geometria 2

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Geometria Analítica
Equações de retas no espaço
Profª. Drª. Keila Tatiana Boni
• Unidade de Ensino: 2
• Competência da Unidade: Conhecer principais
conceitos estudados na Geometria Analítica,
observando as relações que podem ser estabelecidas
entre estes conceitos e sua aplicabilidade em
determinadas situações práticas.
• Resumo: Estudar o conceito de reta, conhecendo suas
representações algébricas no plano e no espaço e
posições relativas.
• Palavras-chave: Retas; Equações; Espaço; Situações-
Problema.
• Título da Teleaula: Equações de retas no espaço.
• Teleaula nº: 2
Contextualização
• Características principais do plano e do espaço
cartesianos;
• As contribuições destes sistemas de coordenadas nas
representações gráficas associadas aos conceitos da
Geometria Analítica;
• Investigação de algumas das aplicações do estudo
analítico dos planos na construção civil.
• Equações vetoriais, paramétricas, simétricas e 
reduzida;
• Distâncias;
• Intersecções e posições relativas entre retas;
• Ângulos;
• Intersecções de retas e planos. 
Equações vetoriais, 
paramétricas e 
simétricas de retas
Equação vetorial da reta
Considere uma reta que contém o ponto e
tem direção dada por um vetor não nulo, .
Considere, ainda, .
𝑂
Exemplo
A reta r que passa por e tem direção de 
, tem: 
• Equação vetorial: 
Equação paramétrica da reta
𝟎
𝟎
𝟎
Exemplo
A reta r que passa por e tem direção de 
, tem: 
• Equação paramétrica: 
Equação simétrica da reta
𝟎 𝟎 𝟎
Exemplo
A reta r que passa por e tem direção de 
, tem: 
• Equação simétrica: 
O cálculo de 
distâncias
Distância entre ponto e reta
Considere uma reta que tem por vetor
diretor e contém o ponto . Além disso,
considere um ponto não pertencente a :
𝑂
Exemplo
Calcular a distância do ponto à reta:
Solução: 
Solução: 
Distância entre retas
• Retas concorrentes ou coincidentes: 
(a) Retas concorrentes (b) Retas coincidentes
Fonte: Barba (2018, p. 63).
Distância entre retas
• Retas paralelas distintas: 
𝑂
Equações reduzidas e 
interseções
Equações reduzidas da reta
• Expressando em função de :
Equações reduzidas da reta
• Expressando em função de :
 
 
Exemplo
Seja a reta r definida pelo ponto e pelo vetor
diretor , ela pode ser expressa pelas
equações simétricas:
A partir dessas equações, pode-se expressar duas 
variáveis em função da terceira. Expressando em 
função de , obtém-se:
As duas últimas equações são 
equações reduzidas da reta r, na 
variável . 
Interseção de duas retas – retas concorrentes
Sejam as retas e , cujas equações reduzidas são dadas 
a seguir:
Resolve-se o sistema de equações lineares formado
pelas equações reduzidas das duas retas consideradas.
Interseção entre 
vigas de uma 
estrutura
Você foi contratado para trabalhar em uma empresa de
Engenharia que atua no ramo da construção civil e
deverá planejar a estrutura metálica de um
supermercado.
Desta estrutura, podem ser destacadas as vigas
metálicas representadas pelas seguintes expressões:
Qual a interseção entre as vigas e ?
Igualando as equações correspondentes: 
Considerando as equações (I) e (III) e o método da 
adição:
Substituindo em (III):
As retas e são concorrentes no ponto de interseção 
. 
Questão
Considerando o ponto e a reta de equação dada
a seguir, determine a distância aproximada entre o ponto
e a reta.
Assinale a alternativa correta:
a) 6,33 u. c. d) 8,90 u. c.
b) 7,88 u. c. e) 9,84 u. c.
c) 8,02 u. c.
Temos e e queremos determinar
Onde, e . 
Assim, temos: 
Então, .
Posições relativas 
entre retas
Posições relativas entre retas
Fonte: Barba (2018, p. 75).
Condição de coplanaridade e paralelismo de retas
Considere duas retas e , cujas equações vetoriais são
dadas a seguir:
Para que e sejam coplanares, os vetores:
também precisam ser coplanares:
Fonte: Barba (2018, p. 76).
Sabendo que as retas e são coplanares, podemos
investigar se são paralelas entre si. Para isso, precisamos
analisar as relações existentes entre seus vetores
diretores.
Fonte: Barba (2018, p. 77).
Condições de ortogonalidade de retas
Duas retas são ortogonais quando seus vetores
diretores são ortogonais entre si:
Fonte: Barba (2018, p. 77).
Exemplo
Compare as retas que representam as vigas e e as
vigas e por meio do estudo das posições relativas:
Paralelismo, 
interseções de retas e 
planos
Interseção de reta e plano
Sejam uma reta e um plano , tal que:
Para determinar a interseção entre e , precisamos 
identificar um ponto , cujas coordenadas 
verifiquem as equações do sistema linear formado pelas 
equações de e 
Exemplo
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano 
, em que:
Solução: 
Qualquer ponto de r é da forma: 
Se algum deles é comum com o plano , suas 
coordenadas verificam a equação de .
Substituindo esse valor nas equações de r, obtém-se:
Logo, a interseção de r e é o ponto . 
Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e 
plano
• Se e forem ortogonais entre si, a reta e o plano
serão paralelos entre si;
• Se e forem paralelos entre si, a reta e o plano
serão perpendiculares entre si.
Fonte: Barba (2018, p. 94).
Fonte: Barba (2018, p. 94).
Distâncias e ângulos
Ângulo entre retas
Menor ângulo formado entre e :
ou Fonte: Barba (2018, p. 95).
Exemplo
Calcular o ângulo entre as retas:
Solução: 
Os vetores diretores são:
Ângulo entre reta e plano
O ângulo da reta com o plano corresponde ao 
complemento do ângulo formado entre a reta e uma 
reta normal ao plano ou, ainda, entre os vetores e :
 
 
Fonte: Barba (2018, p. 96).
Exemplo
Considere o plano e a reta 
Qual é o ângulo entre eles?
Solução:
Da equação da reta temos e da 
equação do plano, temos .
Produto interno:
Módulos: 
 
 
Projeto de uma 
escada rolante
Você participa da elaboração do projeto de um hotel que
será construído na cidade.
Sabe-se que uma das vigas de sustentação necessária
para a instalação da escada rolante pode ser
representada por
Qual a interseção dessa viga com o plano de equação a
seguir?
E qual a inclinação aproximada da viga
em relação ao piso do
pavimento
Interseção da viga com o plano:
(I) Ponto da reta que satisfaz a equação do plano:
(II) Substitui na equação do plano:
Então:
Inclinação entre a viga e o piso:
Temos que:
 
 
Questão
Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r e 
s:
Escrevemos as equações de em função de :
Como o sistema não tem solução, não existe ponto de 
interseção, isto é, as retas não são concorrentes. 
Recapitulando
 Equações vetoriais, paramétricas e simétricas de
retas;
 Distância entre ponto e reta e entre retas;
 Equação reduzida da reta;
 Interseção de duas retas;
 Posições relativas entre retas;
 Interseção de reta e plano;
 Ângulo entre retas e entre reta e plano.