04_Vibra__o Livre sem Amortecimento

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04 - Vibração Livre sem Amortecimento 
de Sistemas com 1 GDL
Introdução
Obtenção do modelo matemático
Solução (resposta livre)
Sistemas pendulares
Método de Rayleigh
Teoria: LT 2.1 a 2.3; 2.5
Problemas: 2.1 a 2.83
Vibração Livre (ou Natural)
Causa: condição inicial
Deslocamento 
Inicial x(0)
Velocidade 
Inicial v(0)
Não há excitação externa durante a vibração
e/ou
Modelo para 1 GDL, translacional, sem 
amortecimento
1 GDL: a coordenada translacional x(t) é suficiente para 
descrever o movimento da massa rígida m
Teoricamente, como não há amortecimento, a amplitude 
da vibração mantem-se constante
Exemplos de Modelos com 1 GDL
1. Torre de televisão
2. Comando de válvula de um motor de combustão 
interna
3. Estrutura predial
Métodos para a obtenção do Modelo 
Matemático (equações do movimento)
• 2a Lei de Newton
• Princípio de D´Alembert
• Princípio dos deslocamentos virtuais (não 
veremos)
• Princípio da Conservação da Energia
• Equações de Lagrange (Cap. 6)
Equações fundamentais da 
Dinâmica do Corpo Rígido (movimento plano)
..
xF m)t( =Translação: (2.1)
Rotação no plano xy:
Em torno de um eixo passando 
pelo centro de massa C: 
..
θM J)t( = (2.2)
Em torno de um eixo passando 
por um ponto fixo O que não seja 
o centro de massa C:
..
θM OO J)t( =
Em torno de um eixo passando 
por um ponto S que não 
coincide com o centro de 
massa C e que sofre translação:
..
k
θRrM SS
..
S/CS Jxm)t( =





−
Procedimento para a obtenção do Modelo 
Matemático a partir da 2a Lei de Newton
1. Selecionar uma coordenada generalizada adequada: 
Linear para descrever a translação de um ponto da massa rígida (normalmente 
o centro de massa) ou
 Angular para descrever a rotação de um corpo rígido
2. Definir a posição de equilíbrio estático do sistema e usá-la como origem da 
coordenada escolhida
3. Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) da massa rígida para uma 
posição de deslocamento, velocidade e aceleração positivas
Desenhar todas as forças externas que atuam sobre a massa
4. Aplicar a 2a Lei de Newton
Aplicação ao Modelo para 1 GDL, translacional, sem amortecimento
1. Coordenada generalizada selecionada: x(t)
2. Origem da coordenada: O (posição de equilíbrio estático)
3. DCL:
4. 2a Lei de Newton (translação):
0kxxm
..
=+ (2.3)
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, homogênea
Dedução no quadro
..
xm)t(F
→→
=
..
J)t(M
→→
=
0xm)t(F
..
=−
→→Translação:
Rotação: 0J)t(M
..
=−
→→
(2.4a)
(2.4b)
Princípio de D’Alembert:
Incluir a força (torque) de inércia no DCL e aplicar 
a equação da Estática
Aplicamos a Equação do Equilíbrio Estático:
0kxxm
..
=+ (2.3)
Obtenção do mesmo Modelo Matemático, a partir do 
Princípio de D’Alembert
Incluímos, no DCL, também a força de inércia:
Dedução no quadro
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, homogênea
Obtenção do mesmo Modelo Matemático, a 
partir do Princípio da Conservação da Energia
Sistema Conservativo: não há perda de energia por 
atrito
Logo, não existe amortecimento e a energia do 
sistema permanece constante:
T + U = constante
que é o Princípio da Conservação da Energia
Procedimento
01 - Determinar a energia cinética do sistema:
2.2.
J
2
1
T ou xm
2
1
T ==
02 - Determinar a variação da energia potencial do sistema:
2
t
2 k
2
1
U ou kx
2
1
U ==
03 - Aplicamos: T + U = constante
04 - Derivamos: 0)UT(
dt
d
=+
(2.7)
(2.8)
(2.6)
Obs.: se for o caso, considerar também mghU =
05 - Substituímos (2.7) e (2.8) na (2.6):
0kx xm
..
=+ (2.3)
Dedução no quadro
Sistema translacional Massa-Mola na 
Vertical (influência da gravidade)
stkmg = (2.9)
Durante a vibração livre (posição x(t) qualquer):
2a Lei de Newton:
0kx xm
..
=+ (2.10)
Conclusão importante: a EDOL é a mesma, desde que a origem 
esteja na posição de equilíbrio estático  podemos ignorar o peso mg
Dedução no quadro
Dedução usando o Princípio da Conservação da Energia
01 - Energia cinética:
 xm
2
1
T
2.
=
02 - Variação da energia 
potencial:
Dedução no quadro
03 - Aplicamos: 
T + U = constante
Dedução no quadro
Obs.: 
poderíamos ter calculado diretamente a variação da energia potencial 
como sendo apenas a energia potencial elástica da mola, considerando a 
sua deformação x a partir da posição de equilíbrio estático
0kx xm
..
=+ (2.3)
04 - Derivamos:
0)UT(
dt
d
=+
Dedução no quadro
0kx xm
..
=+Solução da equação (Resposta Livre)
A solução da EDOL de 2a ordem com coeficientes constantes, homogênea, eq. 
2.3, é dada por
tsen
x
tcosx)t(x n
n
o
.
n0 

