Circunfer__ncia_e_Elipse

Prévia do material em texto

Júlio César de Jesus Onofre
Pierry Martins Silva
Introdução
Introdução ao estudo das 
circunferências e elipses
Capítulo
5
Caro(a) aluno(a).
O que é uma circunferência?
Provavelmente, você não teria dúvidas para responder como é 
sua forma e até mesmo como desenhá-la no plano, ou ainda, 
como podemos com o compasso, fazer um desenho bem bonito 
de alguma destas, não é mesmo? Mas o que seria ela?
Como toda construção matemática, normalmente, parte de um 
problema lógico para chegar numa generalização maior, isto 
ocorre também com as circunferências. Instintivamente, podemos 
construir circunferências com alguns instrumentos básicos, como, 
por exemplo, uma folha de papel, um lápis e um barbante. Tal 
construção será trabalhada neste capítulo. 
Ao fi nal deste capítulo, você deverá ser capaz de:
• entender as representações geométricas e analíticas e pro-
priedades da circunferência;
• determinar a equação reduzida e geral de uma circunferência 
qualquer;
Objetivos
170 UNIUBE
5.1 Circunferências: representações analíticas e propriedades
5.1.1 Equação geral da circunferência
5.1.2 Posição relativa entre um ponto P e uma circunferência λ
5.1.3 Inequações do 2º grau a duas variáveis 
5.1.4 Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
5.2 Elipses
5.2.1 Definição analítica
5.2.2 Elementos principais
5.2.3 Excentricidade da elipse
5.2.4 Equação reduzida da elipse
5.2.5 A elipse com centro fora da origem
Esquema
• ser capaz de identificar os elementos da circunferência por 
meio de equação e identificar se a mesma representa a curva 
estudada;
• resolver inequações e sistemas de inequações utilizando re-
presentação gráfica;
• entender o conceito geométrico e analítico de elipse;
• determinar a equação reduzida de uma elipse;
• esboçar graficamente uma elipse;
• determinar os principais elementos de uma elipse. 
5.1 Circunferências: representações analíticas e 
propriedades
Para construirmos uma circunferência, marcamos um ponto qualquer 
sobre a folha de papel. Amarramos um barbante ao lápis, cujo 
comprimento do primeiro não deve ser maior que a menor distância 
desse ponto aos quatro lados da folha. Fixando a outra extremidade do 
barbante sobre o ponto e fazendo um movimento giratório com o lápis 
 UNIUBE 171
em torno deste ponto, sempre com o barbante esticado, o objeto assim 
obtido (neste caso desenhado) é o que chamamos de circunferência.
Mas, por que aprender isso? Aprendemos isso, pois os conceitos 
básicos por trás desta construção é que nos leva à generalização da 
representação analítica de uma circunferência, e provavelmente este 
tipo de construção é que aguçou o espírito matemático para tais estudos. 
Sendo assim, precisamos traduzir toda construção de forma matemática. 
Então, vamos lá:
Utilizamos um ponto C fixo e um barbante de comprimento r , também 
fixo. Ao rotacionarmos o lápis (cuja distância da ponta deste ao ponto 
C é r ), determinamos um conjunto de pontos, todos estes tendo 
como distância ao ponto C a medida r . Concluímos assim, que a 
circunferência será o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um 
ponto C fixo é igual a r . Como podemos pensar na folha de papel 
como sendo parte do plano cartesiano, considerando ( )0 0,C x y , para 
que um ponto ( ),P x y qualquer, seja um ponto da circunferência assim 
determinada, basta encontrar a distância de ( ),P x y a ( )0 0,C x y e igualá-
-la a r , ou seja:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 0
2 2
0 0
2
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
CP CPd x x y y e d r
x x y y r
x x y y r
x x y y r
= − + − =
− + − =
 − + − = 
 
− + − =
Nestas condições, temos:
 ( )0 0,C x y é o centro da circunferência;
 r é o raio da circunferência;
172 UNIUBE
( ) ( )2 2 2
0 0x x y y r− + − = é a equação reduzida da circunferência centrada 
no ponto ( )0 0,C x y e de raio igual a r (Figura 1).
 
 Figura 1: Circunferência.
A fim de exemplificar como é obtida tal construção na prática, estudemos 
juntos o exemplo a seguir.
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência centrada na 
origem e de raio igual a 3 . 
Neste caso, temos:
 Centro da circunferência (C)igual a (0,0) ;
Raio da circunferência (r) igual a 3 .
Logo, 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 22 2 2 2
0 0 3 3
3 3
CP CPd x y e d x y
x y x y
= − + − = → + = →
+ = → + =
 UNIUBE 173
Portanto, a equação reduzida da circunferência procurada é 2 2 3x y+ = . 
Embora a construção feita aqui, foi seguindo os passos gerais dados na 
introdução deste tema, poderíamos ter aplicado diretamente a fórmula 
( ) ( )2 2 2
0 0x x y y r− + − = para determinarmos diretamente a equação da 
circunferência procurada.
5.1.1 Equação geral da circunferência
Agora, pensemos. Como foi o caso das retas, onde tínhamos a equação 
geral e a equação reduzida das retas, será que também teremos outros 
tipos de equações de circunferências? 
A resposta para essa pergunta é sim, e o nosso próximo tópico de estudo 
é exatamente este. No caso das circunferências, temos também sua 
representação por meio da equação geral. Vejamos.
Partindo da equação reduzida de uma circunferência centrada ( )0 0,C x y 
e raio r , poderíamos desenvolvê-la, chegando a outra representação da 
mesma, a qual chamamos de equação geral ou normal da circunferência 
centrada ( )0 0,C x y e raio r . Veja:
( ) ( )2 2 2
0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
2 2 0
2 2 0
x x y y r
x x x x y y y y r
x x x x y y y y r
x y x x y y x y r
− + − =
− + + − + =
− + + − + − =
+ − − + + − =
À equação 2 2 2 2 2
0 0 0 02 2 0x y x x y y x y r+ − − + + − = é dado o nome de 
equação normal ou geral da circunferência centrada no ponto ( )0 0,C x y 
de raio igual a r .
Na prática, quando precisamos determinar a equação geral de uma 
circunferência, partindo da equação reduzida da mesma, fazemos exatamente
174 UNIUBE
o processo descrito anteriormente, que é o de desenvolver os 
quadrados dos binômios, visto que a assimilação da fórmula 
2 2 2 2 2
0 0 0 02 2 0x y x x y y x y r+ − − + + − = torna-se mais complexa para o 
aluno do que tal desenvolvimento. 
Vejamos um exemplo:
Determinar a equação reduzida e a equação geral da circunferência 
centrada no ponto ( )1,2C − e que tenha raio igual a 2 . 
Centro da circunferência = ( 1, 2)C − ;
Raio da circunferência = 2r = ;
Logo, a equação reduzida será:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 2 2 1 2 4x y x y− − + − = → + + − =
Desenvolvendo a mesma, temos que: 
( ) ( )2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 4
2 1 4 4 4
2 4 1 4 4 0
2 4 1 0
x y
x x y y
x y x y
x y x y
+ + − =
+ + + − + =
+ + − + + − =
+ + − + =
E, assim, a equação geral da mesma é 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = .
Bom, agora poderíamos nos fazer as seguintes perguntas:
 
