Resistência de Materiais: Flexão

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Departamento de Engenharia Civil 
Universidade de Aveiro 
 
 
 
 
 
 
Resistência de Materiais
 
 
FLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Humberto Varum 
Julho 2007 
 
 
 
Flexão 
 
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FLEXÃO 
 
1 – Generalidades 
 
 
Figura 1 – Elementos estruturais sujeitos a flexão 
 
Considere-se uma viga simplesmente apoiada em equilíbrio sob a acção de um dado sistema de 
forças, como indicado na Figura 2. 
 
 
Figura 2 – Viga simplesmente apoiada sujeita a um sistema genérico de forças 
 
Seja: eR a resultante das forças à esquerda da secção S; e, dR a resultante das forças à direita da 
secção S. Como a viga está em equilíbrio, pode-se escrever: 
 
0=+ de RR 
 
Denomine-se por: 
 N o esforço axial na secção S, isto é, a projecção de eR ou dR na direcção do eixo da 
barra; 
 V o esforço transverso na secção S, isto é, a projecção de eR ou dR no plano normal ao 
eixo da barra; 
 M o momento estático em relação a S de eR ou dR . 
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( ) e dM S R a R a= ⋅ = ⋅ 
 
Para que seja indiferente considerar forças à esquerda ou forças à direita da secção S, deve-se ter 
em conta que o equilíbrio da secção impõe que os esforços M, V e N produzidos por eR são 
iguais aos produzidos por dR , mas de sentidos contrários: 
M 
 
ou 
 
 
V 
 
ou 
 
 N 
 
ou 
 
Figura 3 – Esforços à esquerda e à direita de uma secção 
 
 
1.1 – Convenção de sinais dos esforços usada na Resistência de Materiais 
 
 
Figura 4 – Convenção de sinais dos esforços internos 
 
 
1.2 – Deformada da viga 
 
 
a) b) b) 
Figura 5 – Deformada da viga: a) produzida por ( )M S+ ; b) produzida por ( )M S− ; 
c) numa secção em que ( ) 0M S = 
 
 
 
 
0tg = ⇒ ponto de inflexão 
da deformada 
esforços produzidos por dR esforços produzidos por eR 
Legenda: 
 esforços produzidos por eR 
 esforços produzidos por dR 
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2 – Relações entre momento-flector, esforço de corte e carga distribuída aplicada 
 
Considere uma viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga variável com distribuição 
contínua ( )p x . 
 
 
Figura 6 – Viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga distribuída variável 
 
Isole-se o elemento de viga compreendido entre as secções S e 'S , e estude-se o seu equilíbrio: 
 
 
α é função da distribuição de forças ( )p x 
Figura 7 – Troço de viga entre as secções S e 'S 
 
Do equilíbrio estático das forças perpendiculares à direcção da barra conclui-se: 
 
 
0=∑ yF ( ) 0V V dV p x dx⇒ − − − =
 ( )dV p x dx= − 
∴
( ) ( )dV x
p x
dx
= − (1) 
 
Do equilíbrio de momentos em torno de 'S conclui-se: 
 
 
' 0sM =∑ ( )M V dx M dM p x dx dxα⇒ + ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ 0=
 dxVdM ⋅= 
∴
( ) ( )dM x
V x
dx
= (2) 
infinitésimo de 2ª ordem 
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Derivando a expressão (2) em ordem à variável x, obtém-se: 
 
( ) ( ) ( )
2
2
d M x dV x
p x
dx dx
= = − 
 
∴
( ) ( )
2
2
d M x
p x
dx
= − 
 
Estas relações só são válidas para: 
 
 x com desenvolvimento positivo da esquerda para a direita; 
 ( )p x perpendicular ao eixo da viga; 
 ( )p x positivo se definido de cima para baixo relativamente à direcção da barra 
(esquerda/direita), como representado na Figura 8. 
 
 
Figura 8 – Convenção para o carregamento distribuído 
 
Considerando x com desenvolvimento positivo de d para e, é necessário adaptar os sinais das 
expressões (1) e (2). 
 
 As expressões (1) e (2) são válidas qualquer que seja a lei de variação de ( )p x com x , 
inclusive para ( ) 0p x = . 
 
As expressões (1) e (2) deixam de ser válidas nas secções onde exista uma descontinuidade no 
diagrama de esforço transverso (V ) produzida por uma carga concentrada. As expressões são, no 
entanto, válidas à esquerda e à direita dessas secções. Veja-se o exemplo da Figura 9. 
 
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Figura 9 – Descontinuidade em C da função ( )V x 
 
Pode-se concluir que: 
 Se ( )p x é um polinómio de grau n, então ( )V x é um polinómio de grau n+1, e 
consequentemente ( )M x é um polinómio de grau n+2. 
 Nas secções em que ( ) 0p x = , a função ( )V x passa por um extremo (Figura 10). 
 Nas secções em que ( ) 0V x = , a função ( )M x passa por um extremo (Figura 11). 
 
