Resistência de Materiais: Conceitos Fundamentais

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Departamento de Engenharia Civil 
Universidade de Aveiro 
 
 
 
 
 
 
Resistência de Materiais
 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Humberto Varum 
Julho 2007 
 
 
 
Conceitos fundamentais 
 
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1 – Introdução 
 
A formação do Engenheiro Civil em relação aos conhecimentos relacionados com a resistência 
de materiais, a montante e jusante, passa pela aprendizagem de conceitos que tradicionalmente se 
organizam em disciplinas, Figura 1, da seguinte forma: 
 
 
Figura 1 – Resistência de materiais e disciplinas relacionadas 
Física e Matemática 
Estruturas Isostáticas 
RESISTÊNCIA DE 
MATERIAIS 
Teoria das Estruturas 
- Estado de tensão (2D e 3D) 
- Estado de deformação (2D e 3D)
- Lei de Hooke generalizada 
- Cálculo de reacções em estruturas reticuladas (articuladas e contínuas)
- Esforços internos em barras de estruturas planas ( N ,V , M ) 
- Geometria de massas 
- Esforços e deformações em barras ( N ,V , M , tM ) 
- Estruturas isostáticas 
- Introdução ao estudo de estruturas hiperestáticas de grau 1 
- Comportamento dos materiais 
- Segurança estrutural 
- Acções 
- Pré-esforço 
- Flexão desviada 
- Instabilidade (associada à compressão) 
- Teoremas energéticos 
- Estruturas hiperestáticas (barras)
Construção 
Metálica 
FundaçõesEstruturas de 
Betão 
Aplicação dos conhecimentos no 
dimensionamento e verificação da 
segurança de estruturas e 
fundações 
Mecânica dos Corpos 
Deformáveis 
Construção em 
Madeira 
Dinâmica das 
Estruturas 
Método dos 
Elementos Finitos
Projecto 
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Os conceitos tratados na resistência de materiais são necessários para o desenvolvimento da 
maioria das disciplinas que se seguem na licenciatura em engenharia civil, mas sobretudo para 
toda a vida profissional dos engenheiros. 
 
Outros tipos de estruturas definidas não exclusivamente por barras, como por exemplo estruturas 
laminares (lajes ou cascas) ou estruturas maciças podem ser resolvidas pelo Métodos dos 
Elementos Finitos. No entanto, os conceitos necessários para a sua compreensão podem ser 
considerados como uma extensão dos conceitos estudados nas disciplinas a montante 
(Resistência de Materiais, Teoria das Estruturas). 
 
 
Figura 2 – Esforços numa barra genérica 
 
 
2 – Objectivos da resistência de materiais 
 
A Resistência de Materiais tem por objectivo fundamental o estudo do comportamento dos 
corpos sólidos deformáveis submetidos à acção de forças exteriores. Tal estudo tem em vista 
possibilitar a escolha racional das suas formas e dimensões de modo a resistirem a essas forças 
em boas condições de segurança e com um dispêndio mínimo de material. 
 
 
3 – Peça linear ou barra 
 
A Teoria da Elasticidade (Mecânica dos Corpos Deformáveis) estabelece expressões gerais 
aplicáveis a corpos de geometria qualquer. 
 
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A Resistência de Materiais restringe-se ao estudo das peças lineares (ou barras), Figura 3. 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 3 – Representação genérica de uma barra de eixo AB e de uma fibra: a) barra de eixo curvilíneo; b) barra de 
eixo rectilíneo 
 
 
 
a) barra com variação brusca de secção b) elo de uma cadeia 
 
 
c) gancho de grua d) silos ou tanques 
 
e) vigas parede 
Figura 4 – Exemplos de elementos estruturais que não são considerados peças lineares 
 
Barra é o sólido gerado por uma área plana Ω que se move no espaço, cujo centro de gravidade 
G descreve uma trajectória AB (eixo da barra ou fibra média), sendo a área geradora 
perpendicular a esta trajectória em cada ponto. 
 
 A trajectória (eixo da barra) pode ser uma linha qualquer do espaço, desde que não 
apresente pontos singulares, tais como: descontinuidades, mudanças bruscas de direcção, 
etc. 
 
