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ELEMENTOS DE MECANISMOSELEMENTOS DE MECANISMOS
ENGRENAGENSENGRENAGENS
CILÍNDRICAS DE DENTESCILÍNDRICAS DE DENTES
RETOSRETOS
Au to r ( a ) : M e . C r i s t i a n Pa d i l h a Fo n to u ra
R ev i s o r : J a i ro Wo l f
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 10 minutos.
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Introdução
Caro(a) estudante, iniciaremos agora nossa jornada pelo universo da soldagem.
Aprenderemos o que são e para que servem os processos de soldagem, tão presentes
no nosso cotidiano. Você consegue imaginar um automóvel fabricado sem esses
processos? Ou os diversos aparelhos eletrônicos que possuímos, como celulares,
computadores, aparelhos de TV etc.? Sim, a soldagem está presente em vários
equipamentos e peças, está mais próximo de nós do que percebemos na maior parte do
tempo.
Neste exato momento, você está utilizando algum item que passou por um projeto e,
possivelmente, pela mão de um engenheiro. A tela do dispositivo pelo qual você está
lendo este texto passou por alguém que analisou sua função e atribuiu qualidades, como
o material a ser utilizado, a quantidade de matéria-prima, o processo de fabricação
necessário, dentre outras especi�cações. Um automóvel, por exemplo, é um produto que
possui diversos sistemas (motor, freios, suspensões etc.), que devem ser projetados por
engenheiros, e cada função diferente precisa atender às especi�cidades da aplicação.
Nesse contexto, o projeto de máquinas, mecanismos e seus elementos nada mais é do
que o design de itens, considerando o conhecimento técnico do engenheiro para
desenvolver sistemas capazes de transmitir e conduzir movimento ou potência de um
lugar a outro, tais como um par de engrenagens acopladas e �xas ou duas polias
ligadas por uma correia. Agora que já estamos familiarizados, vamos juntos entender os
elementos desses mecanismos?
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Neste tópico, vamos de�nir o que é a soldagem, quais as suas aplicações e a sua
importância para a indústria e quais os métodos mais usuais para realizá-la. Também
traçaremos um breve histórico do desenvolvimento das técnicas de soldagem e, por �m,
veremos algumas características gerais relativas aos processos de soldagem.
Para facilitar a compreensão de certos conceitos pertinentes ao conteúdo de Mecânica
Aplicada, veja o Quadro 1.1, que traz um breve resumo de algumas medidas de
comprimento, velocidade, força e potência e sua equivalência.
Verificação dos
Conceitos Adquiridos
Relembrando alguns conceitos deRelembrando alguns conceitos de
Mecânica AplicadaMecânica Aplicada, uma das, uma das
primeiras dúvidas que podem surgirprimeiras dúvidas que podem surgir
diz respeito à conversão dediz respeito à conversão de
unidades de medida. Usaremos ounidades de medida. Usaremos o
Sistema Internacional de UnidadesSistema Internacional de Unidades
(SI)(SI), também conhecido como, também conhecido como
sistema métrico. Em alguns livros esistema métrico. Em alguns livros e
textos, porém, você pode se deparartextos, porém, você pode se deparar
com unidades do sistema imperialcom unidades do sistema imperial
ou do sistema estadunidense deou do sistema estadunidense de
unidades.unidades.
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Quadro 1.1 – Equivalência de unidades
Fonte: Adaptado de Norton (2013, p. 23).
Você sabe o que são processos de soldagem? São processos usados para unir duas ou
mais peças através da aplicação de calor, pressão ou de uma combinação de pressão e
calor, por um determinado tempo, para coalescer as partes. Como resultado desse
processo, as duas (ou mais) peças passam a ser uma só, chamada de conjunto soldado.
Alguns desses processos podem usar um material de adição para auxiliar nessa união
(GROOVER, 2016).
Dentro da Mecânica Aplicada, o conceito de velocidade angular é uma grandeza que
mede a rapidez com que se faz um percurso no sentido circular. Usa-se a letra grega
ômega (ω) para representá-la. A velocidade angular média (ωm) se dá pelo
deslocamento angular (Δφ) dividido pela variação de tempo (Δt):
Unidade Equivalência
1 pol 25,4 mm
1 pé (ft) 12 pol
1 rad/s 9,55 rpm
1 m/s 3,6 km/h
1 kgf 9,81 N
1 lb 0,4536 kg
1 lbf 4,448 N
1 hp 745,7 W
1 cv 735,5 W
=     (1)ωm
Δφ
Δt
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A velocidade angular é medida em radiano por segundo (rad/s) no SI, embora rotações
por minuto (rpm) seja uma unidade mais utilizada na prática. Como um giro completo é
360° (ou 2π), pode-se estimar o período (T) em segundos e o inverso do período, que é a
frequência (f) em Hertz.
Outro importante conceito físico dentro da Mecânica Aplicada é o torque. O conceito de
torque surgiu com Arquimedes e seu estudo do uso de alavancas. Na de�nição de Souza
(2011), pode ser descrito da seguinte forma:
O torque ou momento de uma força é análogo de uma “força rotacional” ou
angular, e atua no âmbito de movimento rotacional; é uma medida da
intensidade da tendência de giro de um corpo rígido em torno de um ponto ou
um eixo, devido a uma força ou conjunto de forças. Seu efeito é produzir uma
variação no estado de rotação ou giro do corpo, com maior ou menor
intensidade. [...] A direção do vetor torque é sempre na direção perpendicular
ao plano de giro dos pontos e no sentido da aceleração angular do corpo
(SOUZA, 2011, p. 69).