+= (2.18)
onde definimos a Freqüência Angular Natural em [rad/s]
m
k
n = (2.14)
e onde as condições iniciais (CI) do problema são:
Deslocamento inicial
0x)0(x =
Velocidade inicial
0
..
x)0(x =
A eq. (2.18) é uma função harmônica (senos e cossenos) de t
Características:
Movimento simétrico em torno da posição de equilíbrio estático
x = 0: velocidade máxima
 aceleração nula
x = xmáx : velocidade nula
 aceleração máxima
Sistema (m, k) recebe o nome de Oscilador Harmônico
Forma cossenoidal da eq. (2.18)
tsen
x
tcosx)t(x n
n
o
.
n0 

+= (2.18)
onde 
fase de ângulo
x
x
arctg 
x
x
arctg
 amplitude 
x
xA
0n
0
.
0
n
0
.
2
n
0
.
2
0
=











=















=
=











+=
(2.20)
)tcos(A)t(x n −= (2.21)
Dedução no quadro
Forma senoidal da eq. (2.18)
onde 
fase de ângulo
x
x
arctg 
 amplitude 
x
xA
0
.
0n
2
n
0
.
2
0
=











=
=











+= (2.24)
(2.25)
tsen
x
tcosx)t(x n
n
o
.
n0 

+= (2.18)
)t(Asen)t(x n += (2.23)
Trabalho a domicílio
Observações
m
k
n =
stkmg =
(2.26)
(2.9)
1
st
n
g

= (2.28)
2 Freqüência Natural em Hz:
st
n
n
g
2
1
m
k
2
1
2
f

=

=


= (2.29)
Freqüência Natural em rad/s:
3 Período Natural em s
g
2
k
m
2
2
f
1 st
nn
n

==


== (2.30)
4 Deslocamento
)tcos(A)t(x n −= (2.21)
5 Velocidade
)
2
tcos(A)t(senA
dt
)t(dx
)t(x nnnn
. 
+−=−−==
6 Aceleração
)tcos(A)tcos(A
dt
)t(xd
)t(x n
2
nn
2
n
.
..
+−=−−==
Em relação ao deslocamento, a velocidade e a aceleração 
estão avançadas de /2 e  rad, respectivamente
Exemplo 2.1 - Reservatório de Água
Altura: 300 ft
Massa do reservatório c/água: 6 x 105 lb
Coluna: concreto (E = 4x106 psi), seção 
reta tubular (ext = 10 ft, int = 8 ft)
Calcular a freqüência 
natural da vibração 
transversal (horizontal)
Solução
Hz 159,0fn =
Dedução no quadro
Exemplo 2.4 – Escada Magirus
Peso da caçamba c/ bombeiro = 
2000 N
Material da escada: aço, E = 2,1 x 
1011 N/m2
Comprimentos: l1 = l2 = l3 = 3 m
Áreas: A1 = 20 cm2, A2 = 10 cm2, 
A3 = 5 cm2
Calcular a freqüência natural do sistema na 
direção vertical
Solução
Rigidezes dos braços:
N/m 10x5,3
3
10x5x10x1,2
l
EA
k
N/m 10x7
3
10x10x10x1,2
l
EA
k
N/m 10x14
3
10x20x10x1,2
l
EA
k
7
411
3
3
3
7
411
2
2
2
7
411
1
1
1
===
===
===
−
−
−
Rigidez equivalente 
(molas em série):
N/m 10x2k
10x5,3
1
10x7
1
10x14
1
k
1
k
1
k
1
k
1
7
b
777
321b
=
++=++=
Rigidez equivalente 
na vertical: N/m 10
2
2
x10x245coskk 7
2
7o2
b =