 
 
Figura 10 – Esforço transverso máximo Figura 11 – Momento flector máximo 
 
 
 
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3 – Tensões normais em flexão pura 
 
3.1 – Conceitos gerais 
 
Uma barra diz-se solicitada em flexão pura, quando se encontra submetida nas suas extremidades 
unicamente à acção de 2 momentos iguais e de sentidos opostos (Figura 12). 
 
ou 
 
Figura 12 – Barra sujeita à flexão pura 
 
Alguns exemplos de barras sujeitas à flexão pura: 
 
 
Barra AB sujeita à flexão pura Barra AB sujeita à flexão pura 
 
 
Troço BC sujeito à flexão pura Troço BC sujeito à flexão pura 
Figura 13 – Exemplos de barras sujeitas à flexão pura 
 
 
 
 
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A flexão pura caracteriza-se por: 
 
( )
( ) ( )
( )
0
0
N x
dM x
V x
dx
M x const
⎧ =
⎪
⎪ = =⎨
⎪
⎪ =
⎩
 
 
Os resultados do estudo da flexão pura são aplicáveis, com suficiente aproximação, aos casos 
mais correntes em que M(x) é variável, sendo portanto ( ) ( ) 0
dM x
V x
dx
= ≠ (flexão simples). Daí 
o interesse do estudo que aqui se desenvolve para a flexão pura. 
 
Considere-se uma viga de eixo rectilíneo, com secção transversal constante, dotada de um plano 
de simetria vertical e sujeita à flexão pura como indicado na Figura 14. 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 c) d) 
Figura 14 – Flexão de uma viga sujeita a um par de momentos: a) deformada; 
 b) secção transversal da viga antes da deformação; c) flexão plana; d) flexão desviada 
 
Os binários definidos pelos momentos M (ou por um par de forças que os produzem) definem o 
plano de solicitação. 
 
Em flexão plana a deformada do eixo da viga está contida no plano de solicitação. Por seu lado, 
em flexão desviada a deformada do eixo da viga não está contida no plano de solicitação. 
 
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Por razões de simetria da secção transversal da viga e da solicitação é fácil compreender que, se 
o plano de simetria da viga deformada coincide com o plano de simetria da viga indeformada 
(Figura 14-c), logo a flexão é plana. Se o plano de solicitação não coincidir com o plano de 
simetria da viga, a flexão é desviada (Figura 14-d). 
 
A intercepção do plano de solicitação no plano de uma secção transversal qualquer é designado 
por eixo de solicitação (e.s.) ou eixo das acções. 
 
 
3.2 – Dedução de expressões 
 
No que se segue, admitir-se-á que: 
 o material que constitui a barra trabalha em regime elástico linear, sendo válida a lei de 
Hooke: 
εσ ⋅= E 
 após a deformação, as secções transversais mantém-se planas e perpendiculares às fibras 
deformadas (hipótese de Navier-Bernoulli), Figura 15: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
Figura 15 – Hipótese de Navier-Bernoulli: a) viga antes da deformação; b) viga deformada em flexão pura 
 
 uma viga sujeita a um momento-flector (M) positivo tem as fibras superiores 
comprimidas e as fibras inferiores traccionadas; 
 as fibras neutras são aquelas que não sofrem extensões; 
 o conjunto de fibras neutras define a superfície neutra; 
 o traço da superfícieneutra numa secção transversal qualquer é a recta designada por 
eixo neutro (e.n.). 
 
fibras superiores 
tendem a encurtar 
fibras neutras que 
não sofrem extensão 
fibras inferiores 
tendem a alongar 
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Considere uma viga de eixo rectilíneo, com secção transversal constante, dotada de um eixo de 
simetria vertical (z é eixo de simetria), e submetida à flexão pura plana, como indicado na Figura 
16. 
 
 
a) b) c) d) 
Figura 16 – Viga sujeita à flexão pura plana: a) deformada; b) secção; 
c) distribuição de deformações na secção; d) distribuição de tensões na secção 
 
 
Pode concluir-se que: 
 como as secções planas se mantém planas após a deformação, o eixo neutro é 
naturalmente uma recta; 
 por razões de simetria o eixo neutro (e.n.) é horizontal; 
 As extensões variam linearmente com z e não dependem de y. O mesmo acontece com as 
tensões, pelo facto de ser válida a lei de Hooke ( εσ ⋅= E ). 
 
Deformação sofrida pelo elemento de viga 21SS : 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Deformação sofrida pelo elemento de viga 21SS 
ρ ⇒ raio de curvatura 
 
1
ρ
⇒ curvatura 
fibras neutras (mantém 
o comprimento inicial) 
raio de curvatura
centro de curvatura 
troço de viga antes 
da deformação 
C ⇒ centro de 
curvatura 
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A deformação longitudinal das fibras de ordenada z vale ϕdzdx ⋅=Δ . 
 
A extensão longitudinal das fibras de ordenada z vale 
dx
dz
dx
dx ϕε ⋅
=
Δ
= . 
 
