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MATEMÁTICA- Números 
complexos e Polinômios. 
 
 
 
A imagem representada acima foi gerada por 
um caleidoscópio, artefato formado por pedaços de 
vidro de diversas cores e colocados entre dois ou 
três espelhos planos. Esses pedaços de vidro 
colorido formam desenhos extremamente belos, que 
se modificam, simetricamente, a mais leve oscilação 
do caleidoscópio. Esse artefato, cuja simetria e 
chamada oitavada, ao ser rotacionado de π/4 
radianos, fornece a mesma imagem anteriormente 
apresentada. Na figura, estão traçados eixos 
cartesianos ortogonais xOy; cada ponto (x, y) do 
plano esta identificado com um numero complexo z 
= x + iy, em que i e a unidade imaginaria (i2 = -1), e 
os pontos z1, z2, ..., z8 correspondem as raízes da 
função polinomial p(z) = z8 - 1. 
 
1. (UnB-1º2013) Entre as raízes da função p, 
estão (cos(3π/2), sen(3π/2)) e . 
2. (UnB-1º2013) O gráfico da função real g(x) 
= x8 - 1, em que x é um número real, 
intercepta os eixos coordenados 
exatamente duas vezes. 
3. (UnB-1º2013) Duas raízes da função p 
pertencem ao gráfico da reta 2y = x + 1. 
4. (UnB-1º2013) O número é 
imaginário puro. 
5. (UnB-1º2013) Se cada número complexo na 
figura fosse multiplicado por z2, a imagem 
resultante seria a mesma. 
6. (UnB-1º2013) Todas as raízes zi, 1 ≤ i ≤ 8 
podem ser escritas na forma zi = ρn, em 
que ρ e uma dessas raízes e n = 1, 2, ..., 8. 
7. (UnB-1º2013) Quaisquer três raízes da 
função p são vértices de um triangulo 
isósceles. 
8. (UnB-1º2013) A expressão |z6 + z7|2 -|z6 - 
z8| e igual a 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 
 
 
Para identificar as regiões afetadas por um 
tsunami, estudiosos utilizaram um plano complexo 
traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, 
local onde foi colocada a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme 
ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é 
identificado com um número complexo z = x + i y, 
em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, 
i2 = -1, e as distâncias são medidas em centímetros. 
O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a 
origem do tremor que gerou o tsunami, que afetou 
principalmente as cidades de Sendai, localizada em 
S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, 
14). 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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Tendo como referência as informações acima, 
julgue os itens. 
9. (UnB-2º2012) Para localizar o ponto S no 
plano complexo representado no mapa 
acima, é suficiente multiplicar o número 
complexo corresponde a T pela unidade 
imaginária i. 
10. (UnB-2º2012) Existe um número complexo 
z = ρ (cos 60º + i sen 60º), em que ρ é uma 
constante real positiva, que pertence ao 
segmento de reta de extremidades T e S. 
 
 
A figura acima ilustra um triângulo equilátero 
ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 
centrada na origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) 
é identificado com o número complexo z = x + iy. 
Esse triângulo foi obtido a partir da representação 
plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posicionados nos 
seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se 
na origem. 
Com base nessas informações e considerando o 
centímetro como a unidade de medida de 
comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. 
11. (UnB-1º2012) Se z1 corresponde ao ponto 
C e se z2 corresponde ao ponto B, então 
 
 
 
GABARITO 
1. C 
2. E 
3. E 
4. C 
5. C 
6. C 
7. E 
8. B 
9. E 
10. C 
11. C 
MATEMÁTICA- Polinômios. 
 
Um apicultor, ao perceber o desaparecimento 
de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a 
quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa 
correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando 
técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas 
restantes da colmeia para o interior de uma caixa 
cercada por uma tela. O apicultor observou que as 
abelhas entravam na caixa de modo bastante 
peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava 
uma; depois, mais três de uma única vez; logo em 
seguida, mais cinco ao mesmo tempo; 
imediatamente após, entravam sete, e, assim, 
sucessivamente. Para obter controle sobre o 
processo, ele anotou a quantidade de abelhas que 
entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da 
caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, 
contou 400 abelhas dentro da caixa. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item. 
1. (UnB-2º2012) Em algum momento, a 
quantidade total de abelhas na caixa foi 
exatamente igual a uma das raízes do 
polinômio p(x) = x³ - 7x - 6. 
 
 
 
A figura acima ilustra um triângulo equilátero 
ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 
centrada na origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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é identificado com o número complexo z = x + iy. 
Esse triângulo foi obtido a partir da representação 
plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posicionados nos 
seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se 
na origem. 
Com base nessas informações e considerando o 
centímetro como a unidade de medida de 
comprimento, em ambos os eixos, julgue os itens. 
2. (UnB-1º2012) Os vértices A, B e C 
correspondem às raízes complexas do 
polinômio f(z) = z3 – 8. 
 
Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 
13 anos de idade, após ter analisado o papel das 
folhas das plantas como coletores solares naturais 
para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma 
inovadora maneira de dispor painéis solares de 
modo a otimizar a coleta de energia luminosa. 
Durante uma caminhada, ao observar as 
árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um 
ramo e os galhos em torno do caule apresentavam 
um padrão de crescimento espiralado ascendente 
que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 
8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela 
seguinte fórmula de recorrência: F1 = 1, F2 = 1 e, 
para n ≥ 3, Fn = Fn-1 + Fn-2. Essa distribuição das 
folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe 
melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à 
chuva e ao ar. 
Em 1874, o matemático inglês Wiesner 
concluiu que, para que as folhas em um caule de 
uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, 
o ângulo θ entre as folhas deveria ser 
aproximadamente igual a , que é 
conhecido como ângulo áureo, em que . 
 
 
 
	
  
A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. 
Após medir as posições dos galhos em várias 
árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, 
experimentos com pequenos coletores solares 
posicionados em uma armação metálica que imitava 
a configuração natural das folhas. Ele montou, 
ainda, uma quantidade igual de sensores e os 
dispôs em um painel, como é feito nos coletores 
comerciais. Com equipamentos simples, traçou 
gráficos comparativos daconclui-se que um navio com 
capacidade para retirar os resíduos das 
águas entre o litoral da Califórnia e o do 
Havaí eliminaria mais de 350 toneladas de 
lixo por dia. 
 
 
 
 
A figura acima ilustra o destino da radiação 
solar incidente sobre a atmosfera e a superfície 
terrestre. Uma alternativa para se melhorar o 
aproveitamento dessa energia é a utilização dos 
painéis de energia solar, os quais podem ser de 
dois tipos: térmicos ou voltaicos. Os térmicos 
transformam a radiação do Sol diretamente em 
energia térmica para o aquecimento de águas ou 
outros fins, e os voltaicos convertem a energia solar 
diretamente em corrente elétrica. 
3. (UnB-1º2012) A razão entre a radiação 
solar refletida e a incidente é inferior a 2/7. 
4. (UnB-1º2012) Parte dos 51% da energia 
absorvida pela superfície da Terra 
permanece retida na forma de biomassa. 
 
 
 
 
 
Na figura acima, são apresentadas duas 
curvas que relacionam o grau de seletividade de 
medicamentos com o distúrbio cardiovascular e o 
distúrbio gastrintestinal. Considere que, na figura, os 
medicamentos numerados de I a IV são indicados 
para o tratamento de inflamação na cavidade oral. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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5. (UnB-1º2012) Considerando-se que y 
representa distúrbio cardiovascular, que x 
representa a concentração da enzima COX-
1 no sangue e que essas grandezas sejam 
inversamente proporcionais, é correto 
afirmar que a relação entre x e y pode ser 
expressa por uma função do tipo 
, em que a, b, c e d são 
constantes reais com c ≠ 0 e ad - bc ≠ 0. 
 
O Google, mecanismo de buscas na Internet, 
indexa trilhões de páginas web, de modo que os 
usuários podem pesquisar as informações de que 
necessitarem usando palavras-chave e operadores. 
O funcionamento do Google é embasado em 
algoritmos matemáticos, que analisam a relevância 
de um sítio pelo número de páginas e pela 
importância dessas páginas. 
O nome Google é derivado de googol, 
número definido por 10^100, ou seja, o número 1 
seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se 
o googolplex, correspondente a 10googol, ou seja, o 
número 1 seguido de 10100 zeros. 
De acordo com dados do Google, o sítio mais 
acessado atualmente é o Facebook, a maior rede 
social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 
2011, o número de usuários dessa rede social 
passou de 598 milhões para 753 milhões. A 
previsão de receita do Facebook para 2011 é de 
4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% 
em relação a 2010. 
 
6. (UnB-1º2012) De agosto de 2010 a agosto 
de 2011, a taxa de crescimento da 
quantidade de usuários do Facebook foi 
inferior a 25%. 
 
 
 
 
A tabela acima mostra a relação quantidade 
de pacientes por milhão de habitantes que se 
submeteram, no ano de 2000, a transplantes de rim, 
fígado ou coração nos Estados Unidos da América 
(EUA), na Europa e na América Latina. Os dados da 
tabela estão reescritos, a seguir, em forma de 
matriz. 
 
