Deformação na Flexão - Lei de Hooke

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO OESTE
DEPARTAMENTO DE ENG. DE ALIMENTOS E ENG. QUÍMICA
MECÂNICA DOS SÓLIDOS B – 5MSDB
Deformação na Flexão
Prof. Neudi José Bordignon
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
❑ Lei de Hooke
❑ Material Frágil: apresenta pouca deformação antes da ruptura.
Exemplo: Ferro fundido, concreto.
A
F
=
L
L
=
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
❑ Lei de Hooke
❑ Material Dúctil: sofre grande alongamento antes de romper-se.
Exemplo: Aço.
A
F
=
L
L
=
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
❑ Lei de Hooke
❑  Módulo de elasticidade (módulo de Young)


=E
E
1 Lei de Hooke – Deformação na Flexão
❑ Lei de Hooke


=E
1 Deformação na Flexão
❑ Deformações nas vigas
❑ As cargas transversais que atuam nas vigas causam
deformações, curvando seu eixo longitudinal.
❑ A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente
reto, recebe o nome de linha elástica.
1 Deformação na Flexão
dx
dy
dx
dv
tg ==
1 Deformação na Flexão
Derivando-se o ângulo  em relação a x:
dx
dy
dx
dv
tg ==
2
2
2
2
dx
yd
dx
vd
dx
d
==

1 Deformação na Flexão
❑ Da geometria analítica, a expressão da curvatura para um ponto
de ordenadas x e y vale:
❑ Como: é pequeno 
❑ Logo:
( )  2
3
22
3
2
2
2
2
3
2
2
2
´1
´´
11
1
v
v
dx
dv
dx
vd
dx
dy
dx
yd
+
=














+
=














+
=

dx
dv
dx
dy
= 0
2






dx
dy
2
2
2
21
dx
yd
dx
vd
==

1 Deformação na Flexão
❑ Da geometria, define-se curvatura como:
❑ Da teoria da flexão sabe-se que:

EI
M
−=

1
2
2
2
21
dx
yd
dx
vd
dx
d
===


EI
M
dx
yd
dx
vd
−==
2
2
2
2
M
dx
vd
EI −=
2
2
1 Deformação na Flexão
❑ x e v são as coordenadas da linha elástica;
❑ E é o módulo de elasticidade do material;
❑ I é o momento de inércia da seção transversal da viga.
❑ A equação acima foi deduzida a partir das seguintes hipóteses:
1) Validade da Lei de Hooke (material no regime elástico linear);
2) As seções planas permanecem planas após a deformação;
3) Deslocamentos pequenos:
4) Barra prismática (barra de eixo reto e seção transversal constante).
5) Despreza-se a deformação por cisalhamento que é pequena comparada à da
flexão.
M
dx
vd
EI −=
2
2
 tg
1 Deformação na Flexão
Resumindo:
 equação simplificada da elástica
❑ A primeira integração da equação simplificada da linha elástica
representa o declive da elástica (ângulo) .
❑ A segunda integração da equação simplificada da linha elástica
representa a flecha y.
EI
M
dx
yd
−=
2
2
1 Deformação na Flexão
❑ Equação da declividade da elástica = rotação da elástica.
 +−=== 12
2
cdx
EI
M
dx
yd
dx
dy

1 Deformação na Flexão
❑ Equação do afundamento da elástica (flecha) = deslocamento
linear.
 +== 2cdx
dx
dy
y 
1 Deformação na Flexão
❑ C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer nos limites dos trechos de variação da
expressão .
❑ Condições de contorno:
1) nos apoios articulados fixos ou móveis, não haverá afundamentos
(y=0)   máximos (viga bi-apoiada);
EI
M
1 Deformação na Flexão
❑ C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
❑ Condições de contorno:
2) Nos engastes não há afundamento nem rotação;
EI
M
1 Deformação na Flexão
❑ C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
❑ Condições de contorno:
3) Por outro lado, nos engastes, em pontos de balanço, teremos os
máximos afundamentos e as máximas rotações;
EI
M
1 Deformação na Flexão
❑ C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
❑ Condições de contorno:
4) Em viga apoiada simétrica o afundamento máximo (flecha
máxima), dar-se-á no meio do vão, onde ocorrerá giro nulo;
EI
M
1 Deformação na Flexão
❑ C1 e C2 são constantes de integração determinadas pelas condições do
problema, quer nos apoios, quer no limites dos trechos de variação da
expressão .
❑ Condições de contorno:
5) Nos nós rígidos, teremos iguais giros e afundamentos nulos.
EI
M
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
EI
M
dx
yd
−=
2
2
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
❑ Eq. dif. da Elástica: 22
2
2
2 qx
x
ql
dx
yd
EI +−=
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
❑ Eq. da Curvatura: 2446
3
2
3 ql
x
qlqx
EI +−=
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação diferencial da elástica, o giro e a flecha no
ponto C.
❑ Eq. da flecha:
x
ql
x
qlqx
EIy +−=
241224
3
3
4
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação da elástica, o giro e a flecha no ponto C.
❑ Giro em C:  323 64
24
lxlx
EI
q
C +−=
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
1) Determinar a Equação da elástica, o giro e a flecha no ponto C.
❑ Flecha em C:  xlxlx
EI
q
yC +−= 334 2
24
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
2) Determinar a flecha máxima e os giros nos pontos A e B.
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
2) Determinar a flecha máxima e os giros nos pontos A e B.
EI
ql
lyymáx


==
384
5
)2/(
4
EI
ql
A
24
3
+=
EI
ql
B
24
3
−=
1 Deformação na Flexão
❑ Exercícios:
3) Uma viga acha-se engastada por uma das extremidades em um
pilar de grande rigidez, enquanto que a outra extremidade está
simplesmente apoiada. A viga tem comprimento l e sua carga é q
kgf por unidade de comprimento. A deflexão y à distância x da
extremidade engastada satisfaz a equação:
onde E é o módulo de elasticidade do material (depende do tipo de
material de que é constituida a viga), e I é o momento de inércia
(depende da forma da seção transversal).
A que distância da extremidade engastada ocorre a deflexão
máxima?
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