Mas, como z ddx d
d
ϕρ ϕ ε
ρ ϕ
⋅
= ⋅ ⇒ =
⋅
 
 
∴
zε
ρ
= 
 
Salienta-se que esta expressão foi deduzida simplesmente a partir da hipótese da conservação das 
secções planas. 
 
Pela lei de Hooke: 
ρ
εσ zEE ⋅=⋅= 
 
O equilíbrio de qualquer secção permite concluir: 
 
Figura 18 – Tensão num ponto da secção provocada pelo momento-flector 
 
 
 
 
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 o somatório das forças perpendiculares ao plano da secção é nulo ( 0N = ): 
( , ) 0y z d Nσ
Ω
Ω = =∫ (flexão simples) 
 
0 0z EE d z d
ρ ρΩ Ω
⋅ Ω = ⇒ ⋅ Ω = ⇒∫ ∫ 0z d
Ω
Ω =∫ 
∴o eixo neutro (e.n.) é baricêntrico: 0 G≡ 
 
 a resultante de momentos em torno do eixo 0y vale yM : 
( , ) yy z z d Mσ
Ω
⋅ Ω =∫ 
2
y
E z d M
ρ Ω
⋅ Ω =∫ 
 
Como: 2
yz d I
Ω
Ω =∫ (momento de inércia em relação a 0y ) 
∴
1 y
y
M
E Iρ
=
⋅
 
 
Como yM , E e yI são constantes, então ρ (raio de curvatura) será também constante. 
Assim, a deformada em flexão pura é um arco de circunferência. 
 
yIE ⋅ é a rigidez de flexão. 
 
Analogamente, no capítulo relativo ao esforço axial, da expressão N l
E l
ε Δ
= =
⋅Ω
 , tinha-
se concluído que E ⋅Ω é a rigidez axial. 
 
 
 a resultante de momentos em torno do eixo 0z ( )zM vale zero: 
( , ) 0zy z y d Mσ
Ω
⋅ Ω = =∫ 
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0E y z d
ρ Ω
⋅ ⋅ Ω =∫ 
 
Como yzy z d I
Ω
⋅ Ω =∫ (produto de inércia em relação ao par de eixos 0y e 0z ) 
 
Conclui-se que 0=yzI , o que era de esperar pois o eixo 0z é eixo de simetria. Mas, no 
caso geral, para yzI ser nulo bastará que 0y e 0z sejam eixos principais centrais de 
inércia. 
 
Conclui-se que para que a flexão seja plana, bastará que os eixos na secção transversal 
sejam principais centrais de inércia, não sendo necessário que um deles seja eixo de 
simetria da secção transversal. 
 
 as tensões normais são dadas por: 
 
zEσ
ρ
= ⋅ 
y
y
M
E z
E I
= ⋅ ⋅
⋅
 
∴ ( ), y
y
M
y z z
I
σ = ⋅ (Equação de Navier) 
 
 
3.3 – Dimensionamento e verificação de segurança 
 
Para dimensionamento ou verificação da segurança ter-se-á de verificar as tensões máximas: 
y
máx máx
y
M
z
I
σ σ= ⋅ ≤ (tensão resistente do material) 
 
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Figura 19 – Tensão máxima na secção 
 
y
y
máx
I
w
z
= (módulo de flexão em relação ao eixo 0y ) 
 
Para verificação da segurança: y
máx
y
M
w
σ σ= ≤ 
Para dimensionamento: 
σ
y
y
M
w ≥ 
 
Nas Tabelas Técnicas [3] são dados os módulos de flexão ( )yw para cada perfil usado na 
construção metálica. Hoje em dia, e com a diversidade de perfis produzidos para as novas 
exigências da construção, cada empresa produtora fornece tabelas com as características 
geométricas, tal como as fornecidas nas tabelas técnicas para os perfis estandardizados. 
 
 
4 – Rotação relativa entre duas secções ( )ϕ 
 
A rotação relativa entre duas secções ( )ϕ é a deformação associada a uma barra sujeita à flexão, 
tal como o alongamento é a deformação associada a uma barra sujeita a esforço axial. 
 
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a) b) 
 
c) d) 
Figura 20 – Rotação relativa de duas secções numa viga sujeita à flexão pura: a) carregamento; b) diagrama de 
momentos; c) deformada; d) relação entre o raio de curvatura e a rotação relativa de duas secções 
 
dx dρ ϕ= ⋅ ⇒ dx
IE
Mdxd ⋅
⋅
=⋅=
ρ
ϕ 1 (3) 
 
 
 
Como M , E e I são constantes, integrando a expressão (3) ao longo do comprimento da barra 
obter-se-á para a rotação relativa entre as secções A e B: 
,
0
l
A B
x
M dx
E I
ϕ
=
=
⋅∫ 
∴ ,A B
M l
E I
ϕ = ⋅
⋅
 
 
A rotação relativa entre duas secções A e B de uma viga sujeita à flexão pura é dada pela área do 
diagrama 
IE
M
⋅
 compreendido entre A e B. 
 
