Notas de Aulas_Resmat I_Civil

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<p>NOTAS DE AULAS</p><p>Resistência dos Materiais I - Engenharia Civil</p><p>Tração e Compressão de Barras</p><p>Barra: elemento estrutural delgado sujeito à ação de forças normais à superfície da seção transversal.</p><p>Força Normal (N): força que age perpendicularmente à superfície da seção transversal de uma barra, gerando o efeito</p><p>de tração ou de compressão da barra.</p><p>Força normal de tração: N > 0</p><p>Força normal de compressão: N < 0</p><p>𝐹𝐴𝐵 = 𝐹′𝐴𝐵 < 0</p><p>𝐹𝐵𝐶 = 𝐹′𝐵𝐶 > 0</p><p>1</p><p>Treliças: estrutura formada pela união de barras e nós.</p><p>Nós: união de duas ou mais barras por um pino sem atrito (idealizado).</p><p>Nós: A, B, C, D, E, F, G, H, I e J</p><p>Nó idealizado: pino</p><p>sem atrito</p><p>Nó formado por placa</p><p>de ligação soldada</p><p>2</p><p>Formato construtivo de nós ideais</p><p>O grau de liberdade de giro entre as barras é preservado</p><p>3</p><p>Determinação das Forças nas Barras – Método dos Nós</p><p>Consiste em considerar um diagrama de corpo livre em cada nó.</p><p>Regras gerais:</p><p>• Começar com o nó que tenha uma força externa ou de reação;</p><p>• Escolher o nó que tenha no máximo duas barras cuja as forças sejam desconhecidas.</p><p>Exemplo 1. Determinar as forças nas barras</p><p>4</p><p>Nó B𝐹𝐴𝐵</p><p>′</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>′</p><p>30 𝑘𝑁</p><p>𝜃 𝑥</p><p>𝑦</p><p>Sempre colocar as forças das barras saindo do nó</p><p>Equações de equilíbrio no plano</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐴𝐵</p><p>′ − 𝐹𝐵𝐶</p><p>′ . cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵</p><p>′ = −𝐹𝐵𝐶</p><p>′ . cos 𝜃</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −30 𝑘𝑁 + 𝐹𝐵𝐶</p><p>′ . sin 𝜃 = 0 ⇒ 𝐹𝐵𝐶</p><p>′ =</p><p>30 𝑘𝑁</p><p>sin 𝜃</p><p>⇒ 𝐹𝐵𝐶</p><p>′ = 50 𝑘𝑁 tração</p><p>𝜃</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>′ cos 𝜃</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>′ sin 𝜃</p><p>tan 𝜃 =</p><p>600</p><p>800</p><p>= 0,75</p><p>𝜃 = 36,87°</p><p>𝜃</p><p>𝐹𝐴𝐵</p><p>′ = −50 𝑘𝑁. cos 𝜃 ⇒ 𝐹𝐴𝐵</p><p>′ = −40 𝑘𝑁 (compressão)</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>′</p><p>5</p><p>Nó B𝐹𝐴𝐵</p><p>′</p><p>30 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>′</p><p>Forças de reação entre o nó e as barras</p><p>Exemplo 2. Determinar a força normal atuando em cada barra da treliça dada.</p><p>Solução:</p><p>• Reação nos apoios A e D</p><p>𝑅𝑉\𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐴</p><p>6</p><p>𝑅𝑉/𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐴</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\𝐴 − 𝑅𝐻\𝐷 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\𝐴 = 𝑅𝐻\𝐷</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\D − 20 𝑘𝑁 − 40 𝑘𝑁 − 40 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\𝐷 = 100 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 2,5 𝑚. 𝑅𝐻\D − 3 𝑚. 40 𝑘𝑁 − 6 𝑚. 40 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\D = 144 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝐻\𝐴 = 144 𝑘𝑁</p><p>Nó C 𝑥</p><p>𝑦</p><p>40 𝑘𝑁</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>𝜃𝐹2</p><p>𝐹1</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹2 − 𝐹1 cos 𝜃 = 0</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −40 + 𝐹1 sin 𝜃 = 0 ⇒ 𝐹1 = 104 𝑘𝑁</p><p>𝐹2 = −104 cos 𝜃 = −96 𝑘𝑁</p><p>tan 𝜃 =</p><p>1,25</p><p>3</p><p>= 0,4167</p><p>𝜃 = 22,62°</p><p>7</p><p>Nó B 𝑥</p><p>𝑦</p><p>40 𝑘𝑁</p><p>𝐹4</p><p>𝐹3</p><p>𝐹2</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹4 + 𝐹2 = 0 ⇒ 𝐹4 = 𝐹2 = −96 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −40 + 𝐹3 = 0 ⇒ 𝐹3 = 40 𝑘𝑁</p><p>Nó E 𝑥</p><p>𝐹3 = 40 𝑘𝑁</p><p>𝐹5</p><p>𝐹6</p><p>𝐹1 = 104 𝑘𝑁</p><p>𝑦</p><p>𝜃</p><p>𝜃 𝜃</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹6 cos𝜃 − 𝐹5 cos𝜃 + 104 cos 𝜃 = 0</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −40 − 104 sin 𝜃 + 𝐹6 sin 𝜃 − 𝐹5 sin 𝜃 = 0</p><p>𝐹5 = −52 𝑘𝑁</p><p>𝐹6 = 156 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉/𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐴</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>Nó D 𝑥</p><p>𝐹6 = 156 𝑘𝑁</p><p>𝑦</p><p>𝜃</p><p>𝐹7</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −𝐹7 − 156 sin 𝜃 + 100 = 0</p><p>𝐹7 = 40 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉/𝐷 = 100 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉/𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐷</p><p>𝑅𝐻\𝐴</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7 𝑅𝐻\𝐷</p><p>9</p><p>Treliças – Método das Secções</p><p>Regras Gerais:</p><p>• Seccionar no máximo 3 barras cujas as forças são desconhecidas;</p><p>• Seccionar no máximo 3 barras de modo que apenas 2 compartilham o mesmo nó.</p><p>OBS: Seccionar duas barras que compartilham o mesmo nó é equivalente ao método dos nós.</p><p>Consiste em seccionar parte da estrutura e aplicar as condições de equilíbrio estático numa das partes seccionadas.</p><p>10</p><p>Treliças – Método das Secções</p><p>Determinar as forças nas barras da treliça abaixo, utilizando os métodos dos nós e das secções.</p><p>Resolução:</p><p>Secção a-a</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐺𝐻 − 𝐹𝐶𝐷 − 𝐹𝐷𝐺 ∗</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐷 = −320 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −120 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 + 𝐹𝐷𝐺 ∗</p><p>3</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐷𝐺 = 300 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐷 = 0 ⇒ −4 𝑚 ∗ 60 𝑘𝑁 + 3 𝑚 ∗ 𝐹𝐺𝐻 = 0 ⇒ 𝐹𝐺𝐻 = 80 𝑘𝑁</p><p>𝜃</p><p>cos𝜃 = 4/5</p><p>sin 𝜃 = 3/5</p><p>11</p><p>Secção b-b</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐹𝐺 − 𝐹𝐶𝐵 − 𝐹𝐵𝐺 ∗</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐹𝐺 = 720 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −2 ∗ 120 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 − 𝐹𝐵𝐺 ∗</p><p>3</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐵𝐺 = −500 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐺 = 0 ⇒ −8 𝑚 ∗ 60 𝑘𝑁 − 4 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 − 3 𝑚 ∗ 𝐹𝐶𝐵 = 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐵 = −320 𝑘𝑁</p><p>cos𝜃 = 4/5</p><p>sin 𝜃 = 3/5</p><p>4 m 4 m</p><p>3 m</p><p>𝐹𝐹𝐺</p><p>𝐹𝐶𝐵</p><p>𝐹𝐵𝐺</p><p>𝜃</p><p>b</p><p>b</p><p>12</p><p>𝐹𝐴𝐵</p><p>Secção c-c</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐸𝐹 − 𝐹𝐴𝐵 − 𝐹𝐸𝐵 ∗</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 = −1280 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −3 ∗ 120 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 + 𝐹𝐸𝐵 ∗</p><p>3</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐸𝐵 = 700 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −12 𝑚 ∗ 60 𝑘𝑁 − 8 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 − 4 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 + 3 𝑚 ∗ 𝐹𝐸𝐹 = 0 ⇒ 𝐹𝐸𝐹 = 720 𝑘𝑁</p><p>cos𝜃 = 4/5</p><p>sin 𝜃 = 3/5</p><p>4 m 4 m</p><p>3 m</p><p>4 m</p><p>𝜃</p><p>𝐹𝐸𝐹</p><p>𝐹𝐸𝐵</p><p>c</p><p>c</p><p>13</p><p>Determinar as forças nas barras HI e DI pelo método dos nós</p><p>Nó I 𝑥</p><p>𝐹𝐷𝐼</p><p>𝐹𝐻𝐼</p><p>𝑦</p><p>𝜃</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐻𝐼 − 𝐹𝐷𝐼 ∗</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐻𝐼 = 80 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −60 − 𝐹𝐷𝐼 ∗</p><p>3</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐷𝐼 = −100 𝑘𝑁</p><p>60 𝑘𝑁</p><p>cos𝜃 = 4/5</p><p>sin 𝜃 = 3/5</p><p>𝜃</p><p>14</p><p>Reação nos apoios:</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\A − 𝑅𝐻\E = 0 ⇒ 𝑅𝐻\A = 𝑅𝐻\E = 1280 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\E − 3 ∗ 120 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\E = 420 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −16 𝑚 ∗ 60 𝑘𝑁 − 12 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 − 8 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 − 4 𝑚 ∗ 120 𝑘𝑁 + 3 𝑚 ∗ 𝑅𝐻\E = 0 ⇒ 𝑅𝐻\E = 1280 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉\E</p><p>𝑅𝐻\E</p><p>𝑅𝐻\A</p><p>15</p><p>Determinar a força na barra AE pelo método dos nós</p><p>Nó A 𝑥</p><p>𝐹𝐴𝐵 = −1280 𝑘𝑁</p><p>𝑦</p><p>𝐹𝐴𝐸</p><p>𝑅𝐻\A = 1280 𝑘𝑁</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\A + 𝐹𝐴𝐵 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 = −𝑅𝐻\A = −1280 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐸 = 0</p><p>𝑅𝑉\E = 420 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝐻\E = 1280 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝐻\A = 1280 𝑘𝑁</p><p>16</p><p>Tensão – Deformação Normal</p><p>𝜎 = lim</p><p>∆𝐴→0</p><p>∆𝐹𝑛</p><p>∆𝐴</p><p>=</p><p>𝑑𝐹𝑛</p><p>𝑑𝐴</p><p>⇒ tensão em um ponto</p><p>𝜎 > 0 ⇒ tensão normal de tração</p><p>𝜎 < 0 ⇒ tensão normal de compressão</p><p>Se a distribuição da força normal for uniforme sobre uma superfície, temos:</p><p>𝜎 =</p><p>𝐹𝑛</p><p>𝐴</p><p>⇒ tensão normal média na superfície</p><p>𝐹𝑛 ⇒ força normal</p><p>𝐴 ⇒ área da superfície</p><p>Definição: Tensão normal em um ponto (𝝈)</p><p>Unidades:</p><p>Sistema MKS* - kgf/m²</p><p>Sistema CGS - dina/cm²</p><p>Sistema Internacional SI – N/m² = Pascal (Pa)</p><p>103 Pa = kPa</p><p>106 Pa = MPa</p><p>109 Pa = GPa</p><p>17</p><p>Tensão normal em barras</p><p>Hipóteses:</p><p>• Forças axiais P passam pelo CG da seção transversal da barra;</p><p>• Força normal se distribui uniformemente em seções suficientemente longe de pontos de aplicação de cargas e restrições.</p><p>Tração: 𝜎 > 0 Compressão: 𝜎 < 0</p><p>18</p><p>Princípio de Saint –Venant: À medida que nos afastamos da força aplicada ou restrição, o diagrama de tensões tende a ficar uniforme.</p><p>Efeito de cargas concentradas e restrições nas barras</p><p>19</p><p>cos𝜃 = 4/5</p><p>sin 𝜃 = 3/5</p><p>Ex. Determinar a tensão normal nas barras DG e CD, sabendo que a seção transversal das barras tem um diâmetro de 50 mm.