Aula 04 - RESMAT

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ</p><p>Resistência dos Materiais</p><p>EME405</p><p>Flexão Pura</p><p>Prof. Felipe Eloy</p><p>felipeeloy@unifei.edu.br</p><p>Sala no Instituto de Eng. Mecânica</p><p>mailto:felipeeloy7@yahoo.com.br</p><p>Introdução</p><p>Uma barra submetida</p><p>à ação de dois</p><p>conjugados iguais e de</p><p>sentidos contrários,</p><p>que atuam em um</p><p>mesmo plano</p><p>longitudinal está</p><p>sujeita à Flexão Pura</p><p>Análise preliminar das tensões na flexão pura</p><p>Forças internas em uma seção qualquer são</p><p>equivalentes a um conjugado M.</p><p>O momento desse conjugado é chamado de</p><p>momento fletor da seção.</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>MdAyM</p><p>dAzM</p><p>dAF</p><p>xz</p><p>xy</p><p>xx</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>Convenção</p><p>de sinais</p><p>Deformações em barras simétricas na flexão pura</p><p>• O elemento permanece simétrico em</p><p>relação ao plano e se deforma</p><p>uniformemente para formar um arco</p><p>circular</p><p>• Qualquer seção plana perpendicular</p><p>ao eixo da barra permanece plana</p><p>na flexão</p><p>Deformações em barras simétricas na flexão pura</p><p>• Uma superfície/linha neutra deve existir paralela às faces superior</p><p>e inferior da barra para o qual o comprimento não varia.</p><p>• Tensões e deformações são negativas (compressão) acima da</p><p>linha neutra e positivas (tração) abaixo da linha neutra, para o caso</p><p>abaixo.</p><p>Deformações em barras simétricas na flexão pura</p><p>Considerando uma viga de comprimento L, após a</p><p>deformação, o comprimento da linha neutra se</p><p>mantêm o mesmo. Para uma outra seção qualquer:</p><p>onde:</p><p> é o raio de curvatura</p><p>L é o comprimento da barra</p><p>y é a distância da linha neutra</p><p> é o ângulo central correspondente a DE</p><p> </p><p> </p><p>mx</p><p>m</p><p>m</p><p>x</p><p>c</p><p>y</p><p>c</p><p>ρ</p><p>c</p><p>yy</p><p>L</p><p>yyLL</p><p>yL</p><p>L</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>máxima) (defor. ou</p><p>e)linearment varia(defor.</p><p>Linha</p><p>Neutra</p><p>Tensões e Deformações no Regime Elástico</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>dAy</p><p>c</p><p>dA</p><p>c</p><p>y</p><p>dAF</p><p>m</p><p>mxx</p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>O momento estático de área com relação</p><p>ao plano neutro deve ser nulo, o que</p><p>significa que em barras submetidas à</p><p>flexão pura no regime elástico, a linha</p><p>neutra passa pelo centro geométrico</p><p>da seção.</p><p>   </p><p>I</p><p>My</p><p>c</p><p>y</p><p>I</p><p>Mc</p><p>c</p><p>I</p><p>dAy</p><p>c</p><p>M</p><p>dA</p><p>c</p><p>y</p><p>ydAyM</p><p>x</p><p>mx</p><p>m</p><p>mm</p><p>mx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>doSubstituin</p><p>2</p><p>y) com elinearment varia(tensãomx</p><p>mxx</p><p>c</p><p>y</p><p>E</p><p>c</p><p>y</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para um material no regime elástico:</p><p>Para o equilíbrio estático:</p><p>Momento em torno de z:</p><p>m = tensão máxima</p><p>Tensões e Deformações no Regime Elástico</p><p>A deformação de uma barra submetida à flexão é</p><p>medida pela curvatura da linha neutra. A</p><p>curvatura é definida como o inverso do raio de</p><p>curvatura  e pode ser calculada por:</p><p>O produto E.I é chamado de “módulo de rigidez</p><p>à flexão da barra”</p><p>EI</p><p>M</p><p>I</p><p>Mc</p><p>EcEcc</p><p>mm</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>11</p><p>Ahbh</p><p>h</p><p>bh</p><p>c</p><p>I</p><p>S</p><p>6</p><p>12</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p>A tensão máxima é inversamente</p><p>proporcional ao módulo</p><p>resistente.</p><p>Para duas vigas com mesma área</p><p>de seção transversal, a viga com</p><p>maior altura terá um módulo</p><p>resistente maior, sendo então mais</p><p>apropriada para trabalhar em flexão.