Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
por Concur se iro Fora da C ai xa 
RESUMO 
Matemática Financeira 
C o nc u rse i ro F o ra da Cai x a 
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Sumário 
Porcentagem .................................................................................................................................................................................... 2 
Regime de Juros e Descontos .......................................................................................................................................................... 3 
Conceitos Básicos .......................................................................................................................................................................................................3 
Juros Simples e Juros Compostos...........................................................................................................................................................................3 
Inflação, Juros Reais, Juros Aparentes........................................................................................................................................... 5 
Séries de Pagamentos (Anuidades) ................................................................................................................................................ 6 
Perpétua .......................................................................................................................................................................................................................6 
Antecipada ...................................................................................................................................................................................................................6 
Postecipada ..................................................................................................................................................................................................................7 
Diferida .........................................................................................................................................................................................................................7 
Sistemas de Amortização ................................................................................................................................................................ 8 
Sistema Francês (Price) ............................................................................................................................................................................................8 
Sistema de Amortização Constante (SAC) ...........................................................................................................................................................8 
Sistema de Amortização Misto (SAM)...................................................................................................................................................................8 
Sistema de Amortização Americano (SAA) .........................................................................................................................................................8 
Observações (qustões teóricas) ..............................................................................................................................................................................9 
Análise de Investimentos ............................................................................................................................................................... 9 
Extra – Questões de Matemática Financeira (TEC) ..................................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PORCENTAGEM 
Porcentagem nada mais é do que a razão na qual o denominador é 100. Exemplos: 
• 45% = 45/100 = 0,45 
• 197% = 197/100 = 1,97 
• 100% = 100/100 = 1,00 
 
Frações e Porcentagens 
Qualquer fração pode ser representada por uma porcentagem, bastando multiplicá-la por 100%. Exemplo: Maria comeu 3 fatias 
de uma pizza que possui 16 fatias no total. Quantos porcento da pizza Maria comeu? 
Fração que Maria comeu: 3/16 
Percentualmente: 3/16 x 100% = 300%/16 = 18,75% 
 
O inverso também é possível. Dado um percentual, é possível encontrar o valor original. Exemplo: um prédio possui 35 
apartamentos, mas apenas 20% estão ocupados. Quantos apartamentos estão vagos? 
Apartamentos Ocupados: 35 x 20% = 35 x 20/100 = 700/100 = 7 ocupados 
Apartamentos Vagos: 35 – 7 = 28 vagos 
 
Variações Percentuais 
REDUÇÃO: para calcular a redução percentual de determinado valor basta multiplicá-lo por (100 – X), sendo X o valor da 
redução. Exemplo: em 1990 uma cidade tinha 50.000 habitantes. Atualmente ela reduziu em 30%. Qual a população atual? 
Fator de redução: (100 – 30) = 70% 
População atual = 50.000 x 70% = 50.000 x 70/100 = 35.000 habitantes 
AUMENTO: para calcular o aumento percentual de determinado valor basta multiplicá-lo por (100 + Y), sendo Y o valor do 
aumento. Exemplo: supondo que a população da cidade acima tenha aumentado em 45%. Qual a população atual? 
Fator de aumento: (100 + 45) = 145% 
População atual = 50.000 x 145% = 50.000 x 145/100 = 72.500 habitantes 
 
VARIAÇÕES SUCESSIVAS: para variações sucessivas, basta multiplicar cada fator de variação sucessivamente. Exemplos: 
 
Variação 1 Variação 2 Variação 3 Variação Final 
Aumento de 15% 
Fator: 115% 
Redução de 10% 
Fator: 90% 
Redução de 20% 
Fator: 80% 
Cálculo: 115/100 x 90/100 x 80/100 
Variação Final: 82,8% ( = redução) 
Redução de 10% 
Fator: 90% 
Aumento de 10% 
Fator: 110% 
Aumento de 1% 
Fator: 101% 
Cálculo: 90/100 x 110/100 x 101/100 
Variação Final: 100% ( = manteve) 
Aumento de 10% 
Fator: 110% 
Aumento de 10% 
Fator: 110% 
Aumento de 8% 
Fator: 108% 
Cálculo: 110/100 x 110/100 x 108/100 
Variação Final: 130,7% ( = aumento) 
Obs: sempre que o valor foi maior que 100% haverá aumento; se menor que 100%, uma redução. 
 
