livro 05

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BIOESTATÍSTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir o que é um teste de correlação.
 > Diferenciar as correlações: positiva, negativa e nula.
 > Identificar a partir da correlação o grau de associação entre as variáveis.
Introdução
A maior parte dos problemas do nosso cotidiano envolve a interação entre 
pelos menos duas variáveis. Medir a relação entre elas ajuda a compreender o 
comportamento dos dados e o que essa relação significa. Para isso, utiliza-se 
o coeficiente de correlação, que permite mensurar o grau de relacionamento 
entre duas variáveis. Ao gerar um gráfico de dispersão, caso os pontos das 
variáveis apresentem uma distribuição ao longo de uma reta imaginária, diz-se 
que os dados apresentam uma correlação linear.
Uma medida para avaliar o grau e o sinal da correlação linear entre duas 
variáveis (x, y) é dada pelo coeficiente de correlação linear de Pearson. 
Essa medida é relevante nas mais diversas áreas do conhecimento. Pode haver 
interesse, por exemplo, em saber se existe e como é a relação entre: i) o peso e 
a altura dos indivíduos; ii) o preço do vinho e o montante da colheita em cada 
ano; iii) a receita das vendas e os descontos fornecidos; iv) a renda e a despesa 
das famílias. Entre tantas outras.
Neste capítulo, você vai conhecer o teste de correlação, os tipos e subtipos 
de correlações existentes, bem como a utilidade de um teste de correlação. 
Além disso, a resolução de problemas aplicados utilizando o teste de correlação 
e os diagramas de dispersão permitirão avaliar cada situação particular.
Correlações
Cristiane da Silva
Propósito de um teste de correlação
A análise de correlação tem por propósito estudar o comportamento conjunto 
de duas ou mais variáveis. Em outras palavras, ela é uma técnica estatística 
que permite verificar se duas ou mais variáveis estão relacionadas umas 
com as outras. Tomando como exemplo a área da saúde, podemos saber se 
pessoas com índice de massa corporal (IMC) relativamente alto teriam uma 
frequência cardíaca maior, ou, se quanto maior a frequência cardíaca, maior o 
IMC. Neste caso, o coeficiente de correlação é bastante útil (MARTINEZ, 2015).
Por meio do teste de correlação é possível determinar o sentido e a 
intensidade da relação entre as variáveis, tópicos que serão abordados e 
aprofundados nas seções seguintes.
Antes de partir para o teste de correlação, pode-se realizar uma análise 
preliminar graficamente. Isso significa que, partindo de uma amostra de n 
elementos, conhecidos os valores x e y de duas variáveis — que geram pa-
res como pontos em um gráfico conhecido como diagrama de dispersão —, 
é possível identificar algum padrão de comportamento. Assim, temos alguma 
ideia sobre a relação entre as duas variáveis. Trata-se de uma inspeção visual 
dos dados (RAUPP, 2013). A Figura 1 apresenta diagramas de dispersão que 
permitem a realização dessa análise gráfica.
Figura 1. Diagramas de dispersão.
Fonte: Adaptada de zizou7/Shutterstock.com.
Para compreender melhor, considere o Quadro 1 e analise os gráficos de 
dispersão nas Figuras 2 e 3, em que temos dados fictícios que se referem aos 
percentuais de gordura corporal de 13 homens adultos.
Correlações2
Quadro 1. Percentuais de gordura corporal de homens conforme a idade
Idade Percentual
25 10,5
27 14,0
31 16,5
36 15,5
38 15,0
41 18,0
45 17,0
48 18,5
52 19,0
53 20,5
56 20,0
67 20,5
70 21,0
Figura 2. Diagrama de dispersão entre duas variáveis quantitativas.
Correlações 3
Figura 3. Diagrama de dispersão com linha de tendência linear.
A inspeção visual desses dados significa que existe uma relação positiva 
(direta) entre o percentual de gordura corporal (y) e a idade (x) dos homens 
que fazem parte da amostra investigada. Também pode-se dizer que a relação 
é linear. No entanto, apenas a inspeção visual não é suficiente. É necessária 
uma forma mais objetiva de fazer essa análise, utilizando o coeficiente de 
variação de Pearson.
Esse coeficiente foi elaborado para avaliar uma forma específica de relação 
entre duas variáveis contínuas, que é o grau de relação linear existente entre 
elas. Ele é conhecido como coeficiente de correlação de Pearson, coeficiente de 
correlação produto-momento ou, simplesmente, r de Pearson (BLAIR; TAYLOR, 
2013). O coeficiente de correlação é uma medida numérica da “força” da relação 
ou associação entre duas variáveis quantitativas contínuas (MARTINEZ, 2015).
Existem diversas equações para o cálculo do r de Pearson, mas algebrica-
mente elas são todas idênticas (BLAIR; TAYLOR, 2013). Aqui vamos representar 
o coeficiente de correlação de Pearson por meio da Equação 1:
=
∑ −
(∑ )(∑ )
∑ 2 −
(∑ )2
∑ 2 −
(∑ )2
 (1)
Correlações4
Em que n é o número de pares de dados, e a quantidade r mede a força e 
a direção de uma relação linear entre duas variáveis. Embora a fórmula seja 
extensa, atualmente o cálculo de r é facilmente realizado pelo computador, 
com o Excel (VIEIRA, 2018). Confira os exemplos a seguir.
Archaeopteryx é uma fera extinta que tinha penas, como um pássaro, 
mas tinha dentes e uma longa cauda de ossos, como um réptil. Apenas 
alguns espécimes de fóssil são conhecidos. Como eles diferem bastante em 
tamanho, alguns cientistas pensam que pertencem a espécies diferentes. 
Examinaremos alguns dados. 
Se alguns pertencem à mesma espécie e diferem em tamanho porque 
são mais jovens do que outros, deve haver uma relação linear entre os com-
primentos de pares de ossos de todos os indivíduos. Um valor atípico nessa 
relação sugeriria uma espécie diferente. Confira no quadro abaixo os dados 
dos comprimentos, em centímetros, do fêmur (osso da perna) e do úmero 
(osso da parte superior do braço) para cinco espécimes que preservaram 
ambos os ossos.
Fêmur 38 56 59 64 74
Úmero 41 63 70 72 84
Vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson por meio da fór-
mula e verificar como isso pode ser rapidamente calculado usando o Excel. 
Utilizando a fórmula, temos:
=
∑ −
(∑ )(∑ )
∑ 2 −
(∑ )2
∑ 2 −
(∑ )2
 