Quando uma equação parecida com a equação geral de uma circun-
ferência, mais precisamente, uma do 2º grau a duas variáveis, do tipo 
2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = , representará a equação geral de uma 
circunferência? 
E quando esta representar alguma circunferência como determinamos o 
centro e o raio da mesma?
PARADA OBRIGATÓRIA
 UNIUBE 175
Ao fazermos tais questionamentos, estamos procurando as 
condições sobre os coeficientes , , , ,A B C D E e F , para que a equação 
represente uma circunferência. Tal busca é feita comparando 
uma equação do tipo 2 2 2 2 2
0 0 0 02 2 0x y x x y y x y r+ − − + + − = (que 
sabemos representar uma equação geral de circunferência) com a 
equação 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = . 
Para reconhecermos se uma equação representa uma circunferên-
cia, precisamos checar se ela satisfaz a algumas regras. Primeira-
mente, vamos comparar como foi dito no parágrafo anterior:
2 2 2 2 2
0 0 0 02 2 0x y x x y y x y r+ − − + + − = e 
2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = . 
Vamos dividir os coeficientes da primeira equação por A supondo 
que este não seja nulo:
2 2
2 2
0
0
A B C D E Fx y xy x y
A A A A A A
B C D E Fx y xy x y
A A A A A
+ + + + + =+ + + + + = 
1) Vejamos, a seguir, com base nas comparações realizadas, 
as relações que podemos estabelecer: Podemos deduzir que
0A B= ≠ , o que seria nossa primeira condição.
2) Se observarmos a equação normal de uma circunferência, 
veremos que não existe nenhum termo que dependa 
simultaneamente de x e , logo 0C
A
= .
3) Os coeficientes que dependem de x , devem ser numericamente 
iguais, logo:
0
0
2
2
Dx
A
Dx
A
− =
= −
176 UNIUBE
4) Da mesma forma, o que está em função de y :
0
0
2
2
Ey
A
Ey
A
− =
= −
5) O termo independente segue o mesmo raciocínio:
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
F x y r
A
Fr x y
A
= + −
= + −
Usando o que obtivemos nos dois itens anteriores:
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
4 4
4
4
D E Fr
A A A
D E Fr
A A A
D E AFr
A
   = − + − −   
   
= + −
+ −
=
Notemos que o raio é um número real positivo, logo, 2 2 4 0D E AF+ − > .
Assim, as condições para que a equação represente uma circunfe-
rência são:
a) 2x e 2y devem ter coeficientes iguais;
b) não poderá existir o termo misto xy ;
c) e se 
2 2
2
2
4
4
D E AFr
A
+ −
= for real positivo.
Devemos observar também que a coordenada do centro é dada por 
,
2 2
D EC
A A
 − − 
 
 e o raio 
2 2 4
2.
D E AFr
A
+ −
= , sendo r um número 
real positivo.
 UNIUBE 177
Devemos observar também que a coordenada do centro é dada por 
,
2 2
D EC
A A
 − − 
 
 e o raio 
2 2 4
2.
D E AFr
A
+ −
= , sendo r um número 
real positivo.
As condições para uma equação representar uma circunferência são: 
0A B= ≠ , 0C = e 
2 2 4 0D E AF+ − >
RELEMBRANDO
Agora, vejamos juntos um exemplo da utilização das informações 
anteriores.
Exemplo 1: Dada a equação 2 23 2 5 7 1 0x y xy x y+ + − + + = , verifique 
se ela representa a equação geral de uma circunferência. No caso 
afirmativo, determine o seu centro e o seu raio.
Primeiramente analisemos os coeficientes da mesma:
1; 3; 2; 5; 7; 1A B C D E F= = = = − = =
Certamente você responderia que NÃO à primeira questão, pois:
1A = e 3B = , o que implicaria A B≠ , e isto não pode ocorrer;
2C = , o que implicaria 0C ≠ , e isto também não pode ocorrer;
( )22 2 24 5 7 4.1.1 25 49 4 70 0D E AF+ − = − + − = + − = > , e neste caso 
isto poderia ocorrer, ou seja, nesta parte de nossa análise, não 
teríamos problema algum.
Logo, não se trata de uma circunferência.
Exemplo 2: Considere a equação 2 2 6 8 24 0x y x y+ − + − = . Verifique 
se esta representa a equação geral de uma circunferência. No caso 
afirmativo, determine o seu centro e o seu raio.
178 UNIUBE
Primeiramente analisemos os coeficientes da mesma:
1; 1; 0; 6; 8; 24A B C D E F= = = = − = = −
• Como 1A B= = , temos 0A B= ≠ , portanto esta condição é 
verificada;
• Como 0C = , visto que não apresentou o termo xy na equação dada, 
esta condição também foi verificada;
• ( )22 2 24 6 8 4.1.( 24) 36 64 96 196 0D E AF+ − = − + − − = + + = > , logo 
a equação citada representa uma circunferência.
E, assim, faz sentido falarmos e procurarmos o seu centro e o seu 
raio. Utilizando as fórmulas dos mesmos, temos:
• Centro:
 ,
2 2
D EC
A A
− − 
 