O torque, de�nido como vetor, é o produto da magnitude da força (F) e da distância
perpendicular da linha de ação de uma força ao eixo de rotação (r). Para compreender
melhor a de�nição de torque, observe a equação a seguir.
A unidade de torque no SI é o newton-metro [N⋅m]. Na cinemática rotacional, o torque
ocupa o lugar de força da cinemática linear, e existe uma equivalência direta com a
Segunda Lei de Newton ( ), sendo que , em que I é o momento de
inércia do objeto rotatório e α é a aceleração angular.
T =     (2)          f =     (3)
2π
ω
1
T
τ = × senθ    (4)r
−
F
−
F = ma T = Iα
S A I B A M A I S
Arquimedes foi um matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo, que viveu entre 287
e 212 a.C. Seus trabalhos contribuíram para várias áreas do conhecimento, e seu estudo de
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A potência (P) é outro conceito muito explorado na Física e na Mecânica Aplicada. De
acordo com Hibbeler (2018, p. 167), “potência é a quantidade de energia transferida ou
convertida por unidade de tempo”. No SI, a unidade é o watt (W), que equivale a 1 joule
por segundo (J/s). Ela pode ser de�nida como potência elétrica, potência radiante ou
potência mecânica. Em um motor, por exemplo, a potência de saída é o produto do
torque gerado pela velocidade angular do eixo.
No nosso caso, estamos interessados na potência mecânica e sua relação com o torque,
que se dá por:
Conforme os conceitos explanados anteriormente, podemos associar à Mecânica
Aplicada alguns problemas conceituais estudados em Física das Rotações.
Considere um disco de aço (densidade = 7.850 kg/m³), que gira a uma velocidade
angular de ω = 10 rad/s.
(a) Podemos determinar seu período como: .
(b) A frequência é o inverso de T, portanto, é: .
(c) A rotação em rpm é a simples conversão da velocidade angular, isto é,
.
Se o mesmo disco de aço possui diâmetro de 300 mm e espessura de 50 mm, e
queremos freá-lo em 2 segundos, podemos calcular o torque e a potência necessários
para executar a tarefa.
alavancas leva crédito por ajudar a fundamentar o conceito de torque. Como engenheiro, suas
invenções e melhorias foram de muita valia para o períodoe ajudaram a tecer um pouco do
que é a engenharia moderna.
Para saber mais, acesse o link a seguir:
http://www.if.ufrgs.br/tex/�s01043/20012/Severo/arquimedes.html
Fonte: Arquimedes (2021).
P = = = 2π ⋅ T ⋅ ω  [rpm] = T ⋅ ω  [rad/s]
Fora  ⋅ dist nciaâ
tempo
F ⋅ 2π
t
ρ
T = = 0, 63 s2π
10 rad/s
f = = 1, 59 Hz(0, 63)−1
n = 10 rad/s ⋅ 9, 55 = 95, 5 rpm
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http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20012/Severo/arquimedes.html
(a) Inicialmente, calculamos o momento de inércia do disco maciço de massa m e raio r:
(b) Como a aceleração angular é a diferença entre a aceleração �nal e a inicial, dividida
pelo tempo:
(c) Podemos, por �m, calcular o torque:
Alguns dos conceitos e noções vistos nesta primeira seção nos ajudarão a compreender
melhor os elementos de mecanismos que estudaremos a seguir. Se necessário, revise a
Mecânica Aplicada e a Física das Rotações, facilmente encontradas em bibliogra�a
básica de Física.
Generalidades sobre as Engrenagens
De acordo com Norton (2010), a maneira mais simples de se transferir movimento
rotatório de um eixo a outro é através de um par de cilindros rolantes, que podem ser
externos ou internos, tal como mostra a Figura 1.1. Se há o atrito necessário na interface
de rolagem dos cilindros, o mecanismo funciona plenamente. Não há deslizamento entre
as faces dos cilindros, desde que a força de atrito máximo entre elas não seja excedida
pelo torque transferido.
I = mr = (V ⋅ ρ) r = (π ⋅ (0, 150) ⋅ 0, 05 ⋅ 7850) (0, 05 ) = 0, 312 kg ⋅ m
1
2
2 1
2
2 1
2
2 2 2
α = = = −5 rad/s
Δω
Δt
0 − 10 rad/s
2 − 0
T = 0, 312  [kg ⋅ m ] ⋅ −5  [rad/s] = −1, 56 N ⋅ m2
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Figura 1.1 – Rodas de atrito
Fonte: Elaborada pelo autor.
Apesar dessa de�nição nos fazer associar, quase que automaticamente, os processos de soldagem
à união de peças metálicas através da fusão dos metais, é preciso destacar alguns pontos
importantes. Primeiro, os processos de soldagem são aplicados também a peças não metálicas,
embora o foco do nosso estudo seja a aplicação da soldagem a metais e ligas metálicas. Segundo,
apesar dos processos de soldagem serem classicamente de�nidos como processos de união, nos
últimos anos, algumas técnicas de soldagem têm sido usadas para adicionar material sobre
superfícies, seja para recuperação de peças desgastadas, seja como revestimento para proteção
contra abrasão ou, até mesmo, para manufatura aditiva (“impressão 3D”) de materiais metálicos.
Muitos processos de corte de chapas metálicas também se assemelham a processos de soldagem.
Em terceiro lugar, diversos processos de soldagem ocorrem sem a fusão dos materiais, como
veremos mais adiante (MARQUES; MODENESI; BRACARENSE, 2009).