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 A secção recta Ω pode variar ao longo do eixo de grandeza e de forma, mas de uma 
maneira lenta e contínua. 
 
 As dimensões da secção transversal são consideravelmente menores que o comprimento 
do eixo da barra e que o raio de curvatura em qualquer ponto. 
 
Fibra é o sólido elementar que, no processo gerador, é gerado por um qualquer elemento de área 
elementar dΩ da secção transversal Ω . 
 
 
4 – Princípio geral do equilíbrio 
 
 
Figura 5 – Princípio geral do equilíbrio 
 
O princípio geral do equilíbrio diz que: os corpos estudados na resistência de materiais são 
considerados em equilíbrio estático sob a acção de forças exteriores que os solicitam, Figura 6, 
(forças directamente aplicadas e reacções nos apoios). 
 
 
Figura 6 – Princípio geral do equilíbrio 
 
acções 
reacções 
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 As condições de equilíbrio estático do corpo fornecem: 
– 6 equações gerais de equilíbrio para estruturas 3D; e, 
– 3 equações gerais de equilíbrio para estruturas 2D. 
 
Estas equações gerais do equilíbrio permitem resolver as estruturas isostáticas (cálculo de 
reacções e esforços internos). 
 
 
5 – Princípio do corte 
 
Seja um corpo sólido em equilíbrio sob a acção de um sistema de forças exteriores (directamente 
aplicadas ou reacções). Seccione-se o corpo em 2 partes (esquerda, E, e direita, D) por uma 
superfície qualquer S-S’. 
 
Designe-se por: 
 ( 1, 2,...)iP i = as forças que actuam na parte esquerda; e, 
 ( 1, 2,...)jP j = as forças que actuam na parte direita. 
 
 
Figura 7 – Princípio do corte 
 
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O equilíbrio do corpo impõe que o sistema de forças exteriores 
( ) ( )
i j
E D
P P
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ satisfaça as 6 
equações de equilíbrio estático: 
 
( ) ( )
0 0
( ) ( )
0
0ji
i j
E D
PP
E D
P P
M M
⎧ + =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
+ =⎪
⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
 (1) 
 
Sendo 0 a origem de um sistema qualquer de eixos coordenados. 
 
As duas partes em que foi dividido o corpo exercem acções uma sobre a outra, repartidas ao 
longo da superfície de contacto SS’, de resultantes iQ e jQ , sendo: 
 iQ a acção de D sobre E; e, 
 jQ a acção de E sobre D. 
 
O equilíbrio da parte esquerda do corpo (E) impõe: 
 
( )
0 0
( )
0
0i i
i i
E
Q P
E
Q P
M M
⎧ + =⎪
⎪
⎨
⎪
+ =⎪
⎩
∑
∑
 (2) 
 
O equilíbrio da parte direita do corpo (D) impõe: 
 
( )
0 0
( )
0
0j j
j j
D
Q P
D
Q P
M M
⎧ + =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
+ =⎪
⎪⎩
∑
∑
 (3) 
 
Adicionando, membro a membro, as equações que expressam o equilíbrio de cada parte 
(expressões 2 e 3) ter-se-á: 
3 equações 
3 equações 
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( ) ( )
0 0 0 0
( ) ( )
0
0j ji i
i j i j
E D
Q PQ P
E D
Q Q P P
M M M M
⎧ + + + =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
+ + + =⎪
⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
 
 
Como se sabe, das equações gerais do equilíbrio estático de uma estrutura qualquer (expressões 
1): 
 
( ) ( )
0 0
( ) ( )
0
0ji
i j
E D
PP
E D
P P
M M
⎧ + =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
+ =⎪
⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
 virá portanto: 
 
0 0
0
0ji
i j
QQ
Q Q
M M
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪
+ =⎪⎩
 
 
Assim, as forças iQ e jQ são iguais e directamente opostas ( )i jQ Q= − , o que era desde logo 
evidente pelo princípio da igualdade da acção e da reacção. 
 
 iQ por jQ− nas equações de equilíbrio do corpo E (2) 
Substituindo e 
 jQ por iQ− nas equações de equilíbrio do corpo D (3) 
 
ter-se-á: 
 
