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Matemática Financeira e suas Aplicações • Assaf Neto 
4 · Sendo de 14,8% a taxa over anualizada, determi­
nar a taxa over nominal ao mês. 
Solução: 
Taxa Equivalente ao Dia: 
( 
25
~1, 148) - 1 = 0,0548% 
Taxa Over Nominal ao Mês: 
0,0548% X 30 dias = 1,64% a.m.o 
5. Admita uma aplicação financeira que paga taxa 
de 13,5% a.a.o. O prazo da operação é de 21 dias 
úteis. 
Pedem-se: 
a) Taxa efetiva de retomo no período da opera­
ção (21 dias úteis) 
Solução: 
i = (1, 135)211252 - 1 = 1,061 % p/ 21 .dias 
úteis 
b) Sendo de 33 dias corridos e 21 dias úteis o 
prazo da operação, calcular a taxa efetiva de 
retomo do mês (30 dias). 
Solução: 
i = (1,01061)30133 - 1 = 0,964% a.m. 
6. A taxa básica de juro divulgada como meta pelo 
Banco Central (taxa SELIC), para fevereiro de 
2009, está fixada em 12,75% a.a. Pede-se calcular 
a taxa equivalente por dia útil. 
Solução: 
i(dia útil) = [1,1275) 11252 - 1] = 0,0476% a.du 
7. Admita que um banco esteja prevendo uma taxa 
de juros anual efetiva de 13, 75% (base de 252 
dias úteis) para o mês de setembro, que tem 20 
dias úteis. Dessa forma, seu interesse em aplicar 
recursos em contratos futuros de juros deve ser a 
uma taxa maior que os 13,75% a .a .o. previstos. 
Admitindo que o banco realize um negócio à taxa 
de 14,25% a.a.o., pede-se calcular o PU do con­
trato, ou seja, quanto estaria o banco disposto a 
pagar hoje para receber R$ 100.000,00 no venci­
mento do contrato. 
Solução: 
_ R$ lO0.OOO,OO = R$ 98.948,28. 
PU - _ l, 14252012s2 
Exercícios propostos 
1. 
2. 
3. 
4. 
Uma nota promissória no valor de $ 53 9 
b . ºª ºº é descontada num anco 20 dias antes d • 
vencimento. A taxa de desconto utilizada a: seu 
2,9% a.m., e o IOF 0,0041 o/o a.d. O banco eJtiº&e 
no entanto, que o tomador mantenha l0o/, &e, 
. 1 d é . o do valor nomma o empr stimo em conta co 
d ' d' rrente a título do sal o me 10, sem oferecer nenh 
fi . D . ~ rendimento nanceiro. etermmar: 
a) custo efetivo mensal do empréstimo; 
b) custo efetivo real mensal do empréstimo d a . 
mitindo uma taxa de inflação de 1,2% no 
período. 
Admita--que p;;tra realizar uma operação de des. 
conto de um Â:ítulo de $ 45.000,00 por 60 dias 
4-ma instituição financeira está exigindo que ~ 
tomadàr adquira com o valor líquido liberado 
um título de sua emissão. O banco assume nesta 
operação um compromisso imediato de recom­
pra do título com um deságio (desconto) de 3%. 
Sendo de 2, 7% a .m. a taxa de desconto cobrada 
pelo banco e de 0,123% a.m . o IOF, pede-se de­
terminar o custo efetivo mensal desse emprésti­
mo incorporando a perda pelo deságio sofrido 
na aplicação. 
Uma empresa obtém junto a um banco comer­
cial $ 70.000,00 de empréstimo para ser pago 
em 40 dias. O empréstimo se processa mediante 
o desconto de uma nota promissória. 
Para a liberação da operação, no entanto, a insti­
tuição exige a retenção de 8% do valor nominal 
do empréstimo em conta corrente (reciprocida­
de) pelo prazo da operação. Admita que o IOF 
seja de 0,0041 % a .d. e a taxa de desconto de 
3,4% a.m.: 
a) determinar o custo efetivo mensal e anual 
· o 
do empréstimo, supondo que o banco na 
remunera o saldo mantido em conta corren· 
te; 
d Ue a ins· 
b) recalcular o custo acima supon ° q ·cn 
d. Xlo·· 
tituição bancária aplica o saldo mé 10 e ... ;. 
' taxa nou .. do em um fundo que remunera a 
nal de 1,5% a.m. 
!' nteS as 
Um banco comercial fornece a seus_ c ie de deS· 
seguintes condições em suas operaçoes 
conto: 
• Taxas de desconto : 4,5% a.m. 
• Taxa administrativa: 1 % sobre o valor nomi­
nal do título a ser co­
brado, identicamente 
aos demais encargos, 
no ato da liberação dos 
recursos. 
