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REVISÃO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
1 – Transformada de Laplace e Propriedades
O que é a transformada de Laplace?
Transformada Integral
���� = � ���, �
� �� �
Onde a função
� � é transformada em uma outra função ���� através de uma integral.
A função ���, � é de nominada “função peso”.
Transformada de Laplace
ℒ�
� �� = ���� = � ����
� �� �
�
Observação:
� � = 0, para 0 ⇒ � > −"
−" é a abscissa de convergência
Exemplo 2: Função degrau
� � = &0,
� �� > # = �>���� − �>�(
�0� − �>�)
?��� −⋯− �
�>�)��0� −
�>�(��0�
Particularizando para A = 2:
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ℒ ��)
� �� ) # = �)���� − �
�0� −
′�0�
Prova: (Raciocínio recursivo)
Sejam
;� � ≜ �
� ��
ℎ� � ≜ �;� �� = �)
� �� )
Pela demonstração anterior:
ℒ ��;� �� # = �E��� − ;�0�
onde E��� = ℒ�;� ��
Mas
ℒ�;� �� = ℒ ��
� �� # = ����� −
�0�
Portanto
ℒ ��)
� �� ) # = ������� −
�0�� −
?�0� = �)���� − �
�0� −
?�0�
Propriedade 3 : Teorema do Valor Final
Hipóteses:
i)
�. � e GH���G� possuem transformada;
ii) ����� é contínua e diferenciável;
iii) lim�→�
� � existe.
Resultado (Tese):
lim�→�
� � = lim�→� �����
Contra exemplo:
� � = ��A�I �
ℒ�
� �� = II) + �)
lim�→�
� � = lim�→� ����� = lim�→� �II) + �) = 0
O resultado é falso! A hipótese (iii) não foi respeitada!
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Propriedade 4: Teorema do Valor Inicial
lim�→�
� � = lim�→� �����
Propriedade 5: Teorema da Função Transladada (deslocamento no tempo)
ℒ�
� − ��� = ����J����
onde ���� = ℒ�
� ��
Prova:
Seja ;� � ≜
� − ��
ℒ�
� − ��� = ℒ�;� �� = � ����
�
�
;� �� = � �����
�
� − ���
Seja K ≜ − �
Então
= K + � � = �K = 0 ⇒ K = − � → ∞ ⇒ K → ∞
Portanto
ℒ�
� − ��� = � ����L��J��
��J
�K��K =
= �����L��J��
��J
�K��K + � ����L��J��
�
�K��K = � ����L��J��
�
�K��K =
= � ���L����J�
�
�K��K = ����J� ���L�
�
�K��K = ����J����
Propriedade 6: Deslocamento em �:
ℒ���M�
� �� = ��� + N�
onde ���� = ℒ�
� ��
Para que serve a Transformada de Laplace ?
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Para o tratamento de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares com Coeficientes Constantes
N>O�>� + N>�(O�>�(� +⋯+ N(O�(� + N�O = ;� �
Resolvendo uma equação diferencial com transformada de Laplace:
�PQ� P + 4�
)Q� ) + 5�Q� + 2Q = O� �
Q�0� = Q?�0� = Q??�0� = 0
O� � = 2
Aplicando a transformada:
ℒ ��PQ� P# = �PT��� − �)Q�0� − �Q?�0� − Q??�0� = �PT���
ℒ ��)Q� )# = �)T��� − �Q�0� − Q?�0� = �)T���
ℒ U�Q� V = �T��� − Q�0� = �T���
ℒ�Q� = T���
ℒ�O� = ℒ�2� = 2�
Substituindo:
�PT��� + 4�)T��� + 5�T��� + 2T��� = 2�
Resolvendo:
��P + 4�) + 5� + 2�T��� = 2�
T��� = 2���P + 4�) + 5� + 2�
Para finalizar, deve-se obter a transformada inversa.
Função Pulso:
� � = W0, 0�
�
� �� =�
�� Y
Transformada de Laplace da função impulso de intensidade Y:
ℒ�Z� �� = ℒ U lim�J→�
� �V = lim�J→�ℒ�
� �� = lim�J→�Y�1 − �
���J� �� = 00 ?
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Aplicando L’Hospital:
ℒ�Z� �� = Y lim�J→�
��1 − ����J�� �� ��� �
= Y lim�J→� ��
��J� = Y
Função impulso unitário (\� � delta de Dirak):
Neste caso tem-se Y = 1. Logo:
\� � = W0, 0�
� \� �� =�
�� 1
ℒ�\� �� = 1
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2 – Transformada Inversa de Laplace
Sendo a Transforma de Laplace um operador linear, o mesmo valerá para a Transformada
Inversa de Laplace, ou seja:
ℒ�(�N�(��� + d�)���� = Nℒ�(��(���� + dℒ�(��)����
A linearidade é um dos conceitos básicos para se obter uma transformada inversa. Outro
conceito é a técnica de decomposição em frações parciais.