∴ 
( )
0 0
( )
ji
i j
E
QP
E
P Q
M M
⎧ =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
=⎪
⎪⎩
∑
∑
 e( )
0 0
( )
j i
j i
D
P Q
D
P Q
M M
⎧ =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
=⎪
⎪⎩
∑
∑
 
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5.1 – Princípio do corte (resumo) 
 
Em qualquer corpo em equilíbrio estático sob a acção de um sistema de forças exteriores (ver 
Figura 7): 
 
 As forças interiores que se desenvolvem de um e de outro lado de uma secção 
transversal SS’ equilibram-se mutuamente. 
 As acções interiores que a parte esquerda, E, exerce sobre a direita, D, isto é jQ , 
equilibram as forças exteriores que actuam sobre a direita, D. 
 As acções interiores que a parte direita, D, exerce sobre a esquerda, E, isto é iQ , 
equilibram as forças exteriores que actuam sobre a esquerda, E. 
 As forças interiores iQ e jQ são estaticamente equivalentes às forças exteriores 
( )
j
D
P∑ e 
( )
i
E
P∑ , que actuam respectivamente sobre a parte direita, D, e sobre a parte esquerda, E. 
 
 
6 – Hipóteses fundamentais da resistência de materiais 
 
A resistência de materiais baseia-se em: 
 3 hipóteses fundamentais relativas à constituição da matéria (hipótese da continuidade, 
hipótese da homogeneidade e hipótese da isotropia); e, 
 2 hipóteses fundamentais relativas à natureza das deformações (hipótese da 
proporcionalidade e hipótese das pequenas deformações). 
 
6.1 – Hipótese da continuidade 
 
 Os corpos reais são constituídos por átomos ou moléculas nos quais a massa é repartida 
de forma desigual, pelo que a continuidade no sentido geométrico do termo se afasta 
totalmente da realidade. A resistência de materiais e a teoria matemática da elasticidade 
baseiam-se no entanto sobre a hipótese de um meio contínuo preenchido uniformemente 
por matéria em todos os seus pontos. 
 
 
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6.2 – Hipótese da homogeneidade 
 
 Na resistência de materiais admite-se que a matéria que compõe os corpos é homogénea, 
isto é, que as suas propriedades mecânicas são as mesmas em qualquer ponto do sólido 
considerado. Não sendo assim, pode-se decompor o sólido em partes consideradas 
homogéneas e estudar a interacção entre essas partes. Tal técnica aplica-se a sólidos 
constituídos por dois materiais diferentes, como por exemplo: o betão armado, as secções 
mistas aço-betão, etc. 
 
6.3 – Hipótese da isotropia 
 
 Na resistência de materiais admite-se ainda que a matéria é isótropa, isto é, que as suas 
propriedades mecânicas são iguais em todas as direcções em torno de um ponto do corpo 
considerado. Exceptuando alguns produtos laminados, os metais satisfazem quase 
exactamente esta condição. A madeira, pelo contrário, não se pode considerar um 
material isotrópico. 
 
6.4 – Hipótese da proporcionalidade (Lei de Hooke) 
 
“UT TENSIO SIC VIS” – Robert Hooke 
 
 A resistência de materiais baseia-se na lei enunciada por Hooke em 1678: “Num sólido 
contínuo, as deformações relacionam-se em todos os seus pontos com as tensões, por 
relações lineares e homogéneas”, ou seja, que as tensões são proporcionais às 
deformações: 
εσ ⋅= E 
 
6.5 – Hipótese das pequenas deformações 
 
 A experiência mostra que, dentro dos limites normais de utilização, os materiais 
apresentam deformações relativamente pequenas quando comparadas com as dimensões 
dos corpos em que se produzem. Em consequência, as condições de equilíbrio 
estabelecidas pela estática para corpos perfeitamente indeformáveis são aplicáveis aos 
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sólidos reais. Tal significa que as deformações têm uma influência desprezável sobre a 
posição dos pontos de aplicação ou sobre a direcção das forças exteriores. 
No entanto, se as ligações ao exterior forem superabundantes (sistemas hiperestáticos) as 
deformações desempenham um papel fundamental na determinação das reacções nos 
apoios. Igualmente, nos problemas de estabilidade elástica ou plástica não se pode 
desprezar a influência das deformações dos sistemas. 
 
