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13. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 D) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
14. **Qual é o valor da integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{2}{3} \) 
 B) \( \frac{3}{4} \) 
 C) \( \frac{1}{4} \) 
 D) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \). A integral se 
transforma em \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, 
dx \). O resultado final é \( \frac{2}{3} \). 
 
15. **Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 C) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 D) \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \) 
 **Resposta:** A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 **Explicação:** A equação diferencial é de segunda ordem e homogênea, com raízes 
complexas. A solução geral é dada pela combinação linear das funções seno e cosseno. 
 
16. **Qual é o valor de \( \int e^{2x} \cos(3e^{2x}) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 B) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 C) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 D) \( \frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C \) 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C \) 
 **Explicação:** Usamos integração por partes para resolver essa integral, onde \( u = 
\cos(3e^{2x}) \) e \( dv = e^{2x} \, dx \). Após algumas iterações, obtemos a expressão final. 
 
17. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{2} (e - 1) \) 
 B) \( \frac{1}{4} (e - 1) \) 
 C) \( \frac{1}{3} (e - 1) \) 
 D) \( \frac{1}{6} (e - 1) \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} (e - 1) \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = 
\frac{du}{2\sqrt{u}} \). A integral se transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \). A 
integral de \( e^u \) é \( e^u \), e avaliando de 0 a 1, obtemos \( \frac{1}{2} (e - 1) \). 
 
18. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 A) \( 0 \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( e \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o 
denominador tendem a \( 0 \) quando \( x \to 0 \). Derivando, obtemos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{e^x}{1} = e^0 = 1 \). 
 
19. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) + \ln(x) \)?** 
 A) \( \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{1}{x} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x} \) 
 C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \cdot x \) 
 D) \( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{1}{x} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan^{-1}(x) \) é \( \frac{1}{x^2 + 1} \) e a derivada de \( 
\ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). Portanto, a derivada total é a soma das duas. 
 
20. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx \)?** 
 A) \( \frac{1}{20} \) 
 B) \( \frac{1}{21} \) 
 C) \( \frac{1}{22} \) 
 D) \( \frac{1}{23} \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{21} \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = 1 - x^2 \), que nos dá \( du = -2x \, dx \). 
Mudando os limites de integração, obtemos a integral de \( u^{10} \), resultando em \( 
\frac{1}{21} \). 
 
21. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2 - x}{3x^3 + 4} \)?** 
 A) \( \frac{5}{3} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 0 \) 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x \) no denominador, 
obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{4}{x^3}} \). À 
medida que \( x \to \infty \), os termos com \( x \) no denominador tendem a \( 0 \), 
resultando em \( \frac{5}{3} \). 
 
22. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' = 3y + e^{-2x} \)?** 
 A) \( y = Ce^{3x} - \frac{1}{5} e^{-2x} \) 
 B) \( y = Ce^{-3x} + \frac{1}{5} e^{-2x} \) 
 C) \( y = Ce^{3x} + \frac{1}{5} e^{-2x} \) 
 D) \( y = Ce^{-3x} - \frac{1}{5} e^{-2x} \) 
 **Resposta:** C) \( y = Ce^{3x} + \frac{1}{5} e^{-2x} \) 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é a soma da solução homogênea \( y_h = Ce^{3x} \) e uma solução particular \( y_p = 
-\frac{1}{5} e^{-2x} \). 
 
23. **Qual é o valor de \( \int_0^1 x^2 \ln(x) \, dx \)?** 
 A) \( -\frac{1}{9} \)