Cálculo Numérico e Matrizes

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IFMG – Campus Congonhas
LISTA 1 de Cálculo Numérico
1. Considere a série para o número e =
∞!
n=0
1
n!
.
(a) Escreva um algoritmo para calcular o valor aproximado de e com os t primeiros termos
da série.
(b) Obtenha a complexidade do seu algoritmo fornecendo o número de adições (incluindo
subtrações), multiplicações e divisões em função do número t.
(c) Implemente o algoritmo em uma linguagem de programação e aproxime o valor de e com
diversos valores de t.
(d) Quantos termos da série são necessários para aproximar e com 10 dígitos de precisão?
2. Recorde que a representação de um número em ponto flutuante é dada por:
±.d1d2d3 . . . dp × Be,
onde di’s são os dígitos da parte fracionária, tais que 0 ≤ di ≤ B − 1, d1 ∕= 0, B é o valor da
base, p é o número de dígitos e e é um expoente inteiro.
Então considere um computador hipotético com dois dígitos (p = 2), base B = 10 e expoente
na faixa −5 ≤ e ≤ 5.
(a) Qual o maior número representável nesse computador?
(b) Qual o menor número positivo representável nesse computador?
(c) Some 4.32 e 0.064.
(d) Subtraia 371 de 372.
(e) Some 571 e 2.81.
(f) Multiplique 1234 por 0.016.
(g) Multiplique 345 por 0.02.
(h) Divida 0.0064 por 7312.
3. Considere a matriz
A =
"
6 −5
3 −2
#
.
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Qual é o posto de A?
(c) Obtenha a inversa A−1.
(d) Obtenha o polinômio característico de A.
(e) Calcule os autovalores de A.
(f) Calcule os autovetores de A.
(g) Obtenha os autovalores de A−1.
(h) Verifique que vTAv > 0 para todo v ∕= 0.
(i) Classifique a matriz A de acordo com a sua forma quadrática.
(j) Verifique o determinante de A é o produto de seus autovalores.
(k) Verifique que o traço de A é igual à soma dos seus autovalores.
(l) Calcule ‖A‖1.
(m) Calcule ‖A‖∞.
(n) Calcule ‖A‖F .
(o) Calcule ‖A‖2.
4. O comando help fornece informações sobre os comandos que estão embutidos no Octave. Por
exemplo, ao digitar help det no prompt de comando e, em seguida, pressionar enter, o Octave
fornecerá as informações sobre o comando det.
Verifique os seguintes comandos embutidos do Octave para uma dada matriz quadrada: det,
rank, inv, eig, trace e norm.
5. Considere o seguinte sistema linear Ax = b,
$
%%&
−2 3 1 5
5 1 −1 0
1 6 3 −1
4 5 2 8
'
(()
$
%%&
x1
x2
x3
x4
'
(() =
$
%%&
2
−1
0
6
'
(() .
(a) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss sem pivotação parcial usando 4 dígitos signi-
ficativos.
(b) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
(c) Calcule o determinante de A.
(d) Resolva o sistema pela eliminação de Gauss com pivotação parcial usando 4 dígitos signi-
ficativos.
(e) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
(f) Compare a exatidão dos resultados da solução com e sem o uso da pivotação parcial.
6. Considere o sistema linear Ax = b,
$
%%&
4 −1 3 8
1 6 2 −3
5 5 1 0
2 4 −2 1
'
(()
$
%%&
x1
x2
x3
x4
'
(() =
$
%%&
43
7
18
8
'
(() .
(a) Resolva o sistema pela decomposição LU usando 4 dígitos significativos.
(b) Obtenha o resíduo r.
(c) Calcule o determinante de A.
7. Considere o seguinte sistema linear Ax = b,
$
&
2 6 −3
1 3.001 2
4 −1 9
'
)
$
&
x1
x2
x3
'
) =
$
&
5
9
29
'
) .
(a) Resolva o sistema pela decomposição LU usando 4 dígitos significativos.
(b) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
(c) Calcule o determinante de A.
(d) Resolva o sistema pela decomposição PA = LU usando 4 dígitos significativos.
(e) Obtenha o resíduo r da solução obtida no item anterior.
(f) Compare a exatidão dos resultados.
8. Considere o sistema linear Ax = b,
$
%%&
2 1 −2 0
1 10 5 1
−2 5 8 4
0 1 4 6
'
(()
$
%%&
x1
x2
x3
x4
'
(() =
$
%%&
1
0
11
21
'
(() .
(a) Resolva o sistema linear pela decomposição de Cholesky usando 4 dígitos decimais.
(b) Obtenha o resíduo r.
(c) Calcule o determinante de A.
9. Sejam o sistema Ax = b,
$
&
5 −2 3
−2 10 4
3 4 20
'
)
$
&
x1
x2
x3
'
) =
$
&
31
−10
81
'
)
e o fator de Cholesky de A dado por
L =
$
&
2.24 0 0
−0.89 3.03 0
1.34 1.71 3.91
'
) .
Utilizando a decomposição de Cholesky:
(a) Calcule e refine a solução até que o fator de correção c seja tal que ‖c‖∞