ECR

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Mecânica Aplicada 
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ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS (ECR) 
 
COMENTÁRIOS PRELIMINARES 
 
A transmissão de movimento rotativo de um eixo para outro é um procedimento 
extremamente comum em máquinas que atuam mecanicamente (existem máquinas 
eletrônicas e associações do tipo termomecânico, pneumático etc.). Tais máquinas 
podem ser do tipo de transmissão de potência, usadas em indústrias de 
transformação e veículos, ou voltadas para dispositivos de precisão e similares, que 
trabalham com baixo nível de esforço. 
Embora não se constituam no único meio para a transformação e transferência de 
energia (existem os cames ou excêntricos, os sistemas articulados, as uniões 
flexíveis, os parafusos etc.) são os elementos mais empregados nesse mister e 
talvez aquele que reúne um maior número de vantagens funcionais. Sua robustez, 
aliada à tecnologia de fabricação e projeto amealhada ao longo de muitas centenas 
de anos fazem das engrenagens um dispositivo popular, que não deve ser 
substituído completamente, pelo menos nas próximas décadas. Há muitos 
componentes modernos que já ocupam seu lugar em muitas aplicações arrojadas, 
como as CNT. Mas seu custo relativamente baixo em aplicações simples, 
acessibilidade de maquinário e fabricantes, aliados ao domínio da engenharia sobre 
massa crítica de conhecimentos a respeito de sua fabricação e projeto fazem-no um 
elemento de máquina emblemático. 
O estudo das engrenagens não é elementar. Particularmente os tipos elaborados, 
tais como os usados na indústria automotiva, detém particularidades que hoje são 
segredos industriais, tamanha é a tecnologia agregada a esses produtos. 
Por outro lado, existem aspectos relacionados a três principais ângulos: o projeto 
cinemático, que é a base do estudo, mas ao mesmo tempo é o aspecto mais 
acessível; o projeto estrutural, que hoje recebe ampla contribuição de sofisticados 
métodos computacionais; e o aspecto de fabricação, que se envolve com os dois 
primeiros e usualmente fica envolto numa atmosfera governada pela experiência 
industrial e muitas particularidades referentes aos diversos processos disponíveis. 
Grosso modo, as engrenagens não deixam de ser rodas denteadas, cujas 
características podem ser mais elaborada em certos casos, utilizados 
modernamente. 
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Nesse sentido, uma classificação básica referente à sua tipologia mais comum é a 
seguinte: 
 
 
 
 
 
A disposição dos eixos que se quer solidarizar é um fator muito importante. Assim 
encontram-se engrenagens cilíndricas com eixos transversos e as cônicas, com 
eixos que se cruzam, mas não em ângulos reto. 
No quadro anterior, pode-se também incluir a cremalheira, que é um caso importante 
dentro do grupo das engrenagens cilíndricas de dentes retos, em que a coroa 
(engrenagem de maior diâmetro) tem raio infinito e por isso é chamada cremalheira. 
 
 
 
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Na figura a seguir apresenta-se um típico par de engrenagens cilíndricas de dentes 
retos. Para que o leitor tenha uma idéia da possibilidade de generalização, existem 
engrenagens assim que não são circulares, por razões particulares de determinada 
aplicação do mecanismo. 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DE USO 
 
 Está envolvida a transmissão de potências elevadas, nas quais o torque é 
significativo e as velocidades angulares são moderadas; é possível usá-las 
em situações nas quais isso não ocorre; mas, dependendo do sistema, outros 
dispositivos podem ser aplicados com custo menor. 
 
 Distância entre árvores é pequena; mas há muitas exceções. As correias 
seriam mais adequadas para essa função no caso de grandes distâncias 
Todavia, em muitos casos a robustez da transmissão por engrenamento se 
impõe e a distância entre centros pode ser significativa. A identificação do que 
é grande ou pequeno é problemática, mas distâncias entre centros próximas 
de um metro podem ser consideradas grandes, mas não são incomuns pela 
razão exposta. Por outro lado, em certos casos deseja-se imprimir uma 
grande redução de velocidades usando-se coroas imensas, o que implica em 
uma distância entre centros grande. Um exemplo popular é a caixa de 
transmissão do bondinho do pão de açúcar no Rio de Janeiro, cujo raio da 
coroa está próximo de dois metros. Mas isto não é nada perto do que é 
mostrado na figura a seguir. 
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 Precisão e durabilidade na transmissão; engrenagens bem projetadas, bem 
acabadas e com tratamento superficial adequado tem vida muito longa, 
sobretudo se não ocorrem sobrecargas constantes. Todos sabem da 
durabilidade das caixas redutoras dos veículos, mas os mecânicos de oficinas 
de reparos sabem perfeitamente o quão comum é aparecer um veículo “cross 
road” com engrenagens da transmissão totalmente dilaceradas pelo uso 
inadequado do veículo, em condições que estão fora das previstas pelos 
fabricantes. Quando potências reduzidas são envolvidas, como no caso dos 
dispositivos de precisão, não há o que discutir. A indústria relojoeira, 
particularmente a européia demonstra a imensa durabilidade de mecanismos 
constituídos por engrenagens. 
 A razão entre as velocidades angulares, de entrada e saída, ser constante. 
Esta condição vigora se as engrenagens são circulares, obviamente. Esta 
condição distingue fortemente a aplicação dos quadriláteros articulados e 
outros mecanismos das engrenagens. 
 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
 
A figura a seguir ilustra algumas das grandezas que caracterizam o engrenamento 
das engrenagens cilíndricas. 
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 Circunferência primitiva: circunferência teórica que governa o cálculo 
cinemático. 
 
Na análise cinemática, as circunferências primitivas representam o par coroa e 
pinhão, de modo que podem ser representados tais como discos e rolos, sem 
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qualquer prejuízo. Também a análise dinâmica, identificando-se as forças atuantes 
no engrenamento, é feita particularmente com base nos esforços que atuam na 
posição ditada por essas circunferências. Ressalta-se que, como há inúmeros 
pontos de contato entre duas engrenagens, a escolha das forças que atuam no 
ponto interceptado pelas circunferências primitivas é apenas uma escolha 
estratégica. Outro ponto importante é que a circunferência primitiva não é física. É 
uma grandeza matemática que pode ser alterada, não representando uma 
propriedade geométrica da engrenagem. 
 
 Módulo: razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes (Z): é um 
valor padronizado que identifica o tamanho do dente no sistema internacional. 
 
Z
Dpm  [mm] 
 
 
 
 
 Relação de transmissão: identifica a alteração de velocidades angulares 
envolvida. É comum se trabalhar diretamente com a freqüência angular: 
 
c
p
n
ni  
 
nC  velocidade da coroa [rpm] 
nP  velocidade do pinhão [rpm] 
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O uso de engrenagens tem, como principal finalidade, transmitir potência de um 
ponto a outro na máquina. Contudo, a potência rotativa é dada pelo produto do 
torque versus a velocidade angular. Assim, na maciça maioria das vezes intenta-se 
alterar a composição do torque e da velocidade angular, perdendo o mínimo de 
potência. Assim, é comum reduzir a velocidade angular numa redução de modo a 
ampliar o torque. Também pode ocorrer o oposto, reduzindo-se o torque numa 
transmissão por engrenagens com o propósito de aumentar a velocidade angular. 
 
 Distância entre centros (C): média das circunferências primitivas do par. 
2
DD
C
c
p
p
p  
A distância entre centros é uma grandeza muito importante na montagem do par. É 
fácil de ser medida, mas depende da montagem de outros componentes, sobretudos 
dos eixos nos quais as engrenagens serão montadas. Alterações em seu valor, 
distanciando-o daquele estabelecido no projeto, acarretam mudanças cinemáticas 
significativas, pois modificam as previsões de funcionamento, durabilidadee outros 
aspectos importantes, que são vistos com detalhe mais à frente. 
 
 
 
 
 Passo circular frontal: 
m
Z
DPc P ..  
 [mm] 
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Distância entre um ponto do dente e o mesmo ponto do dente adjacente, medida na 
circunferência primitiva. 
 
 
 
 Diametral Picht ou passo diametral: é uma grandeza que também busca 
identificar o tamanho dos dentes, mas de modo inverso ao módulo. 
PD
ZPd  [pol –1] 
 
Observe que a medida para o diâmetro necessariamente é a polegada, e não o 
milímetro. 
Ressalta-se que no sistema norte americano de medidas, o passo diametral ainda 
faz o papel do módulo, sendo a grandeza normalizada que responde pela 
identificação do engrenamento. Isto mostra como é difícil substituir valores técnicos 
em países detém maior poder tecnológico, mesmo após anos de estabelecidos 
acordos em torno de um sistema universal de medidas, que é o sistema métrico. 
 
 Espessura Circular frontal: é medida na circunferência primitiva, pois que as 
engrenagens cilíndricas de dentes retos possuem a espessura variável. 
2
m.
Z2
D.
e P 

 [mm] 
 
Em engrenagens padronizadas, a espessura é a metade do passo circular, o que 
significa que o tamanho do vão é igual a espessura na circunferência primitiva. O 
leitor pode imaginar que o engrenamento se processa sem folgas. Durante o 
estabelecimento das medidas nominais é assim, pois a folga é imposta a posteriori. 
Isto tem algumas implicações, que são discutidas mais à frente. 
 
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 Largura da engrenagem (b): é constante nas engrenagens cilíndricas de 
dentes retos. No aspecto cinemático é uma grandeza de menor importância 
nas ECR. Mas no projeto resistivo e em aspectos relacionados à faixa prática 
de contato axial nos dentes ganha maior importância. É interessante, todavia, 
que as engrenagens não sejam muito estreitas, nem tampouco muito 
espessas (nesse caso, a inércia é um fator importante). 
 
 Altura de cabeça, adendum ou saliência (hc): é a altura do dente medida da 
circunferência primitiva até o topo do dente. 
 
 Altura de pé. dedendum ou profundidade (hp): é a altura do dente medida 
da circunferência primitiva até a raiz do dente. 
 
 Altura total (ht): é a soma da altura de cabeça com a altura de pé. 
 
A figura a seguir ilustra estas duas grandezas. 
 
 Folga no fundo (c): é a diferença entre as alturas de cabeça e de raiz. Foi 
estabelecida pela normalização com o primeiro intuito de permitir o acúmulo 
de impurezas sem implicar no imediato grimpamento do par. De qualquer 
modo, oferece um espaçamento importante para que a parte superior da outra 
engrenagem possa se acoplar sem danos, no caso de imprecisões de 
fabricação e outros fatores operacionais que podem afetar o engrenamento 
após algum tempo de funcionamento. 
 