deformada é um arco 
de circunferência 
ver Figura 20-d) 
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 Quando constM ≠ , isto é, quando a barra está sujeita à flexão simples, a deformada não 
é um arco de circunferência, pois const
IE
M
≠
⋅
=ρ . Neste caso: 
 
( )
,
B
A B
A
M x
dx
E I
ϕ =
⋅∫ 
 
 No caso mais geral, se variar também o módulo de elasticidade ( E ) e o momento de 
inércia ( I ) ao longo do comprimento da peça, virá: 
 
( )
( ) ( ),
B
A B
A
M x
dx
E x I x
ϕ =
⋅∫ 
 
 
5 – Trabalho de deformação 
 
O trabalho das forças exteriores transforma-se em energia potencial elástica: 
 
 
 
(4)
 Figura 21 – Trabalho de deformação em flexão 
 
A expressão (4) é válida se os momentos que solicitam a viga crescerem lentamente desde zero 
até ao seu valor final M. 
 
Como: 
IE
lM
⋅
⋅
=ϕ , resulta para o trabalho de deformação em flexão pura e regime elástico de 
comportamento, τ : 
 
2 2
2 2
M l E I
E I l
ϕτ ⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅
 
2
M ϕτ ⋅
= 
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Em flexão simples ( constM ≠ ) e regime elástico de comportamento: 
 
( )2
0 2
l
x
M x
dx
E I
τ
=
=
⋅ ⋅∫ 
 
 
6 – Forma racional das vigas flectidas 
 
Seja a secção transversal simétrica em relação a 0y representada na Figura 22, sujeita à flexão 
pura: 
 
Figura 22 – Secção transversal sujeita à flexão pura 
 
O material só é totalmente aproveitado nas fibras na posição 
2
hz ±= . Nas restantes fibras ter-se-
á σ σcheias, circulares cheias, etc. 
Preferencialmente devem ser utilizados perfis em I ou em secção fechada de parede delgada. 
 
 
Figura 24 – Exemplos de perfis de forma racional para as vigas flectidas 
 
 
7 – Vigas mistas 
 
Vigas mistas são elementos do tipo viga constituídos por dois ou mais materiais diferentes, 
perfeitamente solidarizados ao longo da superfície de contacto (ex: aço-betão, aço-madeira, 
reforço de elementos de betão ou madeira com fibras de carbono, etc.). 
 
Figura 25 – Viga mista sujeita à flexão pura plana 
 
superfícies de contacto dos dois 
materiais solidarizados de modo a 
não haver escorregamentos relativos 
entre as superfícies 
Flexão 
 
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Considere-se a viga mista representada na Figura 25, constituída por dois materiais distintos (1 e 
2), de eixo rectilíneo, submetida à flexão pura plana. 
 
Pelo princípio de Navier-Bernoulli (ou princípio da conservação das secções planas): 
ρ
ε zzy =),( 
 
Pela lei de Hooke: 
 
( )
( )
1
1
2 2
2 1
1
,
,
E zy z
E z E zy z E
E
σ
ρ
σ
ρ ρ
⋅⎧ =⎪⎪
⎨ ⋅⎪ = = ⋅ ⋅
⎪⎩
 
( )5
 
 
Fazendo 
2
1
E
E
m = (coeficiente de homogeneização) na expressão (5), virá: 
 
 ( ) ( )1
2
,
,
y z
y z
m
σ
σ = 
 
 
Equilíbrio da secção 
 
1) Equilíbrio em termos das forças na direcção do eixo da peça: 
 
( ), 0N y z dσ
Ω
= Ω =∫ 
( ) ( )
1 2
1 2, , 0y z d y z dσ σ
Ω Ω
Ω+ Ω =∫ ∫ 
1 2
1 2 0E Ez d z d
ρ ρΩ Ω
⋅ Ω+ ⋅ Ω =∫ ∫ (6) 
 
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 Dividindo a expressão (6) por 2E , e fazendo 
2
1
E
Em = , virá: 
1 2
0m z d z d
Ω Ω
⋅ Ω + Ω =∫ ∫ 
Dividindo a expressão (6) por 1E , e fazendo 1
2
E
m
E
= , virá: 
1 2
1 0z d z d
mΩ Ω
Ω + ⋅ Ω =∫ ∫ 
 
Se 1
2
1 >=
E
Em , ou seja 1 2E E> , duas estratégias alternativas podem ser adoptadas para a 
homogeneização (ver Figura 26). 
 
Homogeneização no material 2 
 
Homogeneização no material 1 
 
 
122 Ω⋅+Ω=Ω m 211
1
Ω⋅+Ω=Ω
m
 
2I 1I 
Figura 26 – Homogeneização 
Do equilíbrio da secção em termos de forças axiais resulta que: 
 
 o eixo neutro Oy é baricêntrico das secções “homogeneizadas”apresentadas. 
 