</p><p>Resolução:</p><p>• Resolver a treliça pelo método das secções;</p><p>Secção a - a</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐺𝐻 − 𝐹𝐶𝐷 − 𝐹𝐷𝐺 ∗</p><p>4</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐷 = −320 𝑘𝑁</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −120 𝑘𝑁 − 60 𝑘𝑁 + 𝐹𝐷𝐺 ∗</p><p>3</p><p>5</p><p>= 0 ⇒ 𝐹𝐷𝐺 = 300 𝑘𝑁</p><p>𝜎𝐷𝐺 =</p><p>𝐹𝐷𝐺</p><p>𝐴𝐷𝐺</p><p>=</p><p>300 ∗ 103 𝑁</p><p>𝜋 ∗ 502</p><p>4</p><p>𝑚𝑚²</p><p>≅ 153 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝜎𝐶𝐷 =</p><p>𝐹𝐶𝐷</p><p>𝐴𝐶𝐷</p><p>=</p><p>−320 ∗ 103 𝑁</p><p>𝜋 ∗ 502</p><p>4</p><p>𝑚𝑚²</p><p>≅ −163 𝑀𝑃𝑎</p><p>+↺ 𝑀𝐷 = 0 ⇒ −4 𝑚 ∗ 60 𝑘𝑁 + 3 𝑚 ∗ 𝐹𝐺𝐻 = 0 ⇒ 𝐹𝐺𝐻 = 80 𝑘𝑁</p><p>𝜃</p><p>1 𝑀𝑃𝑎 = 106</p><p>𝑁</p><p>𝑚2</p><p>= 106</p><p>𝑁</p><p>106 𝑚𝑚²</p><p>= 1</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>20</p><p>Definição: Deformação normal sob carga axial (𝜺)</p><p>Para pequenas deformações:</p><p>𝜀 =</p><p>𝛿</p><p>𝐿</p><p>(adimensional)</p><p>𝛿 ⇒ alongamento</p><p>𝐿 ⇒ comprimento inicial</p><p>Definição: Coeficiente de Poisson (𝝂)</p><p>𝜈 = −</p><p>deformação lateral</p><p>deformação axial</p><p>𝜈 = −</p><p>𝜀𝑦</p><p>𝜀𝑥</p><p>= −</p><p>𝜀𝑧</p><p>𝜀𝑥</p><p>𝛿 > 0 ⇒ aumento do comprimento da barra</p><p>𝛿 < 0 ⇒ diminuição do comprimento da barra</p><p>0 < 𝜈 < 0,5</p><p>𝜈 = 0 ⇒ sólido pefeitamente compressível</p><p>𝜈 = 0,5 ⇒ sólido pefeitamente incompressível</p><p>Ex.)</p><p>Aço: 𝜈 = 0,3</p><p>Concreto: 𝜈 = 0,2</p><p>21</p><p>Relação Tensão-Deformação Normal</p><p>Diagrama tensão-deformação (Ensaio de Tração)</p><p>Corpo de Prova Corpo de Prova e Extensômetro Máquina Universal de Tração</p><p>22</p><p>Máquina Universal de Tração Materiais Dúcteis Materiais Frágeis</p><p>Relação tensão-deformação normal</p><p>Para materiais elásticos, lineares, homogêneos e isotrópicos:</p><p>𝜎 = 𝐸. 𝜀 (Lei de Hooke)</p><p>𝐸 ⇒ módulo de elasticidade ou módulo de Young MPa ou GPa</p><p>𝜎𝐸 ⇒ tensão de escoamento;</p><p>𝜎𝐿 ⇒ tensão limite;</p><p>𝜎𝑅 ⇒ tensão de ruptura.</p><p>Região elástica e linear</p><p>Região plástica</p><p>23</p><p>Ex. A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de alumínio (E =</p><p>70 GPa) e tem uma seção transversal com área de 500 mm²;</p><p>a barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma seção transversal com área de 600 mm². Para a força de 30 kN mostrada na figura, determine os deslocamentos</p><p>dos pontos (a) B, (b) D e (c) E.</p><p>Resolução:</p><p>• Fazer diagrama de corpo livre do componente que recebe a força externa;</p><p>• Chutar as forças saindo do componente;</p><p>• Aplicar as condições de equilíbrio;</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐶𝐷 − 30 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 = −60 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 0,2 𝑚 ∗ 𝐹𝐶𝐷 − 0,6 𝑚 ∗ 30 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐷 = 90 𝑘𝑁</p><p>24</p><p>• Cálculo dos deslocamentos</p><p>a) Ponto B</p><p>𝜀𝐴𝐵 =</p><p>𝛿𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐵</p><p>(deformação normal)</p><p>𝜎𝐴𝐵 = 𝐸𝐴𝐵 . 𝜀𝐴𝐵 ⇒</p><p>𝐹𝐴𝐵</p><p>𝐴𝐴𝐵</p><p>= 𝐸𝐴𝐵 .</p><p>𝛿𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐵</p><p>𝛿𝐵 =</p><p>𝐹𝐴𝐵 . 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐸𝐴𝐵 . 𝐴𝐴𝐵</p><p>𝛿𝐵 =</p><p>−60 × 103 𝑁 ∗ 300 𝑚𝑚</p><p>70 × 103 𝑁 𝑚𝑚² ∗ 500 𝑚𝑚²</p><p>= −0,514 𝑚𝑚</p><p>b) Ponto D</p><p>𝛿𝐷 =</p><p>90 × 103 𝑁 ∗ 400 𝑚𝑚</p><p>200 × 103 𝑁 𝑚𝑚² ∗ 600 𝑚𝑚²</p><p>= 0,300 𝑚𝑚</p><p>c) Ponto E</p><p>Semelhança de triângulos</p><p>200 − 𝑥</p><p>0,514</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>0,3</p><p>⇒ 𝑥 = 73,7 𝑚𝑚</p><p>0,514</p><p>200 − 73,7</p><p>=</p><p>𝛿𝐸</p><p>400 + 73,7</p><p>𝛿𝐸 = 1,928 𝑚𝑚 ↓</p><p>𝐺 = 200 × 109</p><p>𝑁</p><p>𝑚2</p><p>= 200 × 109</p><p>𝑁</p><p>106 𝑚𝑚²</p><p>= 200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>= 200 × 103𝑀𝑃𝑎</p><p>25</p><p>Exercício</p><p>Ex. Cada uma das hastes AB e CD é feita de aço (200 𝐺𝑃𝑎) e seção transversal retangular e uniforme de 6,35 × 25,4 𝑚𝑚.</p><p>Determine a maior carga que pode ser suportada pelo ponto E se seu deslocamento não pode exceder 0,254 𝑚𝑚.</p><p>𝑃 = ?</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐶𝐷 − 𝑃 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 = 1,5𝑃 (tração)</p><p>+↺ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ 254 𝑚𝑚 ∗ 𝐹𝐶𝐷 − 635 𝑚𝑚 ∗ 𝑃 = 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐷 = 2,5𝑃 (tração)</p><p>Resolução:</p><p>𝐹𝐶𝐷</p><p>𝐹𝐴𝐵 𝑃</p><p>𝐵</p><p>𝐶</p><p>𝐸</p><p>𝐵</p><p>𝐵′</p><p>𝐶’</p><p>𝐶 𝐸</p><p>𝐸′</p><p>𝛿𝐸 = 0,254 𝑚𝑚</p><p>𝛿𝐵</p><p>𝛿𝐶</p><p>26</p><p>𝐵</p><p>𝐵′</p><p>𝐶’</p><p>𝐶 𝐸</p><p>𝐸′</p><p>𝛿𝐸 = 0,254 𝑚𝑚</p><p>𝛿𝐵</p><p>𝛿𝐶</p><p>𝐵 = 𝐵′ 𝐶 𝐸</p><p>𝐶’</p><p>𝐸′</p><p>𝛿𝐶 + 𝛿𝐵</p><p>𝛿𝐵 + 0,254 𝑚𝑚</p><p>𝛿𝐶 + 𝛿𝐵</p><p>𝐵𝐶</p><p>=</p><p>𝛿𝐵 + 0,254</p><p>𝐵𝐸</p><p>27</p><p>𝜎 =</p><p>𝐹</p><p>𝐴</p><p>(tensão normal)</p><p>𝜀 =</p><p>𝛿</p><p>𝐿</p><p>(deformação normal)</p><p>𝜎 = 𝐸 . 𝜀 lei de Hooke ⇒</p><p>𝐹</p><p>𝐴</p><p>= 𝐸 .</p><p>𝛿</p><p>𝐿</p><p>⇒ 𝐹 =</p><p>𝐸 . 𝐴</p><p>𝐿</p><p>. 𝛿</p><p>𝐹𝐴𝐵 =</p><p>𝐸 . 𝐴𝐴𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐵</p><p>. 𝛿𝐵 ⇒ 𝛿𝐵 =</p><p>𝐹𝐴𝐵 . 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐸 . 𝐴𝐴𝐵</p><p>⇒ 𝛿𝐵 =</p><p>1,5𝑃 ∗ 203,2 𝑚𝑚</p><p>200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚²</p><p>∗ 6,35 ∗ 25,4 𝑚𝑚²</p><p>⇒ 𝛿𝐵 = 9,45 × 10−6 𝑃</p><p>𝐹𝐶𝐷 =</p><p>𝐸 . 𝐴𝐴𝐵</p><p>𝐿𝐶𝐷</p><p>. 𝛿𝐶 ⇒ 𝛿𝐶 =</p><p>𝐹𝐶𝐷 . 𝐿𝐶𝐷</p><p>𝐸 . 𝐴𝐶𝐷</p><p>⇒ 𝛿𝐶 =</p><p>2,5𝑃 ∗ 203,2 𝑚𝑚</p><p>200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚²</p><p>∗ 6,35 ∗ 25,4 𝑚𝑚²</p><p>⇒ 𝛿𝐶 = 1,57 × 10−5 𝑃</p><p>200 𝐺𝑃𝑎 = 200 × 109</p><p>𝑁</p><p>𝑚²</p><p>= 200 × 109</p><p>𝑁</p><p>106 𝑚𝑚²</p><p>= 200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚²</p><p>𝛿𝐶 + 𝛿𝐵</p><p>𝐵𝐶</p><p>=</p><p>𝛿𝐵 + 0,254</p><p>𝐵𝐸</p><p>1,57 × 10−5 𝑃 + 9,45 × 10−6 𝑃</p><p>254 𝑚𝑚</p><p>=</p><p>9,45 × 10−6 𝑃 + 0,254</p><p>635 𝑚𝑚</p><p>𝑃 = 4,75 × 103 𝑁 = 4,75 𝑘𝑁</p><p>28</p><p>Problemas Estaticamente Indeterminados</p><p>Ex. As três barras de aço ilustrado na figura são conectados por pinos a uma viga rígida. Se a carga aplicada na viga é 15 𝑘𝑁,</p><p>determine a força normal em cada barra. As barras AB e EF tem seção transversal com área de 50 𝑚𝑚², e a barra CD tem área</p><p>de seção transversal de 30 𝑚𝑚².</p><p>Resolução:</p><p>• Equações de equilíbrio</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝐹𝐴 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝐸 − 15 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝐹𝐴 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝐸 = 15 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 0,4 𝑚 ∗ 𝐹𝐶 + 0,8 𝑚 ∗ 𝐹𝐸 − 0,2 𝑚 ∗ 15 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 4𝐹𝐶 + 8𝐹𝐸 = 30 𝑘𝑁</p><p>29</p><p>• Equações de compatibilidade</p><p>𝛿𝐶 − 𝛿𝐸</p><p>0,4 𝑚</p><p>=</p><p>𝛿𝐴 − 𝛿𝐸</p><p>0,8 𝑚</p><p>⇒ 𝛿𝐴 − 𝛿𝐸 = 2 ∗ 𝛿𝐶 − 𝛿𝐸</p><p>𝛿𝐴 =</p><p>𝐹𝐴 . 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐸 . 𝐴𝐴𝐵</p><p>=</p><p>𝐹𝐴 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 50 𝑚𝑚²</p><p>𝛿𝐶 =</p><p>𝐹𝐶 . 𝐿𝐶𝐷</p><p>𝐸 . 𝐴𝐶𝐷</p><p>=</p><p>𝐹𝐶 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 30 𝑚𝑚²</p><p>𝛿𝐸 =</p><p>𝐹𝐸 . 𝐿𝐸𝐹</p><p>𝐸 . 𝐴𝐸𝐹</p><p>=</p><p>𝐹𝐸 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 50 𝑚𝑚²</p><p>𝐹𝐴 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 50 𝑚𝑚²</p><p>−</p><p>𝐹𝐸 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 50 𝑚𝑚2</p><p>= 2 ∗</p><p>𝐹𝐶 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 30 𝑚𝑚²</p><p>−</p><p>𝐹𝐸 ∗ 0,5 𝑚</p><p>𝐸 ∗ 50 𝑚𝑚²</p><p>𝐹𝐴 ∗ 0,5</p><p>50</p><p>−</p><p>𝐹𝐸 ∗ 0,5</p><p>50</p><p>= 2 ∗</p><p>𝐹𝐶 ∗ 0,5</p><p>30</p><p>−</p><p>𝐹𝐸 ∗ 0,5</p><p>50</p><p>𝐹𝐴</p><p>100</p><p>−</p><p>𝐹𝐸</p><p>100</p><p>=</p><p>𝐹𝐶</p><p>30</p><p>−</p><p>𝐹𝐸</p><p>50</p><p>⇒</p><p>𝐹𝐴</p><p>100</p><p>−</p><p>𝐹𝐸</p><p>100</p><p>−</p><p>𝐹𝐶</p><p>30</p><p>+</p><p>𝐹𝐸</p><p>50</p><p>= 0 ⇒</p><p>𝐹𝐴</p><p>100</p><p>−</p><p>𝐹𝐶</p><p>30</p><p>+</p><p>𝐹𝐸</p><p>100</p><p>= 0</p><p>• Resolução do sistema de equações</p><p>𝐹𝐴 −</p><p>10𝐹𝐶</p><p>3</p><p>+ 𝐹𝐸 = 0</p><p>𝐹𝐴 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝐸 = 15 𝑘𝑁</p><p>4 𝐹𝐶 + 8𝐹𝐸 = 30 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐴 = 9,52 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐶 = 3,46 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐸 = 2,02 𝑘𝑁</p><p>30</p><p>Tensões e Deformações Térmicas</p><p>𝛿𝑇 = 𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇</p><p>𝛿𝑇 ⇒ dilatação térmica;</p><p>𝛼 ⇒ coeficiente de dilatação térmica do material;</p><p>𝐿 ⇒ comprimento inicial;</p><p>∆𝑇 ⇒ variação de temperatura.</p><p>𝛿𝑇 > 0 ⇔ ∆𝑇 > 0 ⇒ aumento das dimensões do corpo</p><p>𝛿𝑇 < 0 ⇔ ∆𝑇 < 0 ⇒ diminuição das dimensões do corpo</p><p>• Deformação térmica:</p><p>𝜀𝑇 =</p><p>𝛿𝑇</p><p>𝐿</p><p>=</p><p>𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇</p><p>𝐿</p><p>𝜀𝑇 = 𝛼 ∗ ∆𝑇</p><p>𝜀𝑇 > 0 ⇔ ∆𝑇 > 0</p><p>𝜀𝑇 < 0 ⇔ ∆𝑇 < 0</p><p>• Dilatação térmica:</p><p>31</p><p>𝛿𝑇 = 𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇 ⇒ dilatação térmica;</p><p>Para 𝛿𝑃 ≪ 𝐿</p><p>𝛿𝑃 =</p><p>𝑃 ∗ 𝐿</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>⇒ alongamento pela força normal P;</p><p>𝑃 ⇒ força normal de origem térmica;</p><p>𝐸 ⇒ módulo de elasticidade do material;</p><p>𝐴 ⇒ área da seção transversal da barra.</p><p>Condição de compatibilidade:</p><p>𝛿𝑙𝑖𝑞 = 𝛿𝑃 + 𝛿𝑇 = 0 ⇒ 𝛿𝑇 = −𝛿𝑃</p><p>∆𝑇 > 0</p><p>−𝛿𝑃 = 𝛿𝑇</p><p>−</p><p>𝑃 ∗ 𝐿</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>= 𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇</p><p>𝑃</p><p>𝐴</p><p>= −𝛼 ∗ 𝐸 ∗ ∆𝑇</p><p>𝜎𝑇 = −𝛼 ∗ 𝐸 ∗ ∆𝑇</p><p>∆𝑇 > 0</p><p>𝜎𝑇 > 0 ⇔ ∆𝑇 < 0</p><p>𝜎𝑇 < 0 ⇔ ∆𝑇 > 0</p><p>32</p><p>Ex.) Uma barra de aço está apenas ajustada entre dois suportes fixos quando a temperatura 𝑇1 = 30℃. Se a temperatura da barra é elevada para</p><p>𝑇2 = 60℃, determine a tensão normal térmica média desenvolvida na barra. Dados: 𝛼 = 12 × 10−6/℃, 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎.</p><p>Condição de compatibilidade:</p><p>𝛿𝑃 + 𝛿𝑇 = 0 ⇒ 𝛿𝑇 = −𝛿𝑃</p><p>𝛿𝑃 =</p><p>𝐹 ∗ 𝐿</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>𝛿𝑇 = 𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇</p><p>∆𝑇 > 0</p><p>𝛿𝑇 = −𝛿𝑃</p><p>𝛼 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑇 = −</p><p>𝐹 ∗ 𝐿</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>𝐹 = −𝛼 ∗ 𝐸 ∗ 𝐴 ∗ ∆𝑇</p><p>𝐹 = −12 ×</p><p>10−6</p><p>℃</p><p>∗ 200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>∗ 100 𝑚𝑚2 ∗ 60 − 30 ℃ = −7200 𝑁</p><p>Tensão térmica:</p><p>𝜎𝑇 =</p><p>𝐹</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>−7200 𝑁</p><p>100 𝑚𝑚²</p><p>𝜎𝑇 = −72 𝑀𝑃𝑎</p><p>33</p><p>Definição: Tensão de Cisalhamento em um ponto 𝝉</p><p>𝜏 = lim</p><p>∆𝐴→0</p><p>∆𝐹𝑡</p><p>∆𝐴</p><p>=</p><p>𝑑𝐹𝑡</p><p>𝑑𝐴</p><p>⇒ tensão em um ponto</p><p>𝐹𝑡 ⇒ força tangencial à superfície</p><p>Unidades:</p><p>Sistema Internacional SI – N/m² = Pascal (Pa)</p><p>103 Pa = kPa; 106 Pa = MPa; 109 Pa = GPa</p><p>Considerando uma distribuição uniforme na seção transversal, temos:</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉</p><p>𝐴</p><p>⇒ tensão de cisalhamento média na seção transversal</p><p>𝑉 ⇒ força cortante</p><p>𝐴 ⇒ área da seção transversal da barra</p><p>Tensão e Deformação de Cisalhamento</p><p>34</p><p>• Equilíbrio de um ponto sobre cisalhamento</p><p>Equilíbrio em um volume elementar:</p><p>+→ 𝐹𝑦 = 0 ⇒ 𝜏𝑧𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 − 𝜏𝑧𝑦</p><p>′ ∆𝑥 ∆𝑦 = 0 ⇒ 𝜏𝑧𝑦 = 𝜏𝑧𝑦</p><p>′</p><p>+↑ 𝐹𝑧 = 0 ⇒ 𝜏𝑦𝑧 ∆𝑥 ∆𝑧 − 𝜏𝑦𝑧</p><p>′ ∆𝑥 ∆𝑧 = 0 ⇒ 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧</p><p>′</p><p>+↺ 𝑀𝑥\CG = 0 ⇒ −𝜏𝑧𝑦 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑧 + 𝜏𝑦𝑧 ∆𝑥 ∆𝑧 ∆𝑦 = 0 ⇒ 𝜏𝑧𝑦 = 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏 Cisalhamento Puro</p><p>35</p><p>Ex.) Uma junta de madeira tem espessura de 150 mm, determine a tensão de cisalhamento média nos planos 𝑎 – 𝑎 e 𝑏 – 𝑏 do membro conectado. Para</p><p>cada plano, represente as tensões em um ponto do material.