Um exemplo extrapolado desse mecanismo é a roda de um veículo viajando por uma
estrada. O pneu é um cilindro rolante, enquanto a estrada é outro (tendo um raio muito
maior). O atrito é a força que impede o deslizamento, mas o coe�ciente de atrito não é
constante e depende dos materiais envolvidos. Assim sendo, uma pista coberta de gelo
pode provocar o deslizamento do pneu, uma vez que o coe�ciente de atrito entre a
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borracha e o gelo é menor do que o coe�ciente de atrito entre a borracha e o asfalto. Dito
isso, a baixa capacidade de torque e a possibilidade de deslizamento das rodas de atrito
não as tornam viáveis em todas as aplicações. Para resolver esses problemas, dentes
são adicionados às rodas de atrito, o que as torna engrenagens. Quando duas
engrenagens estão unidas, chamamos tal mecanismo de par de engrenagens, e, por
convenção, é dado o nome de pinhão para a menor das duas e de coroa para a maior,
como mostra a Figura 1.2.
Figura 1.2 – Par de engrenagens externas, evidenciando pinhão e coroa
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a �gura mostra um par de engrenagens. Uma delas, a maior, é azul e representa
a coroa, e seu sentido de rotação é anti-horário. A engrenagem menor, o pinhão, é amarela, e
seu sentido de rotação é horário.
Existem diversos tipos de engrenagens, classi�cadas por sua geometria: engrenagens
cilíndricas de dentes retos, engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais, engrenagens
cônicas, cremalheira de dentes retos, coroa e parafuso sem-�m, dentre outras variações.
Em teoria, dentes de qualquer formato evitam o deslizamento das rodas. Antigamente,
moinhos de água e vento usavam engrenagens de madeira, cujos dentes eram simples
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estacas arredondadas, presas entre os aros dos cilindros. A geometria das estacas,
entretanto, não permite transmissão suave de velocidade e viola a Lei Fundamental do
Engrenamento. Dentro da Teoria do Dente da Engrenagem, a Lei Fundamental do
Engrenamento nos diz que a razão de velocidade angular m das engrenagens de um
par de engrenagens permanece constante durante o engrenamento e é dada por:
As superfícies de rotação dos cilindros se tornam circunferências de referência, e os
diâmetros correspondentes se tornam diâmetros de referência (diâmetro primitivo) das
engrenagens. Ademais, a razão de torque (ou ganho mecânico) se dá pela recíproca de
mV:
Visto isso, um sistema de engrenagens é basicamente um mecanismo que troca torque
por velocidade, e vice-versa. Um conjunto de engrenagens pode reduzir a velocidade e
aumentar o torque para dirigir cargas pesadas, tal como a transmissão de um
automóvel. Para aumento na velocidade, uma redução no torque deve ser aceita. De
qualquer forma, é desejado que se mantenha constante a razão entre as engrenagens
quando elas rotacionam. Qualquer variação na razão aparecerá como uma oscilação na
velocidade e no torque de saída. Para �ns de cálculo, a razão de engrenamento é
entendida como a razão de velocidade ou torque, qualquer uma delas que seja maior que
1:
Se m = 0,75 e m = 1,25, então m será a razão de engrenamento.
Nesse sentido, sabemos que:
As normais comuns a ambos os pontos de contato passam pelo mesmo
ponto de referência. É esta propriedade da involuta que faz com que ela
obedeça à lei fundamental do engrenamento. [...] A lei fundamento de
engrenamento pode ser expressa de uma maneira cinematicamente mais
formal: a normal comum do per�l de dentes, em todos os pontos de contato
durante o engrenamento, deve ser sempre passar por um ponto �xo na linha
de dentro das engrenagens, chamado de ponto de referência (NORTON, 2013,
p. 686).
V
= =   ±     (5)mV
ω
sa daí
ωentrada
rentrada
r
sa daí
= =   ±     (6)mA
ωentrada
ω
sa daí
r
sa daí
rentrada
> 1  →   =           > 1  →   =     (7e8)mV mG mV mA mG mA
V A A
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A Figura 1.3, a seguir, mostra um par de dentes de forma involuta em duas posições,
entrando e saindo de contato. A partir dela, podemos obter algumas informações sobre
a geometria do engrenamento.
Figura 1.3 – Comprimento de ação, arco de ação e ângulos de aproximação e recesso
(afastamento) durante o engrenamento
Fonte: Norton (2013, p. 686).
#PraCegoVer: a �gura mostra uma ilustração dos dentes de duas engrenagens em contato. A
menor é denominada pinhão e se encontra à direita na �gura, enquanto a segunda é chamada
de engrenagem e está à esquerda. O pinhão é a engrenagem motora, com movimento em
sentido horário. O movimento da engrenagem se dá no sentido anti-horário. Entre os centros
de ambas, encontra-se a distância entre centros, de�nida como C. O comprimento de ação Z
compreende o ponto de iníciode contato até a circunferência de cabeça, ou adendo.
Centralizado ao comprimento de ação Z está o ponto de referência, pelo qual passam um eixo
virtual, que de�ne os ângulos de afastamento e de aproximação, e o arco de ação. Do arco de
ação se descrevem as circunferências de referência – uma delas passa diretamente no arco
de ação, e outra tangencia o adendo da engrenagem. A �gura também de�ne o ângulo de
pressão medido na direção da engrenagem movida, obtido do ângulo entre uma linha reta que
sai do ponto de referência e outra que segue a linha de ação.
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Observe que a forma envolvente dos dentes é o que garante que os pontos de contato na
entrada e na saída do engrenamento de um dente estejam sempre sobre a mesma linha
tangente ao círculo de base (linha de ação), o que obedece à Lei do Engrenamento.
1. Ângulo de pressão: é o ângulo formado entre a linha de ação (tangente às
circunferências da base) e a velocidade tangencial no ponto de referência
(primitivo). O ângulo de pressão padrão é 20°.