 
 
7. (UnB-2º2011) Suponha que a taxa anual de 
crescimento populacional dos EUA entre 
2000 e 2010 tenha sido constante e igual a 
0,97%, que a população dos EUA era de 
310 × 106 habitantes em 2010 e que as 
proporções de transplantes por milhão de 
habitantes especificadas na tabela tenham-
se mantido para os EUA em 2010. Nessa 
situação, assumindo-se 1,101 como valor 
aproximado para 1,009710, é correto afirmar 
que, em 2010, foram realizados menos de 
2.500 transplantes de coração nos EUA. 
8. (UnB-2º2011) Se, em 2000, a taxa de 
transplante de rim por milhão de habitantes 
na América Latina tivesse sido 300% maior 
que a estabelecida na tabela, então essa 
taxa se igualaria à dos EUA naquele ano. 
	
  
	
  
Conta-se que, na lápide de Diofante de 
Alexandria, um dos principais inspiradores de Pierre 
de Fermat, havia a seguinte inscrição: 
Deus lhe concedeu a graça de ser um menino pela 
sexta 
parte de sua vida. Depois, por um doze avos, ele 
cobriu 
seu rosto com a barba. Em seguida, após a sétima 
parte, 
iluminou-se a luz do casamento e, 5 anos depois, 
Ele 
concedeu-lhe um filho. Ah! Criança tardia e má, 
depois de 
viver metade da vida de seu pai, o destino frio o 
levou. 
Após consolar sua mágoa em sua ciência dos 
números, por 
quatro anos, Diofante terminou sua vida. 
Simon	
  Singh.	
  O	
  último	
  teorema	
  de	
  Fermat	
  (com	
  adaptações).	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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9. (UnB-2º2011) Diofante morreu aos 
a) 64 anos de idade. 
b) 74 anos de idade. 
c) 84 anos de idade. 
d) 94 anos de idade. 
 
GABARITO 
1. C 
2. C 
3. E 
4. C 
5. E 
6. C 
7. C 
8. C 
 
MATEMÁTICA- Análise 
combinatória 
 
Nos períodos em que ocorrem interferências 
eletromagnéticas causadas por tempestades 
solares, a comunicação entre os robôs em Marte e 
os centros de comunicação espacial na Terra fica 
mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja 
lançado, em um desses períodos, de um laboratório 
na Terra até um de dois satélites — Y e Z — 
disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta 
Vermelho, apresenta 85% de chance de ser 
corretamente recebido pelo satélite Y, e 75% de ser 
corretamente recebido em Marte, a partir desse 
satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite 
Z, a chance de ele não ser completamente decifrado 
seria de 10%, e de 20% a de não ser perfeitamente 
recebido em Marte, após a transmissão feita a partir 
desse satélite. 
 
1. (UnB-2º2012) O número de maneiras 
distintas de escolher os satélites disponíveis 
para enviar cinco mensagens a Marte é 
superior a 30. 
 
 
 
A figura acima ilustra um triângulo equilátero 
ABC inscrito em uma circunferência de raio 2 
centrada na origem de um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais xOy, em que um ponto (x, y) 
é identificado com o número complexo z = x + iy. 
Esse triângulo foi obtido a partir da representação 
plana de uma molécula de amônia (NH3), na qual os 
três átomos de hidrogênio estão posicionados nos 
seus vértices e o átomo de nitrogênio encontra-se 
na origem. 
Com base nessas informações e considerando o 
centímetro como a unidade de medida de 
comprimento, em ambos os eixos, julgue o item. 
 
2. (UnB-1º2012) Considerando-se 10 pontos 
distintos sobre a circunferência em questão, 
com vértices nesses pontos, a quantidade 
de triângulos que é possível formar é 
superior à de heptágonos convexos. 
 
Produtos de limpeza, como sabão, 
detergente, desentupidor de pia e alvejante, 
geralmente utilizados em residências, apresentam, 
na sua composição, compostos como hidróxido de 
sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio (NaClO). A esse 
respeito, julgue o item. 
3. (UnB-1º2012) O número de maneiras 
distintas de escolher 5 tipos de sabão em 
pó entre 8 opções disponíveis na prateleira 
de um supermercado é igual a 23 × 32 × 11. 
 
O Google, mecanismo de buscas na Internet, 
indexa trilhões de páginas web, de modo que os 
usuários podem pesquisar as informações de que 
necessitarem usando palavras-chavee operadores. 
O funcionamento do Google é embasado em 
algoritmos matemáticos, que analisam a relevância 
de um sítio pelo número de páginas e pela 
importância dessas páginas. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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O nome Google é derivado de googol, 
número definido por 10^100, ou seja, o número 1 
seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se 
o googolplex, correspondente a 10googol, ou seja, o 
número 1 seguido de 10100 zeros. 
De acordo com dados do Google, o sítio mais 
acessado atualmente é o Facebook, a maior rede 
social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 
2011, o número de usuários dessa rede social 
passou de 598 milhões para 753 milhões. A 
previsão de receita do Facebook para 2011 é de 
4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% 
em relação a 2010. 
 
4. (UnB-1º2012) A quantidade de anagramas 
da palavra googolplex que começam por 
consoante é superior a 105. 
 
 
Considere que a população de Paris era de 
2,0 × 106 habitantes em 2000. Suponha que, 
naquele ano, foram realizados, ao todo, 54 
transplantes de rim, 20 de fígado e 8 de coração. 
Suponha, ainda, que, dos pacientes dessa cidade 
que se submeteram a transplante de rim, fígado ou 
coração em 2000, 12 submeteram-se apenas a 
transplante de fígado e rim e, os demais, a 
transplante de um único órgão. Considere, também, 
que um arquivo de uma instituição de saúde 
contenha apenas os prontuários dos pacientes que 
se submeteram a esses procedimentos em 2000. 
Com base nessas informações, julgue os itens a 
seguir. 
5. (UnB-2º2011) A quantidade de maneiras 
distintas de se escolherem 4 prontuários do 
arquivo de modo que, no máximo, dois 
deles sejam de pacientes que se 
submeteram a dois transplantes é inferior a 
9 x 105. 
	
  
GABARITO 
1. C	
  
2. C	
  
3. E	
  	
  
4. E	
  
5. E	
  
MATEMÁTICA- 
Probabilidade. 
 
 
 
Na figura acima, estão representados pares 
de cromossomos homólogos de uma fêmea e de um 
macho de uma espécie animal imaginaria, que 
formam o casal Z, e, na tabela, estão indicados os 
significados dos símbolos usados na figura. 
 
1. (UnB-1º2013) Suponha que o casal Z tenha 
uma ninhada de 15 filhotes. Suponha, 
ainda, que esses filhotes sejam separados 
em três grupos: I, II e III. Considere que o 
grupo I seja formado por quatro filhotes 
verdes e um roxo; o grupo II, por dois 
verdes e três laranjas; e o grupo III, por um 
verde, um laranja e três roxos. Considere, 
ainda, que se tenha retirado aleatoriamente 
um filhote desses grupos e que ele era 
verde. A probabilidade de o filhote ter sido 
retirado do grupo II e de 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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A figura acima ilustra a situação denominada 
“efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias 
pecas de domino apoiadas no chão sobre sua 
menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas 
as demais caem sequencialmente, uma após a 
outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma 
infinidade de pecas de domino tenha sido 
corretamente emparelhada em uma única fileira e 
que a cada uma delas tenha sido atribuído um 
numero inteiro positivo, de acordo com a ordem em 
que elas caiam. Assim, por exemplo, a peça de 
numero 13 e a décima terceira a cair. Nesse arranjo, 
a primeira peca e amarela, as pecas 
correspondentes a números primos são vermelhas e 
as demais são pretas. 
É relevante saber que o jogo de domino 
duplo-6 e constituído de pecas na forma de 
retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, 
e cada metade do retângulo e marcada com um a 
seis pontos (indicando valores numéricos) ou 
nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 
0 ≤ i, j ≥ 6 — significa que uma metade do retângulo 
e marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. 
Nessa notação, as pecas do dominó são: 0-0; 0-1; 
0-2; ...; 0-6; 1-1; 1-2; ...; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo 
estão ilustradas algumas pecas desse jogo. 
 
 
 
2. (UnB-1º2013) Escolhendo-se 
aleatoriamente uma peca de um jogo de 
domino duplo-6, e superior a 0,15 a 
probabilidade de que essa peca seja uma 
em que a soma dos números de pontos 
marcados é igual a 6. 
 
Nos períodos em que ocorrem interferências 
eletromagnéticas causadas por tempestades 
solares, a comunicação entre os robôs em Marte e 
os centros de comunicação espacial na Terra fica 
mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja 
lançado, em um desses períodos, de um laboratório 
na Terra até um de dois satélites — Y e Z — 
disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta 
Vermelho, apresenta 85% de chance de ser 
corretamente recebido pelo satélite Y, e 75% de ser 
corretamente recebido em Marte, a partir desse 
satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite 
Z, a chance de ele não ser completamente decifrado 
seria de 10%, e de 20% a de não ser perfeitamente 
recebido em Marte, após a transmissão feita a partir 
desse satélite. 
 