 
( )
( 6) 6 3
2 2.1 2 3, 4
8 8 4
2 2.1 2
D
A C
E
A
− − − = = = → −− − − = = = −

Logo, o centro da circunferência é o ponto ( )3, 4C − .
• Raio: 
2 2 4
2.
D E AFr
A
+ −
=
( ) ( )22 2 24 6 8 4.1. 24 36 64 96 196 14
2. 2.1 2
D E AF
A
 + − = − + − − = + + = =

= =
E, assim, o raio da circunferência será: 14 7
2
r = = .
E, neste caso, se quiséssemos a equação reduzida da mesma, 
bastaria substituirmos os dados aqui obtidos na fórmula geral da 
equação reduzida da circunferência, ou seja, teríamos: 
( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 223 4 7 3 4 49x y x y− + − − = → − + + =
 UNIUBE 179
Veremos, agora, como podemos relacionar em termos posicionais, 
um ponto P qualquer e uma circunferência λ .
5.1.2 Posição relativa entre um ponto P e uma circunferência λ
Pensemos juntos: dados uma circunferência e um ponto, quais serão as 
possíveis posições entre estes? 
Certamente, você responderia que um ponto poderia estar “dentro” da 
circunferência, “fora” da circunferência ou “sobre” a circunferência, não 
é mesmo? 
Mas como ficariam estas conclusões matematicamente? Vejamos cada 
uma dessas três situações:
Dada a equação de uma circunferência, Figura 2, ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = , 
a posição relativa de um ponto P à circunferência λ , será:
1ª. situação: 
 
 Figura 2: Posição do ponto P em relação à circunferência.
Neste caso temos que: PCd r> . Ou seja, se o ponto ( , )P x y for externo 
à circunferência (Figura 3), teremos: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 0x a y b r x a y b r− + − > → − + − − >
180 UNIUBE
2ª. situação: 
 
 Figura 3: Posição do ponto P em relação à circunferência.
Neste caso, temos que: PCd r= . Ou seja, se o ponto ( , )P x y pertencer 
à circunferência (Figura 4), teremos: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 0x a y b r x a y b r− + − = → − + − − =
3ª. situação
 
 
 Figura 4: Posição do ponto P em relação à circunferência.
Neste caso, temos que: PCd r , se e somente se P externo a λ ;
2ª situação: ( ), 0f x y = , se e somente se P pertencer a λ ;
3ª situação: ( ), 0f x y 
Logo, o ponto ( )1,2P − é externo à circunferência.
• Analisando o ponto ( )4,1P :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2(4,1) 4 2 1 1 4 2 0 4 4 0 4 0f = − + − − = + − = + − =
Logo, o ponto ( )4,1P pertence à circunferência.
• Analisando o ponto ( )3,0P :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2(3,0) 3 2 0 1 4 1 1 4 1 1 4 2 4 2 0= − + − − = + − − = + − = − = − 
;
• o conjunto dos pontos pertencentes à circunferência λ é dado por:
( ) ( ){ }, ; , 0x y f x y =
;
• o conjunto dos pontos internos à circunferência λ é dado por:
( ) ( ){ }, ; , 0x y f x y .
 UNIUBE 183
Primeiramente, precisamos verificar se a equação 2 2 4 4 5 0x y x y+ − − + = , obtida 
pela troca da desigualdade dada pela igualdade, será ou não, uma equação 
decircunferência. Caso não seja, não poderíamos resolver tal inequação 
utilizando a teoria das circunferências.
Vamos à verificação:
Vamos utilizar agora um método prático que verifica se uma equação 
representa uma circunferência, transformando-a em equação reduzida, 
método esse que é chamado de completar quadrados, pois usa definições 
de produto notável.
DICAS
Primeiramente, vamos organizar a equação para facilitar o entendimento 
desse método:
2 2 2 24 4 5 0 4 4 5x y x y x x y y+ − − + = → − + − = −
Agora, basta observarmos o que nos falta para obtermos dois trinômios 
quadrados perfeitos, cada um dependendo de um coeficiente:
2 24 4 4 4 5 4 4x x y y− + + − + = − + +
Finalmente, fatoramos a equação:
( ) ( )2 22 2 3x y− + − =
Assim, determinamos uma equação de circunferência na forma reduzida, 
portanto a equação dada trata-se da equação geral da circunferência 
centrada no ponto (2, 2)C e de raio igual a 3 . 
184 UNIUBE
Neste caso, considere ( ) 2 2, 4 4 5f x y x y x y= + − − + . E resolver a 
equação consiste em determinar todos os pontos que satisfaçam 
2 2 4 4 5 0x y x y+ − − + > , ou seja, ( , ) 0f x y > . Logo, o conjunto solução 
procurado é formado pelos pontos externos à circunferência (Figura 5) e 
assim a solução gráfica desta inequação será:
 
 Figura 5: Formação de circunferência.
Observe que os pontos sobre a circunferência não pertencem ao conjunto 
solução da inequação, visto que a mesma envolve apenas o sinal de > 
e não de ≥ .
Em alguns casos, podemos ter um sistema de inequações do 2º grau 
a duas variáveis ou até mesmo sistemas de inequações do 2º grau 
a duas variáveis juntamente com inequações do 1º grau também a 
duas variáveis. A obtenção da solução gráfica deste tipo de sistemas 
é por meio de interseções das soluções de cada uma das inequações, 
abordadas separadamente. Este processo é o mesmo utilizado no caso 
das inequações do 1º grau a duas variáveis.
Vejamos alguns exemplos desses tipos de sistemas.
 UNIUBE 185
Exemplo 1: Represente no plano cartesiano a solução do sistema de 
inequações do 2º grau a duas variáveis:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
1 9 1
1 1 2
x y
x y
 + + ≤

