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1 
 
 
REVISÃO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
1 – Transformada de Laplace e Propriedades 
O que é a transformada de Laplace? 
Transformada Integral 
���� = � ���, 	�
�	��	�
 
Onde a função 
�	� é transformada em uma outra função ���� através de uma integral. 
A função ���, 	� é de nominada “função peso”. 
 
Transformada de Laplace 
 
ℒ�
�	�� = ���� = � ����
�	��	�
�
 
Observação: 
�	� = 0, para 	 0	 ⇒ � > −" 
−" é a abscissa de convergência 
Exemplo 2: Função degrau 
 
�	� = &0,																		 
�	��	> # = �>���� − �>�(
�0� − �>�)
?��� −⋯− �	
�>�)��0� − 
�>�(��0� 
Particularizando para A = 2: 
4 
 
 
ℒ ��)
�	��	) # = �)���� − �
�0� − 
′�0� 
Prova: (Raciocínio recursivo) 
Sejam 
;�	� ≜ �
�	��	 
ℎ�	� ≜ �;�	��	 = �)
�	��	) 
Pela demonstração anterior: 
ℒ ��;�	��	 # = �E��� − ;�0� 
onde E��� = ℒ�;�	�� 
Mas 
ℒ�;�	�� = ℒ ��
�	��	 # = ����� − 
�0� 
Portanto 
ℒ ��)
�	��	) # = ������� − 
�0�� − 
?�0� = �)���� − �
�0� − 
?�0� 
Propriedade 3 : Teorema do Valor Final 
Hipóteses: 
i) 
�. � e 	GH���G� possuem transformada; 
ii) ����� é contínua e diferenciável; 
iii) lim�→� 
�	� existe. 
Resultado (Tese): 
lim�→�
�	� = 	 lim�→� ����� 
Contra exemplo: 
�	� = ��A�I	� 
ℒ�
�	�� = II) + �) 
lim�→�
�	� = 	 lim�→� ����� = lim�→� �II) + �) = 0 
O resultado é falso! A hipótese (iii) não foi respeitada! 
 
5 
 
 
 
Propriedade 4: Teorema do Valor Inicial 
lim�→� 
�	� = 	 lim�→� ����� 
Propriedade 5: Teorema da Função Transladada (deslocamento no tempo) 
ℒ�
�	 − 	��� = ����J���� 
onde ���� = ℒ�
�	�� 
 
Prova: 
Seja ;�	� ≜ 
�	 − 	�� 
ℒ�
�	 − 	��� = ℒ�;�	�� = � ����
�
�
;�	��	 = � �����
�
�	 − 	���	 
Seja K ≜ 	 − 	� 
Então 
	 = K + 	�							�	 = �K					 = 0	 ⇒ 	K = −	�				 → ∞	 ⇒ 	K → ∞ 
Portanto 
ℒ�
�	 − 	��� = � ����L��J��
��J
�K��K = 
= �����L��J��
��J
�K��K + � ����L��J��
�
�K��K = � ����L��J��
�
�K��K = 
= � ���L����J�
�
�K��K = ����J� ���L�
�
�K��K = ����J���� 
 
Propriedade 6: Deslocamento em �: 
ℒ���M�
�	�� = ��� + N� 
onde ���� = ℒ�
�	�� 
 
Para que serve a Transformada de Laplace ? 
6 
 
 
Para o tratamento de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares com Coeficientes Constantes 
N>O�>� + N>�(O�>�(� +⋯+ N(O�(� + N�O = ;�	� 
 
Resolvendo uma equação diferencial com transformada de Laplace: 
�PQ�	P + 4�
)Q�	) + 5�Q�	 + 2Q = O�	� 
Q�0� = Q?�0� = Q??�0� = 0 
O�	� = 2 
Aplicando a transformada: 
ℒ ��PQ�	P# = �PT��� − �)Q�0� − �Q?�0� − Q??�0� = �PT��� 
ℒ ��)Q�	)# = �)T��� − �Q�0� − Q?�0� = �)T��� 
ℒ U�Q�	V = �T��� − Q�0� = �T��� 
ℒ�Q� = T��� 
ℒ�O� = ℒ�2� = 2� 
Substituindo: 
�PT��� + 4�)T��� + 5�T��� + 2T��� = 2� 
Resolvendo: 
��P + 4�) + 5� + 2�T��� = 2� 
T��� = 2���P + 4�) + 5� + 2� 
Para finalizar, deve-se obter a transformada inversa. 
 
Função Pulso: 
�	� = W0,																		 0� 
� 
�	��	 =�
�� Y 
Transformada de Laplace da função impulso de intensidade Y: 
ℒ�Z�	�� = ℒ U lim�J→�
�	�V = lim�J→�ℒ�
�	�� = lim�J→�Y�1 − �
���J�	�� = 00	? 
8 
 