 
 
 
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REGIME DE JUROS E DESCONTOS 
CO N CEI TO S BÁ SI CO S 
 
 
JU R O S SI MP L ES E JU RO S CO M P O STO S 
 
 
JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS 
Montante Final 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑡) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡
 
Desconto Racional 
(por Dentro) 
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖𝑡)
 𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑡
 
Desconto Comercial 
(ou Bancário) 
𝑉𝑃 = 𝑉𝐹(1 − 𝑖𝑡) 𝑉 = 𝑉𝐹(1 − 𝑖)𝑡
 
Desconto 𝐷 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 𝐷 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 
Legenda: 
M: montante final 
C: é o capital inicial 
PV: valor presente (ou valor atual) 
VF: valor futuro (ou valor nominal) 
i: é a taxa de juros (ex: se a taxa for 1%, então i = 0,01) 
t: é o tempo. Lembrando que o tempo deve estar na mesma unidade da taxa. Ex: se a taxa for 5% ao 
trimestre, o tempo deve estar em trimestres. Dessa forma, se o período de aplicação for de 1 ano, t = 4, já 
que temos 4 trimestres em 12 meses. 
 
 
Conceitos Básicos
Capital (C): é o valor disponível em certa data para ser aplicado / emprestado. Também 
chamando de capital inicial, valor investido, valor aplicado ou principal.
Juros (J): é a remuneração obtida pelo uso do Capital em um certo intervalo de tempo. 
Taxa de Juros (i): é a unidade de medida dos juros, que corresponde à remuneração paga 
pelo uso do capital durante um determinado período.Indica a periodicidade dos juros. 
Montante (M): é o valor final, resultante de uma operação financeira. É a soma do Capital 
com o Juros. Matematicamente: M = C + J
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Peculiaridades dos Juros Simples 
 
Taxas Proporcionais: para saber uma taxa proporcional no regime de juros simples, basta dividi-la / multiplicá-la pelo prazo 
desejado. Exemplo: para uma taxa de 48% ao ano, qual a taxa proporcional 
Taxa de 48% ao ano para mensal: basta dividir 48 por 12 = 4% ao mês 
Taxa de 48% ao ano para trimestral: basta dividir 48 por 4 = 12% ao trimestre 
Taxa de 3% ao mês para anual: basta multiplicar 3 por 12 = 36% ao ano 
 
 
Peculiaridades dos Juros Compostos 
 
Convenção Linear x Convenção Exponencial: quando o prazo da aplicação for fracionário, há duas fórmulas de se calcular os 
juros (a questão irá dizer qual deseja). Assim: 
 
CONVENÇÃO EXPONENCIAL 
Utiliza-se todo o valor decimal na parte exponencial. 
(EX: 1 mês e 3 dias = 1,1; 2 meses e 15 dias = 2,5). 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡
 
COVENÇÃO LINEAR 
Utiliza-se Juros Simples na parte fracionária (q) do mês e 
Juros Compostos na parte inteira (p): 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑝(1 + 𝑖𝑞) 
Em questões teóricas pode-se perguntar em qual método o montante final é maior: MLINEAR > MEXPONENCIAL 
 
Capitalização Contínua: já houve provas que cobraram a fórmula da capitalização contínua. Seu cálculo é bem direto, pela 
fórmula abaixo: 
𝑀 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑖𝑡 
Onde “e” é o logaritmo neperiano – esse valor sempre é dado. 
Taxa Nominal, Taxa Efetiva e Taxa Equivalente: 
 
Taxa Nominal: o período da taxa é diferente do período de capitalização. As questões geralmente anunciam da seguinte 
forma, por exemplo: 24% a.a/mês, ou seja, 24% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Taxa Efetiva: para transformar a taxa nominal em efetiva, basta encontrar a taxa proporcional, de forma que o período 
da taxa se iguale ao período da capitalização. 
Exemplo: a taxa de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, significa que, como 1 ano tem 12 meses, pegamos o valor da 
taxa (24%) e dividimos por 12 (para obter o proporcional mensal), logo a Taxa Efetiva = 2% ao mês. Outro exemplo: 18% 
ao ano capitalizados bimestralmente. Bom, 1 ano tem 6 bimestres, logo 18% dividido por 6 = 3% ao bimestre. 
Taxa Equivalente: finalmente, para descobrir a Taxa Equivalente, basta pegar a Taxa Efetiva e “jogar” na fórmula de juros 
compostos. Pegando o segundo exemplo anterior, qual seria a Taxa Equivalente anual? Bom, pegamos a efetiva (3% ao 
bimestre) e como 1 ano tem 6 bimestres, t = 6, logo IEQUIVALENTE = (1+0,03)^6 = 1,036 = 1,1940, ou seja, 19,4% ao ano. 
Em suma, a ordem de resolução é: 
 
