Questões resolvidas
Determine o valor de \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).
A) \( \sqrt{\pi} \)
B) \( 1 \)
C) \( 2 \)
D) \( \pi \)
Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4 \).
A) \( 5x^4 - 15x^2 \)
B) \( 4x^3 - 15x^2 + 4 \)
C) \( 4x^2 - 15x \)
D) \( 5x^4 + 15x^2 \)
Encontre a integral \(\int (3x^2 + 5) \, dx\).
A) \( x^3 + 5x + C \)
B) \( \frac{3}{3}x^3 + 5x + C \)
C) \( \frac{3}{2}x^2 + 5 + C \)
D) \( 3x^3 + 5 + C \)
Qual é a soma das raízes da equação \( ax^2 + bx + c = 0 \)?
A) \( -\frac{b}{a} \)
B) \( \frac{-b}{2a} \)
C) \( \frac{c}{a} \)
D) \( b \)
Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \).
A) \( 1 \)
B) \( 0 \)
C) \( \infty \)
D) \( -1 \)
Calcule a integral \(\int x e^{2x} \, dx\) utilizando integração por partes.
A) \( \frac{1}{2} e^{2x}(x - 1) + C \)
B) \( e^{2x}(x - \frac{1}{2}) + C \)
C) \( -\frac{1}{2} e^{2x}(x + 1) + C \)
D) \( e^{2x}(x + 1) + C \)
Encontre o integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\).
A) \( \tan^{-1}(x) + C \)
B) \( \arccos(x) + C \)
C) \( \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C \)
D) \( \frac{x^2}{2} + C \)
Determine a integral \(\int \sin^2(x) \, dx\).
A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
B) \( -\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
C) \( \frac{x}{4} - \cos(x) + C \)
D) \( \frac{x}{2} + \cos(x) + C \)
Qual é a integral de \( \int x^3 \, dx \)?
A) \( \frac{1}{4} x^4 + C \)
B) \( \frac{1}{3} x^4 + C \)
C) \( x^4 + C \)
D) \( \frac{1}{2} x^4 + C \)
Resolva a equação \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).
A) \( y = Ce^{2x} \)
B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} \)
C) \( y = Ce^{4x} \)
D) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x} \)
Encontre \( \int_0^1 (x^n) \, dx \) para \( n \ge 0 \).
A) \( \frac{1}{n+1} \)
B) \( \frac{1}{n} \)
C) \( 1 \)
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C) \( e^{2x} \left(\cos(3e^{2x}) + C \right) \)
D) \( e^{x}(\sin(3e^{x}) - C) \)
Resposta: C
Explicação: A integral pode ser resolvida usando a integração por partes ou substituição
com as fórmulas padrão.
41. Determine o valor de \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\).
A) \( \sqrt{\pi} \)
B) \( 1 \)
C) \( 2 \)
D) \( \pi \)
Resposta: A
Explicação: O integral é uma das mais conhecidas e é igual a \( \sqrt{\pi} \).
42. Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4 \).
A) \( 5x^4 - 15x^2 \)
B) \( 4x^3 - 15x^2 + 4 \)
C) \( 4x^2 - 15x \)
D) \( 5x^4 + 15x^2 \)
Resposta: A
Explicação: Aplicamos a regra da potência: \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \).
43. Encontre a integral \(\int (3x^2 + 5) \, dx\).
A) \( x^3 + 5x + C \)
B) \( \frac{3}{3}x^3 + 5x + C \)
C) \( \frac{3}{2}x^2 + 5 + C \)
D) \( 3x^3 + 5 + C \)
Resposta: A
Explicação: A primitiva é obtida aplicando a regra da potência para cada termo.
44. Qual é a soma das raízes da equação \( ax^2 + bx + c = 0 \)?
A) \( -\frac{b}{a} \)
B) \( \frac{-b}{2a} \)
C) \( \frac{c}{a} \)
D) \( b \)
Resposta: A
Explicação: Pela fórmula de Vieta, a soma das raízes é igual a \( -\frac{b}{a} \).
45. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \).
A) \( 1 \)
B) \( 0 \)
C) \( \infty \)
D) \( -1 \)
Resposta: A
Explicação: Utilizando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}
= 1 \).
46. Calcule a integral \(\int x e^{2x} \, dx\) utilizando integração por partes.
A) \( \frac{1}{2} e^{2x}(x - 1) + C \)
B) \( e^{2x}(x - \frac{1}{2}) + C \)
C) \( -\frac{1}{2} e^{2x}(x + 1) + C \)
D) \( e^{2x}(x + 1) + C \)
Resposta: A
Explicação: Aplicamos \( u = x \) e \( dv = e^{2x} dx \) e calculamos a integral resultante.
47. Encontre o integral de \(\frac{1}{x^2 + 1}\).
A) \( \tan^{-1}(x) + C \)
B) \( \arccos(x) + C \)
C) \( \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C \)
D) \( \frac{x^2}{2} + C \)
Resposta: A
Explicação: A integral é uma antiderivada conhecida que resulta em \( \tan^{-1}(x) + C \).
48. Determine a integral \(\int \sin^2(x) \, dx\).
A) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
B) \( -\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
C) \( \frac{x}{4} - \cos(x) + C \)
D) \( \frac{x}{2} + \cos(x) + C \)
Resposta: A
Explicação: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) para resolver a
integral.
49. Qual é a integral de \( \int x^3 \, dx \)?
A) \( \frac{1}{4} x^4 + C \)
B) \( \frac{1}{3} x^4 + C \)
C) \( x^4 + C \)
D) \( \frac{1}{2} x^4 + C \)
Resposta: A
Explicação: A regra da potência informa que, para qualquer \( n \neq -1\), \( \int x^n \, dx =
\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
50. Resolva a equação \( y'' - 4y' + 4y = 0 \).
A) \( y = Ce^{2x} \)
B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} \)
C) \( y = Ce^{4x} \)
D) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x} \)
Resposta: B
Explicação: As raízes da equação característica são duplicadas, levando à solução geral
com um termo adicional linear.
51. Encontre \( \int_0^1 (x^n) \, dx \) para \( n \ge 0 \).
A) \( \frac{1}{n+1} \)
B) \( \frac{1}{n} \)
C) \( 1 \)Mais conteúdos dessa disciplina
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