Exercicios (1001)-mesclado-99

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Resolva os exercícios complementares 12 a 15, 25 e 26.
16 Classifique, se possível, cada uma das funções abai-
xo, f , g, h e i, como injetora, sobrejetora ou bijetora.
a)
17 Sabendo que a função f : V P [24, 1[ tem o gráfico 
abaixo, classifique-a como injetora, sobrejetora ou 
bijetora.
18 Sabendo que a função f : [21, 6] P [1, 8] tem o gráfico 
abaixo, classifique-a como injetora, sobrejetora ou 
bijetora.
b)
c)
d)
19 Sabendo que a função f : [1, 4] P [0, 6] tem o gráfico 
abaixo, classifique-a como injetora, sobrejetora ou 
bijetora.
20 Classifique, se possível, cada uma das funções a 
seguir como injetora, sobrejetora ou bijetora.
a) f : V P V tal que f (x) 5 x2 2 5
b) g: V P V tal que g(x) 5 3x 1 2
c) h: VR P VR tal que h(x) 5 1 __ 
x
 
d) t: V 2 {1} P VR tal que t(x) 5 5 ______ 
x 2 1
 
e) u: V P V1 tal que u(x) 5 x2
21 No certificado de 
registro e licen-
ciamento de um 
veículo, podem 
ser observadas 
várias funções: 
a que associa 
o endereço do 
proprietário ao 
CEP (Código de 
Endereçamento Postal); a que associa o número 
da placa ao código Renavam (Registro Nacional de 
Veículos Automotores); a que associa o número da 
placa à identificação do chassi etc.
 Considere o conjunto A, de todas as identificações 
(letras e algarismos) de placas dos automóveis que 
circulam legalmente no Brasil, e o conjunto B, das 
identificações (letras e algarismos) dos chassis 
desses automóveis. Considere também a função f 
de A em B, que associa cada identificação de placa 
de cada automóvel à identificação de seu chassi.
 Sabendo que não há dois veículos com a mesma 
identificação de placa nem com a mesma identi-
ficação de chassi, a função f é injetora, sobrejetora 
ou bijetora? Explique.
22 Uma bibliotecária estabeleceu o seguinte sistema de 
identificação dos títulos da biblioteca: cada título é 
identificado por uma sequência de cinco algarismos, 
um traço, um algarismo, uma barra e, finalmente, 
um algarismo; por exemplo, o livro com a sequência 
12315-2/5 é o de título número 12.315 e o exemplar 
é o de número 2 de um total de 5 títulos iguais. 
Considere o conjunto A, de todas as identificações 
dos títulos que essa biblioteca possui, e o conjunto 
B, de todos esses títulos. A função f que associa 
cada identificação ao título é injetora, sobrejetora 
ou bijetora? Explique.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
f
0
1
7
8
9
A
0
1
2
B
g
4
�1
1
6
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CAP 3.indb 118 03.08.10 11:34:35
 Inversão de funções
Um encanador trabalhou em uma empreitada e co-
brou por seu serviço uma parcela fixa de R$ 50,00 mais 
R$ 10,00 por hora trabalhada. Para seu controle, registrou 
em uma tabela os números inteiros de horas trabalhadas 
e os respectivos valores acumulados, em real. Assim:
D(f) 5 Im(f 21) 5 {1, 2, 3, 4, 5}
D(f 21) 5 Im(f ) 5 {60, 70, 80, 90, 100}
Observe que:
• o gráfico 1 representa uma função de domínio A 5 {1, 2, 3, 4, 5} e conjunto imagem 
B 5 {60, 70, 80, 90, 100};
• o gráfico 2 representa uma função de domínio B 5 {60, 70, 80, 90, 100} e conjunto imagem 
A 5 {1, 2, 3, 4, 5};
• se um número b é imagem de um número a em um dos gráficos, então a é imagem de b no 
outro; por exemplo, no gráfico 1, o número 70 é imagem do número 2 e, no gráfico 2, o número 
2 é imagem do número 70.
Por isso, dizemos que as funções representadas pelos gráficos 1 e 2 são inversas uma da 
outra. Se indicarmos por f a função representada pelo gráfico 1, a função inversa de f, represen-