1) Resultante de momentos em torno do eixo 0y: 
 
( ), yy z z d Mσ
Ω
⋅ Ω =∫ 
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( ) ( )
1 2
1 2, , yy z z d y z z d Mσ σ
Ω Ω
⋅ Ω + ⋅ Ω =∫ ∫ 
1 2
2 21 2
y
E Ez d z d M
ρ ρΩ Ω
⋅ Ω + ⋅ Ω =∫ ∫ 
 
Colocando 
ρ
2E em evidência: 
 
1 2
2 22
2 2
1 y
y
ME m z d z d M
E Iρ ρΩ Ω
⎡ ⎤
⋅ ⋅ Ω + Ω = ⇒ =⎢ ⎥
⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ (7) 
 
 
Colocando 
ρ
1E
 em evidência: 
1 2
2 21
1 1
1 1 y
y
ME
z d z d M
m E Iρ ρΩ Ω
⎡ ⎤
⋅ Ω + ⋅ Ω = ⇒ =⎢ ⎥
⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ (8) 
 
 
De (7) e (8) pode-se concluir: 
 
1 1 2 2
y yM M
E I E I
=
⋅ ⋅
 
 
 
A rigidez de flexão quando a homogeneização é feita no material 1, terá de ser igual à rigidez de 
flexão se a homogeneização tiver sido feita no material 2: 
 
2211 IEIE ⋅=⋅ ⇒ 2 1I m I= ⋅ 
 
 
 
 
2 2 1I I m I= + ⋅ 
211
1 I
m
II ⋅+= 
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7.1 – Tensões 
 
Tensões na região 1 - 1( , )y zσ : 
 
1
2 2 2
1
1
1
1 1 1
( , ) ou
y y
y y
M M z
E z m
E I I
E z
y z
M M z
E z
E I I
σ
ρ
⋅⎧
⋅ ⋅ = ⋅⎪
⋅⎪
⎪
⎪⋅
= ⇒ ⎨
⎪
⎪
⋅⎪
⋅ ⋅ =⎪
⋅⎩
 
 
 Se a homogeneização for feita no material 2, calculam-se as tensões 1σ como se se 
tratasse de material 2, multiplicando-se por m o valor obtido 
2
yM z
m
I
⋅⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 Se a homogeneização for feita no material 1, calculam-se as tensões 1σ directamente 
1
yM z
I
⋅⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
 
Analogamente, tensões na região 2 - 2 ( , )y zσ : 
 
2
2
2
1
( , ) ou
1
y
y
M z
I
E zy z
M z
m I
σ
ρ
⋅⎧
⎪
⎪⋅ ⎪= ⇒ ⎨
⎪ ⋅⎪ ⋅
⎪⎩
 
 
8 – Flexão desviada 
 
8.1 – Generalidades 
 
Considere-se a viga submetida à acção de um sistema de forças complanares com o eixo da 
mesma representada na Figura 27: 
se a homogeneização for feita no material 2 
se a homogeneização for feita no material 1 
homogeneização em material 2 
homogeneização em material 1 
Flexão 
 
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Figura 27 – Flexão plana e flexão desviada 
 
 O sistema de forças considerado e o eixo da viga indeformada definem o plano de 
solicitação; 
 
 O eixo da viga deformada designa-se por curva elástica ou elástica; 
 
 A flexão é plana se a curva elástica estiver contida no plano de solicitação ( )'1SS → , 
isto é, se S se desloca numa direcção contida no plano de solicitação; 
 
 A flexão é desviada se a curva elástica não estiver contida no plano de solicitação, ou 
seja, se S se desloca numa direcção qualquer não pertencente ao plano de solicitação 
( '2SS → ou 3 'S S→ ); 
 
 O eixo de solicitação é o traço do plano de solicitação numa secção transversal qualquer 
S. 
 
A flexão será plana sempre que o plano de solicitação coincidir com qualquer dos dois planos 
definidos pelo eixo da viga e por um dos eixos principais centrais de inércia de uma secção 
transversal qualquer da mesma. 
 
Flexão 
 
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Figura 28 – Peça sujeita à flexão desviada (eixo de solicitação não coincide 
com nenhum dos eixos principais centrais de inércia da secção) 
 
 O eixo neutro é a recta lugar geométrico dos pontos de uma secção transversal qualquer 
onde a tensão normal é nula. Demonstrar-se-á que numa peça sujeita à flexão (plana ou 
desviada) o eixo neutro contém o centro de gravidade, com excepção da flexão composta 
(M e N). 
 
 
8.2 – Tensões normais em flexão desviada – y e z são eixos principais centrais de inércia 
 
Considere-se uma secção transversal de uma viga sujeita à flexão desviada produzida pelo 
momento-flector ( )M , em que os eixos y e z são eixos principais centrais de inércia. 
 