Exemplo 1: Considere a função abaixo:
���� = 1� + �
�� − ��)��) − ��)��
Determinação da transformada inversa:
���� = 1� + �
��
�) − �
�)�
�) − ��)��
ℒ�( ������ = ℒ�( U1�V + ℒ�( U�
��
�) V − ℒ�( ��
�)�
�) # − ℒ�( ��
�)�
� #
� � = 1� � + � − 1�1� − 1� − � − 2�1� − 2� − 1� − 3�
� � =
fgh
gi0, � � = \� � + 2\� � + ℒ�( U � + 3�) + 3� + 2Vq
O problema passa a ser como no situação típica.
Situação típica: grau(j���� uv(
Após decomposição em frações parciais:
���� =w Nu� + tu
>
uv(
Resultado:
� � =wNu��xy�>
uv(
Caso 2: Denominador com raízes reais múltiplas
Exemplo 4:
���� = �) + � + 1�� + 2��� + 1�)
Decompondo-se em frações parciais:
���� = �� + 2 + z� + 1 + {�� + 1�)
Logo, deve-se ter:
�) + � + 1 = ��� + 1�) + z�� + 1��� + 2� + {�� + 2�
Arbitrando-se valores de � (incluindo as raízes):
� = −1: 1 = { ⇒ { = 1
� = −2: 3 = � ⇒ � = 3
� = 0: 1 = � + 2z + 2{ ⇒ 1 = 3 + 2z + 2 ⇒ z = −2
Substituindo em ����:
���� = 3� + 2 + −2� + 1 + 1�� + 1�)
Solução:
� � = 3��)� − 2��� + ��� = 3��)� + � − 2����
Generalizando:
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���� = j���∏ �� + }u�∏ �� + ~��)∏ �� + t��P…>��v(>6�v(>�uv(
Após decomposição em frações parciais:
���� =w �u� + }u
>�
uv(
+w� z�� + ~� + {��� + ~��)�
>6
uv(
+w� k�� + t� + ���� + t��) + ���� + t��P� + ⋯
>�
uv(
Resultado:
� � =w�u���y� +w�z� + {� ������
>6
�v(
>�
uv(
+w�k� + �� + �� )������
>�
�v(
+⋯
Caso 3: Denominador com raízes complexas conjugadas
Exemplo 5:
���� = 3
�) + � + 52
Completando o quadrado no denominador:
�) + � + 5 = �� + 12�) + 94
���� = 3
�� + 12�) + 94
���� = 3
�� + 12�) + �32�)
= 2 3/2
�� + 12�) + �32�)
Mas
ℒ���M���A�I �� = I�� + N�) + I) ℒ���M�r���I �� = � + N�� + N�) + I)
Portanto:
� � = 2��()���A �32 �
Exemplo 6:
���� = 2� + 1�) + 2� + 5
Completando o quadrado no denominador:
�) + 2� + 5 = �� + 1�) + 4 = �� + 1�) + 2)
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���� = 2� + 1�� + 1�) + 2)
Deve-se ajustar, primeiramente, a parcela do cosseno:
���� = 2�� + 1��� + 1�) + 2) + −1�� + 1�) + 2)
Em seguida, ajusta-se a parcela do seno:
���� = 2�� + 1��� + 1�) + 2) − 12 2�� + 1�) + 2)
Finalmente, pela tabela de transformadas:
� � = 2���r���2 � − 12 �����A�2 � = U2r���2 � − 12 ��A�2 �V ���
Exemplo 7:
���� = 6� + 52�) + 12� + 26
Neste caso, deve-se primeiramente normalizar o coeficiente do grau mais elevado no
denominador para 1:
���� = 3� + 52�) + 6� + 13
Após completar o quadrado, obtém-se:
���� = 3� + 52�� + 3�) + 2)
Ajustando-se o numerador, obtém-se:
���� = 3�� + 3��� + 3�) + 2) + −132�� + 3�) + 2) = 3�� + 3��� + 3�) + 2) − 134 2�� + 3�) + 2)
Finalmente, pela tabela de transformadas:
� � = U3r���2 � − 134 ��A�2 �V ��P�
Solução generalizada (denominador do segundo grau):
Seja
���� = N� + dr�) + �� + �
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Normalizando o coeficiente de maior grau no denominador:
���� = �� + z�) + k� + �
onde � ≜ M� , z ≜ �� , k ≜ G� , � ≜ .�
Calcula-se ∆= k) − 4�
Caso 1: ∆>0
���� = �� + z�� − "(��� − ")�
Onde
"( = −k − √∆2 ") = −k + √∆2
���� = }� − "( + ~� − ")
� � = }��
�� + ~��
6�
Caso 2: ∆=0
���� = �� + z�� − "�)
���� = �� − " + ��� − "�)
� � = �� + � ���
�
Caso 3: ∆