3. (UnB-2º2012) Supondo-se que, no envio de 
duas mensagens a Marte, seja utilizado o 
satélite Y, conclui-se que pelo menos uma 
dessas mensagens chegará corretamente 
ao seu destino final. 
4. (UnB-2º2012) É superior a 70% a chance 
de uma mensagem do laboratório ser 
recebida corretamente em Marte por 
intermédio do satélite Z. 
5. (UnB-2º2012) Considere que uma 
mensagem tenha sido enviada da Terra 
para Marte tanto pelo satélite Y quanto pelo 
satélite Z. A partir das informações 
apresentadas no texto, calcule a 
probabilidade de o sinal ser corretamente 
recebido pelo menos uma vez em Marte. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   29 
Multiplique o resultado encontrado por 
1.000. Para a marcação no Caderno de 
Respostas, despreze, caso exista, a parte 
fracionária do resultado obtido, após ter 
efetuado todos os cálculos solicitados. 
 
 
 
 
 
Uma equipe de pesquisa de mercado 
conduziu, durante vários meses, um levantamento 
para determinar a preferência dos consumidores em 
relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e 
marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 
pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, 
a marca 2. Com base no levantamento inicial, a 
equipe compilou a seguinte estatística: 
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% 
mudaram para a marca 2; 
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% 
mudaram para a marca 1. 
 
Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
P = (pij) = , em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, 
representa a probabilidade do consumidor da marca 
j consumir a marca i após um mês, supondo-se que 
tais probabilidades sejammantidas constantes de 
um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a 
fórmula de recorrência Xk+1 = P.Xk, k ≥ 0, em que 
 representa a distribuição, no mercado, 
ao final do mês k, dos usuários de cada detergente 
pesquisados; ak e bk representam os percentuais de 
usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no 
referido período. 
 
6. (UnB-1º2012) A probabilidade de um 
consumidor do detergente da marca 1 
comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês é 
superior a 50%. 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Considere que a população de Paris era de 
2,0 × 106 habitantes em 2000. Suponha que, 
naquele ano, foram realizados, ao todo, 54 
transplantes de rim, 20 de fígado e 8 de coração. 
Suponha, ainda, que, dos pacientes dessa cidade 
que se submeteram a transplante de rim, fígado ou 
coração em 2000, 12 submeteram-se apenas a 
transplante de fígado e rim e, os demais, a 
transplante de um único órgão. Considere, também, 
que um arquivo de uma instituição de saúde 
contenha apenas os prontuários dos pacientes que 
se submeteram a esses procedimentos em 2000. 
Com base nessas informações, julgue os itens a 
seguir. 
 
7. (UnB-2º2011) Se, no primeiro dia do ano 
de 2001, um repórter entrevistasse, ao 
acaso, um indivíduo em Paris, então a 
probabilidade de esse indivíduo ser um dos 
pacientes que se submeteram, no ano 
anterior, a transplante de algum dos três 
órgãos referidos é inferior a 4 x 10-5. 
8. (UnB-2º2011) Suponha que dois prontuários 
sejam selecionados do arquivo de modo 
aleatório. Nesse caso, a probabilidade de 
pelo menos um desses prontuários se 
referir a paciente que se submeteu a 
transplante de coração é igual a 524/2415. 
9. (UnB-2º2011) Suponha que um médico 
tenha retirado um prontuário do arquivo e 
constatado que esse prontuário era de um 
paciente que se submetera a transplante de 
fígado. Suponha, ainda, que o médico, sem 
ter devolvido o prontuário ao arquivo, tenha 
retirado, de forma aleatória, um segundo e 
um terceiro prontuários para analisar as 
informações ali contidas. Nesse caso, a 
probabilidade de os dois últimos prontuários 
serem de pacientes que se submeteram a 
transplante de coração é superior a 0,01. 
 
 
 
GABARITO 
1. A 
2. E 
3. E 
4. C 
5. 898 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   30 
6. E 
7. C 
8. C 
9. Ccaptação solar e observou 
que sua árvore solar captava 20% mais energia que 
o painel plano comum. 
O	
  Globo,	
  20/8/2011	
  (com	
  adaptações).	
  
 
3. (UnB-1º2012) Se α e β são as raízes 
positiva e negativa, respectivamente, do 
polinômio f(x) = x2 - x - 1, então α3 – β3 = √5 
F3. 
 
No século XIX, cientistas observaram que o 
comportamento e a descrição do átomo de Dalton 
não se enquadravam no sistema newtoniano de 
princípios físicos e não explicavam o 
comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas 
de investigação consistiu em aplicar descargas 
elétricas em um tubo que continha gás em pequena 
quantidade e em observar as emissões 
eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir 
fluorescência na incidência em certos materiais. 
Descobriu-se, depois, que a frequência das 
emissões chamadas de raios X era proporcional ao 
número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a 
equação de Moseley, f = (2,47× 1015) × (Z − 1)2 , em 
que f representa a, frequência de emissão relativa 
às transições eletrônicas ocorridas na camada 
eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a 
seguir mostra o espectro de emissão de raios X 
proveniente do bombardeamento de um feixe de 
elétrons em determinado alvo metálico. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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4. (UnB-2º2011) A equação I(λ) = 1 tem, pelo 
menos, quatro raízes reais. 
 
	
  
GABARITO 
1. E	
  	
  
2. C	
  
3. C	
  
4. C	
  
MATEMÁTICA- Geometria 
espacial. 
 
Considere que, pelo movimento de rotação, 
durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha 
o formato de um cone reto, de altura H e raio da 
base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a 
superfície do sétimo continente corresponde à base 
do cone, a qual está virada para cima. 
 
 
 
1. (UnB-1º2013) Se a base do cone 
permanecer horizontal e os seus 10 m mais 
profundos representarem 1% do seu volume 
total, então a altura H será maior que 50 m. 
2. (UnB-1º2013) Sabendo-se que a área da 
superfície do sétimo continente e de 3,4 × 
106 km2 e tomando 3,14 como valor 
aproximado de π, conclui-se que o raio R 
da base do cone é maior que 1.000 km. 
 
 
 
Na situação ilustrada acima, uma criança faz 
quicar uma bola iluminada por uma fonte de luz 
pontual, que, posicionada no ponto P, projeta a 
sombra da bola no chão. Considere que a bola e 
uma esfera, o chão e um plano horizontal e, 
portanto, a sombra da bola é uma região delimitada 
por uma elipse. A respeito das propriedades físicas 
e geométricas envolvidas nesse fenômeno, julgue o 
item: 
3. (UnB-1º2013) Se a fonte de luz e o centro 
da bola pertencerem a mesma reta vertical 
ao chão e estiverem, respectivamente, a 3 
m e 1,5 m do chão, então a sombra formada 
no chão terá área igual a 4πR2, em que R e 
o raio da bola. 
4. (UnB-1º2013) Considere que a fonte de luz 
e o centro da bola pertençam à mesma reta 
vertical ao chão (plano). Considere, ainda, 
que o cone com vértice na fonte de luz e 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   5 
cuja base corresponde à região da sombra 
da bola no chão seja um cone circular 
equilátero de geratriz igual a 1223 cm. 
Nessa situação, em que a bola esta inscrita 
no cone, o volume da bola e inferior a 280π 
cm3. 
 
 
 
 
 
Considere que o planeta Marte seja 
representado por uma esfera perfeita de raio R, 
conforme ilustra a figura acima. As circunferências α 
e β correspondem a um meridiano fixado e ao 
equador do planeta, respectivamente. Elas são 
circunferências máximas, porque têm o mesmo raio 
R da esfera que as contém. A circunferência 
(representa um paralelo, com latitude de 45º ao 
norte. Os pontos F, E e D estão alinhados e 
identificam o centro e os polos sul e norte do 
planeta, respectivamente. Sabendo que a menor 
distância entre dois pontos sobre a superfície da 
esfera é obtida ao longo de um dos arcos de 
circunferência máxima que ligam esses pontos, 
julgue os itens seguintes. 
5. (UnB-2º2012) Considere que uma distância 
d seja percorrida por uma sonda que se 
desloca de um ponto do paralelo γ até um 
ponto do equador, β, segundo uma trajetória 
que minimiza o comprimento entre esses 
dois pontos. Nesse caso, existem números 
dmín e dmáx tais que dmín ≤ d ≤ dmáx e dmín + 
dmáx = BR. 
6. (UnB-2º2012) Uma sonda percorreria toda a 
circunferência γ na metade do tempo que 
levaria para percorrer β, porque o 
comprimento do equador é duas vezes 
maior que o comprimento da circunferência 
γ. 
7. (UnB-2º2012) Uma circunferência sobre a 
superfície do planeta é máxima se, e 
somente se, o plano que a contém 
intercepta o centro do planeta. 
8. (UnB-2º2012) Para que uma sonda se 
desloque entre dois pontos com latitude 
igual a 45º ao norte, percorrendo a menor 
distância possível sobre a superfície do 
planeta, ela deve descrever uma trajetória 
sobre a circunferência γ. 
9. (UnB-2º2012) Para que uma sonda 
percorra, sobre a superfície do planeta, a 
menor distância entre os polos norte e sul, é 
necessário que ela se desloque sobre o 
meridiano α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura I 
Figura II 
 
Um cabo flexível e homogêneo suspenso 
entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre 
dois postes, forma uma curva denominada 
catenária, devido à ação exclusiva da força peso. A 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   6 
figura I ilustra essa curva, em um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o 
ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. 
Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função 
 em que a e b são 
constantes reais positivas e e é a base do logaritmo 
natural. 
A figura II mostra o sólido denominado 
catenóide, que pode ser obtido girando-se em torno 
do eixo Ox a região do plano xOy compreendida 
entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e 
abaixo da catenária, representada na figura I. Esse 
sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em 
uma solução de água e sabão, uma argola de 
arame e retirando-a em seguida. 
 