X Y XY X2 Y2
38 41 1558 1444 1681
56 63 3528 3136 3969
59 70 4130 3481 4900
(Continua)
Correlações 5
X Y XY X2 Y2
64 72 4608 4096 5184
74 84 6216 5476 7056
∑X = 291 ∑Y = 330 ∑XY = 20040 ∑X2 = 17633 ∑Y2 = 22790
Portanto, substituindo-se na fórmula, teremos:
=
20040 −
(291)(330)
5
17633 −
84681
5 22790 −
108900
5
 
=
20040 − 19206
[696,80][1010]
 
=
834
√703768
 
0,9941 
No Excel, para obter o coeficiente de correlação r, clicamos na “barra de 
ferramentas”, em “dados” e, depois, em “análise de dados”. Abrirá uma tela 
como a que vemos na Figura 4. Caso não esteja aparecendo a ferramenta de 
dados, leia as instruções ao final deste exemplo.
(Continuação)
Correlações6
Figura 4. Tela para obter a análise de correlação no Excel.
Nessa tela, selecionamos a ferramenta de correlação e clicamos em OK. 
Teremos a tela apresentada na Figura 5.
Figura 5. Tela para obter a análise de correlação no Excel.
Correlações 7
Na tela apresentada na Figura 5, devemos informar o intervalo de entrada 
dos dados (valores atribuídos a Fêmur e Úmero), incluindo toda a área em 
que se encontram os dados das duas variáveis. A seguir, devemos informar 
o formato em que os dados foram agrupados na nossa planilha; neste caso, 
em colunas. Devemos informar se selecionamos os rótulos, ou seja, os nomes 
das variáveis (Fêmur e Úmero). Além disso, escolhemos o local em que serão 
apresentados os resultados da análise. Preenchidas essas informações, 
clicamos em OK e obtemos o resultado apresentado na Figura 6.
Figura 6. Tela de resultados da análise de correlação no Excel.
O resultado da análise aparece em uma matriz de correlação. A diagonal 
principal dessa matriz é preenchida com números 1, pois ali estão coeficientes 
de correlação de cada variável com ela mesma. O Excel só preenche a parte de 
baixo da matriz, uma vez que ela é simétrica, ou seja, a correlação entre fêmur e 
úmero é a mesma correlação entre úmero e fêmur. Observamos que o coeficiente 
de correlação entrefêmur e úmero é de aproximadamente 0,9941. Nas seções 
seguintes, veremos como interpretar esses resultados (BALDI; MOORE, 2014).
Para fazer o teste de correlação no Excel, clique em “Dados” na barra 
de ferramentas e, depois, em “Análise de dados”. Para que dê certo, 
as “Ferramentas de análise” precisam estar selecionadas, na aba “Arquivo”, em 
“Opções” e “Suplementos”. Assim, uma caixa de diálogo será aberta.
Correlações8
Nesta seção, você conheceu a definição de correlação e o que é correlação 
linear simples. Além disso, com uma inspeção visual dos dados, foi possível 
identificar a correlação entre variáveis antes mesmo de calcular o coeficiente 
de correlação. O cálculo do coeficiente de correlação foi introduzido tanto por 
meio da fórmula matemática quanto pelo Excel. A seguir, você vai estudar os 
tipos de correlação (positiva, negativa e nula), bem como a sua intensidade: 
fraca, regular, forte, muito forte e perfeita. 
Tipos de correlação
O coeficiente de correlação (r) assume valores que podem variar entre –1 e 
+1. A partir dos valores e sinais observados para o coeficiente, definimos o 
tipo de correlação e a sua intensidade. Valores negativos de r indicam uma 
correlação do tipo inversa: na medida em que x aumenta, y em média diminui, 
e vice-versa. Já valores positivos de r indicam uma correlação do tipo direta: 
na medida em que x aumenta, y em média aumenta, e vice-versa (BALDI; 
MOORE, 2014; CALLEGARI-JACQUES, 2003; VIEIRA, 2018).
Quando todos os pontos do diagrama de dispersão estiverem em uma 
linha reta inclinada, significa que o valor de r será igual a –1 ou +1, o que se 
denomina correlação perfeita. Observe a Figura 7, que evidencia essa situação 
(BALDI; MOORE, 2014; CALLEGARI-JACQUES, 2003; VIEIRA, 2018).
Figura 7. Correlações perfeitas: (a) negativa; (b) positiva.
Fonte: Adaptada de zizou7/Shutterstock.com. 
–1 1
A B