• JOF: 0,0041 % a.d. 
• . Reciprocidade: retenção de 7% sobre o valor 
nominal do título pelo prazo da operação. o 
saldo não é remunerado. 
Sabendo-se que a empresa necessita de $ 
49.000,00 para pagamento de uma dívida, de­
terminar quanto deve solicitar de empréstimo do 
banco dadas as condições estipuladas. O prazo 
do desconto é de 55 dias. 
s. Uma empresa está levantando um empréstimo 
junto a um banco pelo prazo de 60 dias. A taxa 
efetiva (postecipada) de juros considerada para 
a operação é de 5% a.m. Admita que o banco 
está exigindo como reciprocidade para a realiza­
ção do empréstimo uma das seguintes alternati­
vas: 
CD 
Pede-se: 
manutenção de um saldo médio equivalen­
te a 10% do valor nominal do empréstimo 
durante todo o prazo da operação; 
entrega ao banco, para cobrança, de dupli­
catas no valor igual ao empréstimo e com 
vencimento na mesma data da operação. 
a) determinar o custo efetivo mensal da opera­
ção, considerando-se a manutenção do sal­
do médio durante todo o prazo do emprés­
timo; 
b) apurar o número de dias para repasse da co­
brança para que o empréstimo apresente o 
mesmo custo efetivo calculado acima, Ad-
. ' mita, em sua resposta, que as duplicatas en-
tregues para cobrança tenham vencimento 
na data de realização da operação; 
c) na hipótese de as duplicatas em cobrança 
apresentarem vencimento idêntico ao do 
empréstimo, determinar o número de dias 
para repasse da cobrança visando manter o 
mesmo custo efetivo calculado em (a) . 
6· Uma empresa realiza uma operação de desconto 
junto a um banco com prazo de 50 dias. A taxa 
de desconto simples cobrada é de 5,8% a.m., 
mais IOF de o 0041 % a.d. O banco exige paraª , . 
Matemática Financeira, Reciprocidade Bancária e Taxas Over 97 
realização da operação a entrega de duplicat~s 
para cobrança em montante igual ao valor ~om1-
nal do desconto. O vencimento destas duplicatas 
ocorre na data de vencimento da operação de 
desconto. 
O banco libera para a empresa o crédito relativo 
à cobrança somente quatro dias após o recebi­
mento das duplicatas. Pede-se determinar o cus­
to efetivo mensal da operação. 
(j) Uma taxa over está definida, em determinada 
data, em 2,45% a.m. Para um mês de 22 dias 
úteis, pede-se determinar a taxa efetiva mensal. 
@ Supondo uma taxa efetiva mensal de 3,0%, con­
verter em taxa over, sabendo que no mês estão 
previstos 21 dias úteis. 
9. A formação da taxa de juros de um banco para 
empréstimo compõe-se da t~a over de 2,2% 
a.m., para um período de 20 dias úteis, e um 
spread de 14% a.a. (taxa efetiva). Calcular a taxa 
efetiva mensal que a instituição deve cobrar na 
operação de empréstimo. 
@) Admita que um banco tenha captado recursos no 
mercado, pagando uma taxa over de 1,42% a.m., 
para 22 dias úteis. 
Pede-se calcular: 
~ custo efetivo mensal pago pelo banco ao 
aplicador; 
b) se a institmçao bancária acrescentar um 
spread de 15% a.a. (taxa nominal), qual a 
taxa efetiva mensal que deve repassar esse 
recurso? 
11. O custo efetivo de captação de um banco está 
atualmente fixado em 15,4% a.a. A instituição 
repassa esse dinheiro, acrescentando um spread 
de 12% a.a. (taxa efetiva). 
Admita ainda que o Banco Central está exigindo 
um encaixe de 10% calculado sobre os emprésti­
mos, e exigido no momento de sua liberação. 
Determinar a taxa efetiva mensal que o banco 
deve cobrar em suas operações de empréstimos, 
considerando o custo associado a esse recolhi­
mento compulsório. 
@ Com relação aos diferentes tipos de taxas de ju­
ros: 
a) uma taxa over está definida em 3,3% a.m. 
Para um mês de 21 dias úteis, determinar a 
taxa efetiva mensal; 
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98 Mate mática F º • tnance1ra e suas Aplicações • Ass af Ne to 
b) converter a taxa efetiva de 4 , 7% a.m. em 
taxa over, sabendo que no período existem 
23 dias úteis. 
Uma operação de hot money é contratada por 3 
dias úteis. O banco define o custo do emprésti­
mo de acordo com a taxa de negociação vigente 
e"? cada dia. Sendo de 2,7%, 2 ,9% e 3 ,0% ao 
mes, respectivamente, as taxas de cada um dos 
dias da operação, e de 0,4% o spread cobrado 
pe_lo banco para os três dias da operação, deter­
mmar o custo efetivo final da operaçãono pe­
ríodo. Admite-se que no período existem 21 dias 
úteis. 