+ − ≥
Considerando respectivamente ( )2 2
1 : 1 9x yλ + + = e ( )22
2 : 1 1x yλ + − =
as circunferências relacionadas à inequação ( )1 e à inequação ( )2 , temos:
Inequação ( )1
Sua solução será o conjunto dos pontos interiores e sobre a circunferência 
1λ centrada no ponto ( )1,0C − e de raio igual a 3 . Portanto, sua 
representação gráfica (Figura 6), será:
 
 
 Figura 6: Circunferência 1λ , referente à inequação 1. 
Inequação ( )2
Sua solução será o conjunto dos pontos exteriores e sobre a 
circunferência 2λ , centrada no ponto ( )0,1C e de raio igual a 1. Portanto, 
sua representação gráfica, Figura 7, será: 
186 UNIUBE
 
 Figura 7: Circunferência 2λ , referente à inequação 2.
E fazendo a interseção dos dois conjuntos-solução, (Figura 8) temos a 
solução gráfica do sistema de inequações dado:
 
 Figura 8: Circunferências 2λ do conjunto-solução do sistema de inequações.
Exemplo 2: Represente no plano cartesiano a solução do sistema de 
inequações:
( ) ( ) ( )
( )
2 21 2 4 1
2 2
x y
x y
 − + − .
Resumidamente: se λ é uma circunferência e s uma reta temos:
1) s é secante a se, e somente se, { },s A Bλ∩ = (isto é, possuem 
dois pontos distintos em comum);
2) s é tangente a λ se, e somente se, { }s Aλ∩ = (isto é, possuem 
um único ponto em comum);
3) s é externa a λ se, e somente se, s λ∩ =∅ (isto é, não possuem 
nenhum ponto em comum).
Faz algum sentido dizerque uma reta r é interna a uma circunferência λ
, por maior que seja a medida do seu raio?
PARADA OBRIGATÓRIA
Agora vejamos, por meio de um exemplo, como aplicamos essa reflexão 
na prática. 
Exemplo: Considere a circunferência 2 2: 4x yλ + = e a reta 
: 2 2 4 0r x y+ − = . Qual será a posição dessa reta em relação à circun-
ferência?
Como foi dito anteriormente, temos que buscar saber, quantos pontos em 
comum a reta e a circunferência possuem. Portanto, a técnica é isolar a 
variável x ou a variável y da equação de reta e substituir tal resultado 
no respectivo lugar desta variável na equação da circunferência. 
192 UNIUBE
Assim:
2 2 4 0
2 0
2
x y
x y
y x
+ − =
+ − =
= −
Substituindo na equação de λ , temos:
( )
2 2
22
2 2
2
4
2 4
4 4 4
2 4 0
x y
x x
x x x
x x
+ =
+ − =
+ − + =
− =
Calculando as soluções desta equação do 2º grau pelo método de 
Báskara, temos que: 16 4.2.0 16∆ = − = . Como 0∆ > , certamente esta 
equação possui duas soluções distintas, a saber, 
4 4 8' 2( 4) 16 4 4 4 4
4 4 02.2 4 " 0
4 4
x
x
x
+
= = =
− − ± ±
= = =
−
= = =
Para , já que 2y x= − , temos 2 2 0y = − = , o que nos dá um dos 
pontos comuns à reta e à circunferência, a saber, o ponto (2,0)A .
E, por outro lado, para 0x = , temos 2 0 2y = − = , o que nos fornece o 
outro ponto comum à reta e à circunferência, a saber, o ponto (0, 2)B .
E como obtivemos dois pontos distintos, comuns à circunferência λ e à 
reta r , pode-se concluir que a reta é secante à circunferência. 
 UNIUBE 193
É importante ressaltarmos, aqui, a propriedade relacionada ao discriminante 
∆ , que obtemos ao substituir uma das variáveis da reta ( x ou y ) na 
equação da circunferência, a fim de estudar a posição relativa da mesma 
em relação à reta dada. 
No exemplo anterior, você percebeu que 0∆ > , e isto nos levou a concluir 
que a reta e a circunferência dadas possuíam dois pontos de interseções, 
sendo a reta secante à circunferência. 
Mas, se 0∆ = , certamente a equação do 2º grau que será obtida, terá 
apenas uma única solução, ou seja, a circunferência e a reta possuirão, em 
comum, um único ponto e, portanto, a reta será tangente à circunferência.
IMPORTANTE!
E, se 0∆ 2c .
3º passo – Com a caneta, devemos traçar a elipse levando em 
consideração que o barbante deve estar sempre esticado, como na 
Figura 17.
Agora, mude o local dos alfinetes e descubra as elipses que podemos 
formar.
Ou seja, pela definição, temos 
21 2PF PFd d a+ = ( a distância do ponto P ao 
foco 1F somada à distância do ponto P ao foco 2F , é igual a 2a .
Vejamos, agora, alguns elementos que aparecem, naturalmente, na 
construção de uma elipse. Chamamos tais elementos de Elementos 
Principais.
5.2.2 Elementos principais
1 2,F F : focos;
1 2
2F Fd c= : distância focal;
1 2A A : eixo maior;
1 2
2A Ad a= : comprimento do eixo maior; 
 1 2B B : eixo menor; 
1 2
2B Bd b= : comprimento do eixo menor;
O : centro da elipse.
Observe que os focos estão sobre o eixo maior, conforme Figura 18.
 UNIUBE 197
 
 Figura 18: Focos sobre eixos.
Mas, agora, podemos nos perguntar o seguinte: será que os 
elementos a , b e c relacionados, respectivamente, ao eixo 
maior, eixo menor e distância, relacionam-se entre si?
Vamos definir, primeiramente, o comprimento de alguns segmentos:
 
partindo da hipótese de que a distância entre os focos é igual a 2c , 
temos:
1 1 1 2
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
2 ( ) pois é um ponto da elipse
2 ( ) já que A A
A F A F
A F A F
d d a I a
d d c II F F F F
+ =
 − = − =
 
