letras BDEI

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**Resposta:** A) \(\frac{1}{3} e^{x^3} + C\) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \(u = x^3\), então \(du = 3x^2 dx\). A integral se 
torna \(\frac{1}{3} e^{u} + C\). 
 
38. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}\)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 2\), então o limite é 2. 
 
39. **Qual é a equação da reta tangente à curva \(y = x^4 - 4x^2\) no ponto \(x = 1\)?** 
 A) \(y = -2x + 2\) 
 B) \(y = 2x - 2\) 
 C) \(y = -4x + 4\) 
 D) \(y = 4x - 4\) 
 **Resposta:** C) \(y = -4x + 4\) 
 **Explicação:** A derivada \(y' = 4x^3 - 8x\) em \(x = 1\) dá uma inclinação de -4. O ponto 
na curva é \(y(1) = -3\). A equação da reta é \(y + 3 = -4(x - 1)\), simplificando para \(y = -4x + 
4\). 
 
40. **Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx\)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** A integral se torna \(\left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = 
\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} = 1\). 
 
41. **Qual é o resultado da integral \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 A) 1 
 B) \(\frac{5}{3}\) 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** B) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** A integral se torna \(\left[ x^3 - x^2 + x \right]_1^2 = (8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) 
= 5 - 1 = 4\). 
 
42. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \(e\) 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este limite é uma aplicação da definição da derivada de \(e^x\) em \(x = 
0\), que é \(e^0 = 1\). 
 
43. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 B) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 C) \(\frac{1}{2x}\) 
 D) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
44. **Qual é o valor da integral \(\int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) \, dx\)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** D) 3 
 **Explicação:** A integral se torna \(\left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 
1 + 1 = 3\). 
 
45. **Qual é o resultado da integral \(\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\)?** 
 A) 1 
 B) \(\ln(e)\) 
 C) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 D) 0 
 **Resposta:** C) \(\ln(e) - \ln(1)\) 
 **Explicação:** A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\). Avaliando de \(1\) a \(e\), temos 
\(\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\). 
 
46. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 3 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 3\), então o limite é 3. 
 
47. **Qual é a equação da reta normal à curva \(y = x^2\) no ponto \(x = 2\)?** 
 A) \(y = -\frac{1}{2}x + 2\) 
 B) \(y = -2x + 4\) 
 C) \(y = -\frac{1}{4}x + 2\) 
 D) \(y = 2x + 1\) 
 **Resposta:** B) \(y = -2x + 4\) 
 **Explicação:** A derivada \(y' = 2x\) em \(x = 2\) dá uma inclinação de 4. A inclinação da 
normal é \(-\frac{1}{2}\). Usando a forma ponto-inclinação, \(y - 4 = -2(x - 2)\), 
simplificando para \(y = -2x + 4\). 
 
48. **Qual é o valor de \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 3x) \, dx\)?** 
 A) 0