 
 
 
 
 
Nominal Efetiva Equivalente
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INFLAÇÃO, JUROS REAIS, JUROS APARENTES 
Quando há inflação, ao fazer uma aplicação financeira, apenas uma parte do rendimento foi efetivamente rendimento (juro 
real), pois a outra parte é corroída pela inflação. Assim: 
(1 + 𝑖𝐴𝑃𝐴𝑅𝐸𝑁𝑇𝐸 ) = (1 + 𝑖𝑅𝐸𝐴𝐿 )(1 + 𝑖𝐼𝑁𝐹𝐿𝐴ÇÃ𝑂 ) 
Qualquer questão de prova vai te pedir basicamente a aplicação dessa fórmula. Não tem mistério! 
 
Exemplo 1: um CDB rendeu 35%, sendo que, durante o período, a inflação foi de 14%. Qual o rendimento real do investimento? 
Taxa aparente = 35% = 0,35 
Inflação = 14% = 0,14 
Aplicando a fórmula diretamente: (1+0,35) = (1+iREAL)(1+0,14) = (1+iREAL) = 1,35/1,14 = 1,1842. Logo iREAL = 18,42% 
Exemplo 2: uma LCI rendeu 19%, sendo que, no período, houve deflação de 6%. Qual o rendimento real do investimento? 
Taxa aparente = 19% = 0,19 
Deflação (“inflação negativa”) = – 6% = – 0,06 
Aplicando a fórmula diretamente: (1+0,19) = (1+iREAL)(1-0,06) = (1+iREAL) = 1,19/0,94 = 1,2659. Logo iREAL = 26,59% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES) 
A séries de pagamentos / anuidades, são séries de pagamentos de mesmo valor (R), distribuídos uniformemente no tempo 
e sob o regime de juros compostos. 
 
Importantíssimo DECORAR as fórmulas abaixo: 
𝑺𝒏¬𝒊 = 
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
 𝒂𝒏¬𝒊 = 
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏 ∙ 𝒊
=
𝟏
𝑭𝑹𝑪
 
FRC = Fator de Redução de Capital. Geralmente é dado pelas bancas diretamente na questão ou em uma tabela. 
P ER P ÉTUA 
O número de pagamentos (R) é infinito, ou seja, segue indefinidamente. 
 
Valor Presente dos pagamentos (VP) 
𝑉𝑃 = 
𝑅
𝑖
 
 
Valor Futuro dos pagamentos (VF) 
– 
A N TECI PA D A 
A 1ª parcela estará no ato da realização do negócio. Há um prazo definido para o término dos pagamentos. 
 
Valor Presente dos pagamentos (VP) 
𝑉𝑃 = 𝑹 + 𝑅 ∙ 𝑎(𝑛−1)¬𝑖 
 
Valor Futuro dos pagamentos (VF) 
𝑉𝐹 = 𝑅 ∙ 𝑆𝑛¬𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P O STECI P A DA 
A 1ª parcela estará UM período após realização do negócio. Há um prazo definido para o término dos pagamentos. 
 
Valor Presente dos pagamentos (VP) 
𝑉𝑃 = 𝑅 ∙ 𝑎𝑛¬𝑖 
 
Valor Futuro dos pagamentos (VF) 
𝑉𝐹 = 𝑅 ∙ 𝑆𝑛¬𝑖 
 
D I F ERI D A 
A 1ª parcela estará no período (m+1) após realização do negócio ( = período de carência). Há um prazo definido para o término 
dos pagamentos. 
 
Valor Presente dos pagamentos (PV) 
𝑉𝑃 = 𝑅 (𝑎𝑛+𝑚¬𝑖 − 𝑎𝑚¬𝑖) 
 
Valor Futuro dos pagamentos (VF) 
𝑉𝐹 = 𝑅 ∙ 𝑆𝑛¬𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Em qualquer sistema de amortização a prestação é a soma da cota de amortização e dos juros: 
P = J + A 
✓ Prestação (P): é o valor a ser pago 
✓ Amortização (A): parcela que efetivamente reduz a dívida 
✓ Juros (J): remuneração do empréstimo. O juro de um período é calculado sobre o saldo devedor do início daquele período. 
SI STEM A F R AN CÊS ( P RI CE) 
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO 
Fórmula: 
𝑃 =
𝑉𝑃
𝑎𝑛¬𝑖
= 𝑉𝑃 ∙ 𝐹𝑅𝐶 
Calculado sobre o saldo devedor (SD): 
𝐽 = 𝑆𝐷 ∙ 𝑖 
Valor da prestação menos os juros: 
𝐴 = 𝑃 − 𝐽 
CONSTANTE DIMINUI COM O TEMPO AUMENTA COM O TEMPO 
SI STEM A D E A MO R TI ZA ÇÃ O CO N STAN TE ( SA C) 
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO 
Fórmula: 
𝑃 = 𝐴 + 𝐽 
Calculado sobre o saldo devedor (SD): 
𝐽 = 𝑆𝐷 ∙ 𝑖 
Fórmula: 
𝐴 = 
𝑉𝑃
𝑛
 
