jkt losango

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b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = x^2 + x\), resultando em \(\int_0^1 
u^{\frac{3}{2}} \, du\), que resulta em \(\frac{4}{7}\). 
 
45. **Problema 45**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 + 1}{x^3 + 5x + 
2}\). 
 a) 3 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 0 
 **Resposta**: a) 3 
 **Explicação**: Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x^3\) no denominador, 
resultando em \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{5}{x^2} + 
\frac{2}{x^3}} = 3\). 
 
46. **Problema 46**: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{7}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{8}{15}\) 
 b) \(\frac{16}{15}\) 
 c) \(\frac{4}{15}\) 
 d) \(\frac{2}{15}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{16}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(x = \sin(t)\), a integral se transforma em 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^7(t) \, dt\), resultando em \(\frac{16}{15}\). 
 
47. **Problema 47**: Calcule a derivada da função \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{2}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1}\). 
 
48. **Problema 48**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(3/x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) \(-3\) 
 **Resposta**: a) 0 
 **Explicação**: O limite se torna \(0\) pois \(x^2 \to 0\) e \(\sin(3/x)\) oscila entre -1 e 1. 
 
49. **Problema 49**: Determine o valor de \(\int_0^1 (1 - x^4)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{4}{5}\) 
 b) \(\frac{8}{15}\) 
 c) \(\frac{16}{15}\) 
 d) \(\frac{2}{5}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{16}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(x = \sin^{1/4}(t)\), a integral se transforma em 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(t) \, dt\), resultando em \(\frac{16}{15}\). 
 
50. **Problema 50**: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{9}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{10}{21}\) 
 b) \(\frac{8}{15}\) 
 c) \(\frac{4}{15}\) 
 d) \(\frac{2}{15}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{10}{21}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(x = \sin(t)\), a integral se transforma em 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^9(t) \, dt\), resultando em \(\frac{10}{21}\). 
 
51. **Problema 51**: Calcule a derivada da função \(f(x) = x^5 e^{x^2}\). 
 a) \(5x^4 e^{x^2} + 2x^6 e^{x^2}\) 
 b) \(5x^4 e^{x^2} + x^5 e^{x^2}\) 
 c) \(5x^4 e^{x^2} + 2x^5 e^{x^2}\) 
 d) \(5x^4 e^{x^2} - 2x^6 e^{x^2}\) 
 **Resposta**: c) \(5x^4 e^{x^2} + 2x^5 e^{x^2}\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = (x^5)' e^{x^2} + x^5 (e^{x^2})' 
= 5x^4 e^{x^2} + x^5 (2x e^{x^2}) = 5x^4 e^{x^2} + 2x^5 e^{x^2}\). 
 
52. **Problema 52**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2}\). 
 a) -2 
 b) 0 
 c) -1 
 d) 1 
 **Resposta**: a) -2 
 **Explicação**: Usamos a expansão em série de Taylor para \(\cos(2x)\): \(\cos(2x) 
\approx 1 - \frac{(2x)^2}{2}\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{-2x^2}{x^2} = -2\). 
 
53. **Problema 53**: Determine o valor de \(\int_0^1 (1 - x^3)^{\frac{5}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{5}{8}\) 
 b) \(\frac{3}{5}\) 
 c) \(\frac{7}{10}\) 
 d) \(\frac{4}{7}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{7}{10}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = x^3\), a integral se transforma em \(\int_0^1 
(1 - u)^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{1}{3} u^{\frac{2}{3}} \, du\), resultando em \(\frac{7}{10}\). 
 
54. **Problema 54**: Calcule a integral \(\int_0^1 (1 - 2x)^{\frac{3}{2}} \, dx\). 
 a) \(\frac{4}{15}\) 
 b) \(\frac{8}{15}\) 
 c) \(\frac{2}{15}\) 
 d) \(\frac{1}{15}\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{4}{15}\) 
 **Explicação**: Usando a substituição \(u = 1 - 2x\), a integral se transforma em 
\(\int_1^0 u^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{-1}{2} \, du\), resultando em \(\frac{4}{15}\).