 
 
Figura 29 – Tensões normais em flexão desviada (y e z são 
eixos principais centrais de inércia) 
 
O momento-flector M é 
sempre perpendicular ao eixo 
de solicitação (e.s.) 
y e z são eixos principais 
centrais de inércia 
Flexão 
 
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Tabela 1 – Convenção de sinais 
0yM > e 0>zM Vector momento na direcção de y e z, respectivamente 
0yM Tensões normais de tracção na secção 
0σmesmo sinal. A tensão de 
tracção máxima ocorre no ponto A e a tensão de compressão máxima ocorre no ponto B. Os 
pontos A e B são os pontos dos quadrantes assinalados a tracejado mais distantes do eixo neutro. 
 
 
8.2.1 – Equação do eixo neutro 
 
Em qualquer ponto do eixo neutro: ( ) 0, =zyσ , e portanto da expressão (10) retira-se: 
 
sen cos 0
z y
y z
I I
α α
− ⋅ + ⋅ = (11) 
 
Analisando a equação (11) pode-se concluir que se trata de uma recta que passa pela origem 
( 0 0y z= ⇒ = ), isto é, o eixo neutro contém o centro de gravidade G. 
 
 
8.2.2 – Coeficiente angular do eixo neutro 
 
Da expressão (11) pode-se escrever: 
 
sen
cos
y y y
z z z
I I Izz y tg y tg
I I y I
α α α
α
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ (12) 
 
E, da Figura 29 pode retirar-se: 
 
ztg
y
β = (13)
 
Igualando as expressões (12) e (13), virá: 
 
y
z
I
tg tg
I
β α= ⋅ (14) 
Flexão 
 
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 A flexão é plana quando o eixo de solicitação e o eixo neutro são perpendiculares 
( )α β= . Se βα = para que a expressão (14) seja válida: 
 
ou
0 90
y zI I
α β α β
=⎧
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
= = ° ∨ = = °⎪⎩
 
 
 
8.3 – Tensões normais em flexão desviada – y e z são eixos quaisquer 
 
Considere-se a secção transversal de uma viga sujeita à flexão desviada produzida pelo 
momento-flector ( )M , em que y e z são eixos quaisquer. 
 
 
Figura 30 – Tensões normais em flexão desviada em que y e z são eixos quaisquer 
 
No estudo das tensões normais produzidas por M admitir-se-ão válidas a hipótese de Navier-
Bernoulli e a lei de Hooke. 
 
 A hipótese de Navier-Bernoulli (ou hipótese da conservação das secções planas): 
 
Esta hipótese implica que as extensões ε sejam função linear das coordenadas dos pontos 
em que se verificam: 
 
( ) ''', czbyazy +⋅+⋅=ε (15) 
Apenas se verifica em alguns casos particulares: secções 
quadradas, circulares, definidas por um triângulo equilátero, etc. 
O eixo de solicitação coincide com Gz ou 
Gy, isto é, com um dos eixos principais 
centrais de inércia, portanto a flexão é plana 
(c.q.d.) 
Flexão 
 
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27/43 
 A lei de Hooke diz que: 
 
),(),( zyEzy εσ ⋅= (16) 
 
De (15) e (16) retira-se que: 
 
( ),y z a y b z cσ = ⋅ + ⋅ + 
 
com 
'
'
'
a E a
b E b
c E c
= ⋅⎧
⎪ = ⋅⎨
⎪ = ⋅⎩
 
 
As tensões normais ( )zy,σ serão portanto também funções lineares das coordenadas dos pontos 
em que se verificam. 
 
O equilíbrio da secção impõe que o sistema de forças elementares dσ Ω seja estaticamente 
equivalente ao momento M : 
 
( )
( )
( )
, 0
,
,
y
z
y z d N
y z z d M
y z y d M
σ
σ
σ
Ω
Ω
Ω
⎧
Ω = =⎪
⎪
⎪
⎪⎪ ⋅ Ω =⎨
⎪
⎪
⎪
⎪ ⋅ Ω = −
⎪⎩
∫
∫
∫
 
( )
( )
( )
17
18
19
 
 
Substituindo ( )zy,σ por czbya +⋅+⋅ , virá: 
 De (17): 
 
0
0 0z y
a y d b z d c d
S S
Ω Ω Ω
⋅ Ω + ⋅ Ω + ⋅ Ω =
= = Ω
∫ ∫ ∫ 
 
Flexão 
 
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0=zS porque o eixo dos zz é baricêntrico, e 0=yS porque o eixo dos yy também é 
baricêntrico. Assim: 
 
0c ⋅Ω = 
 
∴ 0c = 
 
 De (18): 
 
2
0
y
yyz y
a y z d b z d c z d M
SI I
Ω Ω Ω
⋅ ⋅ Ω + ⋅ Ω + ⋅ Ω =
=
∫ ∫ ∫ 
∴ yz y ya I b I M⋅ + ⋅ = (20) 
 
 De (19): 
 
2
0
z
zz yz
a y d b y z d c y d M
SI I
Ω Ω Ω
⋅ Ω + ⋅ ⋅ Ω + ⋅ Ω = −
=
∫ ∫ ∫ 
∴ z yz za I b I M⋅ + ⋅ = − (21) 
 