</p><p>resistente módulo</p><p>seção da inércia de momento</p><p></p><p></p><p></p><p>c</p><p>I</p><p>S</p><p>I</p><p>S</p><p>M</p><p>I</p><p>Mc</p><p>m</p><p>Tensões e Deformações no Regime Elástico</p><p>Para aço estrutural, vigas do tipo I e H são preferidas para trabalhar</p><p>em flexão pois grande parte da seção transversal está localizada o</p><p>mais longe possível da linha neutra. Isso proporciona maiores valores</p><p>de I e consequentemente de S (módulo resistente).</p><p>resistente módulo</p><p>seção da inércia de momento</p><p></p><p></p><p></p><p>c</p><p>I</p><p>S</p><p>I</p><p>S</p><p>M</p><p>I</p><p>Mc</p><p>m</p><p>Tensões e Deformações no Regime Elástico</p><p>Exemplo 4.1</p><p>Uma barra de aço tem seção retangular de 20 x 60mm e está sob</p><p>a ação de dois conjugados iguais e de sentidos contrários que</p><p>agem em um plano vertical de simetria da barra. Determinar o</p><p>valor do momento M que provoca escoamento no material da</p><p>barra. Adotar tensão de escoamento à tração igual a 250 MPa</p><p>12</p><p>3bh</p><p>I </p><p>z</p><p>x</p><p>I</p><p>My</p><p></p><p>Exemplo 4.2</p><p>EME 438 PG:12</p><p>Uma barra de Alumínio, figura a), com E = 70 GPa, tem seção</p><p>transversal em forma de semi-círculo, figura b). A barra é</p><p>flexionada até atingir um arco de raio de curvatura igual a 2,5 m.</p><p>Sabendo-se que a face curva da barra fica voltada para o centro</p><p>do arco, determinar a máxima tensão de tração e de compressão</p><p>na barra.</p><p></p><p></p><p>c</p><p>m </p><p>mm E  mx</p><p>c</p><p>y</p><p> </p><p>Exemplo 4.3</p><p>Um tubo retangular de alumínio tem tensão de escoamento igual a 150</p><p>MPa, tensão última de 300 MPa e módulo igual a 70 GPa. Determinar:</p><p>a) o momento fletor M para um fator de segurança igual a 3 e b) o raio</p><p>de curvatura correspondente.</p><p>12</p><p>3bh</p><p>I </p><p>I</p><p>Mc</p><p>m </p><p>EI</p><p>M</p><p></p><p></p><p>1</p><p>Exemplo 4.4</p><p>Uma peça de ferro fundido fica submetida à ação de um</p><p>conjugado M de 3kN.m. Sabendo que E=165 GPa e desprezando</p><p>o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: a) tensão</p><p>máxima de tração e compressão no perfil; e b) raio de curvatura</p><p>da peça fletida.</p><p>I</p><p>My</p><p>x </p><p>EI</p><p>M</p><p></p><p></p><p>1 </p><p></p><p></p><p> 2dAII</p><p>A</p><p>Ay</p><p>Y LN</p><p>Análise e Projeto de Vigas</p><p>Vigas são elementos estruturais projetados para</p><p>suportar cargas transversais ao longo de seu</p><p>comprimento.</p><p>As cargas transversais podem ser classificadas</p><p>como cargas concentradas ou cargas distribuídas.</p><p>As cargas aplicadas resultam em forças internas</p><p>que consistem de forças de cisalhamento e flexão.</p><p>A tensão normal é com frequência o parâmetro</p><p>crítico de projeto.</p><p>O projeto então vai depender da localização do</p><p>ponto onde se concentra o maior momento fletor.</p><p>S</p><p>M</p><p>I</p><p>cM</p><p>I</p><p>My</p><p>mx  </p><p>Exemplo 4.5</p><p>Desenhar os diagramas de cisalhamento e momento fletor e</p><p>determinar a tensão normal devida à flexão.</p><p>Solução: desenhar o diagrama de corpo livre e calcular as forças de reação.</p><p>Aplicar as equações de equilíbrio e determinar os esforços internos</p><p>(cisalhamento e flexão). Identificar os valores máximos. Determinar a tensão</p><p>máxima normal devido a flexão.</p><p>S</p><p>M</p><p>hbS</p><p>B</p><p>m  2</p><p>6</p><p>1</p><p>Exercício proposto</p><p>Desenhar os diagramas de cisalhamento e momento fletor e</p><p>determinar a tensão normal devida à flexão a esquerda e a</p><p>direita do ponto D. Considerar uma viga com S = 800 mm³.</p><p>Solução: desenhar o diagrama de corpo livre, substituindo a carga de 10 kN</p><p>por uma força e momento equivalente. Calcular as forças de reação. Aplicar</p><p>as equações de equilíbrio e determinar os esforços internos (cisalhamento e</p><p>flexão). Identificar os valores máximos. Determinar a tensão máxima normal</p><p>devido a flexão nas proximidades do ponto D.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>B</p><p>y</p><p>M</p><p>F</p><p>S</p><p>M B</p><p>m </p>