 DIMINUI COM O TEMPO DIMINUI COM O TEMPO CONSTANTE 
SI STEM A D E A MO R TI ZA ÇÃ O MI STO ( SA M) 
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO 
Fórmula: 
𝑃𝑀𝑖𝑠𝑡𝑜 =
𝑃𝑃𝑟𝑖𝑐𝑒 + 𝑃𝑆𝐴𝐶
2
 
Calculado sobre o saldo devedor (SD): 
𝐽 = 𝑆𝐷 ∙ 𝑖 
Valor da prestação menos os juros: 
𝐴 = 𝑃 − 𝐽 
 DIMINUI COM O TEMPO DIMINUI COM O TEMPO 
SI STEM A D E A MO R TI ZA ÇÃ O AM ER I CAN O ( SAA ) 
PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO 
Devedor paga apenas os juros.𝑃 = 𝑉𝑃 ∙ 𝑖 – – 
 
O valo da dívida (saldo devedor) fica constante, podendo ser quitado em uma só parcela (geralmente ao final). 
 
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O BSER V A ÇÕ ES ( Q U STÕ ES TEÓ R I CA S) 
Algumas questões requerem conhecimento teórico das relações entre os sistemas. Abaixo estão as mais cobradas: 
• MESMA situação de financiamento, o valor dos JUROS pagos é DIFERENTE. 
• MESMA situação de financiamento, as PARCELAS, em ordem crescente, no INÍCIO: SAC > SAM > PRICE. 
• MESMA situação de financiamento, as PARCELAS, em ordem crescente, no FIM: PRICE > SAM > SAC. 
• AMORTIZAÇÃO mais RÁPIDA no INÍCIO: SAC 
• AMORTIZAÇÃO mais RÁPIDA no FIM: PRICE 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Valor Presente Líquido (VPL) 
Consiste em trazer para a data zero todos os fluxos de caixa de um projeto de investimento e somá-los ao valor do investimento 
inicial, usando uma determinada taxa de desconto da empresa ou do projeto. 
VPL = VPENTRADAS - VPSAÍDAS 
VPL Negativo 
Despesas maiores que as receitas, ou 
seja, o projeto é inviável. 
VPL Positivo 
Receitas maiores que as despesas, ou 
seja, o projeto é viável. 
VPL Zero 
Receitas e despesas iguais, ou seja, a 
decisão de investir no projeto é neutra. 
 
▪ Se VPL > 0 [aceita-se o projeto]. Com isso, necessariamente TIR > TMA 
▪ Entre dois projetos, escolher sempre o de maior VPL. 
 
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
TIR é a taxa de desconto que torna o VPL = 0, isto é, trazendo os fluxos de entrada e saída a valor presente, a soma das saídas e 
das entradas é nulo. 
▪ ACEITAR se TIR maior que custo de capital, de oportunidade ou TMA 
▪ Entre dois projetos, escolher o de maior TIR 
Obs: TMA: Taxa Mínima de Atratividade representa o mínimo que um investimento deve remunerar para que seja 
considerado viável economicamente. 
 
Payback 
Usado para definir o TEMPO que um investidor leva para recuperar seu capital inicial investido em um projeto, em uma 
aplicação financeira ou em um negócio. 
Payback Simples: para a avaliação de projetos de curto prazo. Como esse cálculo não leva em consideração a desvalorização do 
dinheiro ao longo do tempo, ele funciona bem dentro de horizontes mais próximos 
Payback Descontado: é recomendado para a avaliação de projetos de longo prazo, uma vez que atualiza o valor do dinheiro 
investido ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
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EXTRA – QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA (TEC) 
 
São questões de várias bancas (basta excluir das questões as bancas que não te interessam) e níveis (questões 
simples às complexas). Complemente esse caderno com questões que você já selecionou como favoritas / 
importantes, para revisar nas semanas anteriores à prova. Aliando este resumo com a resolução de questões 
você certamente estará MUITO bem preparado(a)! Link: https://www.tecconcursos.com.br/s/Qb0Km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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