 Circunferência de Cabeça ou de Topo: Na figura anterior traçou-se uma 
circunferência que tangencia a parte superior disco da engrenagem, 
Mecânica Aplicada 
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caracterizando o maior diâmetro desta. Este maior diâmetro, denominado DT 
caracteriza a circunferência de topo. Diferentemente da circunferência 
primitiva, o diâmetro de topo é uma propriedade de uma engrenagem. 
Somente será alterado se a engrenagem for usinada e alterada em suas 
características geométricas. 
 
 Circunferência de Pé ou de Raiz: Na citada figura também traçou-se uma 
circunferência que tangencia a parte inferior do sulco que caracteriza o vão 
entre os dentes. O diâmetro desta circunferência é denominado DR, 
caracterizando a circunferência de raiz. Tal como o diâmetro de topo, é uma 
propriedade de uma engrenagem. 
 
PRINCÍPIOS BÁSICOS DO ENGRENAMENTO 
 
É estratégico estabelecer dois princípios que são importantes para o entendimento e 
descrição do funcionamento das engrenagens. O primeiro é muito simples e provem 
dos fundamentos da cinemática de mecanismos, que abarca o estudo das 
engrenagens. O segundo é mais complexo, e apresenta novidades interessantes no 
campo da cinemática, que é o princípio de conjugação. 
 
1º Princípio: As velocidades angulares num engrenamento são inversamente 
proporcionais aos diâmetros primitivos. 
 
 
2
p
Pp
comum
D
v
.
 e 
2
c
Pc
comum
Dv . 
 






cc
pp
p
P
c
P
c
p
n
n
D
D
.
.




2
2
 
 logo, 
 p
P
c
P
c
p
D
D
n
n
i  
 
Com base na definição do módulo, m= D/z: 
 
 
Mecânica Aplicada 
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p
c
c
p
Z
Z
n
n
 
Logo, a razão entre as freqüências angulares (RPM) também é inversamente 
proporcional ao número de dentes das engrenagens. 
 
2º Princípio: É conhecida como condição de conjugação e pode ser enunciada da 
seguinte maneira: 
 
“Se a linha de ação intercepta a linha de centros de um par de engrenagens sempre 
num mesmo ponto, a razão de transmissão é constante”. 
 
O conceito de linha de centros é imediato. Já o de linha de ação é preciso recordar 
alguns aspectos da cinemática de mecanismos. Na figura a seguir é possível 
observar que a linha de centros é cortada por uma linha perpendicular à tangente 
comum no ponto de contato. O ponto de interseção, num caso como este do 
mecanismo desenhado, vai variar ao longo do tempo. Esta situação deve ser distinta 
no contato dos dentes de um engrenamento que obedece à condição de 
conjugação. 
 
 
Os dentes das engrenagens têm seu perfil definido de modo a garantir que a linha 
de ação fique inalterável e a razão fique constante. Os dentes assim confeccionados 
são ditos conjugados. 
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Existem duas curvas cujas formas são capazes de obedecer a essa condição: a 
ciclóide e a evolvente. 
A ciclóide é a curva gerada pela trajetória de qualquer um dos pontos de uma 
circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta. 
 
 
A ciclóide invertida é uma curva conhecida por suas propriedades como 
baquistócrona - capaz de fazer com que diferentes partículas sujeitas a um campo 
gravitacional percorram sua trajetória no mesmo tempo, independentes de onde são 
lançadas. 
 
 
 Além disso, considerando partículas sob a ação gravitacional, sua trajetória fornece 
o menor tempo de chegada até a base do que qualquer outra curva, desde que 
lançadas da mesma altura. 
. 
Sabe-se que a velocidade de chegada será a mesma em todas as trajetórias, mas a 
que leva menor tempo é a curva ciclóide invertida. 
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Já a curva evolvente pode ser descrita pela trajetória no plano do ponto que 
caracteriza a extremidade de uma corda enrolada num cilindro, quando esta se 
desenrola gradativamente. A figura a seguir ilustra o exposto. 
 
 
 
 
Na figura anterior pode-se identificar o ângulo , que é denominado de ângulo de 
pressão da curva evolvente, e depende da extensão do desenrolar da corda, ou seja, 
qual é ponto da curva evolvente assinalado. Observe-se que a geração da evolvente 
obriga o ângulo  a desenvolver-se de um valor nulo até um valor menor do que 90º. 
Na prática, não se usam valores assim tão altos. Pode-se identificar, visualmente, a 
formação do perfil dos dentes da engrenagem, no formato encontrado comumente. 
Existe uma formula na qual a curva evolvente é expressa matematicamente em 
função do ângulo de pressão da curva evolvente: 
 
 Evolv(ϕ)= )()tan( rad  
 
As circunferências que geram as curvas evolventes são chamadas de 
circunferências de base e seus diâmetros são os diâmetros de base. 
Com ele se completa o quadro dos diâmetros característicos de uma engrenagem. 
Embora tenha sido o último dos diâmetros apresentados, de modo algum o diâmetro 
de base é menos importante do que os demais. É uma propriedade da engrenagem, 
ou seja, foi definido na fabricação e assim não pode ser alterado. 
Obviamente, não é difícil encontrar engrenagens que foram fabricadas por processos 
que não imprimiram o perfil evolventeà curva do dente, tampouco o perfil cicloidal. 
Engrenagens assim não gozam de importantes propriedades que serão discutidas 
assim e, embora muitas funcionem, não tem durabilidade e são extremamente 
ruidosas. 
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O perfil cicloidal é usado preferentemente em trabalhos de precisão no caso de ECR. 
Demonstra-se que ele produz rolamento puro entre os dentes e assim não produz 
atrito. 
 
 
 
A indústria de relógios européia é prova disso. Trens de engrenagens dos 
mecanismos marcadores do tempo duram séculos sem apresentar imprecisões 
significativas em seu funcionamento. Todavia, sua fabricação não é tão elementar 
quanto à do perfil evolvental, que é o perfil empregado na indústria que trabalha com 
máquinas operatrizes e elevada potência. Contudo, em engrenagens cônicas, a 
situação se inverte, pois perfis assemelhados ao ciclóide são encontrados em muitas 
engrenagens cônicas de veículos automotores. 
 
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Já foi visto que o perfil evolvente em ECRs pode ser gerado através do processo de 
geração, usando cremalheiras, que tem dentes trapezoidais, bem mais fáceis de 
serem fabricados. O trabalho de preparação de ferramentas para fresamento é 
laborioso e, por essa razão, o perfil evolvente ganha enorme vantagem funcional ao 
poder ser fabricado com ferramentas de arestas retilíneas. 
Neste texto, exceto quando mencionado, o perfil das engrenagens é evolvental. 
Adianta-se, no entanto, que há atrito no contato entre os dentes das ECR 
constituídos desse perfil, exceto no ponto principal, que é aquele no qual as 
circunferências primitivas se tangenciam. Como a linha de centros e a linha de ação 
passam pelo ponto de tangência, o ponto principal certamente é um ponto de 
contato. Neste, as velocidades tangenciais do pinhão e da coroa são iguais, 
perpendiculares que são aos raio-vetores que ligam o ponto principal ao centro das 
engrenagens. Nesta circunstância, já se demonstrou que o movimento relativo é de 
puro rolamento, sem deslizamento; portanto, sem atrito. 
Perceba-se ainda que se o contato se dá na superfície dos dentes e estes são 
gerados pela curva evolvente, cujo traçado é sempre definido por uma tangente à 
circunferência de base, todos os pontos de contato estão sobre esta tangente, que é 
a linha de ação. Assim, a condição de conjugação é obedecida, pois a interseção 
entre a linha de centro e a linha de ação não muda, e todos os pontos de contato se 
situam sobre esta linha. 
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Na figura a seguir são mostrados dois instantâneos do contato entre duas 
engrenagens. O ângulo de inclinação da linha de ação é denominado de ângulo de 
pressão do engrenamento ou frontal, e é um valor padronizado no projeto, conforme 
será detalhado posteriormente. Este ângulo nada mais é do que um valor particular 
do ângulo de pressão do engrenamento, quando o contato ocorre no ponto principal. 
Assim, quando duas engrenagens estão em contato no ponto principal (ponto de 
tangência das circunferências primitivas) o ângulo de pressão das curvas evolventes 
i são iguais e definem o ângulo de pressão frontal , que é uma característica do 
engrenamento, no valor escolhido pelo projetista, que deve tomar como referência o 
ângulo de pressão da ferramenta que o fabricou: 
 
 
 
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Pode-se adiantar que o ângulo de pressão frontal caracteriza o grau de robustez do 
dente devido à suavidade do perfil evolvental. Ângulos de pressão grandes na 
fabricação conduzem os dentes pontudos, que são mais resistentes aos esforços no 
flanco e na raiz dos dentes. Os valores menores conduzem a dentes mais largos, 
que apresentam maior concentração de esforços na raiz. Antigamente, os 
engenheiros observavam principalmente a magnitude do momento fletor, que é 
menor nas engrenagens com menor ângulo de pressão proporcionando mais de 
transmissão de energia e menos pressão sobre o rolamento; contudo, em termos de 
distribuição de tensões, os ângulos maiores são mais adequados. 
 
 
Fora do ponto principal, o ângulo de pressão do engrenamento e os ângulos de 
pressão nos pontos de contato das curvas evolventes do pinhão e da coroa são 
diferentes, a menos que as engrenagens sejam iguais. 
 
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A partir da circunferência de base é possível determinar algumas características das 
engrenagens. O cálculo mais elementar se refere à determinação dos ângulos de 
pressão da curva ou da distância dos pontos de contato até o centro da 
circunferência. 
Considere Rp como sendo o raio primitivo e Rq um raio qualquer. Sabendo-se o 
valor do raio da circunferência de base Rb, pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
Com essa relação, pode-se determinar o raio base a partir do raio primitivo e vice-
versa, se for conhecido o ângulo de pressão do engrenamento. É mais comum 
Mecânica Aplicada 
19 
determinar o raio base, pois a cinemática fornece de pronto o valor do diâmetro 
primitivo. 
 
Rb = Rp. cos α 
 
Também se pode escrever para um raio qualquer Rq: 
 
Rb = Rq. cos q 
 
Igualando as expressões, tem-se: 
 
Rp. cos α = Rq .cos q 
 
Ou melhor: 
 
Dq = (Dp. cos α)/cos q 
 
Outra potencialidade importante consiste do cálculo de espessuras quaisquer. Esta 
expressão está deduzida no Mabie: 
 






 21
1
1
22 2
2  evolevol
R
tRt
 
 
ti  espessura dos dentes 
 
evol i  tg i - i (rad) 
 
e  espessura na circunferência primitiva. 
 