</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −2𝐹 + 6 𝑘𝑁 = 0</p><p>𝐹 = 3 𝑘𝑁</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹 + 𝑉𝑎 = 0</p><p>𝑉𝑎 = 3 𝑘𝑁</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ 𝐹 − 𝑉𝑏 = 0</p><p>𝑉𝑏 = 3 𝑘𝑁</p><p>𝜏𝑎 =</p><p>𝑉𝑎</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>3 × 103 𝑁</p><p>0,1 𝑚 ∗ 0,15 𝑚</p><p>𝜏𝑎 = 200 𝑘𝑃𝑎</p><p>𝜏𝑏 =</p><p>𝑉𝑏</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>3 × 103 𝑁</p><p>0,125 𝑚 ∗ 0,15 𝑚</p><p>𝜏𝑏 = 160 𝑘𝑃𝑎</p><p>36</p><p>• Deformação de cisalhamento 𝜸 - adimensional</p><p>Configura não deformada Configura deformada</p><p>• Relação tensão/deformação no cisalhamento</p><p>Para materiais elásticos, lineares, homogêneos e isotrópicos, vale a lei de Hooke:</p><p>𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾</p><p>𝐺 ⇒ módulo de elasticidade transversal do material</p><p>É possível mostrar:</p><p>𝐺 =</p><p>𝐸</p><p>2 1 + 𝜈</p><p>𝜈 ⇒ módulo de Poisson do material</p><p>𝐸 ⇒ módulo de elasticidade do material</p><p>Coxim como apoio móvel</p><p>37</p><p>Ex.) Um bloco retangular de um material com módulo de elasticidade transversal G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior</p><p>é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine:</p><p>a) A deformação de cisalhamento média no material;</p><p>b) A força P que atua na placa superior.</p><p>Resolução:</p><p>b) Força P</p><p>𝜏𝑥𝑦 = 𝐺 ∗ 𝛾𝑥𝑦 = 620 𝑀𝑃𝑎 ∗ 0,020 𝑟𝑎𝑑 ⇒ 𝜏𝑥𝑦 = 12,4 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝑃 = 𝜏𝑥𝑦 ∗ 𝐴 = 12,4</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>∗ 60 𝑚𝑚 ∗ 200 𝑚𝑚 ⇒ 𝑃 = 148,8 𝑘𝑁</p><p>a) Deformação média 𝛾𝑥𝑦</p><p>𝛾𝑥𝑦 ≈ tan 𝛾𝑥𝑦 =</p><p>1 𝑚𝑚</p><p>50 𝑚𝑚</p><p>𝛾𝑥𝑦 ≈ 0,020 𝑟𝑎𝑑</p><p>38</p><p>Ligações por Rebites</p><p>O rebite é um fixador mecânico metálico permanente.</p><p>rebite de repuxo</p><p>39</p><p>Aplicações de uniões rebitadas</p><p>Encontram-se exemplos de juntas rebitadas em treliças, tanques,</p><p>aviões, reservatórios, caldeiras, estruturas de navios, etc.</p><p>40</p><p>Tipos de uniões rebitadas</p><p>• Dois tipos: juntas por superposição e juntas de topo.</p><p>Junta por superposição: as chapas são superpostas e ligadas entre si por meio de uma ou mais linhas de rebites.</p><p>41</p><p>Tipos de uniões rebitadas</p><p>Junta de topo: as duas chapas são colocadas uma em frente à outra e são recobertas por outras duas, chamadas de cobrejuntas e</p><p>o conjunto ligado por uma ou mais linhas de rebites.</p><p>42</p><p>Dimensionamento</p><p>• Cisalhamento dos rebites;</p><p>• Esmagamento dos furos;</p><p>• Ruptura por esgotamento da resistência do material;</p><p>• Cisalhamento da chapa e/ou cobrejuntas.</p><p>1) Cisalhamento dos rebites</p><p>43</p><p>2) Esmagamento dos furos</p><p>Dimensionamento</p><p>44</p><p>Dimensionamento</p><p>3) Ruptura por esgotamento da resistência do material</p><p>45</p><p>Dimensionamento</p><p>4) Cisalhamento da chapa e/ou cobrejuntas</p><p>Distribuição ABNT NB14</p><p>46</p><p>Exemplo</p><p>Para a união rebitada da figura abaixo, pede-se determinar a largura “b” de modo a se ter carga admissível máxima.</p><p>47</p><p>Resolução:</p><p>• Força em cada rebite: 𝐹 =</p><p>𝑃</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑃</p><p>4</p><p>n = 4 (número de rebites)</p><p>a) Cisalhamento dos rebites</p><p>Junção de sobreposição: 1 plano de corte nos rebites</p><p>Força cortante na seção do rebite (V) = força atuando no rebite (F)</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>𝐹</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>𝑃</p><p>4𝐴</p><p>≤ 𝜏 ⇒ 𝑃 ≤ 4 ∗ 𝜏 ∗ 𝐴</p><p>𝑃 ≤ 4 ∗ 𝜏 ∗</p><p>𝜋 ∗ 𝑑2</p><p>4</p><p>⇒ 𝑃 ≤ 4 ∗ 1,0 𝑇𝑓 𝑐𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 12</p><p>4</p><p>𝑐𝑚2</p><p>𝑃 ≤ 3,14 𝑇𝑓</p><p>b) Esmagamento dos furos</p><p>𝜎𝑒𝑠𝑚 =</p><p>𝐹</p><p>𝑑 ∗ 𝑒</p><p>≤ 𝜎𝑒𝑠𝑚</p><p>𝜎𝑒𝑠𝑚 =</p><p>𝑃</p><p>4 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒</p><p>≤ 𝜎𝑒𝑠𝑚 ⇒ 𝑃 ≤ 4 ∗ 𝜎𝑒𝑠𝑚 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒</p><p>𝑃 ≤ 4 ∗ 2,2 𝑇𝑓 𝑐𝑚2 ∗ 1 𝑐𝑚 ∗ 2 𝑐𝑚</p><p>𝑃 ≤ 17,6 𝑇𝑓</p><p>Portanto: Adota-se 𝑃𝑚á𝑥 = 3,14 𝑇𝑓</p><p>c) Ruptura da chapa</p><p>𝜎 =</p><p>𝑃</p><p>𝑏 − 2 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒</p><p>≤ 𝜎</p><p>𝑏 ≥</p><p>𝑃</p><p>𝜎 ∗ 𝑒</p><p>+ 2 ∗ 𝑑</p><p>𝑏 ≥</p><p>3,14 𝑇𝑓</p><p>1,2 𝑇𝑓/𝑐𝑚² ∗ 2 𝑐𝑚</p><p>+ 2 ∗ 1𝑐𝑚 ⇒ 𝑏 ≥ 3,31 𝑐𝑚</p><p>d) Norma NB14</p><p>𝑏 ≥ 6 ∗ 𝑑 ⇒ 𝑏 ≥ 6 ∗ 1 𝑐𝑚 ⇒ 𝑏 ≥ 6 𝑐𝑚</p><p>48</p><p>Ex) Calcular a carga admissível na ligação rebitada.</p><p>Resolução:</p><p>49</p><p>Obs: Nesse exemplo, adotou-se o esmagamento somente na chapa</p><p>principal, pois tanto a carga quanto a espessura na cobrejunta</p><p>assumem valores que são a metade dos valores da chapa principal.</p><p>O que resultaria em mesmo valor para P.</p><p>50</p><p>𝑃𝑐 =</p><p>𝑃</p><p>2</p><p>⇒ força na cobrejunta</p><p>Obs: O valor 1,2 cm indicado é fruto do produto do fator 2</p><p>que divide a carga P com a espessura da cobrejunta que</p><p>é de 0,6 cm.</p><p>51</p><p>Ligações Rebitadas com Momento</p><p>Ex: Determinar o diâmetro “d” dos rebites para seguinte ligação rebitada de sobreposição. Considerar: P = 3 kN, 𝜏 = 80 𝑀𝑃𝑎,</p><p>𝜎𝑒𝑠𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎 e espessura de chapa de 5 mm. Dimensões em mm.</p><p>Resolução:</p><p>• Trata-se de uma ligação rebitada cuja carga P é aplicada fora da linha de centro da ligação;</p><p>• Além do esforço normal de tração 𝑃 = 3 𝑘𝑁, há um momento agindo na ligação 𝑀 = 40 𝑚𝑚 ∗ 3𝑘𝑁 = 120𝑘𝑁.𝑚𝑚;</p><p>52</p><p>• Para manter o equilíbrio da chapa, os rebites devem produzir os esforços de reação F e Mr;</p><p>𝐹 =</p><p>𝑃</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>3 𝑘𝑁</p><p>4</p><p>⇒ 𝐹 = 0,75 𝑘𝑁</p><p>• Devemos determinar os esforços resultantes que os rebites exercem na chapa;</p><p>• Escrever os esforços na forma vetorial;</p><p>𝐹 = −0,75𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 = −0,75; 0; 0 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝑟 = 0𝑖 + 0𝑗 + 120k = 0, 0, 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚, utilizando a regra da mão direita para determinar o sentido de Mr</p><p>53</p><p>• Devemos determinar a posição do centro dos furos: Xcf</p><p>𝑥𝑐𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑛 𝑥𝑖 ∗ 𝑆𝑖</p><p>1</p><p>𝑛 𝑆𝑖</p><p>𝑥𝑖 = posição do centro do furo i em relação à origem do sistema xy;</p><p>𝑆𝑖 = área do furo i;</p><p>Todos os rebites tem mesmo diâmetro, portanto, todos os furos possuem a mesma área. Logo:</p><p>𝑥𝑐𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑛 𝑥𝑖 ∗ 𝑆𝑖</p><p>1</p><p>𝑛 𝑆𝑖</p><p>=</p><p>𝑆𝑖 ∗ 1</p><p>𝑛 𝑥𝑖</p><p>𝑛 ∗ 𝑆𝑖</p><p>⇒ 𝑥𝑐𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑛 𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>Para o problema em questão:</p><p>𝑥𝑐𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑛 𝑥𝑖</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4</p><p>4</p><p>𝑥𝑐𝑓 =</p><p>20 + 20 + 70 + 70</p><p>4</p><p>⇒ 𝑥𝑐𝑓 = 45 𝑚𝑚</p><p>54</p><p>• Devemos escrever o vetor posição de cada furo em relação ao centro Xcf</p><p>𝑟1 = −25𝑖 + 20𝑗 + 0𝑘 = −25, 20, 0 𝑚𝑚</p><p>𝑟2 = −25𝑖 − 20𝑗 + 0𝑘 = −25,−20, 0 𝑚𝑚</p><p>𝑟3 = 25𝑖 + 20𝑗 + 0𝑘 = 25, 20, 0 𝑚𝑚</p><p>𝑟4 = 25𝑖 − 20𝑗 + 0𝑘 = 25,−20, 0 𝑚𝑚</p><p>𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = 𝑟4 = 25 2 + −20 2 + 02 ≅ 32 𝑚𝑚</p><p>55</p><p>Calcular a força exercida pelos rebites na chapa devido ao momento de reação Mr.</p><p>• Para de terminar os 𝐹′𝑖, utilizaremos a seguinte expressão:</p><p>𝐹′𝑖 =</p><p>𝑀𝑟 × 𝑟𝑖</p><p>1</p><p>𝑛 𝑟𝑖</p><p>2</p><p>; 𝑀𝑟 × 𝑟𝑖 =</p><p>𝑖 𝑗 𝑘</p><p>𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧</p><p>𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑟𝑖</p><p>2 = 4 ∗ 322 = 4096 𝑚𝑚²</p><p>56</p><p>𝐹′1 =</p><p>0, 0, 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚 × −25 𝑚𝑚, 20 𝑚𝑚, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>=</p><p>−2400 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, −3000 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>= −0,59; −0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝐹′2 =</p><p>0, 0, 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚 × −25 𝑚𝑚,−20 𝑚𝑚, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>=</p><p>2400 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, −3000 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>= 0,59; −0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝐹′3 =</p><p>0, 0, 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚 × 25 𝑚𝑚, 20 𝑚𝑚, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>=</p><p>−2400 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 3000 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>= −0,59; 0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝐹′4 =</p><p>0, 0, 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚 × 25 𝑚𝑚,−20 𝑚𝑚, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>=</p><p>2400 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 3000 𝑘𝑁.𝑚𝑚2, 0</p><p>4096 𝑚𝑚²</p><p>= 0,59; 0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>• Cálculo da força resultante em cada furo</p><p>𝑅1 = 𝐹 + 𝐹′1 = −0,75; 0; 0 + −0,59;−0,73; 0 = −1,34;−0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝑅2 = 𝐹 + 𝐹′2 = −0,75; 0; 0 + 0,59;−0,73; 0 = −0,16;−0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝑅3 = 𝐹 + 𝐹′3 = −0,75; 0; 0 + −0,59; 0,73; 0 = −1,34; 0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>𝑅4 = 𝐹 + 𝐹′4 = −0,75; 0; 0 + 0,59; 0,73; 0 = −0,16; 0,73; 0 𝑘𝑁</p><p>57</p><p>Determinação do módulo das forças resultantes:</p><p>𝑅1 = −1,34 2 + −0,73 2 ≅ 1,53 𝑘𝑁</p><p>𝑅2 = −0,16 2 + −0,73 2 ≅ 0,75 𝑘𝑁</p><p>𝑅3 = −1,34 2 + 0,73 2 ≅ 1,53 𝑘𝑁</p><p>𝑅4 = −0,16 2 + 0,73 2 ≅ 0,75 𝑘𝑁</p><p>Rebites e furos mais solicitados: 1 e 3</p><p>• Adotar o critério do cisalhamento do rebite;</p><p>• Adotar o critério do esmagamento da chapa.