@ Admita uma. instituição financeira que está pa­
gando 2,5% ao mês de taxa over na colocação de 
títulos de sua emissão. O período de vencimento 
destes títulos tem 22 dias úteis. O banco, para 
repassar este dinheiro sob a forma de emprésti­
mo, acrescenta um spread de 22% ao ano (taxa 
efetiva). 
Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta 
operação de empréstimo. 
15. A taxa efetiva para empréstimo de uma insti­
tuição bancária é de 1,6% a.m. Desejando ele­
var sua rentabilidade para 2,0% a.m., o banco 
está estudando a retenção dos recursos libera­
dos para empréstimos por alguns dias . Para uma 
operação de 60 dias (o principal acrescido dos 
juros são pagos ao final), quantos dias devem os 
recursos ser retidos? 
16. Um empréstimo de $ 18.000,00 a ser pago em 
90 dias foi contratado à taxa efetiva de 1,8% 
a.m. O banco reteve a liberação dos recursos por 
quatro dias. Calcular o custo efetivo mensal do 
tomador do empréstimo. 
17. Calcular a taxa equivalente composta mensal 
das seguintes taxas de juros: 
a) 1 ,15% para 19 dias; 
b) 2,05% para 42 dias . 
18. a) capitalizar Uuros compostos) 4,13% equi­
valente a 54 dias para um ano; 
b) para uma taxa efetiva de 25,2% a.a. (ou 
1,89% a .m.), pede-se determinar: 
• 
• 
taxa over mensal, admitindo-se 23 dias 
úteis no período; 
taxa de desconto (por fora) mensal para 
uma operação de 53 dias; 
■ sendo de 0 ,95% a taxa de infl • açao mês, apurar a taxa real mensal. no 
"Í"' um empréstimo é concedido por sete dia à \ .l.,,f . s tax over de 2 ,9% a.m. Nesse mtervalo, eXiste . a 
, . A .. ·- fi mc1n co dias ute1s. mstltmçao nanceira cob · 
d ra um spread de 0,06% a. . para realizar essa opera _ 
de empréstimo. Calcular o custo efetivo m c;ao 
- d e~~ da operaçao para o toma or de recursos. 
@ Para uma taxa efetiva de 32,5% a .a., pede-se de. 
terminar: 
a) taxa de desconto "por fora" mensal p 
uma operação de 53 dias ; ara 
b) taxa over mensal admitindo-se 23 dias úteis 
no período. 
Admita que o custo de captação de um banco 
esteja definido pela taxa over de 2,48% a.m. o 
número de dias úteis no mês de referência desta 
taxa é 21. 
Sabe-se que o Banco Central vem exigindo um 
encaixe equivalente a 10% dos recursos libera­
dos para empréstimos, sem oferecer qualquer 
remuneração sobre o depósito. Esse encaixe é 
recolhido no momento da liberação do emprés- . 
timo. 
Pede-se calcular: 
a) custo efetivo mensal de captação do banco; 
b) taxa efetiva mensal da operação de emprés­
timo sabendo que o banco, ao repassar esse 
dinheiro, exige um ganho (spread) de 12% 
a .a . (taxa nominal) com capitalização men· 
sal. 
22. Um banco cobra de uma empresa uma taxa efe· 
tiva de juro de 17,5% a .a. para um empréstimo 
de 4 meses. 
· da A empresa tomadora dos recursos incorre ain 
nos seguintes custos: 
• IOF = 4% incidente sobre o principal da dívi· 
da e recolhido na data do empréstimo; 
• despesa de cobrança de O 5% calculada sobre , aga 
o valor final da operação (montante) e P 
na data de liquidação do empréstimo. 
Pede-se calcular o custo efetivo anual da capta· 
ção. • 
\ 
23. ~., da ettl No dia 04.06, a taxa over estava 11"ª zO 
· tem 0,0691 % a .du. Sabe-se que no mês exis •nal 
dias úteis. Determinar a taxa over-mês noJlll 
e a taxa over-ano efetiva. 
24. Admita uma aplicação de $ 300.000,00 em um 
título por 59 dias corridos nos quais são pre­
vistos 39 dias úteis. O valor do resgate é de 
313.500,00. Pede-se calcular: 
a) taxa efetiva do período da aplicação; 
b) taxa efetiva mensal; 
c) taxa efetiva por dia corrido; 
d) taxa efetiva por dia útil; 
e) taxa over nominal ao mês; 
O taxa over ao ano. 
25. Para uma taxa over nominal ao mês de 2 280f