 
 
Na prática, as grandezas relacionadas ao diâmetro primitivo, isto é, seu valor, o 
ângulo de pressão frontal e a espessura frontal todos são conhecidos, pois são a 
Mecânica Aplicada 
20 
base do projeto cinemático; são assim utilizadas para calcular a espessura num 
outro ponto qualquer da curva, desde que conhecido o ângulo de pressão e o 
diâmetro neste ponto. Ressalta-se que isto vale para qualquer ponto da curva 
evolvente, ou seja, desenvolvida a partir da circunferência de base. 
Note o leitor que não foi discutido ainda o posicionamento da circunferência de base 
com relação às demais. Esta é uma questão interessante, pois a circunferência de 
base pode ficar acima ou abaixo da circunferência de raiz, dependendo da 
especificação dos valores das grandezas do engrenamento. Sua posição pode diferir 
no pinhão e na coroa. Os exercícios detalharão pormenorizadamente ES 
circunstâncias que definem esse posicionamento. Ressalta-se, todavia, que se a 
circunferência de base se posiciona acima da circunferência de raiz, uma parte do 
perfil do flanco do dente não será evolvental. Contudo, essa parte não evolvente 
poderá ou não servir ao contato, tema este discutido no aspecto interferência no 
engrenamento. 
 
CARACTERÍSITICAS DO ENGRENAMENTO 
 
 Contato entre os dentes: Inicia-se quando a parte inferior ou flanco da 
engrenagem motora, usualmente o pinhão, toca a circunferência de cabeça da 
movida. A situação se inverte no término do contato. A figura a seguir ilustra o 
exposto, num caso em que a circunferência de base tem diâmetro menor do que 
a circunferência de raiz, de modo que todo o perfil, da raiz até a cabeça do dente, 
é evolvental. 
 
Mecânica Aplicada 
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 Faixa de contato: é definida pela intersecção das circunferências de cabeça 
com a linha de ação. A figura a seguir mostra o segmento da linha de ação, 
que é perpendicular às circunferências de base, que corresponde à faixa de 
contato. As duas situações estão associadas a ângulos de pressão distintos. 
 
 
 
 
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Quanto menor é o ângulo de pressão, menor é a faixa de contato. Podem-se definir 
também com base nas circunferências primitivas, os ângulos de aproximação e 
afastamento. Estes são normalmente são distintos para cada par de engrenagens, 
mesmo caso as engrenagens sejam iguais. É comum denominar-se de ângulo de 
ação à soma dos ângulos de afastamento e aproximação.Razão de contato ou grau de recobrimento (): fornece o número médio de dentes 
em contato durante o processo de engatamento de um par. 
Para melhor entender esse conceito, imagine que durante o período em que dois 
dentes estão em contato, as circunferências primitivas de cada engrenagem 
descrevem um arco, de mesma magnitude, denominado de ação ou arco frontal de 
transmissão. Espera-se que, antes deste par de dentes de dentes se afastar, outro 
par tenha iniciado o contato, para que não haja um vazio momentâneo no 
engrenamento. Em outras palavras, é importante que exista um intervalo em que o 
engrenamento se componha pelo contato simultâneo de dois pares de dentes, um 
Mecânica Aplicada 
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par prestes a concluir e outro iniciando o engrenamento. Para que isso aconteça, é 
preciso que a faixa de contato tenha magnitude superior ao arco de contato. 
 
 
Uma razão de contato igual a 1 significa que no momento que um par deixa de se 
contactar, outro par assume imediatamente o engrenamento, sem que haja solução 
de continuidade. Contudo, na prática, salvo exceções bem justificadas, é importante 
que, no mínimo, em 20% desse período de contato de um par, exista se 
contactando, resultando em um grau de recobrimento igual 1,2. Isto evita choques, 
ruídos e desgaste nos dentes. Ressalta-se tanto no início quanto no fim do 
engrenamento, ocorrem os maiores valores de força de atrito, de forma que se nesta 
condição desfavorável os esforços forem divididos com outro par, a durabilidade da 
engrenagem será maior. 
A forma mais adequada de se quantificar a idéia exposta é formular uma razão entre 
a faixa de contato e o arco frontal de transmissão. Todavia, é mais fácil calcular um 
quociente em que a faixa de contato se projeta sobre a linha de ação, conforme 
mostrado na figura. 
Mecânica Aplicada 
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Com esse intuito, se a linha AB consiste do passo circular frontal, sua projeção na 
linha de ação é chamado de passo base Pb: 
 
 Pb = Pc. cos  
 
A razão de contato  é dada por: 
 
Pb
  
 
No numerador encontra-se o arco de transmissão, cujo cálculo segundo Mabie, é 
dado pela seguinte fórmula: 
 
 sen.
2222
2222
C
DDDD Pb
P
T
C
b
C
T 
























 
 
A distância entre centro C é dada por: 
 
2
P
P
C
P DDC 
 
 
Os demais valores são: 
 
Diâmetro de topo DT = DP + 2hC  hc = altura de cabeça 
Diâmetro de raiz DR = DP - 2hP hp= altura de pé 
 
Pode-se comentar que o valor da razão de contato está relacionado às 
características das engrenagens e dos valores padronizados do ângulo de pressão. 
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É possível alterá-lo, mas existem limites a sua extensão significativa. Percebe-se 
facilmente que o aumento do ângulo de pressão diminui seu valor e que o aumento 
da razão de transmissão tende opostamente a ampliá-lo. Em engrenagens 
cilindiricas helicoidais, a faixa de aumento da razão de contato é bem maior, pois 
existe uma componente de contato ditada pelo ãngulo de inclinação da hélice. Este é 
um dos fatores que concorrem para o maior uso das helicoidais comparativamente 
às ECR. Um estudo mais detalhado da razão de contato nas ECR será feito por 
ocasião da solução dos exercícios. 
 
 
 Interferência: é um dos mais sérios problemas no projeto de engrenagens. 
Consiste do contato de partes dos perfis dos dentes que não são 
envolventais. É sabido que abaixo do circulo base a curva característica do 
perfil do dente não é evolvental. Assim, estas partes não podem pertencer a 
faixa de contato, ou seja, compõem o perfil do dente abaixo do círculo base, 
mas não podem ser utilizadas no engrenamento. Este espaço, todavia, é 
utilizado para o alojamento das partes superiores dos dentes que não 
engrenam e também para composição da folga no fundo. A figura a seguir 
ilustra exageradamente o problema da interferência. 
 
 
 
O problema é bem mais crítico no pinhão, pois há mais pronunciada tendência 
do dente da coroa penetrar neste do que a situação oposta, devido às alturas 
dos dentes serem iguais e o diâmetro de base do pinhão ser menor do que o 
diâmetro de base da coroa. A figura a seguir mostra exageradamente esta 
Mecânica Aplicada 
26 
situação, em que pode se observar que o diâmetro de topo da coroa chega a 
ultrapassar o centro das circunferências do pinhão. 
 
 
Na solução do problema da interferência, o ajuste das grandezas cinemáticas é um 
aspecto importante, mas o processo de fabricação das engrenagens pode interferir 
antecipadamente nesta questão, e não apenas através dos procedimentos de 
correção, cujo estudo às formas de engrenamento especiais. Isto porque a teoria 
referente ao tema fica bem mais complicada. 
 
Existem alguns procedimentos que combatem a interferência, alguns deles 
referentes à própria fabricação das engrenagens: 
 
Adelgaçamento: retirada de material, afilando o flanco do dente. Esta ocorrência 
pode até ser feita à posteriori, mas às mais das vezes é resultado do processo de 
usinagem. É preciso atentar que a usinagem é feita com uma ferramenta, que de 
certo modo se acopla com o disco, de um modo parecido como fará outra 
engrenagem durante o engatamento. Imagine então que a ferramenta atua como 
uma espécie de engrenagem e possui um número de dentes maior do que aquela 
que está sendo fabricada. Se o processo de fabricação é de geração com 
cremalheira (ou mesmo fresa caracol), para engrenagens com pouco número de 
Mecânica Aplicada 
27 
dentes haverá o adelgaçamento. Esta região não fará parte da faixa de contato, mas 
servirá para alojar o dente da outra engrenagem, particularmente o pinhão. 
 
 
 
Não é difícil perceber que o adelgaçamento enfraquece os dentes, e por conta disso, 
dependendo das características do engrenamento, a correção das engrenagens, 
afastando a ferramenta da posição originalmente prevista, se faz necessário. 
 
 
Usinagem usando uma ferramenta cujo número de dentes é menor do que a 
engrenagem que está sendo fabricada. Percebe-se que os dentes não estão 
adelgaçados. 
 
a) Rebaixamento dos dentes: consiste na diminuição do adendo ou altura da 
cabeça da coroa. 
b) Correção: alteração da distância entre centros das engrenagens. 
c) Controle do ângulo de pressão do engrenamento. 
 
Verifica-se que o problema de interferência ocorre devido ao número reduzido de 
dentes do pinhão. MABIE identificou o número mínimo de dentes do pinhão (ZP) 
capaz de evitar a interferência com uma cremalheira, que é o caso mais extremo. Os 
resultados são os seguintes: 
 
Mecânica Aplicada 
28 
 14,5º 20º N 20º R 25º 
ZPmín. 32 18 14 12 
 
 
No caso de engrenagens iguais: 
 
 
 14,5º 20º N 20º R 25º 
ZPmín. 23 13 10 9 
 1,84 1,44 1,15 1,26 
 
 
Se não for possível obedecer diretamente as tabelas anteriores, relações 
geométricas mostram que caso: 
2
1
22
2
2 cos..cos
4
.2








  PP
P
PC
T DC
DCD 
 
 
Não há interferência. 
 
C
C
P
C
T hDD 2 
 
Intermutabilidade ou intercambialidade: é a propriedade que garante a 
possibilidade de troca ou reposição de um dos componentes do par sem problemas, 
além da garantia de um bom engrenamento. 
 
As condições necessárias são: 
 
1. Mesmo módulo 
2. Mesmo tamanho de dentes 
3. Mesmo ângulo de pressão na fabricação 
4. Espessura de dente igual à metade do plano circular 
 
O leitor deve estranhar tal propriedade, pois em princípio qualquer par deveria 
obedecê-las. No entanto, em muitos casos, sobretudo com relação ao não 
atendimento dos itens três e quatro, é possível haver o engrenamento do par. 
Evidentemente, sem a devida eficiência no projeto. Além disso, as condições citadas 
Mecânica Aplicada 
29 
são necessárias, mas não suficientes. Em engrenagens helicoidais, é preciso que o 
processo de fabricação seja o mesmo para o par, ou então minimamente compatível, 
poisas características de fresamento nos diversos processos impõem diferenças 
significativas no par, sobretudo no desenvolvimento da hélice. 
 
