Limite Exponencial e Demonstração

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LIMITE EXPONENCIAL 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
 
Demonstração: A sequência de termo geral 𝑎𝑛 =(1 +
1
𝑛
)
𝑛
 converge para o 
número 𝑒. 
Vamos provar que: 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
Seja 𝑛 > 0 um número natural qualquer e 𝑥 > 0 um real qualquer. 
𝑛 ≤ 𝑥 
1
𝑛 + 1
⇒ 1 +
1
𝑛
≥ 1 +
1
𝑥
> 1 +
1
𝑛 + 1
 
Daí 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛+1
> (1 +
1
𝑥
)
𝑥
> (1 +
1
𝑛 + 1
)
𝑛
 
Ou seja, 
𝑛 ≤ 𝑥 (1 +
1
𝑥
)
𝑥
> (1 +
1
𝑛 + 1
)
𝑛+1
.
𝑛 + 1
𝑛 + 2
 
 
Como lim
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛 𝑛+1
𝑛
= 𝑒 = lim
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛+1
)
𝑛+1
.
𝑛+1
𝑛+2
, pelo teorema do 
confronto, segue que: 
lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
 
EXERCÍCIO 1: Verifique que: 
a) lim
𝑥→−∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
b) lim
ℎ→0+
(1 + ℎ)
1
ℎ = 𝑒 
c) lim
ℎ→0−
(1 + ℎ)
1
ℎ = 𝑒 
EXERCÍCIO 2: Mostre que lim
ℎ→0
𝑒ℎ−1
ℎ
= 1.