 a) b) 
Figura 8 – Hipótese das pequenas deformações 
 
Cálculo da reacção momento no apoio: 
 a) se válida a hipótese das pequenas deformações: 1M H l= ⋅ 
 b) se não é válida a hipótese das pequenas deformações: 2M H l V e= ⋅ + ⋅ 
 
 
7 – Esforços internos 
 
Considere-se uma peça linear de eixo AB em equilíbrio sob a acção de um sistema de forças 
exteriores (Figura 9): 
Figura 9 – Peça linear em equilíbrio
 
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onde ( 1, 2,...)iP i = representa as forças genéricas (forças e momentos) que actuam na parte 
esquerda da barra (E), e ( 1, 2,...)jP j = representa as forças genéricas que actuam na parte direita 
da barra (D). 
 
Faça-se agora a divisão da peça linear em duas partes (esquerda, E, e direita, D) ao nível de uma 
secção plana Ω qualquer: 
 
 
Figura 10 – Parte de uma peça linear em equilíbrio
 
Verifica-se que: 
 A acção de D sobre E é equivalente a uma força R e um momento M aplicados no 
centro de gravidade G da secção Ω . 
 R e M constituem os elementos de redução do sistema de forças jP que actuam sobre 
D, isto é: 
 
( )
( )
j
j
D
P
G
D
R P
M M
⎧ =⎪
⎪⎪
⎨
⎪
=⎪
⎪⎩
∑
∑
 
 
7.1 – Esforços simples numa secção transversal 
 
Considere-se um referencial Gxyz definido da seguinte forma (como representado na Figura 11): 
 G é o centro de gravidade da secção Ω ; 
 Gx é o eixo normal à secção Ω (tangente ao eixo da barra); 
 Gy e Gz são os eixos principais centrais de inércia da secção Ω . 
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a) 
 
b) 
 
Figura 11 – Esforços internos: a) projecção do vector R nos eixos x, y e z; 
 b) projecção do vector M nos eixos x, y e z
 
Projectando os vectores R e M segundo os eixos Gx , Gy e Gz , as componentes de R e 
M são: 
 
 N (esforço normal ou esforço axial) – componente de R segundo Gx ; 
 V (esforço transverso ou esforço cortante) – projecção normal de R no plano da secção 
Ω , podendo ser esta projecção decomposta em yV e zV , como sendo as componentes 
segundo as direcções Gy e Gz ; 
 tx MM = (momento de torção) – componente de M segundo Gx ; 
 fM (momento flector) – projecção de M no plano da secção Ω , podendo ser 
decomposta em yM e zM (componentes de momento em torno de Gy e Gz , 
respectivamente). 
 
No caso mais geral, em cada secção de uma barra, consideram-se 6 elementos de redução 
(esforços): 
 
 1 esforço axial 
 2 esforços transversos 
 1 momento torçor 
 2 momentos flectores 
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Figura 12 – Esforços simples numa secção transversal
 
 N é o esforço normal ou esforço axial, isto é, a resultante das forças à esquerda da 
secção (ou à direita) projectadas na direcção do eixo da peça. 
 
Figura 13 – Esforço normal ou esforço axial
 
 yV e zV são os esforços transversos ou esforços cortantes segundo as direcções Gy e 
Gz , respectivamente, isto é, a resultante das forças à esquerda da secção (ou à direita) 
projectadas no plano perpendicular ao eixo da peça. 
 
Figura 14 – Esforço transverso ou esforço cortante
 
 yM e zM são os momentos flectores em torno de Gy e Gz , respectivamente, isto é, os 
momentos resultantes das forças à esquerda da secção (ou à direita) em torno dos eixos 
pertencentes ao plano da secção transversal da peça. 
 
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Figura 15 – Momento flector
 
 tM é o momento torçor, isto é, o momento resultantedas forças à esquerda da secção (ou 
à direita) em torno do eixo da peça. 
 