==
Freqüência natural 
na vertical:
rad/s 4723,221
81,9
2000
10
m
k 7
n ===
Exemplo 2.5 - 
Sistema de Polias
Calcular a freqüência 
natural do sistema
Solução
DCL na situação de equilíbrio estático:
)
k
1
k
1
(W4)
k
W2
k
W2
(2)xx(2x
2121
21 +=+=+=
x
W
k eq =
m
k eq
n =
)kk(4
kk
)
k
1
k
1
(W4
W
k
21
21
21
eq
+
=
+
=
)kk(m4
kk
m
)kk(4
kk
m
k
21
2121
21
eq
n
+
=
+
==
Ex. 2.8: Influência da massa da mola
Achar a massa equivalente à massa da mola que deve ser 
adicionada à massa principal m do sistema da figura
Energia cinética do elemento 
de mola dm:
2.
s ydm
2
1
dT =
Considerando a velocidadedo 
elemento de massa variando 
linearmente com y:
..
x
L
y
y =
Levando na expressão da 
energia cinética e integrando:
2.
s x
3
m
2
1
T =
A mola contribui com 1/3 de sua 
massa na freqüência natural do 
sistema
Ex. 2.9: Influência da massa da mola
Achar a massa equivalente à 
massa da viga que deve ser 
adicionada à massa principal 
do sistema da figura
Solução
L.T, pág. 
1034:
No caso, a = l: )xl3(
EI6
Px
)x(y
2
−=
Em termos de ymax = deformação na extremidade livre, x = l:
EI3
Pl
)ll3(
EI6
Pl
)l(yy
32
max =−==
3
max
l2
y
EI6
P
=
Substituindo na expressão de y(x): )xlx3(
l2
y
)x(y 32
3
max −=
Derivando, encontramos 
a velocidade: )xlx3(
l2
y
)x(y 32
3
max
.
.
−=
Energia cinética de um elemento de massa dm, distante x da 
extremidade engastada:
2.
ydm
2
1
dT =
Considerando
l
m
dx
dm
= )xlx3(
l2
y
)x(y 32
3
max
.
.
−=e
dx)xlx3(
l2
y
l
m
2
1
dT 232
2
3
max
.
−










=
Energia cinética 
de toda a viga:  −










=
l
0
232
2
3
max
.
dx)xlx3(
l2
y
l
m
2
1
T
Integrando:
2
max
.
ym
140
33
2
1
T =
Logo, a viga contribui com 
33/140 de sua massa na 
freqüência natural do sistema
Sistemas rotacionais
Vibração torcional: o corpo rígido oscila em 
torno de um eixo de rotação
Coordenada generalizada: um ângulo de 
rotação (t)
Causa da vibração livre: momento restaurador 
devido à gravidade ou a uma mola de torção
O movimento é provocado por um deslocamento 
angular inicial e/ou uma velocidade angular inicial 
Modelo para 1 GDL, rotacional, sem 
amortecimento
32
d
I
4
0