Somando as duas equações, temos:
1 2 1 2
1 2
2 2
2 2 2
A F A F
A F
d d a c
d a c
+ = +
= +
( )
1 2
1 2
2 2A F
A F
d a c
d a c
= +
= +
198 UNIUBE
Vamos substituir a soma na equação I
1 1 1 2
1 1
1 1
1 1
2
2
2
A F A F
A F
A F
A F
d d a
d a c a
d a a c
d a c
+ =
+ + =
= − −
= −
Assim, temos que a distância entre 
1 1A Fd a c= − .
Vamos, agora, provar de forma semelhante, que a distância entre 2 2A Fd 
é, também, igual a a c− .
2 2 2 1
2 1 2 2
22 ( ) pois é um ponto da elipse
2 ( ) pois essa diferença é a distância focal
A F A F
A F A F
d d a I A
d d c II
+ =
 − =
 
Somando as duas equações, temos:
( )
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2 2
2 2
A F A F
A F
A F
A F
d d a c
d a c
d a c
d a c
+ = +
= +
= +
= +
 
Substituindo na primeira equação, temos:
2 2 2 1
2 2
2 2
2 2
2
2
2
A F A F
A F
A F
A F
d d a
d a c a
d a a c
d a c
+ =
+ + =
= − −
= −
Assim, provamos que 1 1 2 2A F A Fd d a c= = −
Agora, veja que o comprimento do eixo maior é igual à soma das 
distâncias de 1 1 1 2 2 2A F F F A Fd d d+ + . Assim, temos:
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
2
2 2 2
2
A F F F A F
A F F F A F
A F F F A F
d d d a c c a c
d d d a c c
d d d a
+ + = − + + −
+ + = − +
+ + =
 UNIUBE 199
Logo
1 2 2A A a=
Sendo O o ponto médio do segmento 1 2F F e 1 2e B B as intersecções da 
elipse com a mediatriz de 1 2F F , temos a Figura 19.
 
 Figura 19: Focos sobre eixos.
( )
( )
1 1 1 2
1 1 1 2
2B F B F
B F B F
d d a I
d d II
+ =

=
Resolvendo o sistema anterior, note que 1 2B F a=
( )
( )
1 1 1 2
1 1 1 2
2B F B F
B F B F
d d a I
d d II
+ =

=
 Organizando, temos: 
( )
( )
1 1 1 2
1 1 1 2
2
0
B F B F
B F B F
d d a I
d d II
+ =

− =
Somando as duas equações, temos:
1 1 1 1
1 1
1 2
2
2 2
B F B F
B F
B F
d d a
d a
d a
+ =
=
=
No triângulo 1 2OB F , pelo teorema de Pitágoras, temos:
2 2 2a b c= + . Tal expressão é chamadade relação notável.
200 UNIUBE
5.2.3 Excentricidade da elipse
A excentricidade e de uma elipse é a razão entre a distância focal 2c e 
o comprimento do eixo maior 2a . Então, temos:
2e =
2
c ce
aa
⇒ =
Vale lembrar que, se a distância focal é menor que o comprimento do eixo 
maior da elipse 0 c a (Figura 21).
Assim, temos:
1 2
2PF PFd d a+ =
 
 Figura 21: Elipse.
Você deve se recordar da equação usada para calcular a distância entre 
dois pontos no plano: 
( ) ( )2 2
1 2 1 2ABd x x y y= − + −
Essa equação será objeto de estudo por todo o nosso livro!
RELEMBRANDO
 UNIUBE 203
Sendo ( )1 1,A x y e ( )2 2,B x y , vamos desenvolver a equação:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 2 2 2
2 22 2
2 22 2
2 ,
0 0 2
2
2
PF PFd d a
x c y x c y a
x c y x c y a
x c y a x c y
+ =
− − + − + − + − =
+ + + − + =
+ + = − − +
1 2
2PF PFd d a+ = em que ( ) ( ) ( )1 2, , ,0 e ,0P x y F c F c−
Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
2 2 22 2 2 2
2
4 4
x c y a x c y
x c y a a x c y x c y
+ + = − − +
+ + = − − + + − +
Desenvolvendo os produtos notáveis e simplificando os monômios 
semelhantes, temos:
2x 22xc c+ + 2y+ ( )22 2 24 4a a x c y x= − − + + 22xc c− + 2y+
( )
( )
( )
22 2
22 2
22 2
2 4 4 2
2 2 4 4
4 4 4
xc a a x c y xc
xc xc a a x c y
xc a a x c y
= − − + −
+ = − − +
= − − +
Dividindo ambos os membros por 4, ficamos com:
( )
( )
22 2
22 2
xc a a x c y
xc a a x c y
= − − +
− = − − +
204 UNIUBE
Elevando novamente ao quadrado:
( ) ( )( )
( )( )
( )
22 22 2
22 2 2 4 2 2
2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
xc a a x c y
x c xca a a x c y
x c xca a a x xc c y
x c xca
− = − − +
− + = − +
− + = − + +
− 4 2 2 22a a x xca+ = − 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2
a c a y
x c a a x a c a y
+ +
+ = + +
¨
Organizando e fatorando os polinômios, temos:
( ) ( )
2 2 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2
x c a a x a c a y
x c a x a y a c a
x c a a y a c a
+ = + +
− − = −
− − = −
Da relação fundamental, temos que: 
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
 multiplicando por 1
b c a
b a c
b c a
+ =
= − → −
− = −
Assim, temos:
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
x b a y a b
x b y a a b
x b y a a b
− − = −
− − = − −
+ =
Dividindo todos os monômios por 2 2a b :
2 2x b
2 2a b
2 2y a 2 2a b
2 2a b
2 2
2 2
x y
a b
+ =
 UNIUBE 205
Essa é nossa equação reduzida da elipse, quando o eixo maior está 
sobre o eixo das abscissas.
De forma semelhante, podemos deduzir a equação reduzida da elipse, 
quando o eixo maior e os focos estão sobre o eixo das ordenadas e o 
centro na origem (Figura 22). Todavia, a equação é um pouco diferente: 
2 2
2 2 1x y
b a
+ =
.
 