 
Aplicando L’Hospital: 
ℒ�Z�	�� = Y lim�J→�
��1 − ����J��	��	���	�
= Y lim�J→� ��
��J� = Y 
Função impulso unitário (\�	�	delta	de	Dirak): 
Neste caso tem-se Y = 1. Logo: 
\�	� = W0,																		 0� 
� \�	��	 =�
�� 1 
ℒ�\�	�� = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
2 – Transformada Inversa de Laplace 
Sendo a Transforma de Laplace um operador linear, o mesmo valerá para a Transformada 
Inversa de Laplace, ou seja: 
ℒ�(�N�(��� + d�)���� = Nℒ�(��(���� + dℒ�(��)���� 
A linearidade é um dos conceitos básicos para se obter uma transformada inversa. Outro 
conceito é a técnica de decomposição em frações parciais. 
Exemplo 1: Considere a função abaixo: 
���� = 1� + �
�� − ��)��) − ��)�� 
Determinação da transformada inversa: 
���� = 1� + �
��
�) − �
�)�
�) − ��)�� 
ℒ�(	������ = ℒ�( U1�V + ℒ�( U�
��
�) V − ℒ�( ��
�)�
�) # − ℒ�( ��
�)�
� # 
�	� = 1�	� + �	 − 1�1�	 − 1� − �	 − 2�1�	 − 2� − 1�	 − 3� 
�	� =
fgh
gi0,																																													�	� = \�	� + 2\�	� + ℒ�( U � + 3�) + 3� + 2Vq
 
O problema passa a ser como no situação típica. 
Situação típica: grau(j���� uv( 
Após decomposição em frações parciais: 
���� =w Nu� + tu
>
uv(
 
Resultado: 
�	� =wNu��xy�>
uv(
 
Caso 2: Denominador com raízes reais múltiplas 
Exemplo 4: 
���� = �) + � + 1�� + 2��� + 1�) 
Decompondo-se em frações parciais: 
���� = �� + 2 + z� + 1 + {�� + 1�) 
Logo, deve-se ter: 
�) + � + 1 = ��� + 1�) + z�� + 1��� + 2� + {�� + 2� 
Arbitrando-se valores de � (incluindo as raízes): 
� = −1:													1 = {				 ⇒ 			{ = 1 
� = −2:													3 = �				 ⇒ 			� = 3 
� = 0:													1 = � + 2z + 2{				 ⇒ 			1 = 3 + 2z + 2				 ⇒ 		z = −2 
Substituindo em ����: 
���� = 3� + 2 + −2� + 1 + 1�� + 1�) 
Solução: 
 
�	� = 3��)� − 2��� + 	��� = 3��)� + �	 − 2���� 
Generalizando: 
12 
 
 
���� = j���∏ �� + }u�∏ �� + ~��)∏ �� + t��P…>��v(>6�v(>�uv( 
Após decomposição em frações parciais: 
���� =w �u� + }u
>�
uv(
+w� z�� + ~� + {��� + ~��)�
>6
uv(
+w� k�� + t� + ���� + t��) + ���� + t��P� + ⋯
>�
uv(
 
Resultado: 
�	� =w�u���y� +w�z� + {�	������
>6
�v(
>�
uv(
+w�k� + ��	 + ��	)������
>�
�v(
+⋯ 
Caso 3: Denominador com raízes complexas conjugadas 
Exemplo 5: 
���� = 3
�) + � + 52 
Completando o quadrado no denominador: 
�) + � + 5 = �� + 12�) + 94 
���� = 3
�� + 12�) + 94 
���� = 3
�� + 12�) + �32�)
= 2 3/2
�� + 12�) + �32�)
 
Mas 
ℒ���M���A�I	�� = I�� + N�) + I) 								ℒ���M�r���I	�� = � + N�� + N�) + I) 
Portanto: 
�	� = 2��()���A �32 	� 
Exemplo 6: 
���� = 2� + 1�) + 2� + 5 
Completando o quadrado no denominador: 
�) + 2� + 5 = �� + 1�) + 4 = �� + 1�) + 2) 
13 
 
 
���� = 2� + 1�� + 1�) + 2) 
Deve-se ajustar, primeiramente, a parcela do cosseno: 
���� = 2�� + 1��� + 1�) + 2) + −1�� + 1�) + 2) 
Em seguida, ajusta-se a parcela do seno: 
���� = 2�� + 1��� + 1�) + 2) − 12 2�� + 1�) + 2) 
Finalmente, pela tabela de transformadas: 
�	� = 2���r���2	� − 12 �����A�2	� = U2r���2	� − 12 ��A�2	�V ��� 
Exemplo 7: 
���� = 6� + 52�) + 12� + 26 
Neste caso, deve-se primeiramente normalizar o coeficiente do grau mais elevado no 
denominador para 1: 
���� = 3� + 52�) + 6� + 13 
Após completar o quadrado, obtém-se: 
���� = 3� + 52�� + 3�) + 2) 
Ajustando-se o numerador, obtém-se: 
���� = 3�� + 3��� + 3�) + 2) + −132�� + 3�) + 2) = 3�� + 3��� + 3�) + 2) − 134 2�� + 3�) + 2) 
Finalmente, pela tabela de transformadas: 
�	� = U3r���2	� − 134 ��A�2	�V ��P� 
 
Solução generalizada (denominador do segundo grau): 
Seja 
���� = N� + dr�) + �� + � 
14 
 
 
Normalizando o coeficiente de maior grau no denominador: 
���� = �� + z�) + k� + � 
onde � ≜ M� ,			z ≜ �� ,			k ≜ G� ,			� ≜ .� 
Calcula-se ∆= k) − 4� 
Caso 1: ∆>0 
���� = �� + z�� − "(��� − ")� 
Onde 
"( = −k − √∆2 							") = −k + √∆2 
 	
���� = }� − "( + ~� − ") 
�	� = }��
�� + ~��
6� 
Caso 2: ∆=0 
���� = �� + z�� − "�) 
���� = �� − " + ��� − "�) 
�	� = �� + �	���
� 
Caso 3: ∆

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