Resolvendo o sistema de equações (20) e (21), conseguem-se determinar os coeficientes a e b: 
 
yz y y
z yz z
a I b I M
a I b I M
⋅ + ⋅ =⎧
⎪
⎨
⎪ ⋅ + ⋅ = −⎩
 ⇔ 
y y
yz
y z y z
yz z
yz
M b I
a
I
M I b I I
b I M
I
− ⋅⎧
=⎪
⎪ ⇔⎨ ⋅ − ⋅ ⋅⎪ + ⋅ = −⎪⎩
 
 
( )2 2
y z y z yz z yz yz y z y z z yzM I b I I b I M I b I I I M I M I
⎧⎧− − − − − − − − − − − −
⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨
⎪ ⎪⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅⎩ ⎪⎩
 
 
Flexão 
 
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2
y z z yz
yz y z
M I M I
b
I I I
⎧
⎪
− − − − − −⎪⎪⇔ ⇔⎨
⎪ ⋅ + ⋅⎪ = −
− ⋅⎪⎩
 
2
y y z z y yz
yz y
yz y z
M I I M I I
a I M
I I I
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎧
⋅ − =⎪ − ⋅⎪
⎪ ⇔⎨
⎪− − − − − −⎪
⎪⎩
 
 
y y z
yz
M I I
a I
⋅ ⋅
⋅ =
⇔
2
z y yz y yz y y zM I I M I M I I+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
2 2
y yz z y
yz y z yz y z
M I M I
a
I I I I I I
⎧ ⋅ + ⋅⎧
⎪ =⎪− ⋅ − ⋅⎪ ⎪
⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨
⎪ ⎪− − − − − − − − − − − −⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩⎩
 
 
2
2
y yz z y
yz y z
y z z yz
yz y z
M I M I
a
I I I
M I M I
b
I I I
⋅ + ⋅⎧
=⎪ − ⋅⎪
⎪⇔ ⎨
⎪ ⋅ + ⋅⎪ = −
− ⋅⎪⎩
 
 
∴ ( ) 2 2, y yz z y y z z yz
yz y z yz y z
M I M I M I M I
y z y z
I I I I I I
σ
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅
 (22) 
 
Esta expressão dá a tensão num ponto qualquer da secção, para um referencial central qualquer 
Gyz, sujeita à flexão desviada. 
 
Se particularmente y e z forem eixos principais centrais de inércia, o produto de inércia em 
relação a y e z será nulo ( )0yzI = , e a expressão (22) será simplificada: 
 
( ), yz
z y
MMy z y z
I I
σ = − ⋅ + ⋅ 
 
A expressão resultante, deduzida para o caso de y e z serem eixos principais centrais de inércia, é 
a expressão deduzida na Secção 8.2, como queríamos demonstrar. 
 
Flexão 
 
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30/43 
8.3.1 – Equação do eixo neutro 
 
Tal como procedido na Secção 8.2.1, a equação do eixo neutro obtém-se igualando a expressão 
da tensão num ponto qualquer a zero, pois nos pontos do eixo neutro a tensão normal é nula: 
 
( ), 0y zσ = ⇔ ( ), 0yz
z y
MMy z y z
I I
σ = − ⋅ + ⋅ = 
∴ z y
y z
I M
y z
I M
⋅
= ⋅
⋅
 
 
 
8.4 – Deformações em flexão desviada – y e z são eixos principais centrais de inércia 
 
Sendo y e z eixos principais centrais de inércia, podem-se calcular as deformações para cada uma 
das componentes de momento yM e zM . 
 
 
Figura 31 – Deformações em flexão desviada 
 
 
8.4.1 – Rotações em flexão desviada 
 
 Se a flexão for pura ( .M const= ) e se cada componente de momento ( yM e zM ) 
provocar flexão plana (y e z eixos principais centrais de inércia): 
 
Flexão 
 
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y
y
y
z
z
z
M l
E I
M l
E I
ϕ
ϕ
⋅⎧
=⎪ ⋅⎪
⎪ ⇒⎨
⎪ ⋅⎪ =
⋅⎪⎩
 a rotação resultante será 2 2
y zϕ ϕ ϕ= + 
∴
2 2
y z
y z
M Ml
E I I
ϕ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 Se a flexão for simples ( yM e zM variáveis) e se cada componente de momento 
provocar flexão plana (y e z eixos principais centrais de inércia): 
 
y
y
yx
z
z
zx
M
dx
E I
M dx
E I
ϕ
ϕ
⎧
=⎪ ⋅⎪
⎪ ⇒⎨
⎪
⎪ =
⋅⎪⎩
∫
∫
 a rotação resultante será 2 2
y zϕ ϕ ϕ= + 
 
 
8.4.2 – Curvatura da elástica 
 
 No plano xz: 
y
y
y IE
M
⋅
=
ρ
1 
 
 No plano xy: 
z
z
z IE
M
⋅
=
ρ
1 
 
A curvatura da elástica resultante será: 
22
111
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
zy ρρρ
 ⇔ 
22
11
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
z
z
y
y
I
M
I
M
Eρ
 
Flexão 
 
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32/43 
8.5 – Trabalho de deformação em flexão desviada – y e z são eixos principais centrais de 
inércia 
 
Cada uma das componentes de momento ( yM e zM ) produz deformação e consequentemente 
trabalho. 
 
