jpv losango

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**Explicação**: A integral é \(\int_0^1 (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}}) \, dx = 
\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = 
\frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15}\). 
 
34. **Problema 34**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\). 
 a) 4 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -4 
 **Resposta**: a) 4 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 4\), resultando em 4. 
 
35. **Problema 35**: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{5}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{8}{15}\) 
 b) \(\frac{16}{15}\) 
 c) \(\frac{4}{15}\) 
 d) \(\frac{2}{15}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{8}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(x = \sin(t)\), a integral se transforma em 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5(t) \, dt\), resultando em \(\frac{8}{15}\). 
 
36. **Problema 36**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^4 \ln(x)\). 
 a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 b) \(4x^3 \ln(x) + 4x^2\) 
 c) \(4x^3 \ln(x) + 2x^2\) 
 d) \(4x^3 \ln(x) - x^3\) 
 **Resposta**: a) \(4x^3 \ln(x) + x^3\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, \(f'(x) = (x^4)' \ln(x) + x^4 (\ln(x))' = 4x^3 \ln(x) 
+ x^3\). 
 
37. **Problema 37**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - 1}{x^2}\). 
 a) \(-\frac{9}{2}\) 
 b) 0 
 c) \(-\frac{3}{2}\) 
 d) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: a) \(-\frac{9}{2}\) 
 **Explicação**: Usamos a expansão em série de Taylor para \(\cos(x)\): \(\cos(3x) 
\approx 1 - \frac{(3x)^2}{2}\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9x^2}{2}}{x^2} = -
\frac{9}{2}\). 
 
38. **Problema 38**: Calcule a integral \(\int_0^1 x^{1/2} (1 - x)^{1/2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{8}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{4}\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(x = u^2\), resultando em \(\int_0^1 u (1 - 
u^2)^{1/2} \cdot 2u \, du = 2\int_0^1 u^2 (1 - u^2)^{1/2} \, du\), que resulta em 
\(\frac{1}{4}\). 
 
39. **Problema 39**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\). 
 a) 5 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -5 
 **Resposta**: a) 5 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 5\), resultando em 5. 
 
40. **Problema 40**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{2}{3}} \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{4}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3}{5}\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = 1 - x^3\), resultando em \(\int_0^1 (1 - 
u)^{\frac{2}{3}} \, du\), que resulta em \(\frac{3}{5}\). 
 
41. **Problema 41**: Calcule a derivada da função \(f(x) = e^{2x} \sin(x)\). 
 a) \(2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\) 
 b) \(2e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x)\) 
 c) \(e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x))\) 
 d) \(e^{2x} (2\sin(x) - \cos(x))\) 
 **Resposta**: a) \(2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\) 
 **Explicação**: Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = 
\sin(x)\). Assim, \(f'(x) = 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x)\). 
 
42. **Problema 42**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{x}\). 
 a) 5 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -5 
 **Resposta**: a) 5 
 **Explicação**: Usamos a regra de L'Hôpital, derivando o numerador e o denominador. 
O resultado é 5. 
 
43. **Problema 43**: Calcule a integral \(\int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 c) \(\frac{1}{4}(e - 1)\) 
 d) \(\frac{1}{5}(e - 1)\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{3}(e - 1)\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = x^2\), resultando em \(\frac{1}{2} \int_0^1 
e^u \, du\), que resulta em \(\frac{1}{3}(e - 1)\). 
 
44. **Problema 44**: Determine o valor de \(\int_0^1 (x^2 + x)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{8}\)