novos exericicos EB

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c) -\(\frac{1}{6}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{3x^2} = 
\frac{1}{6}\). 
 
62. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\)?** 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(2x \ln(x) + 2\) 
 c) \(2x \ln(x) - x\) 
 d) \(x \ln(x)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = 2x \ln(x) + x\). 
 
63. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(F(1) - F(0) = 0\). 
 
64. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2\). 
 
65. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sin(x^2)\)?** 
 a) \(2x \cos(x^2)\) 
 b) \(2 \sin(x^2)\) 
 c) \(\cos(x^2)\) 
 d) \(-2x \sin(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \cos(x^2)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)\). 
 
66. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (5x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{5}{3}x^3 + x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(F(1) - F(0) = 2\). 
 
67. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** d) 3 
 **Explicação:** Fatorando, temos \(\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1\). Avaliando em 
\(x=1\), temos \(3\). 
 
68. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{3x^2}{x^3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1}\). 
 
69. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(F(1) - F(0) = 2\). 
 
70. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3 
 **Explicação:** Usando a limitação \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\), temos \(\lim_{x 
\to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\). 
 
71. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)?** 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{1 + x^2}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 
72. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 1