Padronização ABNT: 
 
 
 14,5º 20º N 20º R 25º 
hC m m 0,8m m 
hP 1,157m 1,25m m 1,25m 
E PC/2 PC/2 PC/2 PC/2 
C 0,157m 0,25m 0,2m 0,25m 
 
 
 
Tabela de módulos (m) 
Intervalo 
Espaçamento 
De Até 
0,3 1,0 0,1 
1,0 4,0 0,25 
4,0 7,0 0,5 
7,0 16,0 1,0 
16,0 24,0 2,0 
24,0 45,0 3,0 
45,0 75,0 5 
 
 
Forças nas engrenagens: 
 
- Devido às características do engrenamento, elas também se decompõem 
radialmente. 
- No ponto principal a resultante é normal à superfície do dente. Nesta situação 
costuma-se analisar os esforços nos dentes para seu dimensionamento. 
 
 
Mecânica Aplicada 
30 
 
 
 
2
D.FT
P
PT
PP  e 2
D.FT
C
PT
CC  
 
P = 0,1047 T.n 
 
Onde, 
 
P  Potência (Watts) 
T  Torque (N.m) 
n  rpm 
 
Algumas particularidades: 
 
 
 
1  motora 
2  meeira ou intermediária (usada para vencer distâncias) 
 
 
Mecânica Aplicada 
31 
 
 
 
 
 
 
2
.
2
2321
Ptt
m
DFFT   , onde Tm = torque motor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada 
32 
PRIMEIRO EXERCÍCIO 
 
Dimensionar o par de engrenagens que vai transmitir 7,5 HP de potência através de um 
motor que gira a 1200 rpm e deve quintuplicar o torque que acionará o comando de uma 
manivela acoplada a uma ferramenta de dobramento. 
 
 
Solução: com base nos dados fornecidos 
nP = 1200 rpm 
P = 7,5 HP = 7,5 x 746 (fator de conversão para Watts) = 5595 W 
Nm54,44
1047,0
1.
1200
5595TP  
5 e rpm240
5
 P
CP
C
n
ninn 
Tc=5 x 44,54=222,7Nm 
 
Valores arbitrados: 
*Deve-se alojar uma biela no disco da coroa, que funcionará excêntrico como um 
sistema biela-manivela. Assim, seja 800 mm de diâmetro da coroa = DPC 
mm160
5
800
PPD 
 
Mecânica Aplicada 
33 
*Escolha do ângulo de pressão:  = 20º 
 
*Arbitrando o módulo: m = 4mm 
 
40
4
160
200
4
800










m
DZ
m
DZ
P
PP
C
PC
 , hC = 4mm, hP = 5mm, e = 6,28mm e C = 1mm 
Verificando a interferência: Como na tabela para α =20º o numero mínimo de dentes 
para evitar interferência é bem menor do que os 40 dentes do pinhão, não haverá 
interferência. Para conferir, usando-se a fórmula: 
mm 480
2
800160C e 
 Dcos.D.Ccos.
4
D
C2 CT
2
1
2P
P
2
2P
P2













 
O radical versus dois vale: 2 x 410,15 = 820,3 
 
Já o diâmetro de topo vale: 
 
808)42(8002  xhDD C
C
P
C
T mm; Logo, não haverá interferência. 
 
Verificação da razão de contato: 
 


 sen.
2222
 ,
2222
C
DDDD
P
P
b
P
T
C
b
C
T
b
























 
 
Pb = Pc.cos  
Db=Dqualquer . cos  
Db=DP . cos  
DbP = 160.cos 20º = 150,3mm 
DbC = 800.cos 20º = 752,0mm 
Mecânica Aplicada 
34 
 
DraizP = DPP – 2hP = 160 – (2 x 5)= 150,0mm 
DraizC = DPC – 2hP = 800 – (2 x 5)= 790,0mm 
m.P OK! 78,1
81,11
11,21
º20cos.P
11,21
C
C
 
ϵ não deve ser menor que 1,2. 
 
SEGUNDO EXERCÍCIO 
 
Um pinhão de 22 dentes tem módulo de 6,5mm, gira a 1200 rpm e aciona uma 
engrenagem que gira a 660rpm. Determine o número de dentes da engrenagem 
e a distância entre eixos. 
 
Solução: 
 
mm143)22).(5,6(D
22
D
z
D
5,6m pP
p
P
p
p
P 
 
Pelo primeiro princípio básico: 
 
mm260
660
1431200D
D
143
1200
660
D
D
n
n
i
1 c
Pc
P
c
P
p
P
p
c 
)).((
 
Daí, tem-se: 
40
5,6
260z
z
260
z
D
5,6m c
cc
c
P  
Então: 
 
mm 5,201
2
143260
2
DD
C 
c
P
p
P 



 
 
 
Mecânica Aplicada 
35 
EXERCÍCIO EXTRA 
Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos cujo diâmetro 
externo (diâmetro de topo) é igual a 45 mm e o número de dentes (Zp) é 28. 
Solução: 
Foi dado o diâmetro de topo, que de acordo com a norma, se relaciona com o 
diâmetro primitivo pela fórmula: 
DT=Dp+2hc 
 
 
 
Qualquer seja o ângulo de pressão, que não foi dado, a altura de cabeça 
padronizada é igual ao módulo, de forma que: 
hc = m 
Logo: 
DT=Dp+2m 
Mas: 
Dp=mzp 
Então: 
DT = mzp+2m = m(28)+2m=30m 
45 = 30m → m=1,5mm 
 
 
 
Mecânica Aplicada 
36 
 
TERCEIRO EXERCÍCIO 
 
(a) Dados os seguintes valores: Dp=80mm; m=2mm; e α=20º calcule a 
espessura do dente para Φ=25º. 
 
 
A expressão geral que relaciona as grandezas referentes as espessuras em 
qualquer parte do perfil evolvente do dente da engrenagem é dada por: 
])([ 21
1
1
22 evolevolD
t
Dt 
 
Particularizando de modo a introduzir as grandezas referentes à circunferência 
primitiva: 
]evol)(evol
D
e[Dt p
P
22 
 
Sabendo que: 
Db=Dpcos(α) e Db=Dqualquercos(Φ) → Dpcos(α) =Dqualquercos(Φ) 
Tem-se: 
Dqualquer = Dp [cos(α)/cos(Φ)] = 80.cos (20º) / cos (25º)= 82,94mm 
e= π m/2= π(2)/2= π 
Calculando as funções evolventes: (veja: π→180o; x→20o; logo, x= π/9) 
Mecânica Aplicada 
37 
Evolv(200)=tang(200)- π/9=0,3640-0,3490=0,0149 
Também, se π→180o, x→25o; logo, x= 25π/180= π/(7,2) 
Evolv(250)=tang(250)- π/(7,2)=0,4663-0,4363=0,030 
mm004,2]030,00149,0
80
1415,3[94,82t 2 
 
(b) Calcule a espessura do dente para Φ=0o, ou seja, circunferência de base 
do dente. 
 
Db/2=(Dp/2)cosα 
Neste caso, evolv (0o) = 0. Assim sendo: 
Db=Dpcos(20o) = 80cos(20o)=75,17mm 
mm070,4]0149,0
80
1415,3[17,75t b 
 
Para melhor avaliação dos dados do problema, o diâmetro de raiz vale: 
Dr=Dp-2hp=80-2x(1,25)x(2)=80-5=75mm 
Isso significa que a circunferência de raiz está situada 0,17/2=0,085mm abaixo da 
circunferência de base. 
Mecânica Aplicada 
38 
 
 
 
(c) Calcule a espessura do dente na circunferência de topo. 
O valor da circunferência de topo ou cabeça vale: 
DT=Dp + 2hc= 80+2x2=80+4=84mm 
Mais uma vez usando a relação: 
Db=Dpcos(α) e Db=Dqualquercos(Φ) 
Tem-se: 
DT = Dp [cos(α)/cos(ΦT)] → cos(ΦT)= [Dp cos(α)]/ DT 
cos(ΦT)= 80cos(20o)/84=0,8949→ ΦT=26,5o 
Assim sendo: 
mm52,1)036,00149,0
80
1415,3[84])5,26(evol0149,0
80
1415,3[84t oT  
 
 
Mecânica Aplicada 
39 
QUARTO EXERCÍCIO 
 
Uma transmissão consiste de um pinhão com dezesseis dentes e uma coroa 
com quarenta dentes. O módulo é 12mm. As engrenagens são usinadas com  
= 20º. 
 
(a) Calcular Pc, C, DbC, DbP. 
 
São dados: 
ZP = 16 e ZC = 40 
m=12mm 
Então: 
mm 336 
2
480192 mm4801240
mm 1921216
 ,
2
mm7,37.








CxD
xD
Z
D
Z
DmDDC
mP
C
P
P
P
C
C
P
P
P
P
C
P
P
P
C 
 
 mm4,180º20cos192
mm 451º20cos480


xD
xD
P
b
C
b 
 
(b) Na montagem dessas engrenagens, a distância entre eixos ficou 6 mm 
maior do que a prevista. Calcular os novos , DPC, DPP. 
 
Neste problema o próprio enunciado indica que as circunferências primitivas se 
alteram. No entanto, a razão de transmissão desejada deve permanecer. Logo, são 
duas equações para se determinar os novos diâmetros primitivos: 
Mecânica Aplicada 
40 
º6,22''cos.4,1954,180
mm 488,5 
mm 4,195
(2) 5,2
D
(1) 
2
 6
2
'
'
C
P
'
C'
P
'
''







Pb
C
P
P
P
P
P
C
P
P
P
C
C
P
P
P
C
P
P
P
D
D
D
Dn
n
D
D
DDDD

 
 
O Projeto original era bom? Inicialmente, é necessário verificar a questão da 
interferência. De acordo com a tabela de valor mínimo de dentes para pinhão e 
cremalheira, o número mínimo de dentes do pinhão para o ângulo de pressão do 
engrenamento de 20º é 18 dentes. O pinhão possui 16. É necessário, então, verificar 
a interferência pela fórmula: 
ciainterferên há Não mm 50424DD
mm 23,506º20cos.192.336º20cos.
4
1923362
 Dcos.D.Ccos.
4
DC2
C
P
C
T
2
1
22
2
2
C
T
2
1
2P
P
2
2P
P2


















 
 
CONTRIBUIÇÃO DE ROBERTO PASSOS 
 
Analisando graficamente o limite de interferência, para que o par funcione, fez-se: 
 
 
 
Mecânica Aplicada41 
É possível escrever a função f exclusivamente como função do módulo m. Chega-se 
então a: 
 
 
Para termos uma analise coesa, o número de dentes da coroa será fixado e 
as funções são parametrizadas pelo número de dentes do pinhão. Ou seja, como a 
função g não está em função do número de dentes do pinhão, tem-se uma 
constante, pois o módulo também é uma constante. Já na função f há, que é 
constante, e o número de dentes do pinhão variando. Plotando estas funções 
podemos ver claramente o limite, que começa a partir de 15 dentes no pinhão. 
Então, conclui-se que a partir de 15 dentes no pinhão não se tem interferência no 
contato. 
Como g=504 (constante) e tendo f(14)= 502,56 e f(15)=504,38. Mostra-se que 
o limite em 15 dentes está comprovado. 
 