2. Folga de engrenamento: é o intervalo entre dentes engrenados medido ao
longo da circunferência do círculo de referência. O afastamento entre
centros de engrenagens gera um aumento na folga do engrenamento. Em
aplicações que demandem a reversão do torque, a folga precisa ser
minimizada.
3. Interferência e adelgaçamento: o adelgaçamento é a remoção de material
na base do dente, quando o dedendo do dente ultrapassa o círculo de base,
que eventualmente enfraquece o dente e causa falha prematura. Já a
interferência se refere ao contato da cabeça do dente de uma engrenagem
no dedendo da outra, causando o adelgaçamento. Esses efeitos podem ser
evitados ao não fazer uso de engrenagens com poucos dentes.
4. Razão de contato: é o que de�ne o número médio de dentes em contato em
qualquer momento durante o engrenamento. As engrenagens retas devem
respeitar a faixa entre 1,4 e 2,0. A razão de contato mínima para que
engrenagens helicoidais operem de forma suave é 1,2.
Para entendermos as engrenagens, precisamos conhecer os termos utilizados para
designar cada um de seus detalhes. Os dentes são estruturas relativamente simples,
mas que possuem características físicas que recebem nomenclaturas especí�cas e que
nos ajudarão a compreender mais adiante suas funções no dimensionamento. Tais
características estão expostas na Figura 1.4.
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Figura 1.4 – Nomenclatura do dente em uma engrenagem
Fonte: Norton (2010, p. 482).
#PraCegoVer: a �gura mostra um desenho de dois dentes de engrenagem em detalhe
tridimensional. Cada uma das características geométricas está com setas que apontam para
sua nomenclatura. Na �gura, existem duas linhas paralelas a cada um dos dentes e dois
arcos: um arco à meia altura dos dentes (que é a circunferência primitiva), que comporta o
passo circular; e outro arco um pouco abaixo da profundidade total dos dentes (circunferência
de base), o qual comporta o passo de base. O vão entre os dentes é de�nido como o
comprimento vazio entre um dente e outro. A espessura do dente é a medida da maior
espessura do dente, isto é, onde o dente é mais largo. A circunferência de adendo é uma
medida da circunferência externa, na ponta do dente, em torno da engrenagem. O adendo é a
medida entre a ponta do dente e a meia altura do dente. O dedendo é a medida entre a meia
altura do dente e um ponto um pouco acima da profundidade total do dente. O ponto abaixo
do dedendo segue até a profundidade total do dente e se denomina folga do fundo do dente.
Na profundidade total do dente, está inscrita a circunferência de dedendo. A superfície da
ponta do dente é de�nida como topo. A espessura do dente é a espessura que a engrenagem
possui tridimensionalmente. As faces são os lados da engrenagem que entram em contato
com outros dentes, acima da circunferência primitiva, quando engrenados. Os �ancos
compreendem os lados dos dentes abaixo da circunferência primitiva. A superfície inferior
de�ne a região sem dentes da engrenagem, em profundidade total.
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A circunferência ou círculo primitivo é um círculo teórico que é usado de base para
diversos cálculos e corresponde à distância entre dois pontos idênticos em dois dentes
adjacentes na engrenagem.
A altura do dente é de�nida pela soma do adendo (adicionado a), ou altura da
cabeça, e do dedendo (subtraído de), ou altura de pé, que são referidos à
circunferência primitiva. O dedendo é levemente maior que o adendo para
fornecer a menor folga possível entre a ponta do dente de uma engrenagem
(circunferência de adendo ou de cabeça) e o fundo do espaço entre dentes da
outra (circunferência de dedendo ou de pé). A espessura do dente é medida na
circunferência primitiva, e o vão entre os dentes é levemente maior que a
espessura do dente. A diferença entre as duas dimensões é chamada de jogo
(folga do dente). A largura do dente frontal é o comprimento do arco ao longo
da circunferência primitiva medido de um ponto em um dente ao mesmo
ponto no dente seguinte. O passo circular de�ne o tamanho do dente. As
outras dimensões do dente são padronizadas (NORTON, 2010, p. 482).
Dessa forma, o passo circular é de�nido como:
Em que: d = diâmetro primitivo e N = número de dentes.
Para uma engrenagem de diâmetro de 6 polegadas e 80 dentes, o passo circular é:
Por conseguinte, o passo diametral equivale a:
Para a mesma engrenagem citada anteriormente, o passo diametral é:
.
Passos diametrais padronizados abaixo de 20 são considerados grosseiros, enquanto os
iguais ou superiores a 20 são passos diametrais considerados �nos.
O passo de base é a medida ao longo do círculo da circunferência de base e é de�nido
por:
=     (9)pc
π ⋅ d
N
= = = 0, 23pc
π⋅d
N
π⋅6 polegadas
80
= =     (10)pd
N
d
π
pc
= = 13, 66pd
π
0,23
= cosϕ    (11)pb pc
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A unidade para p e p é em milímetros. Comumente, as equações de passo circular,
passo diametral e passo de base são utilizadas no sistema inglês. No SI, normalmente
se usa o módulo, que relaciona o tamanho do diâmetro primitivo com o número de
dentes. O módulo m é dado em milímetros e é de�nido como:
A razão de velocidade pode ser reescrita em função do número de dentes, com a
razão de engrenamento:
Em que N é o número de dentes na engrenagem (ou coroa) e N é o número de dentes
no pinhão.
A Figura 1.5 mostra diferentes per�s de dentes de profundidade completa, normatizados
pela AGMA, com base na mudança de ângulo de pressão.
Figura 1.5 – Diferentes ângulos de pressão
Fonte: Norton (2010, p. 483).