 
Figura 16 – Momento torçor
 
 
7.2 – Solicitações simples 
 
Tabela 1 – Solicitações simples 
Elementos de redução não nulos Designação da solicitação 
N 
 
tracção ou compressão simples (em função do 
sinal de N) 
 
V 
 
corte simples 
 
tM 
 
torção simples 
 
yM ou zM 
 
flexão pura 
 
yM e zM 
 
flexão desviada 
 
 
 
7.3 – Solicitações compostas (mais do que um elemento de redução) 
 
Não obstante todas as combinações de elementos de redução serem possíveis, indicam-se na 
Tabela 2 as solicitações compostas que possuem designação própria. 
 
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Tabela 2 – Solicitações compostas
Elementos de redução não nulos Designação da solicitação 
yV e zM 
ou 
zV e yM 
flexão simples 
N e yM 
ou 
N e zM 
flexão composta plana 
N e yM e zM flexão composta desviada 
 
 
8 – Tensão 
 
Figura 17 – Tensão num ponto
 
Considere-se num elemento uma unidade elementar de área infinitesimal ΔΩ (na vizinhança de 
um ponto P ). Considere-se também que sobre P actua uma força elementar FΔ , com direcção 
qualquer, não necessariamente perpendicular à secção. 
 
A tensão ρ (força por unidade de área) nesse elemento de superfície, por definição de limite, 
vale: 
0
lim F dF
d
ρ
ΔΩ→
Δ
= =
ΔΩ Ω
 
 
 A tensão normal, σ , é a componente da tensão ρ segundo a normal à secção transversal 
Ω , isto é, segundo a direcção do eixo Gx . 
 
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 A tensão tangencial, τ , é a projecção da tensão ρ no plano da secção Ω . Por sua vez, a 
tensão tangencial pode ser decomposta em duas componentes yτ e zτ , segundo os eixos 
Gy e Gz , respectivamente. 
 
 
A acção global de D sobre E ( R e M , elementos de redução do sistema de forças em D, que por 
sua vez podem ser decompostos nas 6 componentes) é equivalente ao conjunto de forças dρ Ω 
na secção Ω : 
 
( , , )
( , , )
y z
t y z
R d N V V
M r d M M M
ρ
ρ
Ω
Ω
⎧ = Ω ≡
⎪
⎨
= ∧ Ω ≡⎪
⎩
∫
∫
 
 
Projectando estas relações nos eixos x , y e z obtém-se as seguintes 6 relações escalares: 
 
Figura 18 – Projecção dos elementos de redução ao nível de secção nas 3 direcções 
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( )
y y
z z
t z y
y
z
N d
V d
V d
M y z d
M z d
M y d
σ
τ
τ
τ τ
σ
σ
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
⎧ = Ω
⎪
⎪
= Ω⎪
⎪
⎪ = Ω⎪
⎪
⎨
= ⋅ − ⋅ Ω⎪
⎪
⎪ = ⋅ Ω⎪
⎪
⎪ = − ⋅ Ω
⎪⎩
∫
∫
∫
∫
∫
∫
 
Estas relações de equivalência estática entre esforços e tensões são válidas em qualquer secção 
recta da barra. 
 
8.1 – Unidades físicas das tensões 
 
Tensão é uma força por unidade de área [ ]2−⋅ LF . No sistema internacional, SI, a força é 
traduzida em Newton ( N ), e a área em metros quadrados ( 2m ). Portanto, a tensão virá em 
Pa
m
N
=2 (Pascal). 
 
Exemplos de outras unidades para a tensão: o bar ( 51 10bar Pa= ). 
 
Na Engenharia Civil usam-se múltiplos do Pascal para traduzir as tensões actuantes e resistentes, 
bem como para o módulo de elasticidade: 
 
 kPa ⇒ resistência do solo, adobe; 
 MPa ⇒ resistência do betão, aço, pedra, vidro; 
 GPa ⇒ módulo de elasticidade de vários materiais. 
 