Já quando não existe correlação entre x e y, os pontos se distribuem em 
nuvens circulares, como mostra a Figura 8.
Correlações 9
Figura 8. Correlação nula.
Fonte: Adaptada de zizou7/Shutterstock.com.
0
As associações com grau intermediário, em que o r está entre zero e |1|, 
apresentam-se como nuvens inclinadas de forma elíptica, sendo mais estreitas 
quanto maior for a correlação, como mostra a Figura 9.
Figura 9. Correlações (a) r = 0,8 (maior correlação positiva) e (b) r = 0,6 (menor correlação 
positiva).
Fonte: Adaptada de Callegari-Jacques (2003).
A B
Nos casos em que os pontos formam uma nuvem cujo eixo principal é uma 
curva, o valor de r não mede corretamente a associação entre as variáveis. 
Isso ocorre porque a técnica para calcular esse coeficiente supõe que os 
pontos do gráfico formam nuvens elípticas, cujo eixo principal é uma reta. 
Observe a Figura 10.
Correlações10
Highlight
Figura 10. Ausência de correlação linear.
Fonte: Adaptada de Callegari-Jacques (2003).
Podemos avaliar o grau de correlação entre duas variáveis quanto à sua 
intensidade usando o critério apresentado no Quadro 2.
Quadro 2. Avaliação qualitativa do grau de correlação entre duas variáveis
|r| A correlação é dita:
0 nula
0 — 0,3 fraca
0,3| — 0,6 regular
0,6| — 0,9 forte
0,9 |— 1 muito forte
1 plena/perfeita
Fonte: Adaptado de Callegari-Jacques (2003, p. 90).
Nesta seção, conhecemos os tipos de correlação (inversa, direta e nula), 
os valores que o coeficiente de correlação (r) pode assumir e vimos como 
avaliar o grau de correlação entre duas variáveis quanto à sua intensidade. 
Vimos que r pode ser positivo, negativo ou nulo, e seu módulo pode ser de 
intensidade fraca, regular, forte, muito forte ou plena. Na próxima seção, 
apresentaremos problemas aplicados que envolvem a identificação do grau 
de correlação a partir do cálculo de r e/ou da construção do diagrama de 
dispersão.
Correlações 11
Grau de associação entre as variáveis
Retomando os exemplos da primeira seção deste capítulo, que tratam dos 
percentuais de gordura corporal de homens conforme a idade e da análise de 
correlação entre o fêmur (osso da perna) e o úmero (osso da parte superior do 
braço) do Archaeopteryx, podemos avaliar o tipo e o grau de correlação entre 
as variáveis envolvidas em cada caso. Além desses exemplos, apresentaremos 
outra situação, em que o coeficiente de correlação pode ser utilizado na área 
de gestão e negócios.
Exemplo 1
Ao calcular o coeficiente de correlação para os percentuais de gordura corporal 
de homens conforme a idade, chegamos ao resultado apresentado na Figura 11.
Figura 11. Coeficiente de correlação para os percentuais de gordura corporal de homens 
conforme a idade.
O diagrama de dispersão evidencia uma tendência linear positiva, o que 
significa que existe uma correlação direta. O sinal do coeficiente de correlação 
positivo entre a idade e o percentual de gordura corporal dos homens da 
amostra reforça a observação feita por meio da inspeção visual gráfica. Além 
disso, essa correlação pode ser classificada como de muito forte intensidade, 
uma vez que r = 0,9000316. Isso porque, para valores do 0,9 ≤ |r|BALDI, B.; MOORE, D. S. A prática da estatística nas ciências da vida. 2. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2014.
BLAIR, R. C.; TAYLOR, R. A. Bioestatística para ciências da saúde. São Paulo: Pearson, 2013.
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 
2003.
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. 
Porto Alegre: AMGH, 2014. 
MARTINEZ, E. Z. Bioestatística para os cursos de graduação da área da saúde. São 
Paulo: Blucher, 2015.
RAUPP, C. A. F. Método quantitativo com o uso de software. São Leopoldo: Unisinbos, 2013.
VIEIRA, S. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Cengage, 2018.
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