novos exericicos EF

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**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot (2x) = 
\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\). 
 
51. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \(F(1) - F(0) = 2\). 
 
52. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(-\frac{1}{6}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{3x^2} 
= \frac{1}{6}\). 
 
53. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 \cos(x)\)?** 
 a) \(4x^3 \cos(x) - x^4 \sin(x)\) 
 b) \(4x^3 \sin(x) + x^4 \cos(x)\) 
 c) \(x^4 \sin(x) - 4x^3 \cos(x)\) 
 d) \(x^4 \cos(x) + 4x^3 \sin(x)\) 
 **Resposta:** a) \(4x^3 \cos(x) - x^4 \sin(x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = 4x^3 \cos(x) + x^4 (-\sin(x)) = 4x^3 
\cos(x) - x^4 \sin(x)\). 
 
54. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = x^3 + x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos \(F(1) - 
F(0) = 2\). 
 
55. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) -1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} 
= 1\). 
 
56. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\)?** 
 a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 b) \(2 \tan(x^2)\) 
 c) \(\sec^2(x^2)\) 
 d) \(\tan(x^2)\) 
 **Resposta:** a) \(2x \sec^2(x^2)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x 
\sec^2(x^2)\). 
 
57. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(F(1) - F(0) = 2\). 
 
58. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Fatorando, temos \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\). Avaliando em \(x=1\), 
temos \(2\). 
 
59. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{-x^2}\)?** 
 a) \(-2xe^{-x^2}\) 
 b) \(2xe^{-x^2}\) 
 c) \(e^{-x^2}\) 
 d) \(-e^{-x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(-2xe^{-x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}\). 
 
60. **Qual é o resultado da integral \(\int_0^1 (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x\). Avaliando 
de 0 a 1, temos \(F(1) - F(0) = 2\). 
 
61. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \cos(x)}{x^3}\)?** 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{6}\)