10. (UnB-1º2012) Se duas bolhas de sabão, 
esféricas, têm raios tais que o raio da bolha 
menor seja igual a um terço do raio da 
maior, então o volume da bolha maior é 
igual a nove vezes o volume da menor. 
11. (UnB-1º2012) Considere que a figura abaixo 
ilustre um catenóide obtido pela rotação da 
catenária definida por y = f(x) = 12 [ ex + e-x] 
em torno do eixo Ox, para 0 ≤ x ≤ ln2. Se 
V1 e V2 são, respectivamente, os volumes 
dos cilindros inscrito e circunscrito a esse 
catenóide, no intervalo em questão, e se 
3,14 e 0,69 são valoresaproximados para π 
e ln2, respectivamente, então o valor 
numérico de V2 - V1 é inferior a 1,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A história da roda pode ser muito curta ou 
abranger milhares de anos — a depender da região 
ou parte do globo em que é referida. 
A roda transmite para o eixo de rotação, de 
maneira amplificada, qualquer força aplicada 
tangencialmente em sua borda, modificando a 
transmissão tanto da velocidade quanto da distância 
que foram aplicadas. Similarmente, a roda transmite 
para a borda, de maneira reduzida, qualquer força 
aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a 
transmissão tanto da velocidade quanto da distância 
que foram aplicadas. 
O fator importante para se determinar a 
transmissão de força, velocidade e distância é a 
relação entre o diâmetro da borda da roda e o 
diâmetro do eixo. 
A roda representa, também, o princípio básico 
de todos os dispositivos mecânicos. 
Internet:	
  	
  e	
  	
  (com	
  adaptações).	
  
	
  
Considere que as rodas dentadas que formam a 
engrenagem ilustrada na figura acima estejam 
colocadas em eixos, que a roda A tenha 44 dentes 
tanto na parte externa quanto na parte interna, que 
as rodas B e C tenham 22 dentes cada uma e que o 
número de dentes de cada uma das rodas D, E e F 
seja igual a 11. A partir dessas informações, julgue 
o item: 
 
12. (UnB-2º2011) Se as rodas A e B tiverem a 
mesma espessura e forem transportadas, 
separadamente, em caixas cilíndricas que 
comportem o menor volume possível, então 
o volume da caixa em que será 
transportada a roda A deverá ser o dobro do 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   7 
volume da caixa em que será transportada 
a roda B. 
 
A palavra cerâmica tem origem na palavra 
grega keramos, que significa oleiro ou olaria. 
Keramos, por sua vez, deriva do sânscrito e quer 
dizer “queimar”. Assim, os antigos gregos aplicavam 
esse termo quando mencionavam um material 
queimado ou barro (argila) queimado, 
provavelmente referindo-se aos primeiros objetos 
cerâmicos (jarros, pratos, tijolos) feitos de barro, que 
necessitam de calor para obtenção de uma forma 
moldada permanente, exemplificada no vaso 
homogêneo ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
A argila, ou barro, corresponde a partículas 
do solo terrestre com diâmetros menores que 0,005 
mm. Essas partículas se caracterizam pela 
presença de minerais argilosos misturados com 
quantidades variadas de resíduos orgânicos ou de 
detritos inorgânicos, sobretudo de quartzo (óxido de 
silício, SiO2). 
Internet: e (com adaptações). 
 
 
Considere que a figura ilustra um vaso na forma de 
um tronco de cone circular reto, em que a 
espessura das paredes é igual a 2 cm (inclusive a 
do fundo), o diâmetro externo da base maior é igual 
a 32 cm, o diâmetro externo da base menor, igual a 
20 cm e a altura externa do tronco de cone, igual a 
12 cm. Tomando 3,14 como valor aproximado para 
π e 2,236 como valor aproximado para 25, e, com 
base nas informações acima, julgue os itens. 
 
13. (UnB-2º2011) A capacidade de 
armazenamento de água do vaso mostrado 
na figura é superior a 4 litros. 
14. (UnB-2º2011) Considerando-se que a 
densidade volumétrica do vaso seja de 
2g/cm3 e que ele tenha sido fabricado com 
partículas esféricas do solo terrestre com 
diâmetros inferiores a 0,005 mm, então um 
pedaço desse vaso com massa igual a 1 
grama deve ter sido originado de uma 
porção de argila com mais de 7 bilhões 
dessas partículas. 
15. (UnB-2º2011) Considerando que 42% da 
superfície lateral externa do vaso esteja 
coberta pelas figuras pintadas e que não 
inclua, naturalmente, a superfície do fundo 
do vaso, calcule, em cm2, o valor da área 
coberta pelas figuras. Para a marcação no 
Caderno de Respostas, despreze, caso 
exista, a parte fracionária do resultado final 
obtido, após efetuados todos os cálculos 
solicitados. 
 
GABARITO 
1. E 
2. C 
3. E 
4. E 
5. C 
6. E 
7. C 
8. E 
9. E 
10. E 
11. C 
12. E 
13. E 
14. C 
15. 460 
 
MATEMÁTICA- Geometria 
analítica 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   8 
 
 
Na situação ilustrada acima, uma criança faz 
quicar uma bola iluminada por uma fonte de luz 
pontual, que, posicionada no ponto P, projeta a 
sombra da bola no chão. Considere que a bola e 
uma esfera, o chão e um plano horizontal e, 
portanto, a sombra da bola é uma região delimitada 
por uma elipse. A respeito das propriedades físicas 
e geométricas envolvidas nesse fenômeno, julgue 
os itens: 
 
1. (UnB-1º2013) A figura a seguir ilustra um 
experimento realizado por um estudante, 
para observar aspectos da geometria 
envolvidos na sombra formada no chão 
quando uma fonte de luz pontual ilumina 
uma bola. Em uma sala vazia, ele 
posicionou a bola de modo que o centro 
dela ficasse na mesma linha horizontal da 
fonte. A sombra formada ficou bastante 
grande e não coube no piso da sala, 
atingindo a quina entre o chão e a parede. 
 
 
A partir da figura mostrada, concluiu-se que 
a curva que delimita a região sombreada no 
piso da sala constitui um segmento de reta 
e um arco de 
a) circunferência. 
b) elipse. 
c) parábola. 
d) hipérbole. 
 
 
 
 
Os planetas não são perfeitamente esféricos. 
Devido ao movimento de rotação e a outras 
particularidades, suas formas se assemelham a uma 
esfera achatada ou a uma elipse, que gira em torno 
do seu eixo maior. Para a avaliação desse efeito, 
pode-se utilizar o equipamento esquematizado nas 
figuras I e II, acima, no qual duas esferas idênticas, 
de raio r = 0,05 m e de massa M = 1,0 kg, são 
colocadas livres para deslizar ao longo de duas 
hastes X, que têm massas desprezíveis. Todo o 
sistema pode girar em torno do eixo L, a uma 
velocidade angular ᵚ. Presa no eixo L e em contato 
com as esferas, existe uma fina borracha, que, 
quando não deformada (Figura I), forma uma 
circunferência de raio a = b = 0,25 m. Quando o eixo 
L gira (Figura II), a borracha é empurrada pelas 
esferas — formando uma elipse (a’ > b) — e resiste 
à deformação, segundo a lei de Hooke, em que a 
constante elástica da borracha — k — é igual a 10 
N/m. 
 
2. (UnB-2º2012) Se o eixo L do equipamento 
descrito estivesse inclinado segundo um 
ângulo menor que 60º com relação à 
vertical, ainda assim seria formada uma 
elipse para qualquer valor de ω, mas o 
centro dessa elipse não estaria mais sobre 
o eixo L. 
3. (UnB-2º2012) Sabendo-se que a 
excentricidade de uma elipse é dada por 
, em que 2a’ é o comprimento 
do seu eixo maior e 2b é o comprimento do 
eixo menor, calcule, em rad/s, o módulo da 
velocidade angular do eixo L de modo que a 
elipse tenha excentricidade igual a 0,08.Provas UnB 2011 - 2013 
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   9 
Multiplique o resultado por 10. Para a 
marcação no Caderno de Respostas, 
despreze, caso exista, a parte fracionária do 
resultado final obtido, após ter efetuado 
todos os cálculos solicitados. 
 
