58_PDFsam_2APOSTILA COMPLETA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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Geometria vetorial e 
transformações lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir transformações matriciais.
 � Identificar a transformações lineares como casos particulares de trans-
formações matriciais.
 � Relacionar as transformações lineares com inversão de matrizes.
Introdução
Neste capítulo, exploraremos um pouco mais o assunto sobre matrizes. 
Você verá algumas aplicações práticas de matrizes, como no estudo da 
geometria das transformações lineares. Nesta etapa, estaremos seguindo 
uma linha semelhante à apresentada em Nicholson (2006). Seguiremos 
estabelecendo as relações entre transformações lineares e matrizes. 
Finalmente, você será apresentado à conexão entre transformações 
lineares e inversão de matrizes.
Transformações matriciais
Para caminhar na direção do primeiro objetivo, trabalharemos com o plano (R2) 
euclidiano. E para tal fim, não realizaremos distinção entre um ponto e o vetor 
associado ao transporte da origem até esse ponto, conforme Figura 1, a seguir.
Figura 1. O ponto do plano e o vetor associado a ele.
6
4
2
–6 –4 –2 0 2 4 6
v
(x,y)
Como pode ser visto na figura, não há distinção entre o ponto P(x,y) e o 
vetor a ele associado . Nesse contexto, uma transformação matricial 
pode ser definida como o resultado do produto de uma matriz 2x2 pelos vetores 
do plano. Isto é, uma transformação matricial relaciona um vetor do plano à 
sua imagem pelo produto com uma determinada matriz. Dessa forma, serão 
válidas todas as propriedades do produto de matrizes.
Para entender como matrizes se relacionam com transformações geomé-
tricas do plano euclidiano, apresentaremos alguns exemplos.
Considere a matriz R =
1 0
0 –1 . Seja v→ =
x
y um vetor qualquer do plano euclidiano, 
qual é a imagem do vetor v→ pela transformação R? Tem-se:
Rv→ = = =
1 0
0 –1
x
y
1 × x + 0 × y
0 × x – 1 × y
x
–y
Em palavras, a transformação R reflete o vetor v→ =
x
y em torno do eixo coordenado 
x, conforme Figura 2.
Geometria vetorial e transformações lineares2
v
u
–2
–2
–1
–1
1 2 30
2
1
(x,y)
(x,–y)
Figura 2. Reflexão de vetor em torno do eixo x.
Uma observação interessante sobre essa transformação é que ela é sua própria 
inversa. Isto é, ao aplicarmos a reflexão R duas vezes seguidas, voltamos ao vetor 
original. Tem-se:
RR = 1 0
0 –1
1 0
0 1
1 0
0 –1
=
Esse é um primeiro exemplo de como algumas matrizes se relacionam 
com transformações geométricas. Ali, uma transformação geométrica foi 
induzida por uma matriz.
No próximo exemplo, partiremos de uma transformação geométrica e 
veremos a matriz que induz a mesma transformação.
Considere a transformação geométrica que rotaciona vetores em torno da origem 
(Figura 3) e que leva, por exemplo, o vetor v
→ = 1
0 no vetor u→ = –1
0
. Essa transformação 
pode ser induzida pela seguinte matriz:
3Geometria vetorial e transformações lineares