 Figura 22: Elipse com eixo maior e focos no eixo das ordenadas.
Veja, a seguir, um exemplo de elipse nessas condições e o início da 
dedução. 
Fica como exercício para você, o trabalho de terminá-la.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
22 2 2
2 22 2
2 22 2
2
0 0 2
2
2
PF PFd d a
x y c x y c a
x y c x y c a
x y c a x y c
+ =
− + − − + − + − =
+ + + + − =
+ + = − + −

...
Assim, temos duas equações básicas, mas, como identificar 
qual delas usar?
206 UNIUBE
Basta analisarmos onde se encontra o eixo maior.
Eixo maior sobre o eixo das abscissas, a equação a ser usada é 
2 2
2 2 1x y
a b
+ = .
Eixo maior sobre o eixo das ordenadas, a equação a ser usada é 
2 2
2 2 1x y
b a
+ =
.
Vejamos alguns exemplos e aplicações do que foi mostrado até este 
momento:
Exemplo 1
Qual a equação e o gráfico da elipse com o centro na origem, 1 2F F
contido no eixo x e semieixos de tamanhos 6a = e 4b = ?
A primeira consideração a fazer é: - qual é o eixo maior? É evidente que 
o eixo maior está sobre o eixo das abscissas, pois os focos estão nesse 
eixo. Assim, sabemos que devemos usar a equação 
2 2
2 2 1x y
a b
+ = . Agora, 
vamos substituir os valores conhecidos:
2 2 2 2
2 2 1 1
6 4 36 16
x y x y
+ = ⇒ + =
O gráfico cartesiano é simples de ser esboçado, basta traçarmos os eixos 
da elipse, marcarmos os focos e esboçarmos a curva. Todavia, como 
saberemos as coordenadas dos focos? Por meio da relação fundamental 
2 2 2a b c= + :
Mas, um valor negativo de c não nos convém, pois c é a metade 
do comprimento de um segmento, logo as coordenadas 1F e 2F 
são, respectivamente, ( )2 5,0 e ( )2 5,0− .
2 2 2
2
2
2
6 4
36 16
36 16
20
20
2 5
2 5
c
c
c
c
c
c
c
= +
= +
− =
=
= ±
= ±
=
 UNIUBE 207
Podemos lançar mão do recurso computacional Winplot, que pode ser 
baixado, gratuitamente, por meio da página da Web do endereço: .
Ao executar o programa, clique em ‘Janela – 2dim’. Após abrir uma 
nova janela, clique em ‘Equação’; depois, em ‘Implícita’. Na janela que 
se abriu, você pode digitar a equação 
2 2
1
36 16
x y
+ = , porém, ela deve
ser digitada da seguinte forma ((x^2)/36)+((y^2)/16)=1, pois, assim, o 
programa irá entender o que você quer dizer com a equação.
O resultado será o seguinte gráfi co, (Figura 23).
 
 Figura 23: Gráfi co do Exemplo 1 obtido pelo Winplot.
DICAS
Exemplo 2
Qual é a curva representada pela equação 2 225 16 400x y+ = ? Esboce 
seu gráfi co e diga qual o comprimento dos eixos maior e menor e as 
coordenadas dos focos.
208 UNIUBE
Para identificarmosa corretamente com qual curva estamos trabalhando e 
os outros elementos que o exercício pede, vamos deixar essa equação 
com a “aparência” mais próxima da equação reduzida:
2 225 16 400
25
x y+ =
2
400
x 16
+
2
400
y 400
=
400
2 2
1
16 25
x y
+ =
Assim, temos que o eixo maior pertence ao eixo das ordenadas.
Como sabemos que 2 25a = , então 5a = , e se 2 16b = , 4b = , o 
comprimento dos eixos é dado por 2a e 2b , logo, o comprimento dos 
eixos maior e menor, respectivamente, são: 10 . .u c e 8 . .u c . Observação: 
. .u c significa unidade de comprimento.
Pela relação fundamental, temos 2 2 2a b c= + , assim, podemos descobrir 
a distância entre os focose, em consequência, suas coordenadas:
2 2 2
2
2
2
25 16
25 16
9
3
a b c
c
c
c
c
= +
= +
= −
=
=
Como os focos estão sobre o eixo das ordenadas e suas coordenadas 
cartesianas são ( )1 0,F c− e ( )2 0,F c , temos: ( )1 0, 3F − e ( )2 0,3F
 UNIUBE 209
O gráfico tem a seguinte forma (Figura 24):
 
 
 Figura 24: Gráfico do Exemplo 2.
5.2.5 A elipse com centro fora da origem
Podemos nos deparar com uma elipse cujo centro não coincida com a 
origem do plano cartesiano, mas a forma de encontrar a sua equação 
geral é a mesma. Vamos colocar, aqui, o desenvolvimento da equação 
reduzida da elipse, pois, como educadores, temos que ter a curiosidade 
em saber como encontrar essas equações.
Primeiramente, vamos “deslocar” a elipse da Figura 25, para que seu 
centro seja ( )0 0,C x y .
 
 Figura 25: Elipse com centro fora da origem.
210 UNIUBE
Assim, temos que os focos estão deslocados 0x unidades à direita do 
eixo ox