 Em flexão pura ( .M const= ): 
2 2
2 2
y z
y z
M l M l
E I E I
τ
⋅ ⋅
= +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 Em flexão simples ( yM e zM variáveis): 
2 2
0 02 2
l l
y z
y z
M Mdx dx
E I E I
τ = +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ 
 
 
9 – Flexão composta 
 
9.1 – Generalidades 
 
Quando actuam no elemento de barra simultaneamente esforço axial e momento-flector diz-se 
que a barra está sujeita à flexão composta. 
 
 
Tabela 2 – Flexão composta (ye z eixos principais centrais de inércia) 
N e yM 
ou 
N e zM 
Flexão composta plana 
N e yM e zM Flexão composta desviada 
 
Nas estruturas correntes são raras as barras que não estão submetidas à flexão composta. 
 
Nas Figuras 32 e 33 são apresentados exemplos de estruturas com barras sujeitas à flexão 
composta. 
Flexão 
 
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33/43 
 
Figura 32 – Estrutura com uma barra sujeita à flexão simples (BC) e uma barra sujeita à flexão composta (AB) 
 
Figura 33 – Estrutura com todas as barras sujeitas à flexão composta 
 
 
9.2 – Tensões normais em flexão composta 
 
Considere-se uma barra de secção transversal constante submetida à flexão desviada composta 
produzida por um esforço axial N (paralelo ao eixo da barra) e por momentos em torno dos 
eixos y e z, como representado na Figura 34. 
 
Esforço axial positivo ( 0>N ) ou negativo ( 0 Esforço axial de tracção 
0yM > e 0>zM Vector momento na direcção de y e z, respectivamente 
0yM Tensões de tracção 
0σenvolvente tiver n lados, o núcleo central terá n vértices e, 
portanto, n lados. 
 
 
 
 
Flexão 
 
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41/43 
Tabela 6 – Correspondência geométrica entre o contorno convexo da secção e o contorno no núcleo central 
Elemento do contorno 
convexo da secção 
Elemento do contorno 
do núcleo central 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.8 – Exemplos de núcleo central 
 
a) b) c) 
Figura 39 – Núcleo central (exemplos): a) secção rectangular; b) secção em I; c) secção circular 
 
 
9.9 – Materiais que não resistem à tracção 
 
Uma força N de compressão aplicada fora do núcleo central tende a produzir tensões normais de 
tracção. Se o material em questão não resistir à tracção (ex: pedra, betão simples, vidro, solos, …) 
surgem fissuras e só se instalam na secção tensões de compressão. 
 
Exemplo: Sapata de forma rectangular em planta 
 
Flexão 
 
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 a) b) 
Figura 39 – Secção rectangular constituída por material não resistente à tracção: a)
6
he ≤ ; b) 
6
he > 
 
 
 Se 
6
he ≤ , a carga actua dentro dos contornos do núcleo central, ficando toda a secção 
comprimida: 
 
2
6
máx
N N e
b h b h
σ ⋅ ⋅
= +
⋅ ⋅
 
 
 
 Se 
6
he > , a carga actua fora dos contornos do núcleo central, fissurando parte da secção: 
 
2
3máx
N
b c
σ = ⋅
⋅
 ⇔ 
2
3
2
máx
N
hb e
σ = ⋅
⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 
 
 
 
zona fissurada
Flexão 
 
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10 – Questões de revisão 
 
1) Defina: 
a) Flexão pura. 
b) Flexão plana. 
c) Flexão desviada. 
d) Flexão composta. 
 
2) Demonstre que numa barra sujeita à flexão pura, e em regime de comportamento material 
linear, com igual rigidez em tracção e compressão, o eixo neutro passa no centro de 
gravidade 
 
3) Para uma barra sujeita a um determinado carregamento distribuído e perpendicular à 
barra p(x), deduza as relações entre este carregamento, o esforço transverso V(x), e o 
momento flector M(x). 
 
4) Considere uma barra de comprimento L, secção transversal com inércia I, sujeita à flexão 
pura plana. Deduza a expressão que relaciona a curvatura com o momento aplicado M. 
Considere que a barra é constituída por um material com módulo de elasticidade 
longitudinal E. 
 
5) Qual será a forma racional da secção das vigas flectidas? Dê exemplos. 
 
 
11 – Bibliografia 
 
[1] J. Mota Freitas, Sebenta de Resistência de Materiais, FEUP, 1978 
 
[2] V. Dias da Silva, “Mecânica e Resistência dos Materiais”, 2ª edição, Ediliber Gráfica 
Coimbra, 1999 
 
[3] J. S. Brazão Farinha, A. Correia dos Reis; Tabelas Técnicas, Edições Técnicas E. T. L., 
Lda.