 
No que tange a razão de contado, precisa-se usar a fórmula: 
 


 sen.
2222
 ,
2222
C
DDDD
P
P
b
P
T
C
b
C
T
b
























 
Mecânica Aplicada 
42 
mm 2162419224DD PP
P
T  
Os diâmetros de base já foram calculados: 
 mm4,180º20cos192
mm 451º20cos480


xD
xD
P
b
C
b 
Assim: 
       
mm97,5692,11404,81361166425,5085063504
20sen.3362,901085,225252 ,
P
o2222
b




 
O passo base vale: 
Pb=Pc cos(20º)=35,42mm 
Então: 
 61,1
42,35
97,56
Pb


 
 
O projeto original estava bastante bom. É preciso examinar se com a alteração na 
distância entre centros as novas condições são tão satisfatórias quanto antes. 
No que se refere à interferência, não há problema, pois o aumento do ângulo de 
pressão inibe a produção desse fenômeno. A questão mais séria é com a razão de 
contato. Calculando-a nessa nova condição, verifica-se que os radicais constantes 
da expressão da faixa de contato não mudam; entretanto, a distância entre centros C 
e o ângulo de pressão se alteraram: 
 
Mecânica Aplicada 
43 
mm46,406,22sen.C96,352775,12653
43,131
 
 
Mas o denominador se altera bastante, pois o “passo base” agora mudou seu 
significado. Uma vez que o contato se inicia e termina e novos pontos, o arco de 
contato se modifica, e novas espessuras – tanto para o dente do pinhão quanto para 
o dente da coroa – precisam ser contabilizadas. 
 
 
 
Sabe-se que: 
DpC =480mm, DpC’ =488,5mm 
A fórmula para cálculo das espessuras, baseando-se nos valores conhecidos da 
espessura frontal, ângulo de pressão e diâmetro primitivos originais é: 
]evol)(evol
D
e[Dt p
P
qq  
Então, a espessura do dente da coroa é: 
mm82,15]021815,0014904,0039269,0[5,488't
])6,22(evol)20(evol
480
1415,3x6[5,488't
c
oo
c


 
Para o pinhão, tem-se: 
DpP =192mm, Dpp’ =195,4mm 
Mecânica Aplicada 
44 
Logo, a espessura do dente do pinhão é: 
mm83,17]021815,0014904,009817,0[4,195't
])6,22(evol)20(evol
192
1415,3x6[4,195't
c
oo
p


 
Com esses dados, o novo “Pb” é dado por: 
Pb=(17,83+15,82)cos(22,6º)=31,066 
Então: 
302,1]
066,31
46,40[
'P b



 
Estabelecimento da folga no vão: 
O procedimento para se prover um espaçamento entre os dentes que se engatam é 
dado na montagem, e consiste em aumentar numa pequena proporção distância 
entre centros. Mabie na pag 120/121 deduz formulas para dentes padronizados e 
não padronizados. Para dentes padronizados, a folga f é dada por: 
 
)](evolv)'(evol[x)'C(x2f 
 
Onde C’ é o novo afastamento entre os centros. A folga f deve ser uma fração da 
espessura frontal, em torno de 5% a 6%. 
É interessante “traduzir” o afastamento acidental dado no problema em termos de 
uma folga. Assim sendo, nesse caso tem-se: 
evolv( Φ’) = evolv (22,2º) =tang (22,2º) – 0,387 = 0,408-0,387= 0,021 
evolv( Φ) = evolv (20º) =tang (202º) – 0,349 = 0,408-0,349 = 0,015 
mm1,4]015,0021,0[x)342(x2'f 
 
Mecânica Aplicada 
45 
 
A espessura frontal vale: e = πm = π(6)=18,85mm 
A folga controlada, em seu valor máximo, deveria ser de: 
f=0,05x18,85= 0,94mm 
Que é quatro vezes menor do que o produzido incidentalmente. 
 
QUINTO EXERCÍCIO 
 
 
Dimensionar o par de ECR de modo que transmita 10KW a 3000rpm. Não deve 
haver interferência, α = 20º, i = 6 e ε ≥ 1,69. A distância entre centros não pode 
ser maior que 350mm. 
 
Valores dados: 
α = 20º 
ε ≥ 1,7 
C ≤ 350mm 
i= DpC / DpP=6 
Valores arbitrados: 
Módulo m = 5mm, uma escolha arbitrária. Para evitar interferência com α = 20º foi 
escolhido zp=18 no caso mais crítico, pinhão com cremalheira. Com esses valores 
deve-se checar a distância entre centros e caso não tenham sido boas as escolhas 
os valores devem ser redefinidos. 
Daí: Dpp=mzp=5x(18)=90mm 
Dpc= 6Dpp = 6x(90)=540mm 
Mecânica Aplicada 
46 
A distância entre centros vale: C = (Dpp + Dpc) / 2= (90+540)/2=315mm OK! 
Calculando as demais grandezas dos dentes: 
 
Dbp = DpP cos(20) = 84,57mm 
 
Dbc = DpC cos(20) = 507,43mm 
 
DTp = DpP + 2hc = 100mm 
 
DTc = DpC + 2hc = 550mm 
 
Drp = DpP – 2hp = 77,5mm 
 
Drc = DpC – 2hp = 527,5mm 
 
Perceba que a circunferência de raiz da coroa está bem acima da circunferência de 
base, o que implica em todo o perfil do dente da coroa ser evolvental. Contudo, o 
diâmetro de base do pinhão está acima do diâmetro de raiz; porém, os valores 
adequados de projeto vão fazer com que esta parte não evolvente do dente não faça 
parte da faixa de contato. 
Calculando do arco de contato: 
 
φ =    ²2/²2/ DbcDtc  +    ²2/²2/ DbpDtp  - Csen(α) 
 
φ =    ²2/43,507²2/550  +    ²2/57,84²2/100  - 315sen(20) 
 
φ = 106,08 + 26,68 – 107,73 
 
φ = 25,52 
 
Pb = Pccos α = πmcos α = 5πcos(20) = 14,76 
 
Logo; 
 
ε = φ / Pb = 25,52 / 14,76 
 
ε = 1,70.............................................OK! 
 
Sejam os mesmos dados e agora se faz zp=17, como se fosse uma tentativa de 
melhorar o custo de fabricação do projeto, especialmente caso se precisassem fazer 
peças em série. O valor zp=18 corresponde ao acoplamento pinhão-cremalheira, o 
caso mais extremo; supõe-se que com o engrenamento pinhão-coroa, apesar da alta 
Mecânica Aplicada 
47 
relação de transmissão, não haja interferência. Logo a seguir se faz o teste para 
saber se há ou não interferência com zp=17. Neste ponto, agora, tem-se: 
 
Daí: Dpp=mzp=5x(17)=85mm 
 
Dpc= 6Dpp = 6x(85)=510mm 
 
A nova distância entre centros vale: C = (Dpp + Dpc) / 2= (85+510)/2=297,5mm OK! 
Novos diâmetros: 
 
Dbc = 510cos(20)=479,24mm 
 
Dbp = DpP cos(20) = 85cos(20)= 79,87mm 
 
DTc = DpC + 2hc = 520mm 
 
DTp = DpP + 2hc = 95mm 
 
Usando a fórmula para aferir se há ou não interferência: 
 
 
ciainterferên há não :520,66 queMenor mm 5201051010DD
6623,5208830.0x85x5,2978830.0x25,180625,885062
º20cos.85x5,297º20cos.
4
855,2972
 Dcos.D.Ccos.
4
DC2
C
P
C
T
2
1
2
1
22
2
2
C
T
2
1
2P
P
2
2P
P2



















 
 
Esta pequena diferença sugere que, para zp=16 dentes, já haja o problema da 
interferência no engrenamento. Calculando a razão de contato ou grau de 
recobrimento: 
 
φ = 100,907 + 25,7184 – 101,75=24,87 
 
Pb = 5πcos(20) = 14,76 
 
 
ε = φ / Pb= 24,87 / 14,76 =1,68 
 
Mecânica Aplicada 
48 
A redução do número de dentes do pinhão afeta negativamente a razão de contato, 
ou seja, o maior número de dentes do par aumenta a razão de contato ou grau de 
recobrimento. Assim, esta proposta deve ser recusada por não atender ao imposto 
no enunciado. 
O gráfico mostrado retirado do trabalho de Bravim ilustra esse comportamento. 
 
Razão de contato x Zp com α = 20 ºe i = 6
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Número de Dentes do Pinhão
Ra
zã
o 
de
 c
on
ta
to
ε (Zp)
 
 
 
Portanto, tomando o caminho de aumentar o número de dentes, vai se dimensionar 
as engrenagens para o caso extremo de C = 350 mm (esta proposta é ruim, pois 
depois se precisa dar a folgafrontal e a distancia entre centros vai aumentar!): 
 
350 = (Dpp + Dpc) / 2 
 
6Dpp = Dpc 
 
Assim: 
 
Dpp = 100mm 
 
Dpc = 600mm 
 
É necessária a escolha de um módulo que resulte em um número de dentes inteiros. 
Sendo m=5, essa condição é satisfeita: 
 
Zp = (DpP)/ m = (100)/ 5 = 20 dentes 
 
Zc= i Zp= 120 dentes 
 
E, de acordo com a tabela de Zp mínimo, há garantia de que não haverá 
interferência, pois no caso extremo de pinhão-cremalheira o Zp mínimo = 18 dentes. 
Mecânica Aplicada 
49 
 
Cálculo dos outros diâmetros: 
 
Dbp = Dppcos(20) = 93,97mm 
 
Dbc = Dpccos(20) 563,82mm 
 
DTp = Dpp + 2hc = 110mm 
 
DTc = Dpc + 2hc = 610mm 
 
Drp = Dpp – 2hp = 87,5mm 
 
Drc = Dpp – 2hp = 587,5mm 
 
Cálculo do arco de contato 
 
φ =    ²2/²2/ DbcDtc  +    ²2/²2/ DbpDtp  - Csen(α) 
 
φ =    ²2/82,563²2/610  +    ²2/97,93²2/110  - 350sen(20) 
 
φ = 116,42 + 28,59 – 119,71 
 
φ = 25,3 
 
Pb = Pccos α = πmcos α = 5πcos(20) = 14,76 
 
Logo; 
 
ε = φ / PB = 25,3 / 14,76 
 
ε = 1,714 
 
Sendo assim, a condição inicial especificada foi também obedecida. 
 