= (2.38)
l
GIM
k 0t
t =

= (2.39)
Aplicação ao Modelo para 1 GDL, 
rotacional, sem amortecimento
1. Coordenada selecionada: (t)
2. Origem da coordenada: posição de equilíbrio estático
3. DCL:
4. 2a Lei de Newton para a rotação (Equação de Euler):
..
0t JM
→→
=
..
0t Jk =− 0kJ t
..
0 =+ (2.40)
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, homogênea
0kxxm
..
=+ (2.3)Comparando com:
Matematicamente, constituem a mesma EDOL
Freqüência Angular 
Natural:
0
t
n
J
k
= (2.41)
0
tn
n
J
k
2
1
2
f

=


=Freqüência Natural: (2.42)
t
0
nn
n
k
J
2
2
f
1
=


== (2.43)Período Natural:
Obtenção do mesmo Modelo Matemático, a 
partir do Princípio da Conservação da Energia
01 - Determinar a energia cinética do sistema:
2.
J
2
1
T =
02 - Determinar a variação da energia potencial do sistema:
2
tk
2
1
U =
03 – Aplicar o Princípio da 
Conservação da Energia: 
T + U = constante
04 - Derivar: 0)UT(
dt
d
=+ (2.6)
05 - Substituir T e U na (2.6):
0)k
2
1
(
dt
d
 )J
2
1
(
dt
d 2
t
2.
=+
0k 
2
1
.2J
2
1
.2
.
t
...
=+
0kJ t
..
=+ (2.40)
Solução da equação (Resposta Livre)
Matematicamente, como é a mesma equação (2.3):
0kJ t
..
=+
tsentcos)t( n
n
o
.
n0 


+=
tsen
x
tcosx)t(x n
n
o
.
n0 

+=
Outras formas:
)tcos(A)t( n −=
fase de ânguloarctg
 amplitude A 
0n
0
.
2
n
0
.
2
0
=










=
=










+=
)t(Asen)t( n +=
fase de ânguloarctg 
anterior forma da mesma amplitude A
0
.
0n
=












=
==
Deslocamento
)tcos(A)t( n −=
Velocidade
)
2
tcos(A)t(senA
dt
)t(d
)t( nnnn
. 
+−=−−=

=
Aceleração
)tcos(A)tcos(A
dt
)t(d
)t( n
2
nn
2
n
.
..
+−=−−=

=
Em relação ao deslocamento, a velocidade e a aceleração 
estão avançadas de /2 e  rad, respectivamente
Exemplo 2.6 - Pêndulo Composto (ou Físico)
Calcular a freqüência natural da oscilação
Solução
1. Coordenada selecionada: (t)
2. Origem da coordenada: posição de equilíbrio estático
3. DCL:
4. 2a Lei de Newton para a rotação (Equação de Euler):
..
0t JM
→→
=
..
0Jmgdsen =− 0mgdsenJ
..
0 =+
EDO não-L de 2a ordem, coeficientes constantes, homogênea
Linearização: considerando pequenos ângulos : sen   
0mgdsenJ
..
0 =+ 0mgdJ
..
0 =+
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, homogênea
Dividindo por J0: 0
J
mgd
0
..
=+
Observação importante: o coeficiente de  (ou x) na EDOL na 
forma padrão é sempre o quadrado de n
Conclusão: podemos obter n a partir do modelo matemático
0
n
J
mgd
=
(forma padrão)
Aplicação importante: determinação de momentos de inércia de 
peças de geometria complexa
0
n
J
mgd
=
2
n
20
f4
mgd
J

=
J0 é o momento de inércia em relação ao centro de rotação 0
d é a distância do centro de rotação ao centro de massa
Se quisermos o momento de inércia em relação ao centro de 
massa, aplicamos o Teorema de Steiner:
2
G0 mdJJ +=
2
0G mdJJ −=
J
mgd
2
1
f
o
n

=
2
2
n
2G md
f4
mgd
J −

=
Procedimento 
Massa m: medida em uma balança
Distância d: obtida após a localização do 
centro de gravidade G
Freqüência natural fn: obtida pondo-se o 
corpo para oscilar e medindo-se o tempo 
que o mesmo leva para executar um certo 
número de oscilações
Com esses dados, obtemos o momento de 
inércia JG
Exemplo: a determinação do momento de inércia de uma biela, 
em relação ao seu centro de gravidade G, é de primordial 
importância para o estudo dinâmico do mecanismo biela-manivela 
de um motor de combustão interna
2
2
n
2G md
f4
mgd
J −