#PraCegoVer: a �gura traz três dentes de engrenagens diferentes, cada uma com um ângulo
de pressão, que confere um per�l diferente. Estão apresentados na �gura, três ângulos
diferentes, que são padronizados, sendo eles 14,5°, 20° e 25°, respectivamente.
b c
m =     (12)
d
N
mV
= ,       logo:       =     (13)mG
Nentrada
N
sa daí
mG
Ng
Np
g p
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A Tabela 1.1 traz a geometria para dentes padronizados de engrenagens, baseados no
módulo da engrenagem. Em livros de referência, como os citados ao longo deste
material, é possível obter os mesmos parâmetros em termos de passo diametral.
Tabela 1.1 – Especi�cações de dimensões de engrenagens no SI
Fonte: Norton (2010, p. 483).
#PraCegoVer: a tabela mostra a relação matemática existente entre o módulo m
das engrenagens com outras propriedades geométricasdelas. A primeira coluna
mostra que parâmetros são esses, a segunda, a relação para passos grossos, com
módulos maiores ou iguais a 1,25 e a terceira coluna mostra a mesma relação para
passos �nos, que tem módulos menores do que 1,25.
Parâmetros Passo grosso (m >= 1,25) Passo �no (m7-9
Máquina de lavar roupas 8-10
Prensa de impressão 9-11
Mecanismo de computador 10-11
Transmissão de automóveis 10-11
Acionador de antena de radar 10-12
Acionador de propulsor marítimo 10-12
Acionador de motor de avião 10-13
Giroscópio 12-14
v
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Quadro 1.2 – Números de qualidade de engrenagem recomendados pela AGMA para várias
aplicações
Fonte: Norton (2013, p. 705).
#PraCegoVer: o quadro traz informações sobre o número de qualidade (QV) para as
engrenagens, de acordo com sua aplicação. A primeira coluna mostra a aplicação, e
a segunda coluna a faixa na qual o número de qualidade deve se encontrar. De
acordo com a tabela, as engrenagens em um acionador do tambor do misturador de
cimento devem possuir número de qualidade entre 3 e 5. Para forno de cimento e
acionadores de fresa de aço, o número deve estar entre 5 e 6. Em selecionadores de
milho, guindastes, prensas de esmagamento e esteiras de mineração, o número �ca
entre 5 e 7. Para máquinas de fabricação de caixa de papel, o número deve estar
entre 6 e 8. Para mecanismos de medidor de gás e furadeiras de baixa potência, o
número deve estar entre 7 e 9. Em máquinas de lavar roupas, o número �ca entre 8 e
10. Para prensas de impressão, o número deve estar entre 9 e 11. Em mecanismos
de computador e transmissão de automóveis, o número �ca na faixa de 10 a 11. Em
acionadores de antenas de radar e de propulsores marítimos, a faixa está entre 10 e
12. Para acionadores de motor de avião, a faixa é entre 10 e 11. Finalmente, para
giroscópio, a faixa compreende números de qualidade de engrenagem entre 12 e
14.
As engrenagens podem ser constituídas por uma gama não muito ampla de materiais, a
constar: ferros fundidos, aços e bronzes. Além das engrenagens metálicas, existem as
não metálicas, que podem ser feitas de náilon e acetal.
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Fonte: Adaptado de ollomy/123RF.
Outro fator a ser considerado no uso de engrenagens é sua lubri�cação, que, com a
exceção de engrenagens feitas de plástico, é indispensável para qualquer outro tipo de
engrenamento. A lubri�cação previne falhas, como o desgaste abrasivo e a formação de
cratera, pois ajuda a manter as interfaces das engrenagens a temperaturas controladas.
Em geral, o foco é prover um banho de óleo que aloje as engrenagens em uma caixa
selada (redutor), e ao menos um membro de cada par engrenado deve estar
REFLITA
Além da prevenção de falhas, que outras vantagens a
lubri�cação pode fornecer a um mecanismo de
engrenagens? É possível que a potência de saída seja
impactada pelo uso de lubri�cante, em comparação com
um sistema não lubri�cado? Pense a respeito.
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parcialmente submerso. Uma opção mais rudimentar e menos e�ciente que pode ser
usada em operações de baixa rotação e cargas leves é o uso de graxa diretamente sobre
as engrenagens. Os lubri�cantes de engrenagens são tipicamente óleos à base de
petróleo com variadas viscosidades. Óleos leves (10-30 W) são usados em altas
velocidades, e óleos densos (80-90 W) em aplicações de baixas velocidades.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
A �gura a seguir representa um trem de engrenagens retas composto, e cada uma
delas está identi�cada por um número de 1 a 6. Considere que a engrenagem 1 seja a
motora do trem e seus números de dentes sejam: N = 20, N = 60, N = 15, N = 75, N
= 40 e N = 80.
1 2 3 4 5
6
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Figura: Trem de engrenagens composto
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a �gura ilustra um trem composto de engrenagens. O trem possui
seis engrenagens, divididas em três pares engrenados. As engrenagens 1 e 2 foram
o primeiro par engrenado, sendo que a engrenagem 1 está no eixo de entrada, e a 2
está em outro eixo. As engrenagens 3 e 4 são o segundo par engrenado. A
engrenagem 3 está sobre o mesmo eixo que a 2. A engrenagem 4 está em um
terceiro eixo, que conecta o último par engrenado. O último par engrenado é
constituído pelas engrenagens 5 e 6. A engrenagem 6 está acoplada ao eixo de
saída do trem.
Avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas e assinale a opção
correta.
I. Se o torque na engrenagem 1 é de 15 N·m, o torque na engrenagem 6 será de 450
N·m.
                                                                           PORQUE
II. Em um trem de engrenagens, o torque e a velocidade angular aumentam
proporcionalmente à relação de transmissão.