 e 0y unidades acima, no eixo ox

. Logo: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 22 2
0 0 0 0
2 22 2
0 0 0 0
2
2
2
DPF DPF a
x x c y y x x c y y a
x x c y y a x x c y y
+ =
− − + − + − + + − =      
− − + − = − − + + −      
Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
0 0 0 0
2
2 2 22 2 22
0 0 0 0 0 0
2 2 22 2 22
0 0 0 0 0 0
2
4 4
4 4
x x c y y a x x c y y
x x c y y a a x x c y y x x c y y
x x c y y a a x x c y y x x c y y
   − − + − = − − + + −            
 − − + − = − − + + − + − + + −            
− − + − = − − + + − + − + + −          
( ) ( )2 2
0 0x x c y y− − + −   ( ) ( )2 2
0 0x x c y y− − + − −   ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
0 0
2 2 2 22
0 0 0 0
4 4
4 4
a a x x c y y
x x c x x c a a x x c y y
= − − + + −  
− − − − + = − − + + −          
Agora, vamos desenvolver os produtos notáveis do primeiro membro:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22
0 0 0 0
22 2 22 2 2
0 0 0 0 0 0
2
4 4
2 2 4 4
x x c x x c a a x x c y y
x x x c x c x x x c x c a a x x c y y
x
− − − − + = − − + + −          
 − − + − − − + + + = − − + + −   
( ) ( )2 2
0 02x x c x c x− − + − − ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 22
0 0 0 0
22 2 22
0 0 0 0 0 0
2 4 4
2 2 4 4
x x c x c a a x x c y y
x x c x c x x c x c a a x x c y y
+ + − + = − − + + −  
− − + − + + − + = − − + + −  
0
 Somando e cancelando, teremos:
2xx
→
− ( )2
0 02 2xc x c xx+ + − + ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
0 0 0
22 2 22
0 0 0 0
2 4 4
4 4 4
xc x c a a x x c y y
xc x c x c a a x x c y y
+ − + = − − + + −  
+ − − + = − − + + −  
0
 Efetuando as multiplicações da expressão à esquerda, temos:
2xx
→
− ( )2
0 02 2xc x c xx+ + − + ( ) ( ) ( )22 22
0 0 02 4 4xc x c a a x x c y y+ − + = − − + + −  
 UNIUBE 211
Agora, vamos desenvolver os produtos notáveis do primeiro membro 
novamente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2 22
0 0 0 0
2 22 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
0
4 4 4
4 2 2 4 4
4
xc x c x c a a x x c y y
xc x x c c x x c c a a x x c y y
xc x
+ − − + = − − + + −  
 + − + − + + = − − + + −   
+ 2
02x c c− + 2
0x− 2
02x c c− − ( ) ( )2 22
0 04 4a a x x c y y= − − + + −  
Agrupando os monômios semelhantes:
( ) ( )2 22
0 0 04 4 4 4
4
xc x c a a x x c y y− = − − + + −  
( )0 4xc x c− = ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22
0 0
2 22
0 0 0
2 22
0 0 0
2 22
0 0 0
a a x x c y y
xc x c a a x x c y y
xc x c a a x x c y y
c x x a a x x c y y
 − − + + −    
− = − − + + −  
− − = − − + + −  
− − = − − + + −  
Elevando os dois membros ao quadrado:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ){ }
2
2 2 22
0 0 0
22 22 2 4 2
0 0 0 02
c x x a a x x c y y
c x x c x x a a a x x c y y
  − − = − − + + −      
− − − + = ⋅ − + + −  
Desenvolvendo as multiplicações:
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( )
22 22 2 2 4 2
0 0 0 0
2 2 22 2 2 4 2 2
0 0 0 0 0
2 22 2 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
22 2
0
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
c x x cxa cx a a a x x c y y
c x x cxa cx a a a x x x c x c y y
c x x cxa cx a a a x xx xc x x c c y y
c x x cxa
− − + + = ⋅ − + + −  
 − − + + = ⋅ − + + + + − 
− − + + = ⋅ − − + + + + −
− − 2
02cx a+ 4 2 2 2 2
02 2a a x xx a xca+ = − − 2 2 2
0 02x a cx a+ + ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
0
2 22 4 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 22 4 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
2
c a y y a
c x x a a x xx a x a c a y y a
c x x a a x xx x c a y y a
+ + −
− + = − + + + −
− + = − + + + −
212 UNIUBE
Observe que a última linha do desenvolvimento anterior tem uma parte 
do polinômio destacada que representa um produto notável (trinômio 
quadrado perfeito) que deve ser fatorado:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 22 4 2 2 2 2
0 0 0
2 2 22 2 4 2 2 2
0 0 0
c x x a a x x c a y y a
c x x a x x a c a y y a
− + = − + + −
− − − + = + + −
Fatorando por agrupamento, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 4 2 2 2
0 0
2 22 2 2 2 2 4
0 0
2 22 2 2 2 2 2
0 0
x x c a a c a y y a
x x c a y y a c a a
x x c a y y a a c a
− − + = + + −
− − − − = −
− − − − = −
Como sabemos que da relação notável 
2 2 2c a b− = − :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22 2 2 2
0 0
2 22 2 2 2
0 0
2 22 2 2 2
0 0
2
1
b x x y y a b a
b x x y y a b a
b x x y y a b a
b
− − − − = −
− − − − = − −
− + − =
( )2
0
2 2
x x
a b
− ( )2 2
0y y a−
+
2a
2 2
2
a b
b
=
2 2a b
( ) ( )2 2
0 0
2 2 1
x x y y
a b
− −
+ =
Essa é a equação reduzida da elipse levando em consideração que o 
eixo maior seja paralelo ao eixo das abscissas.
De forma análoga à construção anterior, temos que a equação para a 
elipse, quando o eixo maior é paralelo ao eixo das ordenadas, será:
 
( ) ( )2 2
0 0
2 2 1
x x y y
b a
− −
+ = , em que temos seus focos como: 
( )1 0 0,F x y c− e ( )2 0 0,F x y c+ .
 UNIUBE 213
Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 1 
Dada a equação: 2 24 24 9 36 36 0x x y y− + + + = , informe
a) de que curva se trata;
b) o comprimento dos eixos;
c) as coordenadas dos focos e do centro;
d) a excentricidade;
e) o desenho do gráfico.
Resolução:
a) Como, nesse momento, estamos estudando a elipse com o centro 
deslocado da origem do plano, podemos perceber que esta curva 
depende de trinômios quadrados perfeitos. Observe você mesmo 
na equação reduzida:
( ) ( )
trinômio quadrado perfeito trinômio quadrado perfeito
2 2
0 0
2 2 1
x x y y
a b
− −
+ =
 
 ou 
( ) ( )
trinômio quadrado perfeito trinômio quadrado perfeito
2 2
0 0
2 2 1
x x y y
b a
− −
+ =
 
Assim, vamos completar quadrados na equação que foi dada:
2 24 24 9 36 36 0x x y y− + + + =

  A parte destacada já representa um 
trinômio quadrado perfeito. Agora, veja:
24 24x x−  O termo precisa, ainda, de algo para ser um trinômio 
quadrado perfeito, mas que número é esse?
214 UNIUBE
Seria o número 36? Somando 36 ao termo 24 24x x− , teremos um 
trinômio quadrado perfeito veja:
 