</p><p>58</p><p>• Critério do cisalhamento do rebite:</p><p>𝜏 =</p><p>𝑅1</p><p>𝜋 ∗ 𝑑2</p><p>4</p><p>≤ 𝜏 ⇒ 𝑑 ≥</p><p>4 ∗ 𝑅1</p><p>𝜋 ∗ 𝜏</p><p>⇒ 𝑑 ≥</p><p>4 ∗ 1,53 × 103 𝑁</p><p>𝜋 ∗ 80</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>⇒ 𝑑 ≥ 4,93 𝑚𝑚</p><p>• Critério do esmagamento da chapa:</p><p>𝜎𝑒𝑠𝑚 =</p><p>𝑅1</p><p>𝑑 ∗ 𝑒</p><p>≤ 𝜎𝑒𝑠𝑚 ⇒ 𝑑 ≥</p><p>𝑅1</p><p>𝑒 ∗ 𝜎𝑒𝑠𝑚</p><p>⇒ 𝑑 ≥</p><p>1,53 × 103 𝑁</p><p>5𝑚𝑚 ∗ 120</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2</p><p>⇒ 𝑑 ≥ 2,55 𝑚𝑚</p><p>Resp: Adota-se um diâmetro de 5 mm</p><p>59</p><p>Exercícios de Revisão para P1</p><p>Ex. 1) Determinar o alongamento da barra BG e deformação da barra CG, sabendo que essas possuem seção transversal de 710 mm²</p><p>e módulo de elasticidade de 200 GPa.</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>𝐹𝐵𝐺</p><p>𝐹𝐹𝐺</p><p>Secção 1 𝜃</p><p>𝜃</p><p>𝜃 𝜃</p><p>tan 𝜃 =</p><p>𝐴𝐸</p><p>𝐴𝐷</p><p>=</p><p>5 𝑚</p><p>15 𝑚</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒ 𝜃 = 18,43°</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝐶𝐷</p><p>=</p><p>𝐴𝐸</p><p>𝐴𝐷</p><p>⇒</p><p>𝐶𝐺</p><p>5 𝑚</p><p>=</p><p>5 𝑚</p><p>15 𝑚</p><p>⇒ 𝐶𝐺 =</p><p>5</p><p>3</p><p>𝑚</p><p>Resolução:</p><p>60</p><p>𝐹𝐵𝐶</p><p>𝐹𝐵𝐺</p><p>𝐹𝐹𝐺</p><p>𝜃</p><p>𝜃</p><p>• Equações de equilíbrio</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐵𝐶 − 𝐹𝐵𝐺 ∗ cos 𝜃 − 𝐹𝐹𝐺 ∗ cos𝜃 = 0</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ −2 ∗ 40 𝑘𝑁 − 𝐹𝐹𝐺 ∗ sin 𝜃 + 𝐹𝐵𝐺 ∗ sin 𝜃 = 0</p><p>+↺ 𝑀𝐺 = 0 ⇒ −5 𝑚 ∗ 40 𝑘𝑁 +</p><p>5</p><p>3</p><p>𝑚 ∗ 𝐹𝐵𝐶 = 0 ⇒ 𝐹𝐵𝐶 = 120 𝑘𝑁</p><p>• Sistema de equações:</p><p>−𝐹𝐵𝐺 ∗ cos 𝜃 − 𝐹𝐹𝐺 ∗ cos𝜃 = 120 𝑘𝑁</p><p>−𝐹𝐹𝐺 ∗ sin 𝜃 + 𝐹𝐵𝐺 ∗ sin 𝜃 = 80 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐹𝐺 = −189,74 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐵𝐺 = 63,25 𝑘𝑁</p><p>• Alongamento da barra BG</p><p>𝛿𝐵𝐺 =</p><p>𝐹𝐵𝐺 . 𝐿𝐵𝐺</p><p>𝐸𝐵𝐺 . 𝐴𝐵𝐺</p><p>𝛿𝐵𝐺 =</p><p>63,25 × 103 𝑁 ∗ 5,27 × 103 𝑚𝑚</p><p>200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗ 710 𝑚𝑚²</p><p>𝛿𝐵𝐺 = 2,35 𝑚𝑚</p><p>𝐵𝐺 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐺2</p><p>𝐵𝐺 = 52 + 5/3 2 ⇒ 𝐵𝐺 = 5,27 𝑚</p><p>61</p><p>• Determinação da força na barra CG</p><p>Nó G</p><p>𝑥</p><p>𝐹𝐹𝐺 = −189,74 𝑘𝑁</p><p>𝑦</p><p>𝜃</p><p>𝜃 𝜃 𝐹𝐵𝐺 = 63,25 𝑘𝑁</p><p>𝐹𝐶𝐺</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐵𝐺 ∗ cos 𝜃 − 𝐹𝐹𝐺 ∗ cos 𝜃 + 𝐹𝐺𝐷 ∗ cos 𝜃 = 0</p><p>− 63,25 𝑘𝑁 ∗ cos 𝜃 − −189,74 𝑘𝑁 ∗ cos 𝜃 + 𝐹𝐺𝐷 ∗ cos 𝜃 = 0</p><p>𝐹𝐺𝐷 = −126,49 𝑘𝑁</p><p>𝜃</p><p>𝐹𝐺𝐷</p><p>𝜃</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝐹𝐶𝐺 − 𝐹𝐹𝐺 ∗ sin 𝜃 + 𝐹𝐵𝐺 ∗ sin 𝜃 + 𝐹𝐺𝐷 ∗ sin 𝜃 = 0</p><p>𝐹𝐶𝐺 − −189,74 𝑘𝑁 ∗ sin 𝜃 + 63,25 𝑘𝑁 ∗ sin 𝜃 + −126,49 𝑘𝑁 ∗ sin 𝜃 = 0</p><p>𝐹𝐶𝐺 = −40 𝑘𝑁</p><p>• Deformação da barra CG</p><p>𝜀𝐶𝐺 =</p><p>𝛿𝐶𝐺</p><p>𝐿𝐶𝐺</p><p>=</p><p>𝐹𝐶𝐺</p><p>𝐸𝐶𝐺 . 𝐴𝐶𝐺</p><p>=</p><p>−40 × 103 𝑁</p><p>200 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗ 710 𝑚𝑚²</p><p>𝜀𝐶𝐺 = −2,82 × 10−4</p><p>62</p><p>Ex. 2) Os três arames de Aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 2 mm e comprimento, quando não carregado, 𝐿𝐴𝐶 = 1,6 𝑚 e</p><p>𝐿𝐴𝐵 = 𝐿𝐴𝐷 = 2,0 𝑚. Determine a força em cada fio após uma massa de 150 kg ser suspensa pelo ponto A.</p><p>Resolução:</p><p>• Equações de equilíbrio</p><p>𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠²</p><p>1471,5 𝑁</p><p>𝑥</p><p>𝐴</p><p>𝑦</p><p>𝜃 𝜃</p><p>𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐷</p><p>𝐹𝐴𝐶</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝐹𝐴𝐵 ∗ sin 𝜃 + 𝐹𝐴𝐷 ∗ sin 𝜃 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐷</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝐹𝐴𝐵 ∗ cos 𝜃</p><p>+ 𝐹𝐴𝐷 ∗ cos𝜃 + 𝐹𝐴𝐶 − 1471,5 𝑁 = 0</p><p>2𝐹𝐴𝐷 ∗ cos 𝜃 + 𝐹𝐴𝐶 = 1471,5 𝑁</p><p>𝜃𝜃</p><p>63</p><p>𝐴</p><p>𝐶 𝐷𝐵</p><p>𝐻 𝐻</p><p>𝐿𝐴𝐷</p><p>𝐿𝐴𝐶𝐿𝐴𝐵</p><p>Configuração não-deformada</p><p>𝐴</p><p>𝐶 𝐷𝐵</p><p>𝐻 𝐻</p><p>1471,5 𝑁</p><p>Configuração deformada</p><p>𝐿𝐴𝐵 + 𝛿𝐴𝐵</p><p>𝐿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐶</p><p>2 +𝐻2 𝐿𝐴𝐷 + 𝛿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐶 + 𝛿𝐴𝐶</p><p>2 + 𝐻2</p><p>𝐿𝐴𝐶 + 𝛿𝐴𝐶</p><p>𝐿𝐴𝐷 + 𝛿𝐴𝐷</p><p>𝐿𝐴𝐷 + 𝛿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐶 + 𝛿𝐴𝐶</p><p>2 + 𝐻2</p><p>𝐿𝐴𝐷</p><p>2 + 2𝐿𝐴𝐷 ∗ 𝛿𝐴𝐷 + 𝛿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐶</p><p>2 + 2𝐿𝐴𝐶 ∗ 𝛿𝐴𝐶 + 𝛿𝐴𝐶</p><p>2 + 𝐻2</p><p>𝐿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐶</p><p>2 + 𝐻2</p><p>Para pequenas deformações: 𝛿𝐴𝐷</p><p>2 ≅ 𝛿𝐴𝐶</p><p>2 ≅ 0</p><p>𝐿𝐴𝐷</p><p>2 + 2𝐿𝐴𝐷 ∗ 𝛿𝐴𝐷 + 𝛿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐿𝐴𝐷</p><p>2 + 2𝐿𝐴𝐶 ∗ 𝛿𝐴𝐶 + 𝛿𝐴𝐶</p><p>2</p><p>𝐿𝐴𝐷 ∗ 𝛿𝐴𝐷 = 𝐿𝐴𝐶 ∗ 𝛿𝐴𝐶 ⇒</p><p>𝐹𝐴𝐷 ∗ 𝐿𝐴𝐷</p><p>2</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>=</p><p>𝐹𝐴𝐶 ∗ 𝐿𝐴𝐶</p><p>2</p><p>𝐸 ∗ 𝐴</p><p>𝐹𝐴𝐷 ∗ 𝐿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐹𝐴𝐶 ∗ 𝐿𝐴𝐶</p><p>2</p><p>• Equação de compatibilidade</p><p>≈ 0 ≈ 0</p><p>64</p><p>• Resolvendo o sistemas de equações</p><p>𝐹𝐴𝐷 ∗ 𝐿𝐴𝐷</p><p>2 = 𝐹𝐴𝐶 ∗ 𝐿𝐴𝐶</p><p>2</p><p>2𝐹𝐴𝐷 ∗ cos 𝜃 + 𝐹𝐴𝐶 = 1471,5 𝑁</p><p>𝐹𝐴𝐷 ∗ 2 𝑚 2 = 𝐹𝐴𝐶 ∗ 1,6 𝑚 2</p><p>2𝐹𝐴𝐷 ∗ 0,8 + 𝐹𝐴𝐶 = 1471,5 𝑁</p><p>𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐷 ≅ 465 𝑁</p><p>𝐹𝐴𝐶 ≅ 727 𝑁</p><p>𝜃 cos𝜃 = 4 5 = 0,8</p><p>𝜃</p><p>65</p><p>Ex. 3) Calcular os máximos valores das tensões de esmagamento na chapa e de cisalhamento nos rebites.</p><p>Resolução:</p><p>• Número e rebites: 2</p><p>• Ligação de Topo: 2 planos de corte nos rebites</p><p>66</p><p>• Determinação das reações nos apoios</p><p>𝐴 𝐵𝑅𝐻\𝐴</p><p>𝑅𝑉\𝐴 𝑅𝑉\𝐵</p><p>Condições de equilíbrio na estrutura</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ −𝑅𝐻\𝐴 + 5 𝑇𝑓 = 0 ⇒ 𝑅𝐻\𝐴 = 5 𝑇𝑓</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\𝐴 + 𝑅𝑉\𝐵 − 2 ∗ 0,5 𝑇𝑓 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\𝐴 = 0,5 𝑇𝑓</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −2 𝑚 ∗ 0,5 𝑇𝑓 − 6 𝑚 ∗ 0,5 𝑇𝑓 + 8 𝑚 ∗ 𝑅𝑉\𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\𝐵 = 0,5 𝑇𝑓</p><p>67</p><p>• Determinação das forças de reação nos furos</p><p>+→ 𝐹𝐻 = 0 ⇒ 5 𝑇𝑓 − 2𝐹ℎ = 0 ⇒ 𝐹ℎ = 2,5 𝑇𝑓</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 2𝐹𝑣 + 0,5 𝑇𝑓 − 0,5 𝑇𝑓 = 0 ⇒ 𝐹𝑣 = 0</p><p>+↺ 𝑀𝑋𝑐𝑓 = 0 ⇒ −𝑀𝑧 − 2 𝑚 ∗ 0,5 𝑇𝑓 + 4 𝑚 ∗ 0,5 𝑇𝑓 = 0 ⇒ 𝑀𝑧 = 1,0 𝑇𝑓.𝑚 = 100 𝑇𝑓. 𝑐𝑚</p><p>𝐹ℎ = −2,5𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 = −2,5; 0; 0 𝑇𝑓</p><p>𝑀𝑟 = 0𝑖 + 0𝑗 − 100k = 0, 0,−100 𝑇𝑓. 𝑐𝑚</p><p>68</p><p>• Determinação dos vetores posição dos furos</p><p>𝑟1 = 0𝑖 + 5𝑗 + 0𝑘 = 0; 5; 0 𝑐𝑚</p><p>𝑟2 = 0𝑖 − 5𝑗 + 0𝑘 = 0;−5; 0 𝑐𝑚</p><p>𝑟1 = 5 𝑐𝑚</p><p>𝑟2 = 5 𝑐𝑚</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑟𝑖</p><p>2 = 2 ∗ 52 = 50 𝑐𝑚²</p><p>69</p><p>• Determinação das forças que geram o momento 𝑀𝑧</p><p>𝐹′𝑖 =</p><p>𝑀𝑟 × 𝑟𝑖</p><p>1</p><p>𝑛 𝑟𝑖</p><p>2</p><p>; 𝑀𝑟 × 𝑟𝑖 =</p><p>𝑖 𝑗 𝑘</p><p>𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧</p><p>𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧</p><p>𝐹′1 =</p><p>0, 0,−100 𝑇𝑓 × 0; 5; 0 𝑐𝑚</p><p>50 𝑐𝑚²</p><p>⇒ 𝐹′1 = 10; 0 ; 0 𝑇𝑓</p><p>𝐹′2 =</p><p>0, 0,−100 𝑇𝑓 × 0;−5; 0 𝑐𝑚</p><p>50 𝑐𝑚²</p><p>⇒ 𝐹′2 = −10; 0 ; 0 𝑇𝑓</p><p>70</p><p>• Determinação das forças resultantes nos furos</p><p>𝑅1 = 𝐹ℎ + 𝐹′1 = −2,5; 0; 0 + 10; 0; 0 = 7,5; 0; 0 𝑇𝑓</p><p>𝑅2 = 𝐹ℎ + 𝐹′2 = −2,5; 0; 0 + −10; 0; 0 = −12,5; 0; 0 𝑇𝑓</p><p>Determinação do módulo das forças resultantes:</p><p>𝑅1 = 7,5 2 + 0 2 ≅ 7,5 𝑇𝑓</p><p>𝑅2 = −12,5 2 + 0 2 ≅ 12,5 𝑇𝑓</p><p>71</p><p>Rebite e furo mais solicitado: 2</p><p>• Critério do cisalhamento do rebite:</p><p>𝜏 =</p><p>𝑅2</p><p>2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 𝑑2</p><p>4</p><p>=</p><p>12,5 𝑇𝑓</p><p>2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 2,54 𝑐𝑚 2</p><p>4</p><p>⇒ 𝜏 = 1,23 𝑇𝑓/𝑐𝑚²</p><p>• Critério do esmagamento da chapa:</p><p>𝜎𝑒𝑠𝑚 =</p><p>𝑅2</p><p>𝑑 ∗ 𝑒</p><p>=</p><p>12,5 𝑇𝑓</p><p>2,54 𝑐𝑚 ∗ 6 𝑐𝑚</p><p>⇒ 𝜎𝑒𝑠𝑚 = 0,82 𝑇𝑓/𝑐𝑚²</p><p>72</p><p>Torção em Eixos de Seção Circular</p><p>Eixo e eixo-árvore: elemento estrutural delgado sujeito à ação de momentos de torção (T).</p><p>73</p><p>• Estudo cinemático da ação de torção:</p><p>Hipóteses:</p><p>1. Seções transversais permanecem planas após a torção;</p><p>2. Cada seção executa uma rotação rígida em torno do eixo longitudinal do eixo;</p><p>3. Pequenos deslocamento e pequenas deformações;</p><p>4. Material elástico, linear, homogêneo e isotrópico.</p><p>74</p><p>• Relação cinemática da deformação:</p><p>Das hipóteses 1, 2 e 3:</p><p>𝑆 = 𝜌 ∗ 𝜙</p><p>𝑆 = 𝐿 ∗ 𝛾</p><p>⇒ 𝜌 ∗ 𝜙 = 𝐿 ∗ 𝛾</p><p>𝑆 ⇒ comprimento do arco A A′;</p><p>𝜙 ⇒ ângulo de giro da seção;</p><p>𝜌 ⇒ raio da seção;</p><p>𝐿 ⇒ distância entre duas seções;</p><p>𝛾 ⇒ ângulo de distorção deformação cisalhante .</p><p>𝛾 =</p><p>𝜙</p><p>𝐿</p><p>∗ 𝜌 ⇒ distorção é proporcional ao raio ρ</p><p>𝛾𝑚á𝑥 =</p><p>𝜙</p><p>𝐿</p><p>∗ 𝑐𝑆</p><p>75</p><p>• Relação tensão-deformação:</p><p>Da hipótese 4: material elástico, linear, homogêneo e isotrópico ⇒ Lei de Hooke</p><p>𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾 = 𝐺 ∗</p><p>𝜙</p><p>𝐿</p><p>∗ 𝜌</p><p>Considerando</p><p>𝐺∗𝜙</p><p>𝐿</p><p>= k (const. )</p><p>𝜏 = 𝑘 ∗ 𝜌</p><p>𝜏𝑚á𝑥 = 𝑘 ∗ 𝑐</p><p>76</p><p>• Relação entre tensão de cisalhamento e torque externo:</p><p>𝜏 =</p><p>𝑑𝐹</p><p>𝑑𝐴</p><p>⇒ 𝑑𝐹 = 𝜏 ∗ 𝑑𝐴 ⇒ 𝑑𝐹 = 𝑘 ∗ 𝜌 ∗ 𝑑𝐴</p><p>Torque de uma força elementar: 𝑑𝑇 = 𝜌 ∗ 𝑑𝐹</p><p>Torque interno agindo na seção: 𝑇 = 𝑑𝑇 = 𝜌 ∗ 𝑑𝐹</p><p>𝑇 = 𝑘 ∗ 𝜌2 𝑑𝐴 = 𝑘 ∗ 𝜌2𝑑𝐴</p><p>𝐽𝑝 = 𝜌2𝑑𝐴 ⇒ momento de inércia polar</p><p>𝑇 = 𝑘 ∗ 𝐽𝑝</p><p>𝐽𝑝 =</p><p>𝜋 ∗ 𝑐4</p><p>2</p><p>=</p><p>𝜋 ∗ 𝑑4</p><p>32</p><p>⇒ momento de inércia polar para seção circular</p><p>𝜏 = 𝑘 ∗ 𝜌</p><p>𝑇 = 𝑘 ∗ 𝐽𝑝</p><p>⇒ 𝜏 =</p><p>𝑇 ∗ 𝜌</p><p>𝐽𝑝</p><p>77</p><p>Ex. 1) O eixo BC é vazado, com diâmetros internos e externos de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos AB e CD são sólidos e tem</p><p>diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine (a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d</p><p>necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.</p><p>Resolução:</p><p>• Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques.</p><p>Exercícios</p><p>78</p><p>a) Aplicar as fórmulas de torção elástica para encontrar as tensões mínimas e máximas no eixo BC.</p><p>𝐽𝑝 =</p><p>𝜋 ∗ 𝑐2</p><p>4 − 𝑐1</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>∗ 60 𝑚𝑚 4 − 45𝑚𝑚 4 ⇒ 𝐽 = 13,9 × 106 𝑚𝑚4</p><p>79</p><p>𝐴</p><p>𝐴</p><p>𝑇 = 0 ⇒ −6 𝑘𝑁.𝑚 − 𝑇𝐴𝐵 = 0</p><p>𝑇𝐴𝐵 = −6 𝑘𝑁.𝑚</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>𝑇 = 0 ⇒ −6 𝑘𝑁.