 
Considere que o robô Opportunity tenha 
explorado várias crateras e, com base nos dados	
  
coletados, tenha sido possível mapear uma parte da 
superfície de Marte. Considere, ainda, que, para 
facilitar a localização de elementos relevantes da 
superfície desse planeta, tenha sido introduzido, em 
determinada região mapeada, um sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, com as 
distâncias medidas em metros. Considere, também, 
que, nesse sistema de coordenadas, duas das 
crateras exploradas tenham sido identificadas pelas 
curvas expressas pelas equações e (x - 
5)² + y² = 1, em que a primeira tem formato elíptico, 
com focos F1 e F2, e a segunda, formato circular, 
com centro C. Considere, por fim, que o robô tenha 
também identificado cristais de gelo nos pontos P = 
(0, -3), Q = (2, 5), R = (5, 0) e S = (3, -4). Com base 
nessas informações, julgue os itens. 
 
4. (UnB-2º2012) Se outro robô explorador 
percorresse a trajetória definida pela curva 
2y² = 2x -7, então ele não entraria em 
nenhuma das duas crateras identificadas 
pelo robô Opportunity. 
5. (UnB-2º2012) Se X e Y são pontos 
pertencentes à elipse referida no texto, com 
abscissas não nulas e de sinais contrários, 
então o perímetro do quadrilátero XF1YF2 é 
igual a 20 m. 
6. (UnB-2º2012) Conclui-se das informações 
que, ao percorrer, em linha reta, a distância 
entre o ponto P e o ponto C e, em seguida, 
entre os pontos C e Q, o robô Opportunity 
se deslocou por segmentos de reta 
perpendiculares. 
7. (UnB-2º2012) As curvas que representam 
as duas crateras mencionadas são 
tangentes entre si. 
8. (UnB-2º2012) Infere-se que o robô 
Opportunity identificou cristais de gelo em 
um dos focos da cratera elíptica. 
9. (UnB-2º2012) Há pelo menos um ponto com 
presença de cristais de gelo que não se 
encontra no interior de nenhuma das duas 
crateras mencionadas no texto. 
10. (UnB-2º2012) Os pontos P, Q, R e S são 
vértices de um paralelogramo. 
11. (UnB-2º2012) A respeito dos lugares 
geométricos que descrevem as duas 
crateras referidas no texto, é correto afirmar 
que 
a) o raio da cratera com formato circular é 
igual a 5 m. 
b) existe uma reta de equação y = mx + h, 
com m > 0, que tangencia as referidas 
crateras. 
c) o triângulo com vértices nos pontos F1, 
C e F2 é equilátero. 
d) não foram encontrados cristais de gelo 
dentro da cratera circular. 
 
 
 
 
 
Para identificar as regiões afetadas por um 
tsunami, estudiosos utilizaram um plano complexo 
traçado em um mapa, a partir da cidade de Tóquio, 
local onde foi colocada a origem do sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais xOy, conforme 
ilustrado acima. Nesse plano, cada ponto (x, y) é 
identificado com um número complexo z = x + i y, 
em que i é a unidade complexa imaginária, ou seja, 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   10 
i2 = -1, e as distâncias são medidas em centímetros. 
O ponto T = (10, 12) representa, nesse sistema, a 
origem do tremor que gerou o tsunami, que afetou 
principalmente as cidades de Sendai, localizada em 
S = (3, 10), e de Kenennuma, localizada em K = (4, 
14). 
Tendo como referência as informações acima, 
julgue os itens. 
 
12. (UnB-2º2012) No plano xOy, a área do 
triângulo com vértices nos pontos 
correspondentes a Tóquio, a Sendai e à 
origem do tremor que gerou o tsunami é 
inferior a 54 cm2. 
13. (UnB-2º2012) Um tsunami com origem em 
T e com frente de onda circular atingiria a 
cidade de Kenennuma antes de chegar a 
Sendai. 
14. (UnB-2º2012) Considere que a região 
afetada pelo tsunami seja descrita, em 
função do tempo t, pela equação complexa 
|z - 10 – 12 i| = t, em que 0de partículas carregadas que têm 
origem na coroa solar. As partículas emitidas podem 
ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade 
dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. 
Essa emissão contínua gera uma distribuição 
de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do 
sistema solar. Esse plasma de partículas 
carregadas é comumente denominado mar de 
prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da 
Terra, esses íons sofrem alterações em suas 
trajetórias devido à presença do campo magnético 
terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, 
a densidade desse plasma é de aproximadamente 
10 partículas por centímetro cúbico. O 
bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento 
solar tem efeitos profundos, uma vez que as 
partículas e a radiação solar interagem com os 
gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, 
CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 
 
 
18. (UnB-1º2012) A elipse definida pela 
equação 16x2 + 25y2 = 400 pode ser 
representada, no plano complexo, pelo 
conjunto dos pontos z = (x, y) tais que |z – 
3| + |z + 3| = 10. 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   12 
 
 
19. (UnB-1º2012) A figura acima ilustra a 
situação em que um cometa (C) percorre 
uma órbita elíptica de centro na origem de 
um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais xOy. Nessa órbita elíptica, o Sol 
(S) aparece em um dos focos. Considere 
que a elipse seja representada pela 
equação , em que a > b > 0, e 
tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse 
caso, se a distância mínima desse cometa 
ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade 
astronômica), em que 1 UA = 150 × 106 km 
é a distância média da Terra ao Sol, então a 
distância máxima do cometa ao Sol, em 
milhões de km, será 
a) inferior a 3.700. 
b) superior a 3.700 e inferior a 4.000. 
c) superior a 4.000 e inferior a 4.300. 
d) superior a 4.300. 
 
 
GABARITO 
1. D 
2. E 
3. 001 
4. C 
5. C 
6. C 
7. E 
8. E 
9. C 
10. E 
11. B 
12. C 
13. C 
14. A 
15. E 
16. D 
17. C 
18. C 
19. C 
 
MATEMÁTICA- Geometria 
plana 
 
Aidan Dwyer, um jovem norte-americano de 
13 anos de idade, após ter analisado o papel das 
folhas das plantas como coletores solares naturais 
para o processo de fotossíntese, desenvolveu uma 
inovadora maneira de dispor painéis solares de 
modo a otimizar a coleta de energia luminosa. 
Durante uma caminhada, ao observar as 
árvores, ele percebeu que as folhas ao longo de um 
ramo e os galhos em torno do caule apresentavam 
um padrão de crescimento espiralado ascendente 
que obedecia à sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 
8, 13, 21, 34, 55, 89,... , que é determinada pela 
seguinte fórmula de recorrência: F1 = 1, F2 = 1 e, 
para n ≥ 3, Fn = Fn-1 + Fn-2. Essa distribuição das 
folhas, além de dar equilíbrio ao caule, propicia-lhe 
melhor aproveitamento de sua exposição ao Sol, à 
chuva e ao ar. 
Em 1874, o matemático inglês Wiesner 
concluiu que, para que as folhas em um caule de 
uma árvore ficassem melhor expostas à luz do Sol, 
o ângulo 2 entre as folhas deveria ser 
aproximadamente igual a , que é 
conhecido como ângulo áureo, em que . 
 
 
 
 
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   13 
A figura acima ilustra o trabalho de Aidan. 
Após medir as posições dos galhos em várias 
árvores, ele realizou, no quintal de sua casa, 
experimentos com pequenos coletores solares 
posicionados em uma armação metálica que imitava 
a configuração natural das folhas. Ele montou, 
ainda, uma quantidade igual de sensores e os 
dispôs em um painel, como é feito nos coletores 
comerciais. Com equipamentos simples, traçou 
gráficos comparativos da captação solar e observou 
que sua árvore solar captava 20% mais energia que 
o painel plano comum. 
O	
  Globo,	
  20/8/2011	
  (com	
  adaptações).	
  
 
1. (UnB-1º2012) É correto afirmar que 
 
2. (UnB-1º2012) A partir das informações 
apresentadas, é correto afirmar que ϕ-1 = ϕ 
-1. 
 
 
O vento solar é uma emissão contínua, em 
todas as direções, de partículas carregadas que têm 
origem na coroa solar. As partículas emitidas podem 
ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade 
dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. 
Essa emissão contínua gera uma distribuição 
de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do 
sistema solar. Esse plasma de partículas 
carregadas é comumente denominado mar de 
prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da 
Terra, esses íons sofrem alterações em suas 
trajetórias devido à presença do campo magnético 
terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, 
a densidade desse plasma é de aproximadamente 
10 partículas por centímetro cúbico. O 
bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento 
solar tem efeitos profundos, uma vez que as 
partículas e a radiação solar interagem com os 
gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, 
CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 
 
 
 
3. (UnB-1º2012) Se o fluxo de prótons por 
segundo nas imediações da Terra for de 7 
prótons por centímetro quadrado na direção 
radial ao Sol, então o Sol estará emitindo 
mais de 1030 prótons por segundo. 
 