=
n em função do raio de giração k0:
2
00 mkJ =
2
0
2
0
n
k
gd
mk
mgd
==
Centro de Percussão: ponto A
dGAOA +=
Seja um pêndulo simples de mesma 
n que o pêndulo composto:
2
0
n
k
gd
l
g
==
d
k
l
2
0=
Por outro lado, pelo Teor. de Steiner: 2
G0 mdJJ +=
Ver prob. 2.61
2
G0 mdJJ += 22
G
2
0 mdmkmk += 22
G
2
0 dkk +=
d
d
k
d
k
l
2
G
2
0 +==
Se o ponto A é tal que
d
k
GA
2
G=
d
d
k
dGAOA
2
G +=+=
lOA =
Conclusão: o centro de percussão é um ponto do pêndulo físico onde 
se localizaria um pêndulo simples de mesma massa m e 
comprimento l = AO, apresentando a mesma n
Aplicações Práticas do Centro de Percussão
Martelo, taco de baseball, raquete de tênis:
O centro de percussão deve se localizar na região do impacto, e o 
centro de rotação na região da empunhadura
A força de impacto não causará vibração na(s) mão(s)
1
2
Pêndulo de Izod:
(teste de resistência ao choque)
O centro de percussão deve se 
localizar na região do impacto 
A força de impacto não causará 
reações impulsivas no pivô
Haverá redução na flexão e na 
deformação do pêndulo
3
Automóvel:
O centro de percussão A deve se 
localizar em um eixo e o centro de 
oscilação O no outro eixo 
Um impacto em O não causará 
reações no eixo traseiro, assim como 
um impacto em A não causará 
reações no eixo dianteiro
Pêndulo filar
Pode ser bifilar, trifilar, etc., conforme a quantidade de fios utilizados
O corpo rígido oscila conforme ilustra a figura abaixo: 
Modelagem matemática:
=−
=
..
z
..
zz
J
2
D
Tsen2
JM Da geometria da figura: 
= sen
2
D
senh
Pequenas oscilações (constitui o Método de Rayleigh, que permite 
obter diretamente a freqüência natural do sistema, sem 
a dedução do modelo matemático
Vejamos um exemplo ilustrativo
Exemplo 2.6 - Manômetro em U para motor Diesel
O escapamento de um motor Diesel 
estacionário, de 1 cilindro e 4 tempos, 
deve ser conectado a uma surdina 
cuja pressão interna deve ser medida 
com um manômetro de Hg
Calcular o comprimento mínimo do 
tubo do manômetro de tal modo que 
a freqüência natural da coluna de 
Hg seja 3,5 vezes menor que a 
freqüência da flutuação da pressão 
no interior da surdina quando o 
motor gira a 600 rpm
Solução
Vamos usar o Método de Rayleigh
2
max AX
2
X
AX
2
X
AXU =





−−=
2.2.
l
2.
max X
g
Al
2
1
X
g
W
2
1
Xm
2
1
T

===
Substituindo na equação (2.57):
Tmax = Umax
(2.57)
2
2.
AX
g
XAl
2
1
=

l
g2
n =2
2
n X
g2
)X(l
=

Freqüência da flutuação da pressão
(motor de 1 cilindro e 4 tempos):
2
pressão
n
)976,8(
g2
l
5,3
10
l
g2
5,3





rpm 300
2
600 x 1
2
rpm x cilindros .nr
pressão ===
rad/s 10rad/s 
60
2
x300pressão =

=
m 243,0l
57,80
81,9x2
l 
	Slide 1: 04 - Vibração Livre sem Amortecimento de Sistemas com 1 GDL
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	Slide 9: Procedimento para a obtenção do Modelo Matemático a partir da 2a Lei de Newton
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	Slide 12: Obtenção do mesmo Modelo Matemático, a partir do Princípio de D’Alembert
	Slide 13: Obtenção do mesmo Modelo Matemático, a partir do Princípio da Conservação da Energia
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