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Está correto o que se a�rma em:
a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justi�cativa
correta da I.
b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma
justi�cativa correta da I.
c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é falsa.
d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é verdadeira.
e) As asserções I e II são falsas.
As Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos (ECDRs) são um subgrupo da categoria de
engrenagens cilíndricas. São aquelas nas quais os dentes são paralelos ao eixo da
engrenagem. De acordo com Norton (2010), as ECDRs são normalmente utilizadas em
aplicações nas quais se pretende transmitir movimento entre eixos paralelos. Em termos
de projeto, fabricação, montagem e manutenção, as ECDRs são as engrenagens mais
simples. Conforme Budynas e Nisbett (2011), com as ECDRs, é possível obter grandes
relações de transmissão (na ordem de 8:1), isto é, uma engrenagem maior é movida por
uma engrenagem oito vezes menor, em uma relação de redução de velocidade.
Engrenagens
Cilíndricas de Dentes
Retos
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O rendimento das ECDRs é de 98 a 99%, o que é considerado alto, porém elas são muito
ruidosas quando operando em altas velocidades, por isso normalmente são usadas em
rotações menores. Podem transmitir potências da ordem de 15 MW, com velocidades
tangenciais entre 150 e 200 m/s.
Carregamentos em ECDRs
A �m de entender o método de cálculo para tensões nos dentes de uma engrenagem,
considera-se a maneira como a potência é transmitida por um sistema de engrenagens,
como na Figura 1.8, a seguir. O motor elétrico entrega potência na velocidade de seu
eixo, por meio de um acoplamento �exível para a engrenagem de entrada. Esta move a
engrenagem de saída para alcançar uma redução de velocidade. O eixo que carrega a
engrenagem de saída transmite potência através de um segundo acoplamento �exível
para mover o tambor de uma máquina.
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Figura 1.8 – Fluxo de potência através de um par engrenado
Fonte: Adaptada de Mott, Vavrek e Wang (2018, p. 366).
#PraCegoVer: a �gura mostra o �uxo de potência a partir de um motor cujo eixo de saída está
acoplado ao pinhão de um par engrenado, que transmite potência para a engrenagem maior,
acoplada ao eixo do tambor de uma máquina.
É importante de�nir o torque como T = potência/velocidade de rotação = P/n. O torque é
o produto da força agindo tangencialmente ao círculo primitivo do pinhão vezes o raio do
pinhão. Uma vez que a velocidade no pinhão é maior do que na coroa, o torque de saída
é maior do que o de entrada. Os dentes do pinhão, que é a engrenagem motora,
transmitem a potência para acoroa, a engrenagem movida.
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Figura 1.9 – Forças no pinhão e na engrenagem de um par acoplado. As engrenagens
estão afastadas para ilustração, e os pontos de referência, na verdade, estão em contato
Fonte: Adaptada de Norton (2013, p. 706).
#PraCegoVer: a �gura mostra as forças atuantes nos dentes do pinhão e da engrenagem.
Ambos os elementos estão afastados, para �ns ilustrativos. Uma linha de ação delimita a
maneira como os carregamentos se distribuem, e a partir dela se atribuem as forças
tangencial, radial e normal.
W é a força exercida pelos dentes do pinhão na coroa. Essa força é usada para
transmitir potência de uma engrenagem para outra, ou seja, é a força motora. Se as
engrenagens estão rotacionando a uma velocidade constante e transmitindo um nível
uniforme de potência, o sistema está em equilíbrio e, portanto, há uma força tangencial
igual e oposta exercida pelos dentes da coroa no pinhão. A força tangencial, ou
transmitida, W pode ser de�nida como:
O torque T , então, é dividido pelo módulo da engrenagem m, vezes o número de dentes
N . Essa força é a que vai mostrar a carga transmitida pelos dentes da engrenagem.
Vamos usá-la quando a carga transmitida pela engrenagem for solicitada.
t
t
= =     (18)Wt
Tp
rp
2 ⋅ Tp
m ⋅ Np
p
p
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Com as relações trigonométricas, podemos obter a força radial W e a força normal W ,
de�nidas por:
A pior condição de carregamento ocorre quando W atua na ponta do dente. Dependendo
da razão de contato, os dentes podem receber toda ou parte de W. Para entender melhor
alguns dos conceitos, vejamos a atividade a seguir.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
O eixo do pinhão passa a 15 kW a 2.500 rpm. A razão do trem é 3,5:1. O pinhão tem 14
dentes, um ângulo de pressão de 25° e módulo m = 4 mm. Além disso, a engrenagem
vazia tem 17 dentes. Considere que o pinhão engrena com uma engrenagem vazia
(sem carga, ou seja, nenhum torque) e, consequentemente, a engrenagem vazia
engrena com a engrenagem de saída.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2013.
Considere as seguintes asserções e, em seguida, assinale a alternativa correta.
I. O número de dentes na engrenagem é igual a 49.
II. O torque no eixo do pinhão é de 57,3 N·m.
III. O torque da saída é três vezes menor do que o torque no eixo do pinhão.
IV. A carga transmitida é de 1.000 N.
Está correto o que se a�rma em:
r n
= tgφWr Wt
= /cosφWn Wt
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a) I, II, III e IV.
b) I, II e III, apenas.
c) I e IV, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I e III, apenas.
ECDRs podem sofrer falha mecânica por dois motivos: fratura por fadiga, que se deve a
tensões variadas de �exão na raiz do dente, e fadiga super�cial (também chamada de
crateração), ocorrida na superfície do dente. A fratura por fadiga é estimada pelo critério
de Goodman e pode ser projetada para ciclos in�nitos, porém a fadiga super�cial
eventualmente ocorre.