EXERCÍCIO EXTRA (contribuição de Rodolfo Zamborlini Fraga, 2008) 
 
Esse exercício explora o exemplo anterior, analisando qual o efeito da razão de 
transmissão, ângulo de pressão e número de dentes do pinhão influenciam na razão 
de contato, mantendo-se os valores impostos no enunciado. 
 
Para começar, fazer a expressão da razão de contato ficar somente em função da 
razão de transmissão, ângulo de pressão e número de dentes do pinhão. 
 
Mecânica Aplicada 
50 
 senCDDDD
P
B
P
T
C
B
C
T 
























2222
2222 
Usando as equações seguintes na expressão acima e simplificando colocando m/2 
em evidência, fica: 
C
C
P
C
T hDD 2 , mhC  , C
P
P
P
T hDD 2 , cos
C
P
C
B DD , cos
P
P
P
B DD , 
C
C
P mZD  , P
P
P mZD  , 2
C
P
P
P DDC 
. 
         senZZmZZmZZm PCPPCC  )(2cos22cos22
2222
 
Resolvendo os produtos notáveis: 
 
 senZZmZZZmZZZm PCPPPCCC  )(2
cos44
2
cos44
2
222222
 
Substituindo na fórmula de razão de contato: 
 


cosm

 
 
   


cos2
)(44cos144cos1 2222 senZZZZZZ PCPPCC 
 
Ou seja, a razão de contato independe do módulo escolhido no projeto. Lembrando 
que: 
 22 cos1sen 
 
   


cos2
)(1414 2222 senZZZsenZZsenZ PCPPCC 
 
Sabendo que: 
 
PC ZiZ  
 
Logo: 
Mecânica Aplicada 
51 
 
     


cos2
11414 22222 seniZZsenZZisenZi PPPPP 
 
 
Usando a equação anterior se pode verificar como a razão de contato varia com 
essas variáveis. 
Na primeira verificação, foi feita adotando como constantes i = 6 e Zp = 18. A 
distancia entre centros fica definida como sendo 315 mm. Fez-se variar o ângulo de 
pressão de 10 a 30 graus, obtendo-se o gráfico a seguir: 
 
Razão de contato x Ângulo de Pressão com i = 6 e Zp = 18 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
10
,0
11
,0
12
,0
13
,0
14
,0
15
,0
16
,0
17
,0
18
,0
19
,0
20
,0
21
,0
22
,0
23
,0
24
,0
25
,0
26
,0
27
,0
28
,0
29
,0
30
,0
Ângulo (α)
Ra
zã
o 
de
 c
on
ta
to
 
ε (α)
 
 
Na segunda verificação usou-se como constantes α = 20º e Zp = 18 e a razão de 
transmissão variando de 1 até 21. Essa combinação gerou o gráfico a seguir. 
 
Razão de contato x Razão de transmissão com α =20 ºe Zp =18
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,
0
2,
0
3,
0
4,
0
5,
0
6,
0
7,
0
8,
0
9,
0
10
,0
11
,0
12
,0
13
,0
14
,0
15
,0
16
,0
17
,0
18
,0
19
,0
20
,0
21
,0
Razão de transmissão
R
az
ão
 d
e 
co
nt
at
o
ε (i)
 
 
Mecânica Aplicada 
52 
 No entanto, por ter Zp=18 com um ângulo de pressão de 20º, não há 
interferência, não importando a razão de transmissão, por conta dos valores padrão. 
Com essa configuração de Zp, para existir interferência dentro dessa faixa de razão 
de transmissão, o ângulo de pressão deverá ser menor que 19,26º e com i =21 neste 
caso específico terá razão de contato 1,78. Aumentando o valor do ângulo de 
pressão, este desloca o gráfico para baixo, enquanto o número de dentes do pinhão 
faz o inverso, mas não na mesma intensidade. 
 
Razão de contato x Razão de transmissão com α =25 ºe Zp =18
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,
0
2,
0
3,
0
4,
0
5,
0
6,
0
7,
0
8,
0
9,
0
10
,0
11
,0
12
,0
13
,0
14
,0
15
,0
16
,0
17
,0
18
,0
19
,0
20
,0
21
,0
Razão de transmissão
Ra
zã
o 
de
 c
on
ta
to
ε (i)
 
 
Não há interferência com α =25º e Zp =18 dentro da faixa de razão de transmissão 
especificada no gráfico anterior. 
Na terceira verificação, adotou-se como constantes α = 20º e i = 6 e o número de 
dentes do pinhão variando de 12 até 50. Essa combinação é a que gerou o gráfico 
usado no problema anterior, repetido por conveniência a seguir: 
 
Razão de contato x Zp com α = 20 ºe i = 6
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Número de Dentes do Pinhão
Ra
zã
o 
de
 c
on
ta
to
ε (Zp)
 
 
Mecânica Aplicada 
53 
 Há interferência quando o Zp é menor que 18, neste limite a razão de contato 
é 1,7. Alterando os valores de α e i, o ângulo de pressão desloca o gráfico para 
baixo, enquanto o a razão de transmissão desloca para cima. Verifique a seguir: 
 
Razão de contato x Zp com α = 20 ºe i = 12
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Número de Dentes do Pinhão
R
az
ão
 d
e 
co
nt
at
o
ε (Zp)
 
 
 Com essa configuração a razão de contato com 18 dentes no pião é de 1,72, 
abaixo desse numero de dentes existe interferência no conjunto. 
 
Razão de contato x Zp com α = 25 ºe i = 6
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Número de Dentes do Pinhão
Ra
zã
o 
de
 c
on
ta
to
ε (Zp)
 
 
 Com essas novas constantes, para não ter interferência Zp deve ser igual ou 
maior a 18 dentes, e neste limite a razão de contato é de 1,49. 
Mecânica Aplicada 
54 
 
Conclusão 
 
 Os dados e gráficos analisados mostram que durante o projeto do pinhão, 
pode se verificar até onde é importante a razão de contato ser aumentada pelo 
acréscimo do número de dentes do pinhão, de acordo com o tipo de serviço que será 
executado. 
 Mostra também que no projeto pode-se sair dos padrões e fazer um pinhão 
com ângulo não usual para poder aumentar a razão de contato e se já feito o pinhão, 
até quando é viável usinar aumentando o ângulo de pressão sabendo que se perde 
bastante razão de contato com essa solução. 
 O efeito da razão de transmissão é aumentar a razão de contato, e essa taxa 
é bem significativa com baixas razões de transmissão, se comparada com elevadas 
razões de transmissão que influem muito pouco na razão de contato. 
 A interferência é um parâmetro importante para definir uma solução 
compatível e a com menor custo. Esse tipo de estudo ajuda o profissional dar uma 
solução eficaz e baixo custo para os projetos que lhe são propostos. 
 
SEXTO EXERCÍCIO 
 
Uma máquina operatriz tem razão de transmissão igual a 4. São empregadas 
duas ERC’s, sendo a distância entre centros igual a 205 mm. As engrenagens 
são padronizadas, têm módulo m=5 mm e não são corrigidas na fabricação. 
Quais eram os diâmetros primitivos originais se o ângulo de pressão α atual é 
de 19º? Quantos dentes têm as engrenagens? Havia interferência na condição 
inicial, antes da correção? Há interferência nesta condição? Calcule a razão de 
contato. 
 
Pois que o ângulo de pressão aferido na montagem do par é diferente dos valores 
padronizados, conclui-se que houve uma correção proposital do engenamento, feita 
durante a disposição das árvores. É a chamada correção zero, que não modifica os 
parâmetros das engrenagens na fabricação. Foi visto, anteriormente, uma situação 
parecida comesta, mas como resultado de um erro de montagem. Neste caso, 
Mecânica Aplicada 
55 
insinua-se foi feita uma tentativa última de melhorar o engrenamento, por algum 
motivo. Tal razão vai ficar clara no decorrer da solução do problema. 
 
Na situação vigente: α atual de 19º (α’) 
 
(D’pp+ D’pc)/2= C = 205 
 
Logo: 
 
D’pp+ D’pc=2x 205 = 410 
 
A razão de transmissão é dada: 
 
4D’pp = D’pc 
 
Assim, substituindo este valor na expressão anterior: 
 
D’pp+ 4D’pp= 410 
 
Daí: 
 
Dpp’ = 82mm 
 
Dpc’= 328mm 
 
É possível terminar os diâmetros de base: 
 
Dbp = Dpp’cos19º = 77,53mm 
Dbc = Dpc’cos19º = 310,13mm 
 
Provavelmente o ângulo inicial era de 14,5º; pois se fosse igual a 20º a redução iria 
causar sérios problemas de folga no vão, além de induzir a interferência. Assim, para 
alfa original de 14,5º, os diâmetros primitivos originais são calculados: 
 
Dpp = Dbp/ cos(14,5º) = 80,0mm 
Dpc = Dbc/ cos(14,5º) = 320,0 mm ou Dpc= 4Dpp 
 
Para calcular o número de dentes: 
 
zp = 
m
Dpp = 
5
80 = 16 dentes; 
 
zc = 4zp = 64 dentes (item b) 
 
Mecânica Aplicada 
56 
Na condição do projeto original certamente havia interferência, pois que o número 
mínimo de dentes do pinhão no caso de engrenagens iguais é 23 (o mais favorável 
para engrenagens iguais) e o valor calculado é 16! Esta é a razão para a correção 
zero, ou seja, durante a montagem das árvores. 
Na nova situação, após o afastamento, não deve haver interferência, mas é preciso 
fazer os cálculos. Vê-se que: 
Zp min para engrenagens iguais com alfa=20º é 13; 
Zp min para engrenamento com cremalheira com alfa=20º é 18; 
Assim, o número de dentes do pinhão (zp=16) se situa nesse intervalo, sendo 
possível que dos dados de projeto funcionem sem interferência; porém, é preciso 
conferir. 
Usando a fórmula geral: 
 
Dtc=Dpc+2hc=320 +2x5=330 mm 
330 < 2 [ (205)² + 
4
²82 (cos19º)² - (205)(82)(cos19º)²]= 
330 < 2 [ 42025 + 1681x0,894 - 15028,23]= 
330 < 337,63 
De fato, não há interferência. 
Cálculo da Razão de contato: 
 
φ =    ²2/²2/ DbcDtc  +    ²2/²2/ DbpDtp  - Csen(α) 
 
φ =    ²/,²/ 2133102330  +    ²/,²/ 25377290  - 205sen(19º) 
 
φ = 12,501 
 
Dtp=Dpp+2hc=80 +2x5=90mm 
 
 
Pb = P’c cos(19º) = (t’p + t’p) cós 19º 
 
462,7])19(evol)5,14(evol
80
1415,3x5,2[82't
699,5])19(evol)5,14(evol
320
1415,3x5,2[328't
oo
p
oo
c


 
Mecânica Aplicada 
57 
Pb=(5,699+7,462)cos(19o) = 12,44mm 
 
Logo 
 
ε = φ / Pb = 12,501 / 12,44 
 
ε = 1,005 
 
O valor da razão de contanto é muito baixo e, em princípio, o projeto deve ser refeito. 
Havia recursos para evitar o procedimento mostrado? Com certeza sim, bastaria, em 
princípio, usar um ângulo de pressão do engrenamento (e consequentemente na 
fabricação da engrenagem) com um valor maior, como por exemplo, 20º. 
 