 
O eclipse anelar ocorre quando a distância 
relativa entre Sol, Lua e Terra favorece a ocorrência 
de uma região de penumbra (P), em forma de anel, 
ao redor de uma região de sombra (S), como 
representado na figura abaixo. 
 
 
 
• distância do centro da Lua à superfície da 
Terra = 3,84 X 105 km; 
• distância do centro do Sol à superfície da 
Terra = 1,54 X 108 km; 
• H = raio do Sol = 0,7 x 106 km; 
• raio da Lua = 1.750 km. 
 
Considerando, por simplicidade, a superfície da 
Terra como plana e assumindo 3,14 como valor 
aproximado para π, calcule, em 106 km2, a área do 
anel de penumbra do eclipse anelar. Para a 
marcação no Caderno de Respostas, despreze, 
caso exista, a parte fracionária do resultado final 
obtido, após efetuados todos os cálculos solicitados. 
 
GABARITO 
1. C	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   14 
2. C	
  
3. E	
  	
  
4. 038	
  
MATEMÁTICA- Funções. 
 
Considere que, pelo movimento de rotação, 
durante sua formação, a placa de lixo gigante tenha 
o formato de um cone reto, de altura H e raio da 
base R, como ilustra a figura a seguir, na qual a 
superfície do sétimo continente corresponde à base 
do cone, a qual esta virada para cima. 
 
 
 
1. (UnB-1º2013) Suponha que, com o tempo, 
mais lixo se acumule no sétimo continente, 
que o formato do lixo se mantenha o de um 
cone reto, com altura H constante e que, 
devido a isso, o raio da base e o volume do 
cone sejam funções crescentes dotempo, t 
> 0. Nessa situação, se o raio é 
a) uma função logarítmica do tempo, então 
o volume e uma função exponencial do 
tempo. 
b) uma função afim do tempo, então o 
volume também é. 
c) uma função exponencial do tempo, 
então o volume também é. 
d) uma função quadrática do tempo, então 
o volume e uma função afim do tempo. 
 
 
 
A figura acima ilustra um brinquedo de base 
arredondada denominado joão-bobo. Por mais que 
o inclinem, ele tende a retornar a sua posição de 
equilíbrio, permanecendo de pé. Considere que um 
joão-bobo, ao ser inclinado, execute movimentos 
oscilatórios de pequenas amplitudes. Considere, 
ainda, que, para descrever o deslocamento 
horizontal, em centímetros, da cabeça do joão-bobo 
durante os movimentos oscilatórios, foram 
propostos dois modelos distintos, conforme 
expressões a seguir, em que f e g expressam o 
deslocamento horizontal do ponto A posicionado no 
topo da cabeça do brinquedo e o tempo t $ 0 e 
medido em segundos. Considere, por fim, que, no 
que se refere a esses modelos, o ponto A realize 
movimento apenas no plano e que o brinquedo esta 
na posição de equilíbrio quando a posição escalar 
horizontal do ponto A é nula. 
Primeiro modelo: f(t) = 20cos[π(t + 1)] cm 
Segundo modelo: g(t) = 202-t cos[π(t + 1)] cm 
2. (UnB-1º2013) Se, para algum instante t0, 
tem-se f(t0) = g(t0), então o joão-bobo estará 
na posição de equilíbrio em tal instante. 
3. (UnB-1º2013) Em t = log2(40) s, a amplitude 
de movimento instantâneo do joão-bobo, de 
acordo com o segundo modelo, e igual a um 
décimo da amplitude de acordo com o 
primeiro modelo. 
4. (UnB-1º2013) Considere que a altura do 
joão-bobo seja 20 cm e ele esteja com sua 
base apoiada em uma superfície plana, 
então, para algum tempo t0 no primeiro 
modelo, o joão-bobo ficará deitado (na 
posição horizontal) na superfície plana em 
que se encontrar. 
5. (UnB-1º2013) De acordo com o primeiro 
modelo, um movimento completo de ida e 
volta do joão-bobo ocorre em 2 s. 
6. (UnB-1º2013) Ambos os modelos 
descrevem funções periódicas. 
7. (UnB-1º2013) Nos dois modelos, são iguais 
os instantes da posição de equilíbrio. 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   15 
 
 
8. (UnB-1º2013) Assinale a opção que 
apresenta corretamente a peça de dominó 
em que os pontos marcados em suas 
metades correspondem aos valores das 
expressões logarítmicas inseridas na peça 
de dominó representada acima. 
 
 
 
	
  
	
  
Suponha que o robô Opportunity tenha 
coletado, na superfície de Marte, uma amostra 
radioativa cuja massa, M(t), em gramas, pode ser 
representada em função do tempo t ≥ 0, em anos, 
pela expressão M(t) = M0.e-kt, em que k é uma 
constante positiva que depende do material da 
amostra, e M0 é sua massa inicial. Considerando 
essas informações, julgue os itens. 
 
9. (UnB-2º2012) Se a amostra for avaliada em 
instantes ti, i = 1, 2, 3..., tais que ti é o i-
ésimo termo de uma progressão 
geométrica, então a sequência das massas 
M(ti) será uma progressão aritmética. 
10. (UnB-2º2012) A imagem da função dada 
por M(t), para t ≥ 0, é o conjunto de todos 
os números reais positivos. 
11. (UnB-2º2012) Se 0em função do tempo é dada por 
 
 
O capacitor, quando está completamente 
carregado, com a chave A aberta e a chave B 
fechada, descarrega-se. Nesse caso, a carga q 
armazenada no capacitor, em função do tempo, é 
expressa por 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   17 
 
22. (UnB-1º2012) Considere que a fem do 
circuito em questão seja dada pela função V 
= V(t) = αsenβt + γ, 0 ≤ t ≤ 8, cujo gráfico é 
ilustrado acima. Nesse caso, o valor de α × 
β × γ é igual a 
a) π/2. 
b) π 
c) 3π/2 
d) 2π 
 
 
O corpo humano utiliza a energia extraída dos 
alimentos, para manter o funcionamento dos seus 
órgãos, realizar seus processos bioquímicos, manter 
a temperatura do corpo e, ainda, realizar trabalhos 
externos, tais como andar, correr e pular. 
A equação da conservação da energia no 
corpo humano é escrita como ∆E = ∆Q - ∆W, em 
que ∆E é a variação de energia interna ou, nesse 
contexto, da energia armazenada no corpo; ∆Q é a 
quantidade de calor trocada com o ambiente e ∆W 
é o trabalho realizado pelo corpo. 
Quando em repouso, sem realizar trabalho 
externo, uma pessoa consome, em média, uma taxa 
de energia entre 100 W e 120 W. A taxa mínima de 
consumo, denominada taxa de metabolismo basal, 
indica a quantidade de energia necessária para a 
realização de tarefas imprescindíveis, tais como 
respiração e bombeamento de sangue através do 
sistema circulatório. A energia utilizada pelo corpo é 
obtida a partir de reações de oxidação, como a da 
glicose, apresentada a seguir. 
C6H12O6(s) + 6O2(g) → 6H2O(l) + 6CO2 oxidação (g) 
+ 686 kcal 
Nessa reação química, são liberadas 686 kcal 
por mol de glicose. A quantidade exata de energia 
liberada por litro de oxigênio consumido depende da 
dieta adotada. Em uma dieta típica, a energia 
liberada por litro de O2 consumido é de 4,9 kcal. 
A eficiência 0 com que um corpo realiza o 
trabalho externo ∆Wext é definida por , em 
que ∆E é a energia consumida durante a realização 
desse trabalho. ∆Wext pode ser diretamente 
medido, ao passo que ∆E é medido com base na 
quantidade de oxigênio consumido pelo corpo 
durante a realização do trabalho. 
A esse respeito, considere 
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²; 
• constante universal dos gases: R = 8,31 J/mol K; 
• temperatura Kelvin: K = C + 273, em que C é a 
temperatura em graus Celsius; 
• valor da caloria: 1 cal = 4,19 J. 
 
Tendo como referência o texto acima; considerando 
que uma pessoa em repouso produz exatamente o 
que consome de energia; assumindo as condições 
normais de pressão e temperatura (CNPT); 
desprezando as perdas de energia por reações de 
oxidação inacabadas e considerando, ainda, que 
todos os gases envolvidos são ideais, julgue os 
itens: 
 
23. (UnB-1º2012) Considere que um atleta com 
M kg de massa, partindo do repouso, 
comece a correr com aceleração constante 
de a m/s2; que, enquanto corre, o atleta 
sofre a ação de uma força de resistência 
constante igual a R newtons; que toda a 
energia do atleta resulta da oxidação de 
gordura, a qual é representada pela 
expressão a seguir, em que E é a energia, 
em joules, liberada por mol de gordura. 
C3H5O3(OC4H7)3 + 18,5 O2 → 15 CO2 + 13 
H2O + E 
Supondo-se que a eficiência do atleta seja 
η, então a expressão matemática que 
representa a quantidade de moles N de gás 
carbônico produzido pelo atleta até o tempo 
t, em segundos, transcorrido desde o 
momento em que ele iniciou a corrida, é 
. 
 