No contexto das tensões de �exão, em 1892, W. Lewis considerou que o dente da
engrenagem é como uma viga em balança com sua seção crítica na raiz. A equação de
Lewis é a seguinte:
Em que W é a força tangencial do dente, p é o passo diametral, F é a largura da face e
Y é um fator adimensional da geometria, hoje conhecido por fator de forma de Lewis. A
norma AGMA de�niu que essa equação só é válida em casos especí�cos. São eles:
Tensões em ECDRs
=     (19)σb
Wt
m ⋅ F ⋅ Y
t d
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A equação AGMA das tensões de �exão considera o fator de geometria J, que substitui o
fator de forma de Lewis Y, além de fatores K, que adequam a equação, levando em conta
as diversas condições de aplicação.
O fator de geometria J varia de acordo com os ângulos de pressão e com os adendos. É
possível encontrar tabelas para obter o fator de geometria J e para os fatores K nas
obras “Cinemática e dinâmica dos mecanismos” (NORTON, 2010) e “Elementos de
máquinas em projetos mecânicos” (MOTT, 2015), especí�cas para os diferentes casos
de carregamento.
O fator K é o fator dinâmico, que leva em conta as cargas de vibrações geradas
internamente pelos impactos entre os dentes, chamados de “erros de transmissão”, que
ocorrem mais acentuadamente em engrenagens de baixa precisão.
O fator K é o fator de distribuição de carga, que diz respeito a desalinhamentos axiais
ou desvios na forma do dente, que fazem com que a carga W não seja transmitida de
maneira igual sobre a face dos dentes. Quanto mais larga a engrenagem, pior é a
distribuição de carga.
O fator K é o fator de aplicação e refere-se a equipamentos que não transmitem cargas
ou torques uniformes ao longo do tempo. O fator K é o fator de tamanho. A norma da
AGMA recomenda que esse valor seja igual a 1 na maioria das aplicações. Em dentes
com módulo acima de 5, pode se aplicar a seguinte equação:
Em uma engrenagem de módulo 6, por exemplo, teríamos algo como:
O fator K é o fator de espessura de borda, usado quando a engrenagem é fabricada em
um anel. O fator K é o fator de ciclo de carga e deve respeitar a seguinte condição: K =
 A B C D E F
A razão de contato é entre 1 e 2.
=     (20)σb
Wt
F ⋅ m ⋅ J
KaKm
Kv
KsKBKI
v
m
t
a
s
= 1 + ⋅ 0, 025    (21)Ks (m − 5)1,2
= 1 + ⋅ 0, 025 = 1, 025Ks (6 − 5)1,2
B
I I
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1,42 para engrenagens intermediárias e K = 1,00 para pinhão ou engrenagem de
extremidade.
Quando falamos em tensões super�ciais, estamos nos referindo à combinação de
rolamento e escorregamento nas interfaces de dentes engrenados. No ponto de
referência d , há um rolamento puro. O deslizamento aumenta com o afastamento do
ponto de referência, e o contato com o dente cria um estado triaxial de tensão, que tem
pico na superfície ou logo abaixo dela. Se a lubri�cação do engrenamento for adequada,
as falhas por mecanismos abrasivo, adesivo e corrosivo são minimizadas. O modo de
falha será crateração e lascamento devido à fadiga de superfície.
O nível de tensão em contato entre dentes é determinado pela equação de Buckingham,
dada por:
Em que:
C = coe�ciente elástico;
W = força tangencial sobre o dente;
F = largura da face do dente;
I = fator geométrico de superfície;
d = diâmetro primitivo da menor engrenagem;
C , C , C e C são iguais aos coe�cientes K , K , K e K ;
C = coe�ciente de acabamento super�cial.
Considerando que:
C = 191 MPa ;
W = 2.000 N;
F = 50 mm;
I = 0,091;
d = 59 mm;
I
p
=     (22)σc Cp ⋅ ⋅ ⋅
Wt
F ⋅ I ⋅ dp
⋅Ca Cm
Cv
Cs Cf
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
p
t
p
a m v s a m v s
f
p
0,5
t
p
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C , C , C e C = 1, 1,6, 0,7 e 1;
C = 1;
Podemos obter a tensão de superfície da seguinte forma:
Esse resultado deve ser considerado na seleção do material da engrenagem, que deve
suportar essa tensão com um coe�ciente de segurança apropriado.
A fadiga descreve os fenômenos de iniciação e propagação de trincas em materiais,
devido a esforços cíclicos. Na engenharia, é papel do engenheiro estimar o tempo de
vida em fadiga de um componente que está sujeito a esforços cíclicos. A resistência à
fadiga para engrenagens pode ser estimada em relação à fadiga de �exão e à fadiga de
superfície. Ambas as resistências são dadasem MPa.
A equação que rege a resistência à fadiga de �exão de acordo com a AGMA é:
Vamos aplicá-la para corrigir o valor de resistência à fadiga de �exão, que é tabelado. A
correção é realizada a �m de se estabelecer um valor adequado para a aplicação para a
qual a engrenagem está projetada.
Os valores de resistência à fadiga de �exão dependem dos fatores K.
O fator de vida (K ) diz respeito ao número de ciclos da engrenagem e é dado por
equações e/ou forma grá�ca em função da aplicação com base na dureza.
O fator de temperatura (K ) é relacionado à temperatura da engrenagem. Até 120
°C, é igual a 1.
O fator de con�abilidade (K ) é baseado na con�abilidade e é tabelado para os
seguintes valores: con�abilidade de 90, 99, 99,9 e 99,99% são, respectivamente, K
 = 0,85, 1,00, 1,25 e 1,50.