𝑚 − 14 𝑘𝑁.𝑚 − 𝑇𝐵𝐶 = 0</p><p>𝑇𝐵𝐶 = −20 𝑘𝑁.𝑚</p><p>Partindo de A para D.</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>Convenção de sinais</p><p>• Cálculo da tensão máxima:</p><p>𝜏𝑚á𝑥 =</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝑐2</p><p>𝐽𝑝</p><p>=</p><p>−20 × 106 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 60 𝑚𝑚</p><p>13,9 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜏𝑚á𝑥 = −86,3 𝑀𝑃𝑎</p><p>• Cálculo da tensão mínima:</p><p>𝜏𝑚í𝑛 =</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝑐1</p><p>𝐽𝑝</p><p>=</p><p>−20 × 106 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 45 𝑚𝑚</p><p>13,9 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜏𝑚í𝑛 = −64,7 𝑀𝑃𝑎</p><p>• Outra forma para obter a tensão mínima:</p><p>𝜏𝑚í𝑛</p><p>𝜏𝑚á𝑥</p><p>=</p><p>𝑐1</p><p>𝑐2</p><p>⇒</p><p>𝜏𝑚í𝑛</p><p>−86,2 𝑀𝑃𝑎</p><p>=</p><p>45 𝑚𝑚</p><p>60 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝜏𝑚í𝑛 = −64,7 𝑀𝑃𝑎</p><p>b) Determinar o diâmetro d das partes AB e CD (𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐶𝐷 ⇒ 𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐶𝐷)</p><p>𝜏𝐴𝐵 = 𝜏𝑎𝑑𝑚 =</p><p>𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴𝐵</p><p>𝐽𝑝𝐴𝐵</p><p>=</p><p>𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴𝐵</p><p>𝜋 ∗ 𝑟𝐴𝐵</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>2 ∗ 𝑇𝐴𝐵</p><p>𝜋 ∗ 𝑟𝐴𝐵</p><p>3</p><p>𝑟𝐴𝐵 =</p><p>3 2 ∗ 𝑇𝐴𝐵</p><p>𝜋 ∗ 𝜏𝑎𝑑𝑚</p><p>=</p><p>3 2 ∗ 6 × 106 𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝜋 ∗ 65 𝑀𝑃𝑎</p><p>⇒ 𝑟𝐴𝐵 = 38,9 𝑚𝑚</p><p>𝑑 = 2 ∗ 𝑟𝐴𝐵 = 2 ∗ 38,9 𝑚𝑚 ⇒ 𝑑 = 77,8 𝑚𝑚</p><p>80</p><p>Conhecendo:</p><p>𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾 ⇒ lei de Hooke para o cisalhamento</p><p>𝜏 =</p><p>𝑇 ∗ 𝜌</p><p>𝐽𝑝</p><p>⇒ distribuícção de tensão na seção transversal</p><p>𝐿 ∗ 𝛾 = 𝜌 ∗ 𝜙 ⇒ relação cinemática da deformação</p><p>𝛾 =</p><p>𝜙</p><p>𝐿</p><p>∗ 𝜌 ⇒</p><p>𝜏</p><p>𝐺</p><p>=</p><p>𝜙 ∗ 𝜌</p><p>𝐿</p><p>⇒</p><p>𝑇 ∗ 𝜌</p><p>𝐺 ∗ 𝐽𝑝</p><p>=</p><p>𝜙 ∗ 𝜌</p><p>𝐿</p><p>⇒ 𝜙 =</p><p>𝑇 ∗ 𝐿</p><p>𝐺 ∗ 𝐽𝑝</p><p>Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e</p><p>diferentes materiais ao longo do seu comprimento</p><p>𝜙 =</p><p>𝑖</p><p>𝑇𝑖 ∗ 𝐿𝑖</p><p>𝐺𝑖 ∗ 𝐽𝑝𝑖</p><p>81</p><p>Ângulo de Torção 𝝓</p><p>Exercícios</p><p>Solução da parte (a):</p><p>• Trata-se de um eixo maciço engastado em uma extremidade e livre em outra;</p><p>• Na extremidade A é aplicado um torque de 226 N.m;</p><p>• Ao seccionar o eixo em qualquer ponto entre as extremidades, é possível verificar que o torque é constante ao</p><p>longo do eixo.</p><p>82</p><p>∅𝐴 =</p><p>𝑇 ∗ 𝐿</p><p>𝐺 ∗ 𝐽𝑝</p><p>⇒ giro da seção A rad ;</p><p>𝑇 ⇒ torque agindo ao longo do eixo;</p><p>𝐿 ⇒ comprimento do eixo;</p><p>𝐺 ⇒ módulo de elasticidade transversal;</p><p>𝐽𝑝 =</p><p>𝜋 ∗ 𝑟4</p><p>2</p><p>=</p><p>𝜋 ∗ 𝑑4</p><p>32</p><p>⇒ momento de inércia polar da seção.</p><p>∅𝐴 =</p><p>𝑇 ∗ 𝐿</p><p>𝐺 ∗ 𝐽𝑝</p><p>=</p><p>−226 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 1,80 × 103 𝑚𝑚</p><p>77 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 304</p><p>32</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ ∅𝐴 = −0,066 𝑟𝑎𝑑</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>Solução da parte (b):</p><p>• Trata-se de um eixo vazado, com diâmetro externo 30 mm e interno 20 mm, engastado em uma extremidade e livre em outra;</p><p>• Na extremidade A é aplicado um torque de 226 N.m;</p><p>• Ao seccionar o eixo em qualquer ponto entre as extremidades, é possível verificar que o torque é constante ao longo do eixo.</p><p>𝐽𝑝 =</p><p>𝜋 ∗ 𝑑𝑒</p><p>4</p><p>32</p><p>−</p><p>𝜋 ∗ 𝑑𝑖</p><p>4</p><p>32</p><p>=</p><p>𝜋 ∗ 304</p><p>32</p><p>−</p><p>𝜋 ∗ 204</p><p>32</p><p>⇒ 𝐽𝑝 = 63,81 × 103 𝑚𝑚4</p><p>∅𝐴 =</p><p>𝑇 ∗ 𝐿</p><p>𝐺 ∗ 𝐽𝑝</p><p>=</p><p>−226 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 1,80 × 103 𝑚𝑚</p><p>77 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗ 63,81 × 103 𝑚𝑚4</p><p>⇒ ∅𝐴 = −0,083 𝑟𝑎𝑑</p><p>83</p><p>Solução da parte (a):</p><p>• Determinar o giro relativo entre as seções B e C (∆∅𝐵𝐶);</p><p>Partindo de A para D:</p><p>𝐴</p><p>𝐷</p><p>𝑇 = 200 𝑁.𝑚 + 300</p><p>𝑁.𝑚 − 500 𝑁.𝑚 = 0 ⇒ equilíbrio (rotação constante)</p><p>∆∅𝐵𝐶=</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝐿𝐵𝐶</p><p>𝐺𝐵𝐶 ∗ 𝐽𝑝𝐵𝐶</p><p>=</p><p>200 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 1,2 × 103 𝑚𝑚</p><p>27 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 444</p><p>32</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ ∆∅𝐵𝐶= 0,024 𝑟𝑎𝑑</p><p>84</p><p>𝑇𝐶</p><p>𝑇𝐵</p><p>𝑇𝐷 = 𝑇𝑀 = 500 𝑁.𝑚</p><p>200</p><p>500</p><p>500</p><p>200</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>+</p><p>+</p><p>Solução da parte (b):</p><p>• Determinar o giro relativo entre as seções B e D (∆∅𝐵𝐷)</p><p>• ∆∅𝐵𝐷= ∅𝐵 − ∅𝐷</p><p>• ∆∅𝐵𝐶= ∅𝐵 − ∅𝐶 ⇒ giro relativo entre as seções B e C</p><p>• ∆∅𝐶𝐷= ∅𝐶 − ∅𝐷 ⇒ giro relativo entre as seções C e D</p><p>• ∆∅𝐵𝐶 + ∆∅𝐶𝐷= ∅𝐵 − ∅𝐶 + ∅𝐶 − ∅𝐷 = ∅𝐵 − ∅𝐷 = ∆∅𝐵𝐷</p><p>• Portanto: ∆∅𝐵𝐷= ∆∅𝐵𝐶 + ∆∅𝐶𝐷</p><p>∆∅𝐵𝐷= ∆∅𝐵𝐶 +</p><p>𝑇𝐶𝐷 ∗ 𝐿𝐶𝐷</p><p>𝐺𝐶𝐷 ∗ 𝐽𝑝𝐶𝐷</p><p>= 0,024 𝑟𝑎𝑑 +</p><p>500 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 0,9 × 103 𝑚𝑚</p><p>27 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 484</p><p>32</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ ∆∅𝐵𝐷= 0,056 𝑟𝑎𝑑</p><p>85</p><p>𝑇𝐶</p><p>𝑇𝐵</p><p>𝑇𝐷 = 𝑇𝑀 = 500 𝑁.𝑚</p><p>200</p><p>500</p><p>500</p><p>200</p><p>+</p><p>+</p><p>Solução da parte (a):</p><p>• Trata-se de 3 polias unidas por eixos de seção circular;</p><p>• A somatória dos torque é mula;</p><p>Partindo de A para C:</p><p>𝐴</p><p>𝐶</p><p>𝑇 = 400 𝑁.𝑚 − 1200 𝑁.𝑚 + 800 𝑁.𝑚 = 0 ⇒ equilíbrio (rotação constante)</p><p>∆∅𝐴𝐵=</p><p>𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐺𝐴𝐵 ∗ 𝐽𝑝𝐴𝐵</p><p>=</p><p>400 × 103𝑁.𝑚𝑚 ∗ 1,2 × 103 𝑚𝑚</p><p>39 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 304</p><p>32</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ ∆∅𝐴𝐵= 0,155 𝑟𝑎𝑑</p><p>86</p><p>𝑇𝐶</p><p>𝑇𝐵</p><p>𝑇𝐴</p><p>400</p><p>400</p><p>−800</p><p>−800</p><p>+</p><p>−</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>Solução da parte (b):</p><p>∆∅𝐴𝐶= ∆∅𝐴𝐵 + ∆∅𝐵𝐶</p><p>∆∅𝐴𝐶= ∆∅𝐴𝐵 +</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝐿𝐵𝐶</p><p>𝐺𝐵𝐶 ∗ 𝐽𝑝𝐵𝐶</p><p>∆∅𝐴𝐶 = 0,155 𝑟𝑎𝑑 +</p><p>−800 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 1,8 × 103 𝑚𝑚</p><p>39 × 103</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚2 ∗</p><p>𝜋 ∗ 404</p><p>32</p><p>𝑚𝑚4</p><p>= 0,155 𝑟𝑎𝑑 − 0,147 𝑟𝑎𝑑</p><p>∆∅𝐴𝐶 = 0,008 𝑟𝑎𝑑</p><p>87</p><p>𝑇𝐶</p><p>𝑇𝐵</p><p>𝑇𝐴</p><p>400</p><p>400</p><p>−800</p><p>−800</p><p>+</p><p>−</p><p>Problemas Estaticamente Indeterminados na Torção</p><p>Resolução:</p><p>• Trata-se de um eixo com as extremidades engastadas: ∅𝐴 = ∅𝐶 = 0;</p><p>• ∆∅𝐴𝐶= ∅𝐴 − ∅𝐶 = 0 (condição de compatibilidade);</p><p>• Considera-se torques de reação contrários à 𝑇;</p><p>• 𝑇𝐴 ⇒ torque de reação em A;</p><p>• 𝑇𝐶 ⇒ torque de reação em C;</p><p>𝑇𝐴</p><p>𝑇𝐶</p><p>16</p><p>𝐴</p><p>𝐶</p><p>𝑇 = 0 ⇒ −𝑇𝐴 + 1412 𝑁.𝑚 − 𝑇𝐶 = 0 ⇒ 𝑇𝐴 + 𝑇𝑐 = 1412 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>∆∅𝐴𝐶= ∆∅𝐴𝐵 + ∆∅𝐵𝐶= 0 ⇒</p><p>𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐺𝐴𝐵 ∗ 𝐽𝑝𝐴𝐵</p><p>+</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝐿𝐵𝐶</p><p>𝐺𝐵𝐶 ∗ 𝐽𝑝𝐵𝐶</p><p>= 0</p><p>−𝑇𝐴 ∗ 𝐿𝐴𝐵</p><p>𝐺𝐴𝐵 ∗ 𝐽𝑝𝐴𝐵</p><p>+</p><p>𝑇𝐶 ∗ 𝐿𝐵𝐶</p><p>𝐺𝐵𝐶 ∗ 𝐽𝑝𝐵𝐶</p><p>= 0 ⇒</p><p>−𝑇𝐴 ∗ 304,8 𝑚𝑚</p><p>25,5 𝐺𝑃𝑎 ∗</p><p>𝜋 ∗ 38,14</p><p>32 𝑚𝑚4</p><p>+</p><p>𝑇𝐶 ∗ 457,2 𝑚𝑚</p><p>38,6 𝐺𝑃𝑎 ∗</p><p>𝜋 ∗ 50,84</p><p>32 𝑚𝑚4</p><p>= 0</p><p>−𝑇𝐴 ∗ 304,8</p><p>25,5 ∗ 38,14</p><p>+</p><p>𝑇𝐶 ∗ 457,2</p><p>38,6 ∗ 50,84</p><p>= 0 ⇒ 𝑇𝐴 = 0,314 ∗ 𝑇𝐶</p><p>0,314 ∗ 𝑇𝐶 + 𝑇𝑐 = 1412 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 1,314 ∗ 𝑇𝐶 = 1412 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 𝑇𝐶 = 1075 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝑇𝐴 = 1412 𝑘𝑁.𝑚𝑚 − 1075 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 𝑇𝐴 = 337 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>89</p><p>𝑇𝐴</p><p>𝑇𝐶</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>+</p><p>𝑇𝐴</p><p>𝑇𝐶</p><p>−</p><p>Solução da parte (a):</p><p>𝜏𝐴𝐵 =</p><p>𝑇𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴𝐵</p><p>𝐽𝐴𝐵</p><p>=</p><p>−337 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 19,05 𝑚𝑚</p><p>𝜋 ∗ 19,054</p><p>2</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜏𝐴𝐵 ≅ −31 𝑀𝑃𝑎</p><p>Solução da parte (b):</p><p>𝜏𝐵𝐶 =</p><p>𝑇𝐵𝐶 ∗ 𝑟𝐵𝐶</p><p>𝐽𝐵𝐶</p><p>=</p><p>1075 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 25,4 𝑚𝑚</p><p>𝜋 ∗ 25,44</p><p>2</p><p>𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜏𝐵𝐶 ≅ 41,8 𝑀𝑃𝑎</p><p>90</p><p>𝑇𝐴</p><p>𝑇𝐶</p><p>Flexão Pura de Vigas Simétricas</p><p>Vigas: Elementos estruturais delgados que tem com finalidade suportar esforços cortantes e momentos fletores.</p><p>91</p><p>Flexão Pura</p><p>Teoria de Viga de Bernoulli (Flexão Pura)</p><p>Flexão Pura de Vigas Simétricas</p><p>92</p><p>Hipóteses:</p><p>• Seções transversais simétricas;</p><p>• Seções transversais permanecem planas;</p><p>• Seções transversais permanecem perpendicular ao plano neutro;</p><p>• Pequenas deformações e pequenos deslocamentos;</p><p>• Material elástico, linear, homogêneo e isotrópico.</p><p>Análise Cinemática:</p><p>• Comprimento da linha neutra DE: 𝑆 = 𝜌. 𝜃</p><p>• Comprimento da linha JK: 𝑆′ = 𝜌 − 𝑦 . 𝜃</p><p>• Deformação normal da fibra JK:</p><p>𝜀 =</p><p>∆𝑆</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>𝑆′ − 𝑆</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>𝜌 − 𝑦 . 𝜃 − 𝜌. 𝜃</p><p>𝜌. 𝜃</p><p>⇒ 𝜀 = −</p><p>𝑦</p><p>𝜌</p><p>93</p><p>• Tensão normal na fibra JK:</p><p>Para material elástico, linear, homogêneo e isotrópico: 𝜎 = 𝐸. 𝜀</p><p>𝜀 = −</p><p>𝑦</p><p>𝜌</p><p>⇒ deformação normal na fibra</p><p>𝜎 = −</p><p>𝐸. 𝑦</p><p>𝜌</p><p>• Condições de equilíbrio na seção:</p><p>𝑑𝐹𝑥 = 0 ⇒</p><p>𝐴</p><p>𝑑𝐹𝑥 = 0 ⇒</p><p>𝐴</p><p>𝜎 𝑑𝐴 = 0 ⇒ −</p><p>𝐴</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>. 𝑦 𝑑𝐴 = 0 ⇒ −</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>𝐴</p><p>𝑦 𝑑𝐴 = 0</p><p>−</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>= 0 ⇒ 𝜌 = ∞ ⇒ viga sem flexão</p><p>𝐴</p><p>𝑦 𝑑𝐴 = 𝑦. 𝐴 = 0 ⇒ linha neutra passa pelo CG da seção</p><p>94</p><p>𝑑𝑀𝑧 = 𝑀𝑧 ⇒ Tensão de compressão 𝜎 < 0 aplicada na parte</p><p>superior da seção 𝑦 > 0 gera 𝑀𝑧 > 0 ⇒ 𝑀𝑧 = −</p><p>𝐴</p><p>𝜎. 𝑦 𝑑𝐴</p><p>𝑀𝑧 = −</p><p>𝐴</p><p>−</p><p>𝐸. 𝑦</p><p>𝜌</p><p>𝑦 𝑑𝐴 ⇒ 𝑀𝑧 =</p><p>𝐴</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>𝑦2 𝑑𝐴 ⇒ 𝑀𝑧 =</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>𝐴</p><p>𝑦2 𝑑𝐴</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝑀𝑧 =</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>. 