SÉTIMO EXERCÍCIO 
Projeta-se uma redução fixa para o SAE BAJA UFES 2010. A redução desejada 
é [4,75 ≤ i ≤ 4,9] com dois pares iguais, o mais compacta possível, com razão 
de contato elevada. 
 
 
Visando uma maior razão de contato possível, foi arbitrado o menor alfa possível: 
 
α = 14,5º 
 
O módulo foi igualmente arbitrado: m=1 mm 
 
Arbitrou-se também o diâmetro primitivo do pinhão: Dpp=40mm 
 
Conforme mostrado, i=2,2 para cada par. Logo: 
 
Dpc=40 x i = 40 x 2,2 = 88 mm → zp= Dpp/m =40 dentes 
 
Mecânica Aplicada 
58 
Este valor é maior que o valor de referência para o contato entre pinhão e 
cremalheira, o mais crítico: 
 
zp (min)=32 dentes para α = 14,5º. 
Assim, calcula-se: 
zc= 40 x 2,2 =88 dentes 
Outras dimensões: 
 
C=(Dpp+Dpc)/2=64mm 
 
e = (3,1415 x m)/2 = 1,571mm 
 
hc = m = 1 mm 
hp = 1,157m = 1,157 mm 
c=0,157mm 
Dbp = Dppcos(14,5) = 38,726mm 
 
Dbc = Dpccos(14,5) = 85,197mm 
 
Dtp = Dpp + 2hc = 42mm 
 
Dtc = Dpc + 2hc = 90mm 
 
Drp = Dpp – 2hp = 37,686mm 
 
Drc = Dpp – 2hp = 85,586mm 
 
Pb=Pccos14,5=2ecos14,5=3,042mm 
 
 
φ =    ²/,²/ 219785290  +    ²/,²/ 272638242  - 64sen(14,5º)= 
 
14,504+8,129-16,024=6,609mm 
 
ε = φ / Pb = 6,609/3,042=2,173mm. Conforme esperado, há uma alta razão de 
contato. Não haverá interferência; mas, conferindo pela fórmula: 
 
Mecânica Aplicada 
59 
 
ciainterferên há Não mm 90
mm 29691513239925938740962
 
4
2
2
1
2
1
22
2
2












C
T
C
T
P
P
P
P
D
,,º,
Dcos.D.Ccos.
D
C
 
 
Cálculo da folga: 
 
)](evolv)'(evol[x)'C(x2f 
 
Novo C’ (afastamento entre os centros), arbitrado em C’=64,1mm (valor pequeno, 
mas obediente à formula). Assim, 
 
Dpc/Dpp=D’pc/D’pp=2,2→ D’pc=2,2 D’pp 
 
Também D’pc+D’pp=128,2mm 
 
Daí: 
 
D’pc= 88,138mm 
D’pp=40,062mm 
 
Então, retirando o novo ângulo de pressão: 
 
Dbp = D’ppcos(Φ’) →cos(Φ’) = 38,726/40,062 → Φ’=14,843º 
 
evolv( Φ’) = evolv (14,843º ) =tang (14,843º) – 0,259 = 0,006 
 
evolv( Φ) = evolv (14,5º) =tang (14,5º) – 0,253 =0,0056 
 
 
mm051,0]0056,0006,0[x)1,64(x2f
)](evolv)'(evol[x)'C(x2f


 
O valor recomendado seria 5% da espessura frontal ef (em torno 0,08mm). 
Conclusão: as árvores poderiam ser montadas com uma distância C’ maior do que a 
apresentada, que foi igual a 64,1mm. O décimo de milímetro a mais implicará numa 
folga maior do de 0,051mm e para 64,2mm estaria próximo do valor almejado. 
 
Mecânica Aplicada 
60 
 
 Complementação do aluno Wildson Lesqueves 31/05/12 
 
Este exercício confirma o que foi exposto anteriormente, Agora, propõe-se uma nova 
distância de centros (que será chamado de C’) a qual resulta numa razão de contato 
(ε) igual a 2. Para isso arbitra-se um C’, para chegar a uma razão de contato ε 
desejada. 
Arbitrando C’= 64,181mm resultam os diâmetros primitivos do pinhão (Dpp’) e 
primitivos da coroa (Dpc’) nos seguintes valores: 
Dpc’/ Dpp’= 2,2 Dpp’+ Dpc’= 2C’ 
Assim: 
Dpc’= 88,2488 mm Dpp’= 40,1131 mm 
Agora há um novo ângulo de pressão (α’): 
Dpc = Dpc’ cos α’ α’ = 15,1121° 
Calcula-se através da fórmula da curva evolvental e ângulo de pressão original (α) e 
o novo (α’): 
evol(Ø) = tan Ø – Ø evol α = 0,00554483 evol α’ = 0,00629144 
A folga no vão será de: 
f = 2C’ x [evol α’ - evol α] f = 0.09583663 mm 
 
Para se avaliar os novos valores da razão de contato com o novo ângulo de pressão, 
encontra-se ⱷ’: 
 
 ⱷ’= 5,9002 
Em seguida calcula-se o passo da base Pb’: 
Pb’ = Pc’ cos α’ = ( tc’ + tp’) cos α’ 
tc’ = Dpc’[ ((m/2) x π) Dpc + evol α - evol α’] tc’ = 1,50935 
tp’ = Dpp’[ ((m/2) x π) Dpp + evol α - evol α’] tp’ = 1,545288 
Pb’ = 2,9490 mm 
Mecânica Aplicada 
61 
Assim o novo ε’ será de: 
ε’ = ⱷ’/ Pb’ ε’ = 2,000747 
Portanto, aumentando a distância entre centros das engrenagens tem-se uma menor 
razão de contato no par. 
A seguir se tem uma tabela para mostrar que quanto maior a distância entre centros 
menor será a razão de contato: 
 
 
Distância 
 entre 
 centros C’ 
Ângulo 
de 
pressão (α’) 
Razão 
de 
contato (ε’) 
Folga (f) 
64,05 14,6719° 2,1250 0,0260324 mm 
64,10 14,8416° 2,0775 0,05240385 mm 
64,15 15,0093° 2,0301 0,07911101 mm 
 
64,20 15,1748° 
 
 1,9827 
 
0,10615067 mm 
 
64,25 15,3384° 
 
 1,9354 
 
0,13351974 mm 
 
64,30 15,4999° 
 
 1,8881 
 
0,16121523 mm 
 
 
Vê-se que para 64,15 já se encontra bem próximo do valor de folga no vão ou folga 
frontal desejado, em torno de 0,08mm. 
 
OITAVO EXERCÍCIO 
Considere uma engrenagem padronizada, com alfa=20º. Caso seu diâmetro 
primitivo valha 150 mm e seu módulo vale 5mm, calcule: 
(a) O raio do pino que fará contato no ponto principal. 
 
 
Mecânica Aplicada 
62 
 
 
 
Solução: No ponto principal P concorrem a tangente comum às circunferências 
primitivas (a outra circunferência não foi desenhada), a linha de centros e, 
destacadamente neste caso, a linha deação, que é perpendicular a tangente comum 
(desenhada em vermelho) e permite a solução do problema. 
Inicialmente, considere o seguinte esquema, onde se destaca o raio do pino: 
 
 
 
 
 
Com os dados do problema pode-se calcular o número de dentes da engrenagem, 
pois foram dados o diâmetro primitivo e o módulo da engrenagem: 
 
Mecânica Aplicada 
63 
z= Dp/m = 150/5=30 
 
Desse modo, é possível retirar o ângulo Φ mostrado na figura anterior, através do 
conceito de passo circular. Para 360 graus são 30 dentes; contudo, é preciso 
contabilizar a espessura do dente e o valor do vão, que são iguais: 
 
2Φ= 360/2z → Φ = 360/(4x30)=3º 
 
Conforme destacado no desenho, o ângulo entre a linha de ação e o raio base é de 
noventa graus; sabe-se que alfa é 20º; e Φ foi calculado agora. Então: 
 
∆ = (Db/2) tag 23º ; Db=Dpcos20o →∆ = 1/2(Dp cos 20º) tag 23º = 
 
1/2(150 cos 20º) tag 23º= 75x 0,939 x 0,4244=29,91mm 
 
 
 
 
Conhecido o ângulo de pressão, que vale 20o, tem-se: 
 
d/2= raio do pino= ∆ - (Dp/2)sen 20º = ∆ - (Db/2)tag 20º = 29,91-75x0,342=4,25mm 
 
Na prática, comumente o procedimento mostrado é feito ao inverso. Sabendo-se 
qual é o ângulo de pressão, determina-se o diâmetro de base no caso de se saber o 
diâmetro primitivo, pois os diâmetros dos pinos são padronizados. 
 
(b) O diâmetro D’ medido entre dois pinos opostos. 
 
Mecânica Aplicada 
64 
Primeiramente é preciso atentar para se o número de dentes da engrenagem é par 
ou ímpar. Este problema cai no primeiro caso (zp=30) de modo que a conta é mais 
simples. Este esquema é mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
NONO EXERCÍCIO 
 
Leandro Bastos Bergami 
 
 
A figura a seguir representa um mecanismo de redução. A árvore b é acionada por 
uma fonte de potência em a com 1,25KW girando a 1720rpm. A redução entre a e b 
é de 3,5; já a redução de b para c é de 4. O número de dentes do pinhão 1 é 24 e o 
número de dentes da coroa 4 é 120. 
 A - Calcular o número de dentes nas engrenagens da árvore b (z2 e z3). 
 B - Calcular as rotações das árvores b e c (nb e nc). 
 C - Se a perda de potência é em 4% em cada engrenamento, determine o 
torque em cada árvore (Ta, Tb e Tc). 
 