 
 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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 Internet:	
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Em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais xOy, na situação da figura acima, a 
expressão fornece a altura y = 
f(x), em metros, da ponta da flecha em função da 
abscissa x, em metros. Considere que, em cada 
instante t ≥ 0, em segundos, as coordenadas (x, f 
(x)) da trajetória descrita pela ponta de flecha 
podem ser dadas, em função de t, por (x(t), f (x(t))), 
com x(t) = 10 – 20t. Desse modo, o movimento da 
ponta da flecha se decompõe na horizontal como 
x(t) = 10 – 20t e, na vertical, como y(t) = f (x(t)). 
Com base nessas informações, e considerando que 
uma maçã esteja localizada no ponto P de 
coordenadas (0, 5), julgue os itens. 
 
24. (UnB-2º2011) De acordo com a função x(t) 
= 10 - 20t, a ponta da flecha interceptará o 
eixo Oy quando t = 0,5 s. 
25. (UnB-2º2011) A ponta da flecha atingirá a 
altura máxima em quatro décimos de 
segundo após o lançamento. 
26. (UnB-2º2011) A expressão g(t) = 2 + 20t – 
25t2 permite determinar a altura ponta da 
flecha em função do tempo t. 
27. (UnB-2º2011) Caso o soldado efetuasse o 
lançamento nas mesmas condições 
representadas na figura — mesma força e 
mesmo ângulo de inclinação —, mas 
afastando-se da origem dois metros para a 
direita do ponto onde se encontra, a flecha 
atingiria a maçã. 
28. (UnB-2º2011) Suponha que o soldado tenha 
utilizado uma arma de fogo de modo que a 
trajetória do projétil seja linear e que, 
estando a ponta do cano da arma à 
distância de 10 metros do suporte que 
sustenta a maçã e a uma altura de 1 a 2 
metros do solo, o projétil tenha atingido a 
maçã. Nessa situação, conclui-se que o 
ângulo entre a trajetória do projétil e a 
flecha exibida na figura, no instante t = 0, é 
inferior a π/12 radianos. 
29. (UnB-2º2011) Considere que, em vez da 
flecha, o soldado estivesse utilizando uma 
arma de fogo com o cano apontado na 
mesma direção e sentido da flecha e que a 
trajetória do projétil fosse linear. Nessa 
situação, a distância, em metros, do ponto P 
à trajetória descrita pelo projétil seria igual a 
 
 
 
 
No século XIX, cientistas observaram que o 
comportamento e a descrição do átomo de Dalton 
não se enquadravam no sistema newtoniano de 
princípios físicos e não explicavam o 
comportamento elétrico da matéria. Uma das linhas 
de investigação consistiu em aplicar descargas 
elétricas em um tubo que continha gás em pequena 
quantidade e em observar as emissões 
eletromagnéticas irradiadas, capazes de produzir 
fluorescência na incidência em certos materiais. 
Descobriu-se, depois, que a frequência das 
emissões chamadas de raios X era proporcional ao 
número atômico (Z) do átomo emissor, segundo a 
equação de Moseley, f = (2 47× 1015) × (Z − 1)2 , em 
que f representa a, frequência de emissão relativa 
às transições eletrônicas ocorridas na camada 
eletrônica K desse átomo, em Hertz. A figura a 
seguir mostra o espectro de emissão de raios X 
proveniente do bombardeamento de um feixe de 
elétrons em determinado alvo metálico. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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30. (UnB-2º2011)A partir da equação de 
Moseley, deduz-se que a frequência de 
emissão de raios X relativa às transições 
eletrônicas para a camada eletrônica K é 
uma função cuja imagem é sempre um 
inteiro positivo. 
 
 
 
 
 
A história da roda pode ser muito curta ou 
abranger milhares de anos — a depender da região 
ou parte do globo em que é referida. 
A roda transmite para o eixo de rotação, de 
maneira amplificada, qualquer força aplicada 
tangencialmente em sua borda, modificando a 
transmissão tanto da velocidade quanto da distância 
que foram aplicadas. Similarmente, a roda transmite 
para a borda, de maneira reduzida, qualquer força 
aplicada no seu eixo de rotação, amplificando a 
transmissão tanto da velocidade quanto da distância 
que foram aplicadas. 
O fator importante para se determinar a 
transmissão de força, velocidade e distância é a 
relação entre o diâmetro da borda da roda e o 
diâmetro do eixo. 
A roda representa, também, o princípio básico 
de todos os dispositivos mecânicos. 
Internet:	
  	
  e	
  	
  (com	
  adaptações).	
  
	
  
Considere que as rodas dentadas que formam a 
engrenagem ilustrada na figura acima estejam 
colocadas em eixos, que a roda A tenha 44 dentes 
tanto na parte externa quanto na parte interna, que 
as rodas B e C tenham 22 dentes cada uma e que o 
número de dentes de cada uma das rodas D, E e F 
seja igual a 11. A partir dessas informações, julgue 
os itens: 
 
31. (UnB-2º2011) Suponha que, enquanto a 
roda E gira x radianos, a roda A gira uma 
quantidade, em radianos, representada por 
uma função dada por y = f(x). Nesse caso, f 
é uma função linear, cujo gráfico, no 
primeiro quadrante do plano de 
coordenadas cartesianas xOy, fica abaixo 
do gráfico de g(x) = x. 
 
GABARITO 
1. C 
2. E 
3. E 
4. C 
5. C 
6. E 
7. C 
8. A 
9. E 
10. E 
11. E 
12. C 
13. B 
14. E 
15. E 
16. C 
17. E 
18. C 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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19. D 
20. C 
21. E 
22. D 
23. C 
24. C 
25. C 
26. C 
27. C 
28. E 
29. D 
30. E 
31. C 
 
MATEMÁTICA- Estatística 
O vento solar é uma emissão contínua, em 
todas as direções, de partículas carregadas que têm 
origem na coroa solar. As partículas emitidas podem 
ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade 
dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. 
Essa emissão contínua gera uma distribuição 
de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do 
sistema solar. Esse plasma de partículas 
carregadas é comumente denominado mar de 
prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da 
Terra, esses íons sofrem alterações em suas 
trajetórias devido à presença do campo magnético 
terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, 
a densidade desse plasma é de aproximadamente 
10 partículas por centímetro cúbico. O 
bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento 
solar tem efeitos profundos, uma vez que as 
partículas e a radiação solar interagem com os 
gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, 
O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2. 
 
 
 
1. (UnB-1º2012) O desvio padrão da 
sequência numérica formada pelas 
distâncias médias de Vênus, Terra e Marte 
ao Sol é superior a 50 x 106. 
 
 
 
Considerando a figura acima, que ilustra o 
mecanismo de funcionamento de um coração, 
julgue o item: 
2. (UnB-1º2012) Se α e β representam, 
respectivamente, a média e a mediana de 
todos os valores percentuais incluídos na 
figura, então |α - β| > 3%. 
 
 
GABARITO 
 
1. E	
  	
  
2. E	
  	
  
 
MATEMÁTICA- Sequências 
numéricas 
 
 
A figura acima ilustra a situação denominada 
“efeito dominó”, na qual são enfileiradas várias 
peças de domino apoiadas no chão sobre sua 
menor base. Ao se derrubar a primeira peça, todas 
as demais caem sequencialmente, uma após a 
outra. Suponha que, em um arranjo hipotético, uma 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   21 
infinidade de peças de domino tenha sido 
corretamente emparelhada em uma única fileira e 
que a cada uma delas tenha sido atribuído um 
número inteiro positivo, de acordo com a ordem em 
que elas caiam. Assim, por exemplo, a peça de 
número 13 e a décima terceira a cair. Nesse arranjo, 
a primeira peça é amarela, as peças 
correspondentes a números primos são vermelhas e 
as demais são pretas. 
É relevante saber que o jogo de dominó 
duplo-6 é constituído de peças na forma de 
retângulo. Uma linha divide ao meio cada retângulo, 
e cada metade do retângulo é marcada com um a 
seis pontos (indicando valores numéricos) ou 
nenhum ponto (zero). Considere que a notação i-j — 
0 ≤ i, j ≥ 6 — significa que uma metade do retângulo 
e marcada com i pontos, e a outra, com j pontos. 
Nessa notação, as pecas do dominó são: 0-0; 0-1; 
0-2; ...; 0-6; 1-1; 1-2; ...; 1-6; 2-2; 2-3; etc. Abaixo 
estão ilustradas algumas pecas desse jogo. 
 