𝐽𝑧𝑧 ⇒ 𝑀𝑧 = −</p><p>𝜎</p><p>𝑦</p><p>. 𝐽𝑧𝑧 ⇒ 𝜎 = −</p><p>𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝑑𝑀𝑦 = 0 ⇒ 𝑑𝑀𝑦 = 0 ⇒</p><p>𝐴</p><p>𝜎. 𝑧 𝑑𝐴 = 0 ⇒ −</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>𝐴</p><p>𝑦. 𝑧 𝑑𝐴</p><p>𝐽𝑦𝑧</p><p>= 0</p><p>−</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>= 0 ⇒ 𝜌 = ∞ ⇒ viga sem flexão</p><p>𝐽𝑦𝑧 =</p><p>𝐴</p><p>𝑦. 𝑧 𝑑𝐴 = 0 ⇒ y e z são eixos principais de inércia</p><p>𝜎 = −</p><p>𝐸. 𝑦</p><p>𝜌</p><p>⇒</p><p>𝐸</p><p>𝜌</p><p>= −</p><p>𝜎</p><p>𝑦</p><p>95</p><p>Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor</p><p>1) Traçar os diagramas de cortante e momento fletor para a viga dada.</p><p>𝑅𝑉\A 𝑅𝑉\B</p><p>Resolução:</p><p>• Determinação das reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A + 𝑅𝑉\B − 15 𝑘𝑁 − 20 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A = 10 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −20 𝑘𝑁𝑚 − 2 𝑚 ∗ 15 𝑘𝑁 − 5 𝑚 ∗ 20 𝑘𝑁 + 6 𝑚 ∗ 𝑅𝑉\B = 0 ⇒ 𝑅𝑉\B = 25 𝑘𝑁</p><p>20 𝑘𝑁</p><p>96</p><p>• Construção dos diagrama de cortante (V)</p><p>10 𝑘𝑁</p><p>20 𝑘𝑁</p><p>C D E</p><p>C D E BA</p><p>𝑉𝐴 = 10 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>− = 10 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>+ = 10 − 15 = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐸 = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵 = −5 − 20 = −25 𝑘𝑁</p><p>25 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵 = −25 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐸 = −25 + 20 = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>− = −5 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>+ = −5 + 15 = 10 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴 = 10 𝑘𝑁</p><p>97</p><p>• Construção dos diagrama de momento fletor (M)</p><p>10 𝑘𝑁</p><p>20 𝑘𝑁</p><p>C D E</p><p>𝑀𝐴 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐶 = 2 ∗ 10 = 20 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷</p><p>− = 3 ∗ 10 − 1 ∗ 15 = 15 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷</p><p>+ = 15 + 20 = 35 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐸 = 4 ∗ 10 − 2 ∗ 15 + 20 = 30 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐵 = 6 ∗ 10 − 4 ∗ 15 + 20 − 1 ∗ 20 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>25 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝐵 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐸 = 2 ∗ 25 − 1 ∗ 20 = 30 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷</p><p>− = 3 ∗ 25 − 2 ∗ 20 = 35 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷</p><p>+ = 35 − 20 = 15 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐶 = 4 ∗ 25 − 3 ∗ 20 − 20 = 20 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐴 = 6 ∗ 25 − 5 ∗ 20 − 20 − 2 ∗ 15 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>C D E BA</p><p>98</p><p>2) Traçar os diagramas de cortante e momento fletor para a viga dada.</p><p>↺</p><p>𝑀𝑟\A</p><p>𝑅𝑉\A</p><p>12 𝑘𝑁</p><p>Resolução:</p><p>• Determinação das reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A − 12 𝑘𝑁 − 6 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A = 18 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑀𝑟\A − 0,75 𝑚 ∗ 12 𝑘𝑁 − 3 𝑚 ∗ 6 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑀𝑟\A = 27 𝑘𝑁.𝑚</p><p>99</p><p>𝑉𝐴 = 18 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵 = 18 − 12 = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶 = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶 = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵 = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴 = 6 + 12 = 18 𝑘𝑁</p><p>• Construção dos diagrama de cortante (V)</p><p>↺</p><p>27 𝑘𝑁𝑚</p><p>18 𝑘𝑁</p><p>12 𝑘𝑁</p><p>CB</p><p>A</p><p>B C</p><p>100</p><p>𝑀𝐴 = −27 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐵 = −27 + 1,5 ∗ 18 − 0,75 ∗ 12 = −9 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐶 = −27 + 3 ∗ 18 − 2,25 ∗ 12 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐶 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐵 = −1,5 ∗ 6 = −9 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐴 = −3 ∗ 6 − 0,75 ∗ 12 = −27 𝑘𝑁𝑚</p><p>• Construção dos diagrama de momento fletor (M)</p><p>↺</p><p>27 𝑘𝑁𝑚</p><p>18 𝑘𝑁</p><p>12 𝑘𝑁</p><p>CB</p><p>A B C</p><p>101</p><p>3) Traçar os diagramas de cortante e momento fletor para a viga dada.</p><p>Resolução:</p><p>• Determinação das reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A + 𝑅𝑉\B − 300 𝑁 − 1200 𝑁 − 600 𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A = 750 𝑁 = 0,75 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 0,5 𝑚 ∗ 300 𝑁 − 0,5 𝑚 ∗ 1200 𝑁 − 1,5 𝑚 ∗ 600 𝑁 + 1 𝑚 ∗ 𝑅𝑉\B = 0 ⇒ 𝑅𝑉\B = 1350 𝑁 = 1,35 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉\A 𝑅𝑉\B</p><p>1200 𝑁</p><p>102</p><p>𝑉𝐶 = −0,3 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴</p><p>− = −0,3 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴</p><p>+ = −0,3 + 0,75 = 0,45 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐸 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>− = 0,45 − 1,2 = −0,75 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>+ = −0,75 + 1,35 = 0,6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = 0,6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = 0,6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>− = 0,6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>+ = 0,6 − 1,35 = −0,75 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐸 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴</p><p>− = −0,75 + 1,2 = 0,45 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐴</p><p>+ = 0,45 − 0,75 = −0,3 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶 = −0,3 𝑘𝑁</p><p>• Construção dos diagrama de cortante (V)</p><p>750 𝑁 1350 𝑁</p><p>1200 𝑁</p><p>C D</p><p>A BC DE</p><p>𝑥 1 − 𝑥</p><p>𝑥</p><p>0,45</p><p>=</p><p>1 − 𝑥</p><p>0,75</p><p>𝑥 = 0,375 𝑚</p><p>1 − 𝑥 = 0,625 𝑚</p><p>103</p><p>𝑀𝐶 = −0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐴 = −0,5 ∗ 0, 3 = −0,15 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐸 = − 0,5 + 0,375 ∗ 0,3 + 0,375 ∗ 0,75 −</p><p>1,2</p><p>2</p><p>∗ 0,3752 = −0,07 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐵 = −1,5 ∗ 0,3 + 1 ∗ 0,75 − 0,5 ∗ 1,2 = −0,3 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷 = −2 ∗ 0,3 + 1,5 ∗ 0,75 − 1 ∗ 1,2 + 0,5 ∗ 1,35 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐷 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐵 = −0,5 ∗ 0,6 = −0,3 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐸 = − 0,5 + 0,625 ∗ 0,6 + 0,625 ∗ 1,35 −</p><p>1,2</p><p>2</p><p>∗ 0,6252 = −0,07 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐴 = −1,5 ∗ 0,6 + 1 ∗ 1,35 − 0,5 ∗ 1,2 = −0,15 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝐶 = −2 ∗ 0,6 + 1,5 ∗ 1,35 − 1 ∗ 1,2 + 0,5 ∗ 0,75 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>• Construção dos diagrama de momento fletor (M)</p><p>750 𝑁 1350 𝑁</p><p>1200 𝑁</p><p>C D</p><p>A BC D</p><p>𝑥 = 0,375 𝑚 1 − 𝑥 = 0,625 𝑚</p><p>104</p><p>Ex) Determinar a máxima tensão normal agindo na seção transversal da viga.</p><p>Solução:</p><p>• Reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉𝐵 + 𝑅𝑉𝐶 − 50000 𝑁 = 0</p><p>+↺ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −3 𝑚 ∗ 50000 𝑁 + 6 𝑚 ∗ 𝑅𝑉𝐶 = 0 ⇒ 𝑅𝑉𝐶 = 25000 𝑁</p><p>𝑅𝑉𝐵 = 50000 𝑁 − 25000 𝑁 ⇒ 𝑅𝑉𝐵 = 25000 𝑁</p><p>𝑅𝑉𝐶𝑅𝑉𝐵</p><p>50000 𝑁</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 186,36 × 106 𝑚𝑚4</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝐿𝑁</p><p>105</p><p>• Diagramas de esforços internos: 𝑉 e 𝑀𝑧</p><p>• Diagrama de Cortante 𝑉</p><p>𝑉𝐴 = 0</p><p>𝑉𝐵− = −10000 𝑁</p><p>𝑉𝐵+ = −10000 + 25000 = 15000 𝑁</p><p>𝑉𝐶− = 15000 − 30000 = −15000 𝑁</p><p>𝑉𝐶+ = −15000 + 25000 = 10000 𝑁</p><p>𝑉𝐷 = 10000 − 10000 = 0</p><p>• Diagrama de Momento Fletor 𝑀𝑧</p><p>𝑀𝑧𝐴 = 0</p><p>𝑀𝑧𝐵 = −1 𝑚 ∗ 10000 𝑁 = −10000 𝑁</p><p>𝑀𝑧𝐶 = −7 𝑚 ∗ 10000 𝑁 + 6 𝑚 ∗ 25000 − 3 𝑚 ∗ 30000 𝑁 = −10000 𝑁.𝑚</p><p>𝑀𝑧𝐷 = 0</p><p>Momento máximo ocorre em ponto E, onde o cortante é zero.</p><p>𝑀𝑧𝑚á𝑥 = 𝑀𝑧𝐸 = −4 𝑚 ∗ 10000 𝑁 + 3 𝑚 ∗ 25000 𝑁 − 1,5 𝑚 ∗ 15000 𝑁</p><p>𝑀𝑧𝑚á𝑥 = 12500 𝑁.𝑚</p><p>15000 𝑁</p><p>106</p><p>• Cálculo da Tensão Normal Máxima</p><p>A tensão máxima ocorrerá na seção com maior momento fletor e nas extremidades mais distante do CG.</p><p>No exemplo, a tensão máxima ocorre nas extremidades inferior e superior.</p><p>Para a extremidade inferior, temos:</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝜎 =</p><p>−12,5 × 106 𝑁.𝑚𝑚 ∗ −150 𝑚𝑚</p><p>186,36 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜎 = 10,1 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 186,36 × 106 𝑚𝑚4</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝐿𝑁</p><p>107</p><p>Tensão de Cisalhamento na Flexão de Vigas Simétricas</p><p>Tendência de deslizamento das camadas longitudinais</p><p>108</p><p>𝐹𝑥 = 𝜎𝑥 𝑑𝐴′ 𝐹𝑥+∆𝑥 = 𝜎𝑥+∆𝑥 𝑑𝐴′</p><p>→</p><p>+</p><p>𝐹𝑥 = 0 ⇒ 𝐹𝐻 +</p><p>𝐴′</p><p>𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝑦 𝑑𝐴′ −</p><p>𝐴′</p><p>𝑀+ Δ𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝑦 𝑑𝐴′ = 0</p><p>𝐹𝐻 =</p><p>Δ𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝐴′</p><p>𝑦 𝑑𝐴′</p><p>𝑄𝑧</p><p>⇒ 𝐹𝐻 =</p><p>∆𝑀.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝐹𝑥+∆𝑥 =</p><p>𝐴′</p><p>𝑀 + Δ𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝑦 𝑑𝐴′𝐹𝑥 =</p><p>𝐴′</p><p>𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝑦 𝑑𝐴′</p><p>109</p><p>𝐹𝐻 =</p><p>∆𝑀.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎. 𝑡. ∆𝑥 =</p><p>∆𝑀.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎 =</p><p>∆𝑀</p><p>∆𝑥</p><p>𝑄𝑧</p><p>𝑡 . 𝐽𝑧</p><p>𝜏 = lim</p><p>∆𝑥→0</p><p>∆𝑀</p><p>∆𝑥</p><p>𝑄𝑧</p><p>𝑡 . 𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝜏 =</p><p>𝑑𝑀</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑉</p><p>𝑄𝑧</p><p>𝑡 . 𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝜏 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝑡 . 𝐽𝑧</p><p>𝑉 ⇒ força cortante na seção</p><p>𝑡 ⇒ largura da seção transversal no ponto avaliado</p><p>𝑄𝑧 ⇒ momento de área acima do ponto avaliado em relação à linha neutra</p><p>𝐽𝑧 ⇒ momento de inércia da seção</p><p>𝑄𝑧 = 𝑦. 𝐴′ ⇒ momento de área em relação à z</p><p>𝐹𝐻 = 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎. 𝑡. ∆𝑥</p><p>110</p><p>Ex.) Determine a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal de uma viga de seção retangular.