tada pelo gráfico 2, será indicada por f 21.
Considerando apenas os números inteiros de horas trabalhadas, o gráfico 1, abaixo, descreve 
o montante acumulado (m) em função do número de horas trabalhadas (h); e o gráfico 2 descreve 
o número de horas trabalhadas (h) em função do montante acumulado (m):
60
70
80
90
100
52 3
Grá�co 1
40 1
Grá�co 2
60 70 80 90 100
5
2
3
4
1
m
h
mh
f
1
2
3
4
5
A
60
70
80
90
100
B
f�1
1
2
3
4
5
A
60
70
80
90
100
B
Número de horas trabalhadas Valores acumulados (R$)
1 60
2 70
3 80
4 90
5 100
É importante destacar que f é uma bijeção de A em B e, por isso, a relação f 21 também é uma função.
Lemos f 21 como “inversa da função f ”.
119
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CAP 3.indb 119 03.08.10 11:34:36
RR
AP
AM PA
MA
RN
CE
PI
PB
PE
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TO
AC
SERO 
BAMT
MG
GO
DF
MS ES
RJSP
PR
SC
RS
A inversa de uma função bijetora f : A P B é a função f 21: B P A tal que:
f (x) 5 y [ f 21(y) 5 x
para quaisquer x e y, com x 9 A e y 9 B.
f
x
A
y
B
x
A
y
B
f�1
Se uma função f admite função inversa, dizemos que f é invertível. Assim:
• Para que uma função f seja invertível, ela deve ser bijetora;
• Se uma função f é invertível, então D(f ) 5 Im(f 21) e D(f 21) 5 Im(f ).
 A inversa de uma relação
Também podemos definir a inversa de uma relação R da seguinte maneira:
Sejam A e B conjuntos não vazios, R uma relação de A em B, e S uma relação de B em A 
tal que:
(x, y) 9 R [ (y, x) 9 S
nessas condições, e somente nessas condições, R e S são relações inversas entre si.
Definimos:
Fonte: FERREIRA, Graça Maria Lemos. 
Atlas geográfico. São Paulo: Moderna, 2003.
Exemplo
O nome de cada unidade da federação do 
Brasil é identificado por uma sigla. Isso 
significa que, para cada unidade, está 
associada uma única sigla e que, para 
cada uma dessas siglas, está associa-
da uma única unidade da federação, 
por exemplo: AC (Acre), BA (Bahia) 
e DF (Distrito Federal). A função f 
que associa cada uma dessas si-
glas a uma unidade da federação é 
portanto bijetora, e sua inversa é a 
função f 21, que associa cada unidade 
à sua sigla.
490 km
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CAP 3.indb 120 03.08.10 11:34:37
 Funções não invertíveis
Se uma função g: C P D não é uma bijeção de C em D, então, ou há pelo menos dois elementos 
em C com a mesma imagem, ou há elemento em D que não é imagem de nenhum elemento de C; 
portanto, a relação inversa g21: D P C não é função. Nesse caso, dizemos que a função g não é 
invertível ou que g não admite função inversa.
 Note que g21 não é função, pois o elemento 7 tem mais de um correspondente no contradomínio C.
Exemplo
Seja R a relação de A 5 {1, 3, 5, 7, 9} em B 5 {0, 2, 4, 6, 8}, representada pelo diagrama de 
flechas abaixo.
R�1
1
3
5
7
9
A
0
2
6
4
8
B
Exemplos
a) Seja g: C P D a função representada pelo diagrama de flechas abaixo:
g
0
1
2
8
C
3
4
7
D
 Essa função é sobrejetora, mas não é injetora; logo, não é bijetora. Sua relação inversa é:
g�1
0
1
2
8
C
3
4
7
D
R
1
3
5
7
9
A
0
2
6
4
8
B
Assim, R 5 {(1, 0), (1, 2), (5, 6), (7, 6)}. A inversa de R é a relação R21 de B em A cujos elementos 
são os pares ordenados que se obtêm invertendo-se a ordem dos elementos de cada par orde-
nado de R; isto é: R21 5 {(0, 1), (2, 1), (6, 5), (6, 7)}.
Representando R21 por um diagrama de flechas, temos:
b) Seja h: M P N a função representada pelo diagrama de flechas abaixo:
h
4
5
6
7
M
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CAP3.indb 121 03.08.10 11:34:38