banco comercial, é o juro composto que está sendo pago.
Quando o regime de capitalização é composto, o juro produzido em um período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juros no período seguinte.
Você já ouviu a expressão “juro sobre juro”?
Isso mesmo, o juro composto é conhecido como “juro sobre juro”, pois, a cada intervalo, o juro é incorporado novamente ao valor que o produziu.
É importante também ressaltar que, para calcular o juro composto, é necessário, no mínimo, uma calculadora científica, já que na fórmula para o respectivo cálculo aparece a função exponencial.
Dessa forma, para determinar o valor do montante de uma operação financeira no regime de capitalização composta, utiliza-se a seguinte fórmula:
M = C . (1 + i)n
Onde:
M = Montante
C = Capital
i = taxa de juros
n = prazo
Confira a aplicação da fórmula, para facilitar o entendimento.
Utilizando o exemplo anterior com os mesmos dados/quesitos, mas calculando o juro composto, observe como ficará:
Taxa de juros: 1,5% ao mês
Valor principal: R$ 5.500,00
Prazo: 1 ano
Organizando os dados, tem-se o seguinte:
C = Capital = R$ 5.500,00
i = Taxa de juro composto = 1,5% a.m. (ao mês) = 1,5/100 = 0,015
n = Prazo = 1 ano = 12 meses
M = Montante = ?
Agora, utiliza-se a fórmula:
M = C . (1 + i)n
M = 5.500,00 . (1 + 0,015)12
M = 5.500,00 . (1,195618)
M = 6.575,90
Quanto ao valor dos juros?
Sabe-se que M = C + J, sendo assim, tem-se o seguinte:
R$ 6.575,90 = R$ 5.500,00 + J
6.575,90 – 5.500,00 = J
Juros = R$ 1.075,90
Você notou a diferença?
Quando se calcula com juros simples, multiplica-se a taxa de juros pelo tempo. Já na capitalização composta, para que os juros fossem gerados em cada período e acrescentados ao capital principal, usa-se a potenciação, ou seja, a taxa de juros foi elevada ao tempo.
Dessa forma, com os mesmos dados da aplicação, se forem utilizados os juros simples, o valor domontante será de R$ 6.490,00 e, com os juros compostos, chega-se ao valor de R$ 6.575,90, ou seja, uma diferença de R$ 85,90, a maior pelo sistema de juros compostos. Por esse motivo, normalmente o sistema de capitalização mais utilizado é o dos juros compostos, já que são cobrados juros sobre juros.
Os juros simples são os menos utilizados, por serem menos lucrativos para as instituições. Mas os juros compostos não são de todo ruim. Por exemplo, há benefício da capitalização de juros por meio das cadernetas de poupança, do FGTS, nos quais os juros obtidos em um período se agregam ao principal e o valor obtido constitui uma base maior para os juros do período seguinte, ou seja, é uma capitalização que ajuda a prosperar no longo prazo.
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