</p><p>Resolução:</p><p>• Cálculo do momento de área para A’</p><p>𝑄𝑧 = 𝑦′. 𝐴′ = 𝑦 +</p><p>1</p><p>2</p><p>ℎ</p><p>2</p><p>− 𝑦 .</p><p>ℎ</p><p>2</p><p>− 𝑦 . 𝑏 ⇒ 𝑄𝑧 =</p><p>1</p><p>2</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>− 𝑦2 . 𝑏</p><p>• Cálculo do momento de inércia 𝐽𝑧</p><p>𝐽𝑧 =</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>12</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉. 𝑄𝑧</p><p>𝑡 . 𝐽𝑧</p><p>𝐴′ 𝑦 =</p><p>ℎ</p><p>2</p><p>− 𝑦 . 𝑏</p><p>𝑦′ 𝑦 = 𝑦 +</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>ℎ</p><p>2</p><p>− 𝑦</p><p>• Cálculo da distribuição da tensão de cisalhamento</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝑡. 𝐽𝑧</p><p>=</p><p>𝑉.</p><p>1</p><p>2</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>− 𝑦2 . 𝑏</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>12</p><p>. 𝑏</p><p>𝜏 =</p><p>6𝑉</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>.</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>− 𝑦2</p><p>111</p><p>𝜏 =</p><p>6𝑉</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>.</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>− 𝑦2</p><p>Para 𝑦 = ∓</p><p>ℎ</p><p>2</p><p>𝜏 =</p><p>6𝑉</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>.</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>−</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>⇒ 𝜏 = 0</p><p>Para 𝑦 = 0</p><p>𝜏 =</p><p>6𝑉</p><p>𝑏. ℎ3</p><p>.</p><p>ℎ2</p><p>4</p><p>= 1,5</p><p>𝑉</p><p>𝑏. ℎ</p><p>⇒ 𝜏 = 1,5. 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎</p><p>112</p><p>Ex. 1) Uma viga de aço de perfil W tem as dimensões indicadas na figura. Se uma força cortante 𝑉 = 80 𝑘𝑁 age em sua seção transversal, esboce</p><p>a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da seção transversal.</p><p>Resolução:</p><p>𝜏 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝑡. 𝐽𝑧</p><p>• Momento de inércia da seção 𝐽𝑧</p><p>𝐽𝑧 =</p><p>15 ∗ 2003</p><p>12</p><p>+ 2</p><p>300 ∗ 203</p><p>12</p><p>+ 300 ∗ 20 ∗ 1102 ⇒ 𝐽𝑧 = 155,6 × 106 𝑚𝑚4</p><p>113</p><p>• Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto B’</p><p>𝑄𝐵′ = 𝑦. 𝐴′ = 110 ∗ 300 ∗ 20 = 660 × 103 𝑚𝑚3</p><p>𝜏𝐵′ =</p><p>𝑉. 𝑄𝐵′</p><p>𝐽𝑧. 𝑡𝐵′</p><p>=</p><p>80 × 103 𝑁 ∗ 660 × 103 𝑚𝑚3</p><p>155,6 × 106 𝑚𝑚4 ∗ 300 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝜏𝐵′ = 1,13 𝑀𝑃𝑎</p><p>• Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto B</p><p>𝑄𝐵 = 𝑄𝐵′</p><p>𝜏𝐵 =</p><p>𝑉.𝑄𝐵</p><p>𝐽𝑧. 𝑡𝐵</p><p>=</p><p>80 × 103 𝑁 ∗ 660 × 103 𝑚𝑚3</p><p>155,6 × 106 𝑚𝑚4 ∗ 15 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝜏𝐵 = 22,6 𝑀𝑃𝑎</p><p>• Cálculo da tensão de cisalhamento no ponto C</p><p>𝑄𝐶 = 𝑦. 𝐴′ = 110 ∗ 300 ∗ 20 + 50 ∗ 15 ∗ 100 = 735 × 103 𝑚𝑚3</p><p>𝜏𝐶 =</p><p>𝑉.𝑄𝐶</p><p>𝐽𝑧. 𝑡𝐶</p><p>=</p><p>80 × 103 𝑁 ∗ 735 × 103 𝑚𝑚3</p><p>155,6 × 106 𝑚𝑚4 ∗ 15 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝜏𝐶 = 25,2 𝑀𝑃𝑎</p><p>• Tensão média na alma da viga 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎</p><p>𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎 =</p><p>𝑉</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>80 × 103 𝑁</p><p>15 ∗ 200 𝑚𝑚²</p><p>⇒ 𝜏𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 26,7 𝑀𝑃𝑎</p><p>114</p><p>Fluxo de Cisalhamento entre Membros Montados</p><p>𝑑𝐹 =</p><p>𝑑𝑀</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝐴′</p><p>𝑦 𝑑𝐴′</p><p>𝑄𝑧</p><p>=</p><p>𝑑𝑀 .𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>𝑞 =</p><p>𝑑𝐹</p><p>𝑑𝑥</p><p>=</p><p>𝑑𝑀</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑉</p><p>.</p><p>𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝑞 =</p><p>𝑉 . 𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>• Fluxo de Cisalhamento (𝑞)</p><p>𝑞 =</p><p>𝑑𝐹</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝐹 = 𝜏 . 𝑑𝐴 = 𝜏 . 𝑡 . 𝑑𝑥 ⇒</p><p>𝑑𝐹</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 𝜏 . 𝑡 = 𝑞</p><p>115</p><p>• Espaçamento entre pregos</p><p>Força de cisalhamento em cada prego</p><p>𝐹 = 𝑞 . 𝑠</p><p>𝑞 ⇒ fluxo de cisalhamento entre as partes;</p><p>𝑠 ⇒ espaçamento entre os pregos.</p><p>Tipos de Montagens</p><p>116</p><p>Ex. 2) Pregos, tendo uma resistência ao cisalhamento de 900 N, são usados em uma viga que pode ser construída como no Caso I ou como no Caso</p><p>II. Se os pregos são espaçados em 250 mm, determine a maior força cortante que pode ser suportada, em cada caso, de modo que os</p><p>pregos não sofram falha.</p><p>Resolução:</p><p>• Cálculo do momento de inércia 𝐽𝑧</p><p>𝐽𝑧 =</p><p>75 ∗ 1003</p><p>12</p><p>− 2 ∗</p><p>25 ∗ 803</p><p>12</p><p>⇒ 𝐽𝑧 = 4,12 × 106 𝑚𝑚4</p><p>117</p><p>Caso I:</p><p>𝑄𝑧 = 𝑦′ . 𝐴′ = 45 𝑚𝑚 ∗ 75 𝑚𝑚 ∗ 10 𝑚𝑚 ⇒ 𝑄𝑧 = 3,38 × 104 𝑚𝑚³</p><p>𝑞 =</p><p>𝐹</p><p>𝑠</p><p>=</p><p>900 𝑁</p><p>250 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝑞 = 3,6 𝑁/𝑚𝑚</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉 .𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝑉 =</p><p>𝑞 . 𝐽𝑧</p><p>𝑄𝑧</p><p>=</p><p>3,6</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚</p><p>∗ 4,12 × 106 𝑚𝑚4</p><p>3,38 × 104 𝑚𝑚³</p><p>⇒ 𝑉 ≅ 439 𝑁</p><p>118</p><p>Caso II:</p><p>𝑄𝑧 = 𝑦′ . 𝐴′ = 45 𝑚𝑚 ∗ 25 𝑚𝑚 ∗ 10 𝑚𝑚 ⇒ 𝑄𝑧 = 1,13 × 104 𝑚𝑚³</p><p>𝑞 =</p><p>𝐹</p><p>𝑠</p><p>=</p><p>900 𝑁</p><p>250 𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝑞 = 3,6 𝑁/𝑚𝑚</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉 .𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧</p><p>⇒ 𝑉 =</p><p>𝑞 . 𝐽𝑧</p><p>𝑄𝑧</p><p>=</p><p>3,6</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚</p><p>∗ 4,12 × 106 𝑚𝑚4</p><p>1,13 × 104 𝑚𝑚³</p><p>⇒ 𝑉 ≅ 1313 𝑁</p><p>119</p><p>Exercícios sobre Flexão de Vigas Simétricas</p><p>Ex. 1) A viga, ilustrada abaixo, tem seção transversal retangular. Se 𝑤= 1 𝑘𝑁/𝑚, determine as máximas tensões normais na viga.</p><p>6 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉|𝐵 𝑅𝑉|𝐶</p><p>𝐴 𝐵 𝐶 𝐷</p><p>Resolução:</p><p>• Reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐵 + 𝑅𝑉|𝐶 − 6 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐵 = 3 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐵 = 0 ⇒ −1 𝑚 ∗ 6 𝑘𝑁 + 2 𝑚 ∗ 𝑅𝑉|𝐶 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐶 = 3 𝑘𝑁</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>120</p><p>6 𝑘𝑁</p><p>3 𝑘𝑁</p><p>𝐴 𝐵 𝐶 𝐷</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1 + +</p><p>−−</p><p>𝑉 (𝑘𝑁)</p><p>3 𝑘𝑁</p><p>𝐸</p><p>2 21,5−</p><p>− −</p><p>−</p><p>• Diagramas de Esforços Internos</p><p>𝑉𝐴 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>− = −1 𝑘𝑁/𝑚 ∗ 2 𝑚 = −2 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>+ = −1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 2 𝑚 + 3 𝑘𝑁 = 1 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐸 = −1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 3 𝑚 + 3 𝑘𝑁 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>− = −1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4 𝑚 + 3 𝑘𝑁 = −1 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶</p><p>+ = −1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4 𝑚 + 3 𝑘𝑁 + 3 𝑘𝑁 = 2 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = −1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 6 𝑚 + 3 𝑘𝑁 + 3 𝑘𝑁 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝑍|𝐴 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐵 = −0,5 ∗ 1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 2 𝑚 2 = −2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐸 = −0,5 ∗ 1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 3 𝑚 2 + 3 𝑘𝑁 ∗ 1 𝑚 = −1,5 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐶 = −0,5 ∗ 1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4 𝑚 2 + 3 𝑘𝑁 ∗ 2 𝑚 = −2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐷 = −0,5 ∗ 1 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 6 𝑚 2 + 3 𝑘𝑁 ∗ 4 𝑚 + 3 𝑘𝑁 ∗ 2 𝑚 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>• Momento fletor máximo ocorre nas seções B e C</p><p>𝑀𝑍|𝐵 = 𝑀𝑍|𝐶 = −2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑧 (𝑘𝑁𝑚)</p><p>121</p><p>• Cálculo das tensões normais máximas na viga</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>75 𝑚𝑚</p><p>75 𝑚𝑚</p><p>𝐿𝑁</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝑀𝑧 = −2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 =</p><p>50 𝑚𝑚 ∗ 150 𝑚𝑚 3</p><p>12</p><p>⇒ 𝐽𝑧𝑧 = 14,06 × 106 𝑚𝑚4</p><p>𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>− −2 𝑘𝑁𝑚 ∗ 75 𝑚𝑚</p><p>14,06 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 10,67 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>− −2 𝑘𝑁𝑚 ∗ −75 𝑚𝑚</p><p>14,06 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = −10,67 𝑀𝑃𝑎</p><p>122</p><p>Ex. 2) Dada a viga abaixo, determinar a máxima tensão normal de tração na seção transversal considerando 𝑑 = 410 𝑚𝑚 .</p><p>Resolução:</p><p>• Reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐴 + 𝑅𝑉|𝐵 − 32 𝑘𝑁 − 12 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐴 = 10 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −2 𝑚 ∗ 32 𝑘𝑁 − 6 𝑚 ∗ 12 𝑘𝑁 + 4 𝑚 ∗ 𝑅𝑉|𝐵 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐵 = 34 𝑘𝑁</p><p>𝑅𝑉|𝐴 𝑅𝑉|𝐵</p><p>32 𝑘𝑁</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>123</p><p>10 𝑘𝑁 34 𝑘𝑁</p><p>32 𝑘𝑁</p><p>++</p><p>−</p><p>1212</p><p>22</p><p>10</p><p>𝑉 (𝑘𝑁)</p><p>𝑀𝑧 (𝑘𝑁𝑚)</p><p>−</p><p>24</p><p>6,25+</p><p>−</p><p>+</p><p>𝐶</p><p>𝐷</p><p>4 − 𝑥𝑥</p><p>• Diagramas de Esforços Internos</p><p>𝑉𝐴 = 10 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐷 = −8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 1,25 𝑚 + 10 𝑘𝑁 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>− = −8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4𝑚 + 10 𝑘𝑁 = −22 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>+ = −8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4𝑚 + 10 𝑘𝑁 + 34 𝑘𝑁 = 12 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶 = −8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4𝑚 + 10 𝑘𝑁 + 34 𝑘𝑁 = 12 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝑍|𝐴 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐷 = 10 𝑘𝑁 ∗ 1,25 𝑚 − 0,5 ∗ 8</p><p>𝑘𝑁 𝑚 ∗ 1,25 𝑚 2 = 6,25 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐵 = 10 𝑘𝑁 ∗ 4 𝑚 − 0,5 ∗ 8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4 𝑚 2 = −24 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐶 = 10 𝑘𝑁 ∗ 6 𝑚 − 8 𝑘𝑁 𝑚 ∗ 4 𝑚 ∗ 4 𝑚 + 34 𝑘𝑁 ∗ 2 𝑚 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>• Momento fletor máximo ocorre nas seções B</p><p>𝑀𝑍|𝐵 = −24 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑥</p><p>10</p><p>=</p><p>4 − 𝑥</p><p>22</p><p>⇒ 𝑥 = 1,25 𝑚</p><p>124</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝐿𝑁</p><p>𝑀𝑧 = −24 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 =</p><p>175 𝑚𝑚 ∗ 410 𝑚𝑚 3</p><p>12</p><p>−</p><p>125 𝑚𝑚 ∗ 260 𝑚𝑚 3</p><p>12</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 822 × 106 𝑚𝑚4</p><p>• Cálculo da tensão normal de tração na viga</p><p> Trata-se de uma viga com seção transversal com dupla simetria;</p><p> A máxima tensão normal de tração ocorrerá na extremidade superior da viga (momento negativo).