ixf losango

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b) 1 
 c) 0 
 d) -6 
 **Resposta**: a) 6 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 6\), resultando em 6. 
 
77. **Problema 77**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^7)^{\frac{5}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{6}{11}\) 
 b) \(\frac{5}{8}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{6}{11}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^7\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{1}{7} u^{\frac{1}{7}} \, du\), resultando em \(\frac{6}{11}\). 
 
78. **Problema 78**: Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(x^5 + 1)\). 
 a) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^5 + 1}\) 
 c) \(\frac{5}{x^5 + 1}\) 
 d) \(\frac{5x^5}{x^5 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{5x^4}{x^5 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^5 + 1} \cdot 5x^4 = 
\frac{5x^4}{x^5 + 1}\). 
 
79. **Problema 79**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x}\). 
 a) 7 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -7 
 **Resposta**: a) 7 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 7\), resultando em 7. 
 
80. **Problema 80**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^8)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{9}{16}\) 
 b) \(\frac{5}{8}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{9}{16}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^8\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{8} u^{\frac{1}{8}} \, du\), resultando em \(\frac{9}{16}\). 
 
81. **Problema 81**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^2 e^{3x}\). 
 a) \(2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}\) 
 b) \(2x e^{3x} + 3x e^{3x}\) 
 c) \(2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}\) 
 d) \(2x e^{3x} - 3x^2 e^{3x}\) 
 **Resposta**: a) \(2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^2)' e^{3x} + x^2 (e^{3x})' = 
2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}\). 
 
82. **Problema 82**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{x}\). 
 a) 8 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -8 
 **Resposta**: a) 8 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 8\), resultando em 8. 
 
83. **Problema 83**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^9)^{\frac{5}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{11}{12}\) 
 b) \(\frac{5}{8}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{11}{12}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^9\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{1}{9} u^{\frac{1}{9}} \, du\), resultando em \(\frac{11}{12}\). 
 
84. **Problema 84**: Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(3x + 2)\). 
 a) \(\frac{3}{3x + 2}\) 
 b) \(\frac{2}{3x + 2}\) 
 c) \(\frac{1}{3x + 2}\) 
 d) \(\frac{3}{2}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3}{3x + 2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{3x + 2} \cdot 3 = 
\frac{3}{3x + 2}\). 
 
85. **Problema 85**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(9x)}{x}\). 
 a) 9 
 b) 1 
 c) 0 
 d) -9 
 **Resposta**: a) 9 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 9\), resultando em 9. 
 
86. **Problema 86**: Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x^{10})^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{12}{13}\) 
 b) \(\frac{5}{8}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{12}{13}\)