Mecânica Aplicada 
65 
 
 
Dados do problema: 
ia/b = 3,5 ib/c = 4 
P = 1,25KW na = n1 =1720rpm 
z1 = 24 z4 = 120 
Item A: 
 
Para o engrenamento de 1 para 2 tem-se: 
 
ia/b = 3,5 
 
A razão de transmissão pode ser expressão em função do número de dentes. Então: 
 
ia/b = (z2 / z1)  z2 = ia/b . z1 
 
z2 = 24 x 3,5 = 84 dentes 
 
Para o engrenamento de 3 para 4 tem-se: 
 
ib/c = 4 
 
Do mesmo modo, equacionando-se em função do número de dentes, tem-se: 
 
ib/c = (z4 / z3)  z3 = z4 / ib/c 
 
z3 = 120 / 4 = 30 dentes 
 
 
Item B: 
 
Como ia/b = 3,5 e tal relação é igual ao quociente das frequências angulares, tem-se: 
ia/b = na / nb  nb = ia/b . na 
Mecânica Aplicada 
66 
nb = 491,43rpm. 
A rotação nb é comum às engrenagens 2 e 3. 
Como ib/c = 4 e tal quociente é 
i b/c = nb / nc  nc = ib/c . nb 
nc = 122,86rpm. 
 
Item C: 
 
P = Ta . 0,1047 . na 
 
Ta = P / (0,1047 . na) 
Sendo na = 1720 e P = 1250W 
Logo, Ta = 9,55 Nm 
Considerando que há perda de potencia em cada engrenamento, apenas 96% da 
potência vai ser transmitida. Tal perda não se traduz em mudança nas velocidades 
angulares; estas são regidas por relações cinemáticas. A perda de potência se 
resulta em redução do torque a ser transmitido. Então: 
 
0.96 P = (0,1047. Tb . nb) 
 
Tb = T2 = (P . 0.96) / (0,1047 . nb) 
 
Sendo nb = 491,43 rpm e P = 1250 
 
Então: Tb = 23,32 Nm 
 
No outro acoplamento: 
 
(0.96 x 0.96) P = P4 = Tc . 0,1047 . nc . 
 
Tc = (P .0.96.0.96) / (0,1047 . nc) sendo nc = 122,86 e P = 1250 
 
Tc = 89,56Nm 
Mecânica Aplicada 
67 
 
DÉCIMO EXERCÍCIO: 
 
Um motor de 7,5 KW aciona a engrenagem 2 a 1800rpm. A polia 4, por 
intermédio de uma correia plana, move a polia 5. Na árvore da polia 5 também 
está acoplado um ventilador. Pede-se: 
 
Item a - Calcular a velocidade e o torque na árvore do ventilador, sem considerar 
perdas por atrito. 
Item b - A força de tração no ramo frouxo da correia é 20% do valor no ramo tenso. 
Calcular essas forças considerando-as verticais. 
Item c - Calcular o torque na árvore intermediária b. 
Item d - Calcular a força exercida pela polia 4 sobre a árvore intermediária. 
Item e - Determinar as componentes x e y das reações dos mancais A e B sobre a 
árvore. 
Item f - Localizar e determinar o momento fletor máximo atuante na árvore 
intermediária. 
 
 
 
Mecânica Aplicada 
68 
Solução: 
 
(a) A rotação do motor é naturalmente a rotação experimentada pelo pinhão 2. 
Então: 
 
rpm 810n
125
75x1350.nn
n
n
:se-seguir tem a mostrada cinemática análise Da
nn
:que implica riaintermediá árvore na comum rotaçãoA 
rpm 1350n
32
24x1800
Z
Z.nn
n
n
Z
Z
:básico princípio primeiro Do
nn
5
5
44
5
5
4
4
5
34
3
3
22
3
3
2
2
3
12










 
 
 
 
A velocidade tangencial na correia, considerada inextensível nesta análise 
preliminar, é comum ao longo de toda a correia. Assim, pode-se equacionar: 
Mecânica Aplicada 
69 
Nm 5,88
810x1047,0
7500T
n.T.1047,0P ,PPPPP
:perdas há não Se
n
n
Daí
)n2(
2
)n2(
222
v
5
55554321
4
5
5
4
5
5
4
4
5
5
4
4
t















 
 
Se houvesse perdas: 
 
5
44
534
3
2
2
3
11
23
1112
. , ;
:fazer se-pode perdas havendo Não ente.sucessivam assim e ..
0,1 ,.
n
nTTTT
n
n
T
T
P
PKKP
KPKP



 
 
Análise das forças no sistema: 
 
Na figura a seguir vê-se a linha de ação. O início de contato se dá quando a parte 
inferior do dente do pinhão toca a parte superior do dente da coroa. Vê-se também o 
ângulo de pressão frontal e as circunferências primitivas. No ponto principal, a força 
resultante está atuando exatamente em coincidência com a linha de ação. Nesta 
condição, não há força de atrito. 
Mecânica Aplicada 
70 
 
A análise dinâmica deve ser empreendida como se segue. A coroa é movimentada 
pelo pinhão. Assim, a força que o pinhão faz na coroa deve estar direcionada no 
mesmo sentido de rotação da coroa, pois de acordo com a primeira Lei de Newton, a 
coroa somente se movimenta porque uma força, naquele sentido, a obrigou a isto. 
 
 
 
Pela terceira Lei de Newton, se chega às forças que a coroa faz no pinhão. 
Examinando a árvore, vê-se o seguinte esquema dinâmico, com as forças exercidas 
pelas correias na polia. O equilíbrio de torques impõe que o ramo tenso se apresente 
conforme mostrado. É oportuno revisar o modelo de forças numa correia, seja ela 
plana ou trapezoidal. 
Mecânica Aplicada 
71 
 
 
(b) Demonstra-se que a relação entre os ramos tenso e frouxo numa correia é dado 
por: 
 
TF
F
T
F,F
,e
F
F
20 :que dado foi já caso, no
atrito de ecoeficient
oabraçament de ângulo 
 onde 






 
 
 
 
 
Mecânica Aplicada 
72 








N354F
N1780F
 
2
125,0].F2,0F[5,88
2
].FF[T
F
T
TT
5
FT5
 
 
 
(c) O torque poderia ser calculado por: 
 
Nm1,53
2
075,0].3541780[T
2
].FF[T
4
4
FT4



 
Ou simplesmente percebendo que o equilíbrio de torques na árvore impõe que: 
 
T3 = T4 
 
Então: 
 
Nm 1,53
1350
18008,39
Nm 8,39
.1047,0
 .
3
2
2
3
22
3


xT
n
PT
n
nTT
 
 
 
(d) Diferentemente do que ocorre na composição dos torques, em que as forças no 
ramo tenso e frouxo nas correias se subtraem, agora no equilíbrio vertical as 
componentes se somam: 
Mecânica Aplicada 
73 
 
 F4 = FT + FF  F4 = 2124 N 
Ressalta-se que as forças são consideradas verticais, uma aproximação bastante 
razoável. 
 
 
 
(e) Para se calcular as forças nos mancais, é preciso determinar todas as forças nas 
engrenagens. A componente radial da resultante no contato entre os dentes no 
ponto principal nãofoi calculada. Contudo, a própria componente tangencial ainda 
não foi determinada. Isto é feito a partir do torque T3, já conhecido: 
 
 
 
N; 3,1106F
 mm 96Z.mD , 
D
T.2F
3
T
33
P3
P
33
T


 
Então: 
N 67,402tg.FF 3T
3
R  
 
 
Mecânica Aplicada 
74 
Esquema especial das forças: 
 
Plano x: 
 
 
 
RAy = -1316,4 N (se opondo ao sentido proposto) 
RBy = 298,7 N 
 
Plano y: 
Mecânica Aplicada 
75 
 
 






N 0,302
N 7,100
xR
xR
B
A 
 
(f) Para determinar os momentos fletores, usa-se a seguinte aproximação: 
 
Nm 132106,131
Nm 42309,29
221
222


f
f
M
M
 
 
Nas figuras que se seguem apresentam-se os valores das duas seções retas onde 
se acoplam a polia e a coroa. Na figura à esquerda estão os valores dos momentos 
fletores em cada plano. Na figura a direita, a resultante. Pode-se considerar um 
“vetor momento fletor”, que no caso é traçado sem obedecer a convenção usual de 
torques e momentos, ou seja, as flexões ocorrem em planos perpendiculares aos 
vetores mostrados. Ressalta-se que no caso do momento fletor resultante, há uma 
variação espacial deste ao longo do eixo, como uma espécie de hélice. Em caso de 
flexão em dois planos na construção civil, onde se trabalha com concreto, é preciso 
reforçar as estruturas com ferragens num posicionamento correto, pensando nos 
efeitos trativos da flexão. Nestes casos, é possível perceber que tais ferragens 
devem ser retorcidas ao longo dos vigamentos. 
Mecânica Aplicada 
76 
 
 
(g) Dimensionamento estático do eixo 
 
Um problema como este deve ser dimensionado considerando a fadiga, pois a 
rotação da árvore faz com que as tensões devidas à flexão sejam alternadas. 
Contudo, é deixado por conta do leitor o desenvolvimento do projeto segundo esta 
metodologia mais adequada. Apenas para motivar, é apresentado a seguir um 
modelo de dimensionamento estacionário. 
O fato da seção reta da árvore intermediária ser circular permite uma adaptação 
estratégica das fórmulas padrão da Resistência dos Materiais para cálculo de 
tensões. Primeiramente, o cálculo das tensões normais de flexão considerando o 
momento fletor máximo: 
333F
5,1344132x32M32
I2
M







 
Em segundo lugar, faz-se o cálculo das tensões cisalhantes devido à torção na 
árvore: 
333T
4,2701,53x16T16
J2
T







 
Para seções circulares as fórmulas da flexão e da torção ficam homogêneas em 
termos do diâmetro ϕ, elevado à terceira potência. 
É possível traçar o círculo de Mohr e encontrar as tensões principais em função 
de ϕ. 
Mecânica Aplicada 
77 
 
59,72425,6724,270
4
5,1344
2
5,1344
22
2
2
T
2F
2
F
II,I
3





 


 
Usando-se o critério de Von Mises em termos das tensões principais, tem-se: 
adm
22
IIIII
2
I  
Substituindo os valores: 
7,14236,526,52x13961396)( 222IIIII
2
I
3
adm  
Considerou-se aqui, arbitrariamente, um material dúctil com limite de resistência em 
torno de 700 Mpa. Usou-se um coeficiente de segurança igual a 3 (um valor até 
reduzido, pois devia se fazer uma análise por fadiga). Para compensar, adotou-se o 
valor do limite de escoamento como referência, que na ausência de valores precisos, 
pode ser tomado como aproximadamente igual a 75% do valor do limite de 
resistência. Ressalta-se que em certos casos de análise, retira-se o valor do limite de 
resistência a partir do valor da dureza (Sres=036HB): 
MPa175
3
MPa700x75,0
3
S75,0
n
S7,1423)( resesc3adm 

 
Então, resolvendo, encontra-se: 
mm11,20m0201122,07,142310x175 63 