 
 
 
 
momento que a resultante das tensões 
em ΔΩ exerce em torno de Gy 
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9 – Princípio de Saint-Venant 
 
 Quando uma secção transversal de uma peça linear está suficientemente afastada dos pontos de 
aplicação das forças exteriores, o estado de tensão nessa secção não depende da forma como 
essas forças estão aplicadas, mas unicamente da sua resultante (à esquerda ou à direita). 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Princípio de Saint-Venant 
 
A resultante é a mesma em A ou em B, mas a distribuição de tensões na secção não o é: 
 
A B
N d dσ σ
Ω Ω
= Ω = Ω∫ ∫ 
 
 
10 – Hipótese da conservação das secções planas ou Hipótese de Navier-Bernoulli 
 
 Uma secção plana e perpendicular às fibras de uma peça linear não deformada, mantém-
se plana e perpendicular às fibras após a sua deformação. 
 
distância a partir do ponto 
de aplicação da força N 
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Nota: este conceito tornar-se-á mais claro no estudo das diferentes solicitações sobre peças lineares (N, M, …) 
 
a) b) 
Figura 20 – Conservação das secções planas: a) tracção simples; b) flexão pura 
 
Na peça sujeita à tracção simples, todas as fibras sofrem o mesmo alongamento (Figura 20-a) e 
portanto, a secção plana antes da deformação 1 2A A , mantém plana após deformação 1 2' 'A A . 
 
Na peça sujeita à flexão pura (Figura 20-b), embora as fibras tenham diferentes alongamentos em 
função da sua posição, as secções mantém-se planas após deformação. 
 
 
11 – Princípio da sobreposição dos efeitos 
 
 Nos corpos ou estruturas em que as acções aplicadas provoquem deformações 
suficientemente pequenas (para poderem ser consideradas infinitesimais, hipótese das 
pequenas deformações) e que, para além disso, são constituídos por materiais em que a 
relação entre a tensão, σ , e a deformação, ε , é linear (material com comportamento 
linear), os deslocamentos serão proporcionais às forças que os provocam. 
 
Nota: Este princípio só é válido se não houver lugar a fenómenos de instabilidade e se o efeito em causa não 
transformar a estrutura em outra estrutura diferente. 
 
Utilidade prática 
Este princípio permite independentemente tratar as diversas acções a que um corpo ou estrutura 
está sujeito, reduzindo a complexidade das análises (Figura 21). 
 
 
Figura 21 – Princípio da sobreposição dos efeitos
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O efeito da aplicação de uma força é independente do facto de já estarem ou não aplicadas outras 
forças na estrutura. Consequentemente, os efeitos da aplicação de diversos sistemas de forças na 
estrutura podem ser calculados separadamente para cada sistema de forças e adicionados à 
posteriori. 
 
No dimensionamento de estruturas de edifícios é corrente fazer-se o cálculo dos esforços e 
deformações para cada acção (acções permanentes, G , variáveis, Q , vento, W , neve, S , e 
acção sísmica, E ), combinando posteriormente estes esforços e deformações em combinações 
de acções, de acordo com o indicado nos regulamentos da especialidade. 
 
 
12 – Questões de revisão 
 
1) Defina peça linear ou barra. 
 
2) Defina fibra. 
 
3) Enuncie o princípio geral do equilíbrio. 
 
4) Enuncie o princípio do corte. Mostre que numa secção qualquer de corte as forças 
internas que surgem de um e de outro lado do corte são iguais e tem sinais contrários. 
 
5) Enuncie a hipótese da proporcionalidade. Que condições devem ser verificadas para que 
seja aplicável esta hipótese? 
 
6) Enuncie a hipótese das pequenas deformações. Que condições devem ser verificadas para 
que seja aplicável esta hipótese? 
 
7) A hipótese das pequenas deformações é válida na análise das estruturas de cabos? 
Justifique. Esta hipótese será sempre válida em regime de comportamento material não-
linear? Justifique. 
 
8) Enuncie a hipótese da continuidade. 
 
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9) Enuncie o princípio de Navier-Bernoulli. 
 
10) Enuncie a hipótese da isotropia. Dê exemplos de um material que satisfaça esta hipótese e 
de outro que não satisfaça. 
 
11) Enuncie o princípio de Saint-Venant. 
 
12) Enuncieo princípio da sobreposição dos efeitos. Que condições devem ser verificadas 
para que seja aplicável este princípio? 
 
 
13 – Bibliografia 
 
[1] J. Mota Freitas; Sebenta de Resistência de Materiais, FEUP, 1978 
 
[2] V. Dias da Silva, “Mecânica e Resistência de materiais”, 2ª edição, Ediliber Gráfica 
Coimbra, 1999