Vamos adicionar 36 aos dois membros para não desequilibrarmos a 
equação:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 24 36 9 36 36 0 36
4 24 36 9 36 36 36
 colocando fator comum em evidência
4 6 9 9 4 4 36
 fatorando os trinômios quadrados perfeitos
4 3 9 2 36
x x y y
x x y y
x x y y
x y
− + + + + = +
− + + + + =
→
− + + + + =
→
− + + =
 
 
 dividindo os dois membros por 36
4
→
( )23
36
x − 9
+
( )22
36
y + 36
=
36
( ) ( )2 23 2
1
9 4
x y− +
+ =
Assim, temos a equação reduzida de uma elipse, na qual o eixo maior é 
paralelo ao eixo das abscissas.
 UNIUBE 215
Agora, vamos responder qual o comprimento dos eixos:
b) sabemos que o eixo maior mede 2a e o eixo menor mede 2b e, pela 
equação geral, temos que:
2 9
9
3
a
a
a
=
=
=
 e 
2 4
4
2
b
b
b
=
=
=
 
Logo, as medidasdos eixos, maior e menor são, respectivamente:
6 . .e 4 . .u c u c . 
Observação: como se trata de medidas, devemos colocar a unidade de 
referência. 
Como o exercício não faz referência a qual devemos usar, usaremos uc ,
que é uma unidade de comprimento.
c) As coordenadas dos focos e do centro: 
 pela equação reduzida, podemos tirar a coordenada do centro:
( ) ( )2 23 2
1
9 4
x y− +
+ = e ( )0 0,c x y
Logo ( )3, 2O −
Para encontrarmos os focos, vamos calcular a distância entre eles, que 
é 2c .
Pela relação fundamental, temos que 2 2 2a b c= +
Logo: 2
2
2
9 4
9 4
5
5
c
c
c
c
= +
= −
=
=
 
216 UNIUBE
Como as coordenadas dos focos são: ( )1 0 0,F x c y− e ( )2 0 0,F x c y+ , 
teremos:
( )1 3 5, 2F − − e ( )2 3 5, 2F + −
d) a excentricidade da elipse é dada pela razão ce
a
= ; então, 5
3
e =
e) Como temos a coordenada do centro e o comprimento dos eixos, 
podemos esboçar o gráfico ou até mesmo usar o software Winplot 
para nos auxiliar. Na equação implícita do software, devemos escrever 
da seguinte forma:
 
((x-3)^2)/9+((y+2)^2)/4=1 e receberemos como resposta o gráfico da 
Figura 26: 
 
 Figura 26: Elipse.
Mas, onde é que encontramos elipses em nosso mundo?
Na verdade, estamos tão ligados a elipses que, simplesmente, viajamos 
sobre uma delas todos os dias sem nos preocuparmos com isso. O que 
queremos dizer é que as órbitas no sistema solar descrevem uma elipse 
na qual o Sol é um dos focos. 
 UNIUBE 217
Tudo começou quando, no século 16, o astrônomo polonês Nicolaus 
Copernicus trocou a visão tradicional do movimento planetário centra-
do na Terra por um em que o Sol está no centro e os planetas giram 
em torno deste em órbitas circulares. Embora o modelo de Copérnico 
estivesse muito próximo de predizer o movimento planetário correta-
mente, existiam discrepâncias. Isto ficou particularmente evidente para 
o planeta Marte, cuja órbita havia sido medida com grande precisão pelo 
astrônomo dinamarquês Tycho Brahe. O primeiro a observar que esses 
cálculos que Brahe fizera se encaixavam perfeitamente na descrição de 
uma elipse foi o jovem astrônomo alemão Johann Kepler (1571-1630). 
Kepler descreveu o movimento planetário por três leis. Para maiores 
informações pesquise sobre a vida de Kepler e observe como seus 
estudos foram de grande avanço para a Matemática e a Física, mesmo 
sua família escolhendo para o jovem de saúde frágil, a profissão de 
pastor protestante. 
Resumo
Neste capítulo, abordamos a circunferência e a elipse, analisamos 
as suas respectivas equações e os gráficos. As equações obtidas de 
cada uma são de suma importância para seu aprendizado. Portanto, 
tenha-o sempre ao seu lado, pois nesse livro você as utilizará com 
frequência. Caso tenha surgido alguma dúvida, releia o texto ou busque 
livros de ensino médio para lhe auxiliar. No próximo capítulo, daremos 
continuidade às cônicas. Ate lá! Bom estudo!
Atividades
Atividade 1 
Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r , 
nas situações a seguir:
a) ( )0,0 1C e r = ;
218 UNIUBE
b) ( )1,2 2C e r = ;
c) ( )1,0 3C e r− = ;
d) ( )1,2 5C e r− = .
Atividade 2
Determine a equação reduzida da circunferência que passa pela origem 
cujo centro é o ponto ( )1,0 .C
Atividade 3 
Dadas a seguir, as equações gerais de circunferências, determine o 
centro e raio das mesmas:
a) 2 2 4 4 1 0x y x y+ − + − =
b) 2 22 2 8 8 34 0x y x y+ + + − =
Atividade 4 
Determine os valores de α e de β , para que a equação abaixo seja a 
equação de uma circunferência e determine sua equação reduzida:
2 2 10 8 0x y x yα β+ + − + =
Atividade 5 
Dada a circunferência λ a seguir, e os pontos ( ) ( ) ( )0,0 , 1, 5 10, 2A B e C− − , verifi-
que a posição relativa dos mesmos em relação à circunferência:
a) ( ) ( )2 2: 7 2 16x yλ − + + =
b) 2 2: 4 8 16 0x y x yλ + + − − =
Atividade 6 
Determine os valores de α , para que os pontos de coordenadas ( )4,α 
sejam exteriores à circunferência de equação 2 2 4 6 8 0x y x y+ − − + = .
 UNIUBE 219
Atividade 7 
Resolva, graficamente, as seguintes inequações:
a) ( ) ( )2 22 3 9x y+ + +