 
 
1. (UnB-1º2013) Há exatamente um par de 
peças vermelhas consecutivas. 
2. (UnB-1º2013) Sempre que cair uma peça 
de número múltiplo de 700, 
necessariamente, antes dela, caíram mais 
de 250 peças cujo número correspondente 
e múltiplo de 3. 
3. (UnB-1º2013) Considere que sejam usados 
100 jogos de dominó duplo-6 para montar o 
“efeito dominó”. Nesse caso, o número total 
de peças usadas nessa brincadeira será 
superior a 2.700. 
4. (UnB-1º2013) A indução matemática e 
frequentemente utilizada em 
demonstrações. Segundo esse método, 
para verificar se determinada propriedade 
vale para cada inteiro positivo, deve-se 
mostrar duas coisas: 
• a propriedade vale para o numero 
1; 
• se a propriedade vale para algum 
inteiro positivo n, então vale para n 
+ 1. 
 
Tendo como referencia essas informações, 
redija um texto, na modalidade padrão da 
língua portuguesa, estabelecendo, da forma 
mais completa possível, uma analogia entre 
a demonstração por indução e a hipotética 
brincadeira das infinitas peças de dominó 
descrita. 
 
 
Um apicultor, ao perceber o desaparecimento 
de abelhas de uma colmeia, resolveu contar a 
quantidade de abelhas restantes para estimar a taxa 
correspondente ao sumiço dos insetos. Utilizando 
técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas 
restantes da colmeia para o interior de uma caixa 
cercada por uma tela. O apicultor observou que as 
abelhas entravam na caixa de modo bastante 
peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava 
uma; depois, mais três de uma única vez; logo em 
seguida, mais cinco ao mesmo tempo; 
imediatamente após, entravam sete, e, assim, 
sucessivamente. Para obter controle sobre o 
processo, ele anotou a quantidade de abelhas que 
entravam e verificou que nenhuma abelha saiu da 
caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao final, 
contou 400 abelhas dentro da caixa. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens. 
5. (UnB-2º2012) Em algum momento, a 
quantidade total de abelhas dentro da caixa 
foi igual a 40. 
6. (UnB-2º2012) Em algum momento, a 
quantidade de abelhas que entraram 
simultaneamente na caixa correspondeu a 
um número não primo. 
7. (UnB-2º2012)Com base no fato de que a 
quantidade total de abelhas presentes na 
caixa aumentou de acordo com um padrão 
matemático, identifique esse padrão e redija 
um texto na modalidade padrão da língua 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   22 
portuguesa, explicando o raciocínio 
desenvolvido para chegar a essa conclusão. 
 
 
Uma equipe de pesquisa de mercado 
conduziu, durante vários meses, um levantamento 
para determinar a preferência dos consumidores em 
relação a duas marcas de detergentes, marca 1 e 
marca 2. Verificou-se, inicialmente, que, entre 200 
pessoas pesquisadas, 120 usavam a marca 1 e 80, 
a marca 2. Com base no levantamento inicial, a 
equipe compilou a seguinte estatística: 
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% 
mudaram para a marca 2; 
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% 
mudaram para a marca 1. 
 
Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
P = (pij) = , em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, 
representa a probabilidade do consumidor da marca 
j consumir a marca i após um mês, supondo-se que 
tais probabilidades sejam mantidas constantes de 
um mês para o outro. Dessa forma, obtém-se a 
fórmula de recorrência Xk+1 = P.Xk, k ≥ 0, em que 
 representa a distribuição, no mercado, 
ao final do mês k, dos usuários de cada detergente 
pesquisados; ak e bk representam os percentuais de 
usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no 
referido período. 
 
8. (UnB-1º2012) A sequência b1 – b0, b2 – b1, 
b3 – b2 representa uma progressão 
geométrica decrescente de razão 0,5. 
9. (UnB-1º2012) Se Xk = é tal que Xk+1 = 
Xk, para algum k ≥ 0, então α = 0,4 e β = 
0,6. 
 
 
 
Considerando a figura acima, que ilustra o 
mecanismo de funcionamento de um coração, 
julgue o item: 
10. (UnB-1º2012) Considere os valores 
percentuais incluídos na figura que são 
termos de uma progressão aritmética em 
que o primeiro termo é igual a 4% e a razão 
é igual a 6%. Nesse caso, é igual a 1 a 
soma desses valores. 
 
GABARITO 
1. C 
2. E 
3. C 
4. TIPO D 
5. E 
6. C 
7. TIPO D 
8. C 
9. C 
10. C 
MATEMÁTICA- Conjuntos. 
 
O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa 
trilhões de páginas web, de modo que os usuários 
podem pesquisar as informações de que 
necessitarem usando palavras-chave e operadores. 
O funcionamento do Google é embasado em 
algoritmos matemáticos, que analisam a relevância 
de um sítio pelo número de páginas e pela 
importância dessas páginas. 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
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   23 
O nome Google é derivado de googol, 
número definido por 10^100, ou seja, o número 1 
seguido de 100 zeros. A partir do googol, define-se 
o googolplex, correspondente a 10googol, ou seja, o 
número 1 seguido de 10100 zeros. 
De acordo com dados do Google, o sítio mais 
acessado atualmente é o Facebook, a maior rede 
social da Internet. De agosto de 2010 a agosto de 
2011, o número de usuários dessa rede social 
passou de 598 milhões para 753 milhões. A 
previsão de receita do Facebook para 2011 é de 
4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 115% 
em relação a 2010. 
 
1. (UnB-1º2012) A soma dos divisores naturais 
de é um número primo. 
2. (UnB-1º2012) Considere que, em uma 
pesquisa acerca das redes sociais I, II e III 
da Internet, realizada com 300 estudantes 
de uma escola, constatou-se que 86 eram 
usuários da rede social I; 180, da rede 
social II; 192, da III; 144, da II e da III; 40, 
da I, mas não da II; 31 eram usuários da I, 
mas não da III; e 27 eram usuários da I e da 
II, mas não da III. Escolhendo um desses 
estudantes ao acaso, a probabilidade de ele 
não ser usuário de nenhuma dessas redes 
ou de ser usuário de apenas uma delas é 
a) inferior a 15%. 
b) superior a 15% e inferior a 30%. 
c) superior a 30% e inferior a 45%. 
d) superior a 45%. 
 
 
 
 
A tabela acima mostra a relação quantidade 
de pacientes por milhão de habitantes que se 
submeteram, no ano de 2000, a transplantes de rim, 
fígado ou coração nos Estados Unidos da América 
(EUA), na Europa e na América Latina. Os dados da 
tabela estão reescritos, a seguir, em forma de 
matriz. 
 
 
 
3. (UnB-2º2011) Suponha que, em 2010, a 
população da América Latina era de 760 x 
106 habitantes e que a proporção de 
transplantes dos órgãos mencionados 
tenha-se mantido igual à de 2000. Suponha, 
ainda, que 9.111 pacientes se submeteram 
a transplante apenas de rim; 447, apenas a 
transplante de fígado; 250, apenas a 
transplante de coração; 16 a transplantes 
dos 3 órgãos. Nessa situação, é correto 
inferir que 696 pacientes se submeteram a 
transplantes apenas de rim e de fígado. 
GABARITO 
1. E	
  	
  
2. C	
  	
  
3. C	
  	
  
MATEMÁTICA- Básica, 
Porcentagem 
Pouco se fala sobre o sétimo continente, uma 
gigantesca placa de lixo plástico que flutua no 
Oceano Pacifico, entre o litoral da Califórnia e do 
Havaí. Essa ilha de lixo, que mais parece uma 
enorme sopa de detritos plásticos flutuantes, e seis 
vezes maior que a Franca e tem cerca de 30 metros 
de espessura. Dados indicam que esse sétimo 
continente mede em torno de 3,4 milhões de 
quilômetros quadrados e pesa aproximadamente 
3,5 milhões de toneladas, das quais cerca de 90% 
estão ate dez centímetros abaixo da superfície. 
Essa ilha decorre de um redemoinho gigante que 
resulta da forca da corrente do Pacifico Norte e que 
gira no sentido horário, juntamente com os ventos 
fortes que estejam na área. Essa forca centrípeta 
leva, gradualmente, todo o lixo para o centro. Cerca 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
   	
   	
   	
  
 Provas UnB 2011 - 2013 
 Matemática 
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de 80% dos resíduos dessa ilha provem de terra 
firme e, transportados pelos rios e pelo vento, 
chegam aos mares. Acredita-se que, na área do 
continente lixo, existam ate seis quilogramas de lixo 
plástico para cada quilograma de plâncton. Alguns 
animais, como tartarugas, baleias, focas e pássaros, 
morrem ao ingerir partículas de plástico, por 
confundi-las com alimentos. Outros animais 
acumulam toxinas, o que prejudica toda a cadeia 
alimentar. Calcula-se que um navio com capacidade 
para retirar os resíduos do sétimo continente levaria 
27 anos para limpar toda a superfície da água. 
Internet:	
  	
  (com	
  adaptações).	
  
 
 
 
1. (UnB-1º2013) A quantidade de plástico, em 
massa, na área continente lixo e seis vezes 
maior que a dos organismos cujos 
movimentos próprios são insuficientes para 
vencer as correntes existentes na massa de 
água onde vivem. 
2. (UnB-1º2013) A partir das informações do 
texto,