</p><p>𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =</p><p>−𝑀𝑧. 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>− −24 × 106 𝑁𝑚𝑚 ∗ 205 𝑚𝑚</p><p>822 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ≅ 6𝑀𝑃𝑎</p><p>125</p><p>Ex. 3) Determine a máxima tensão normal agindo na seção 𝑎 − 𝑎 da viga em balanço.</p><p>Resolução:</p><p>• Reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐴 − 2 𝑘𝑁 − 4 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉|𝐴 = 6 𝑘𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑀𝑧|𝐴 − 0,5 𝑚 ∗ 2 𝑘𝑁 − 0,8 𝑚 ∗ 4 𝑘𝑁 = 0 ⇒ 𝑀𝑧|𝐴 = 4,2 𝑘𝑁𝑚</p><p>↺</p><p>𝑅𝑉|𝐴</p><p>𝑀𝑧|𝐴 𝐴 𝐵 𝐶</p><p>126</p><p>↺</p><p>6 𝑘𝑁</p><p>4,2 𝑘𝑁𝑚 𝐴 𝐵 𝐶</p><p>𝑉 (𝑘𝑁)</p><p>6 6</p><p>4 4</p><p>+</p><p>+</p><p>4,2</p><p>1,2</p><p>−</p><p>−</p><p>𝑀𝑧 (𝑘𝑁𝑚)</p><p>• Diagramas de Esforços Internos</p><p>𝑉𝐴 = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>− = 6 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐵</p><p>+ = 6 𝑘𝑁 − 2 𝑘𝑁 = 4 𝑘𝑁</p><p>𝑉𝐶 = 6 𝑘𝑁 − 2 𝑘𝑁 = 4 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝑍|𝐴 = −4,2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐵 = −4,2 𝑘𝑁𝑚+ 0,5 𝑚 ∗ 6 𝑘𝑁 = −1,2 𝑘𝑁𝑚</p><p>𝑀𝑍|𝐶 = −4,2 𝑘𝑁𝑚 + 0,8 𝑚 ∗ 6 𝑘𝑁 − 0,3 𝑚 ∗ 2 𝑘𝑁 = 0 𝑘𝑁𝑚</p><p>• Momento fletor máximo ocorre nas seções A</p><p>𝑀𝑍|𝐴 = −4,2 𝑘𝑁𝑚</p><p>127</p><p>• Determinação do 𝐶𝐺</p><p>𝑦1 = 10 𝑚𝑚 𝑦2 = 55 𝑚𝑚</p><p>𝑦 =</p><p>𝑦1 . 𝐴1 + 𝑦2 . 𝐴2</p><p>𝐴1 + 𝐴2</p><p>=</p><p>10 ∗ 50 ∗ 20 + 55 ∗ 20 ∗ 70</p><p>50 ∗ 20 + 20 ∗ 70</p><p>⇒ 𝑦 = 36,25 𝑚𝑚</p><p>• Determinação do 𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 =</p><p>50 ∗ 203</p><p>12</p><p>+ 50 ∗ 20 ∗ 10 − 36,25 2 +</p><p>20 ∗ 703</p><p>12</p><p>+ 20 ∗ 70 ∗ 55 − 36,25 2</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 1,79 × 106 𝑚𝑚4</p><p>• Cálculo da tensão normal máxima</p><p>𝜎𝑚á𝑥 =</p><p>−𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>− −4,2 × 106 𝑁𝑚𝑚 ∗ 53,75 𝑚𝑚</p><p>1,79 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝜎𝑚á𝑥 = 126,1 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝑅𝑒𝑓.</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑦1</p><p>𝑦2</p><p>𝑧′1</p><p>𝑧′2</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>𝐶𝐺</p><p>𝑦</p><p>Teorema dos Eixos Paralelos</p><p>𝐽𝑥𝑥 = 𝐽𝑥′𝑥′ + 𝐴 . 𝑑2</p><p>𝑅𝑒𝑓.</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>𝐶𝐺</p><p>36,25 𝑚𝑚</p><p>53,75 𝑚𝑚</p><p>𝜎𝑚á𝑥</p><p>𝐿𝑁 𝑀𝑧 = −4,2 𝑘𝑁𝑚</p><p>128</p><p>Ex. 4) A viga, ilustrada abaixo, é construída por dois perfis T, mais duas placas. Cada placa tem altura de 150 𝑚𝑚 e uma espessura de 12 𝑚𝑚.</p><p>Se uma força cortante 𝑉 = 250 𝑘𝑁 está agindo na seção transversal, determine o espaçamento máximo dos parafusos sabendo que cada parafuso</p><p>pode resistir a uma força cortante de 75 𝑘𝑁.</p><p>Resolução:</p><p>• Determinação de 𝐽𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 2 ∗</p><p>75 ∗ 123</p><p>12</p><p>+ 75 ∗ 12 ∗ 1062 +</p><p>12 ∗ 753</p><p>12</p><p>+ 12 ∗ 75 ∗ 62,52 + 2 ∗</p><p>12 ∗ 1503</p><p>12</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 34,87 × 106 𝑚𝑚4</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐹 = 𝑞. 𝑠</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑧1</p><p>′</p><p>𝑧2</p><p>′</p><p>𝑧 𝐿𝑁</p><p>106 𝑚𝑚</p><p>62,5 𝑚𝑚</p><p>25 𝑚𝑚 Teorema dos Eixos Paralelos</p><p>𝐽𝑥𝑥 = 𝐽𝑥′𝑥′ + 𝐴. 𝑑2</p><p>129</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑧 𝐿𝑁</p><p>106 𝑚𝑚</p><p>62,5 𝑚𝑚</p><p>25 𝑚𝑚</p><p>• Cálculo do momento de área do perfil T em relação ao eixo z</p><p>𝑄𝑧 = 75 ∗ 12 ∗ 106 + 12 ∗ 75 ∗ 62,5 ⇒ 𝑄𝑧 = 151,65 × 103 𝑚𝑚³</p><p>• Cálculo do fluxo de cisalhamento no perfil T</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>250 × 103 𝑁 ∗ 151,65 × 103 𝑚𝑚³</p><p>34,87 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝑞 = 1,09 × 103 𝑁/𝑚𝑚</p><p>• Cálculo do espaçamento entre os furos</p><p> O parafuso possui 2 planos de corte, portanto:</p><p>2𝐹 = 𝑞. 𝑠 ⇒ 𝑠 =</p><p>2𝐹</p><p>𝑞</p><p>=</p><p>2 ∗ 75 × 103 𝑁</p><p>1,09 × 103 𝑁/𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝑠 ≅ 138 𝑚𝑚</p><p>130</p><p>Exercícios de Revisão para P2</p><p>Ex. 1) O eixo maciço ACB é feito de aço, tem diâmetro de 40 mm e é engastado em suas extremidades A e B. Se está sujeito ao carregamento</p><p>ilustrado na figura, determine a máxima tensão de cisalhamento nas regiões AC e CB.</p><p>Resolução:</p><p>• Condição de equilíbrio</p><p>→ + 𝑇 = 0 ⇒ 𝑇 − 𝑇𝐴 − 𝑇𝐵 = 0</p><p>𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝐴 𝐶 𝐵𝑇𝑇𝐴 𝑇𝐵</p><p>𝑇 = 100 𝑚𝑚 ∗ 2 𝑘𝑁</p><p>𝑇 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝑇𝐴</p><p>𝑇𝐵</p><p>+</p><p>−</p><p>𝑇 > 0</p><p>𝑇 < 0</p><p>131</p><p>• Condição de compatibilidade: ∆∅𝐴𝐵= 0</p><p>∆∅𝐴𝐵= ∆∅𝐴𝐶 + ∆∅𝐶𝐵= 0</p><p>𝑇𝐴𝐶 . 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐺. 𝐽𝑝𝐴𝐶</p><p>+</p><p>𝑇𝐶𝐵 . 𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐺. 𝐽𝑝𝐶𝐵</p><p>= 0</p><p>𝑇𝐴𝐶 . 𝐿𝐴𝐶</p><p>𝐺. 𝐽𝑝</p><p>+</p><p>𝑇𝐶𝐵 . 𝐿𝐶𝐵</p><p>𝐺. 𝐽𝑝</p><p>= 0 ⇒ 𝑇𝐴 ∗ 400 𝑚𝑚 + −𝑇𝐵 ∗ 600 𝑚𝑚 = 0</p><p>𝑇𝐴 = 1,5 ∗ 𝑇𝐵</p><p>• Resolução do sistema de equações</p><p>𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝑇𝐴 = 1,5 ∗ 𝑇𝐵</p><p>1,5 ∗ 𝑇𝐵 + 𝑇𝐵 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 2,5 ∗ 𝑇𝐵 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 𝑇𝐵 = 80 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>𝑇𝐴 = 200 𝑘𝑁.𝑚𝑚 − 80 𝑘𝑁.𝑚𝑚 ⇒ 𝑇𝐴 = 120 𝑘𝑁.𝑚𝑚</p><p>• Tensão de cisalhamento nos trechos AB e BC</p><p>𝜏𝐴𝐵 =</p><p>𝑇𝐴𝐵 . 𝑟𝐴𝐵</p><p>𝐽𝑝𝐴𝐵</p><p>=</p><p>120 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 20 𝑚𝑚</p><p>𝜋 ∗ 204</p><p>2</p><p>𝑚𝑚4</p><p>𝜏𝐴𝐵 ≅ 9,55 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝜏𝐵𝐶 =</p><p>𝑇𝐵𝐶 . 𝑟𝐵𝐶</p><p>𝐽𝑝𝐵𝐶</p><p>=</p><p>−80 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 20 𝑚𝑚</p><p>𝜋 ∗ 204</p><p>2</p><p>𝑚𝑚4</p><p>𝜏𝐵𝐶 ≅ −6,37 𝑀𝑃𝑎</p><p>132</p><p>Ex. 2) A cadeira, ilustrada na figura, é suportada por um braço que está articulado de modo que possa rotacionar sobre o eixo vertical em A. Se</p><p>o carregamento sobre a cadeira é 900 𝑁 e o braço de suporte possui uma seção tubular vazada tendo as dimensões ilustrada na figura, determine a</p><p>máxima tensão normal na seção 𝑎 − 𝑎.</p><p>Resolução:</p><p>• Cálculo do momento fletor na seção 𝑎 − 𝑎</p><p>𝑀𝑎 = − 900 𝑚𝑚 ∗ 900 𝑁 ⇒ 𝑀𝑎 = −810 × 103 𝑁.𝑚𝑚</p><p>• Cálculo do 𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 =</p><p>25 ∗ 75³</p><p>12</p><p>−</p><p>13 ∗ 633</p><p>12</p><p>⇒ 𝐽𝑧𝑧 = 6,08 × 105 𝑚𝑚4</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>• Cálculo da máxima tensão normal</p><p> Pela simetria, as tensões normais de tração e compressão tem</p><p>módulos iguais</p><p>𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =</p><p>−𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>− −810 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗ 37,5 𝑚𝑚</p><p>6,08 × 105 𝑚𝑚4</p><p>𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 ≅ 50 𝑀𝑃𝑎, 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = −50 𝑀𝑃𝑎</p><p>𝑧</p><p>𝑦</p><p>37,5 𝑚𝑚</p><p>𝐿𝑁</p><p>133</p><p>Ex. 3) A viga de madeira tem uma seção transversal retangular na proporção ilustrada na figura. Determine a dimensão 𝑏 se a tensão normal</p><p>máxima na viga é 𝜎𝑚á𝑥 = 10 𝑀𝑃𝑎.</p><p>Resolução:</p><p>• Reações nos apoios</p><p>+↑ 𝐹𝑉 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A + 𝑅𝑉\B − 1000 𝑁 = 0 ⇒ 𝑅𝑉\A = 750 𝑁</p><p>+↺ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ −1 𝑚 ∗ 1000 𝑁 + 4 𝑚 ∗ 𝑅𝑉\B = 0 ⇒ 𝑅𝑉\B = 250 𝑁</p><p>𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>1000 𝑁</p><p>𝑅𝑉\A</p><p>𝑅𝑉\B</p><p>134</p><p>750 𝑁</p><p>250 𝑁</p><p>1000 𝑁</p><p>𝐶</p><p>• Diagramas de Esforços Internos</p><p>𝑉𝐴 = 750 𝑁</p><p>𝑉𝐶 = 750 𝑁 − 2 𝑚 ∗ 500 𝑁/𝑚 = −250 𝑁</p><p>𝑉𝐵 = −250 𝑁 + 250 𝑁 = 0 𝑘𝑁</p><p>𝑀𝑍\𝐴 = 0 𝑁.𝑚</p><p>𝑀𝑍\C = 2 𝑚 ∗ 750 𝑁 − 1 𝑚 ∗ 1000 𝑁 = 500 𝑁.𝑚</p><p>𝑀𝑍\D = 1,5 𝑚 ∗ 750 𝑁 − 500</p><p>𝑁</p><p>𝑚</p><p>∗</p><p>1,5 𝑚 2</p><p>2</p><p>= 562,5 𝑁.𝑚</p><p>𝑀𝑍\B = 4 𝑚 ∗ 750 𝑁 − 3 𝑚 ∗ 1000 𝑁 = 0 𝑁.𝑚</p><p>• Momento fletor máximo ocorre na seção D</p><p>𝑀𝑍\D = 562,5 𝑁.𝑚</p><p>𝐷</p><p>+</p><p>− − 250</p><p>750</p><p>𝑉 (𝑁)</p><p>2 − 𝑥</p><p>𝑥</p><p>𝑥</p><p>750</p><p>=</p><p>2 − 𝑥</p><p>250</p><p>⇒ 𝑥 = 1,5</p><p>𝑀 (𝑁.𝑚)</p><p>562,5</p><p>500+ + +</p><p>135</p><p>• Determinação da largura 𝑏 da viga</p><p> Trata-se de uma viga com seção transversal com dupla simetria;</p><p> A máxima tensão normal de tração ocorrerá na extremidade inferior da viga (momento positivo).</p><p>𝑦 =</p><p>−1,5𝑏</p><p>2</p><p>⇒ 𝜎 =</p><p>−𝑀𝑧 . 𝑦</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>⇒ 10</p><p>𝑁</p><p>𝑚𝑚²</p><p>=</p><p>− 562,5 × 103 𝑁.𝑚𝑚 ∗</p><p>−1,5𝑏</p><p>2</p><p>𝑚𝑚</p><p>𝑏 ∗ 1,5𝑏 3</p><p>12</p><p>𝑚𝑚4</p><p>𝑏 ≅ 53,1 𝑚𝑚</p><p>136</p><p>Ex. 4) Duas placas com espessura de 20 mm idênticas são aparafusadas nas mesas superior e inferior da viga, conforme ilustrado na figura.</p><p>Se a viga está sujeita a uma força cortante 𝑉 = 75 𝑘𝑁, determine o máximo espaçamento permitido dos parafusos mais próximo de um múltiplo de</p><p>5 mm. Cada parafuso tem uma resistência ao cisalhamento igual à 30 kN.</p><p>Resolução:</p><p>• Determinação de 𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧 =</p><p>200 ∗ 340³</p><p>12</p><p>− 2 ∗</p><p>95 ∗ 2803</p><p>12</p><p>𝐽𝑧𝑧 = 307,49 × 106 𝑚𝑚4</p><p>• Cálculo do momento de área da placa em relação ao eixo 𝑧</p><p>𝑄𝑧 = 20 ∗ 200 ∗ 160 ⇒ 𝑄𝑧 = 640 × 103 𝑚𝑚³</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>𝐹 = 𝑞 . 𝑠</p><p>𝑧</p><p>200 𝑚𝑚</p><p>20 𝑚𝑚</p><p>𝐿𝑁</p><p>160 𝑚𝑚</p><p>137</p><p>• Cálculo do fluxo de cisalhamento no perfil T</p><p>𝑞 =</p><p>𝑉.𝑄𝑧</p><p>𝐽𝑧𝑧</p><p>=</p><p>75 × 103 𝑁 ∗ 640 × 103 𝑚𝑚³</p><p>307,49 × 106 𝑚𝑚4</p><p>⇒ 𝑞 = 156,1 𝑁/𝑚𝑚</p><p>• Cálculo do espaçamento entre os parafusos 𝑠</p><p> Há dois parafusos em linha, portanto:</p><p>2𝐹 = 𝑞. 𝑠 ⇒ 𝑠 =</p><p>2𝐹</p><p>𝑞</p><p>=</p><p>2 ∗ 30 × 103 𝑁</p><p>156,1𝑁/𝑚𝑚</p><p>⇒ 𝑠 ≅ 384,4 𝑚𝑚</p><p>Adotando s como um múltiplo de 5 mm, temos: 𝑠 = 380 𝑚𝑚.</p><p>138</p>