Os fatores utilizados nos cálculos são tabelados ou fornecidos em forma de equação ou
grá�co nas literaturas pertinentes, como os livros referenciados ao �nal do conteúdo.
Quando fornecidos em formato de grá�co, os dados devem ser veri�cados de acordo
a m v s
f
= 191 MPa = 788 MPaσc ⋅ ⋅ 1 ⋅ 1
2000 N
50 mm ⋅ 0, 091 ⋅ 59 mm
1 ⋅ 1, 6
0, 7
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
=     (23)Sfb
KL
KTKR
Sfb′
L
T
R
R
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com alguma variável conhecida, como dureza, ou alguma condição conhecida da
aplicação. Também é dever do projetista encontrar esses valores para a realização de
cálculos.
Já na equação para a resistência à fadiga de superfície, temos que:
Assim como a correção realizada para a resistência à fadiga de �exão, a correção para a
fadiga de superfície se baseia em considerar os fatores C, que são especí�cos para cada
aplicação das engrenagens, para ajustar os valores tabelados de resistência à fadiga de
superfície.
Para a resistência à fadiga super�cial, os fatores C corrigem o cálculo para tempos de
vida proporcionais, para diferentes razões de dureza.
praticar
Vamos Praticar
Considere que a tensão de �exão σ , que atua no pinhão de um par engrenado de
ECDRs, é de 75,33 MPa. O pinhão gira a 5.600 rpm, 16 horas por dia, 22 dias por mês e
12 meses por ano. A resistência à fadiga de �exão não corrigida S é de 150 MPa.
Considere um coe�ciente de segurança de CS = 1,6, em que a temperatura do
sistema é 100 °C (K = 1) e a con�abilidade é de 99,9% (K = 1,25). Para o fator K ,
considere a equação: .
Determine a expectativa de vida para o pinhão, em anos, por fadiga de �exão.
=     (24)Sfc
⋅CL CH
CT ⋅CR
Sfc′
b
fb’
fb
T R L
= 1, 6831 KL N
−0,0323
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Material
Complementar
V Í D E O
Como calcular e modelar uma engrenagem
cilíndrica de dentes retos
Ano: 2020
Comentário: Nesse vídeo, o desenvolvedor de projetos mecânicos
Andreu Medinger demonstra alguns dos cálculos essenciais no
dimensionamento de ECDRs e seu modelamento em software de
desenho assistido por computador.
Para conhecer mais, acesse o link:
ACESSAR
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L I V R O
Engrenagens cilíndricas: da concepção à
fabricação
Editora: Blucher
Autor: Norberto Mazzo
ISBN: 978-8521207948
Comentário: Para o(a) estudante que quer aprofundar seus
conhecimentos sobre a teoria de engrenagens, em especial as
engrenagens cilíndricas, o livro traz um excelente conteúdo, que
considera alguns dos conceitos abordados nesse material e vai
além, tratando de detalhes mais especí�cos que fazem parte da
vida do projetista.
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Conclusão
Estudante, como você pôde ver, as engrenagens são elementos fundamentais em sistemas
mecânicos e, até hoje, são insubstituíveis. Mesmo um carro elétrico necessita de engrenagens
em sua transmissão, não importa o quão automatizado ele seja. Agora, você já está
familiarizado(a) com o tópico e com o projeto de engrenagens. Vimos aqui as generalidades
das engrenagens, a nomenclatura especí�ca para elementos presentes em uma engrenagem
e, ainda, como a transmissão de potência pode ser efetivada em pares ou trens. Também
conhecemos mais a fundo as engrenagens cilíndricas de dentes retos, compreendendo os
tipos de carregamentos e tensões que o projeto deve abranger para um design seguro e
funcional. Com o conteúdo aqui apresentado, você já tem um pouco de projetista de
engrenagens em si, mas ainda tem muito mais com o estudo dos demais tipos de
engrenagens.
Bons estudos e até breve!
Referências
AGMA – AMERICAN GEAR MANUFACTURERS
ASSOCIATION. ANSI/AGMA Standard 2000-A88 –
Gear classi�cation and inspection handbook –
Tolerances and measuring methods for
unassembled spur and helical gears (including
metric equivalents). Alexandria, VA: AGMA, 1990.
ARQUIMEDES (287–212 a.C.). Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do
Sul – IF-UFRGS, [2021]. Disponível em:
http://www.if.ufrgs.br/tex/�s01043/20012/Severo/arquimedes.html. Acesso em: 12 ago.
2021.
BUDYNAS, R.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8. ed. Porto Alegre: AMGH,
2011.
26/11/24, 19:12 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=fKkh7QWJRb9t4QEQWp%2b%2bsA%3d%3d&l=vVm%2fulTy1mdiKM%2faMCSjjA%3d%3… 40/41
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20012/Severo/arquimedes.html
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2018.
MAZZO, N. Engrenagens cilíndricas: da concepção à fabricação. São Paulo: Blucher, 2013.
MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projetos mecânicos. 5. ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2015.
MOTT, R. L.; VAVREK, E. M; WANG, J. Machine elements in mechanical design. 6. ed. New
York: Pearson Education, 2018.
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. Porto Alegre: Bookman,
2013.
SOLIDWORKS | Aula completa - Como calcular e modelar uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos. [S. l.: s. n.], 2020. 1 vídeo (47 min.). Publicado pelo canal Andreu Medinger.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=gE6I3MlNrtg. Acesso em: 14 set. 2021.
SOUZA, S. de. Mecânica do corpo rígido. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
26/11/24, 19:12 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=fKkh7QWJRb9t4QEQWp%2b%2bsA%3d%3d&l=vVm%2fulTy1mdiKM%2faMCSjjA%3d%3… 41/41
https://www.youtube.com/watch?v=gE6I3MlNrtg