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CÁLCULO II - 18a LISTA DE EXERCÍCIOS - SOLUÇÕES
Questão 1 Para cada função a seguir, determine o gradiente de f , o gradiente no ponto P e a taxa
de variação de f em P na direção do vetor u⃗ fornecido.
(a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P (1, 2), u⃗ = ⟨ 5
13
, 12
13
⟩;
RESP. ∇f(x, y) = ⟨5y2 − 12x2y, 10xy − 4x3⟩ ⇒ ∇f(1, 2) = ⟨−4, 16⟩
Como o vetor u⃗ já é unitário: Duf(1, 2) = −4.
5
13
+ 16.
12
13
=
172
13
.
(b) f(x, y, z) = xe2yz, P (3, 0, 2), u⃗ = ⟨2
3
,−2
3
, 1
3
⟩:
RESP. ∇f(x, y, z) = ⟨e2yz, 2xz e2yz, 2xy e2yz⟩ ⇒ ∇f(3, 0, 2) = ⟨1, 12, 0⟩
Como o vetor u⃗ já é unitário: Duf(3, 0, 2) = 1.
2
3
+ 12.
(
−2
3
)
+ 0.
1
3
= −22
3
.
Questão 2 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v⃗.
a) f(x, y) = 1 + 2x
√
y, (3, 4), v⃗ = ⟨4,−3⟩
RESP.
∇f(x, y) =
⟨
2
√
y,
x
√
y
⟩
⇒ ∇f(3, 4) =
⟨
4,
3
2
⟩
Como |v⃗| = 5, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
4
5
,−3
5
⟩
 ⇒ Duf(3, 4) = 4.
4
5
− 3
2
.
3
5
=
23
10
b) f(x, y) = ln (x2 + y2), (2, 1), v⃗ = ⟨−1, 2⟩
RESP.
∇f(x, y) =
⟨
2x
x2 + y2
,
2y
x2 + y2
⟩
⇒ ∇f(2, 1) =
⟨
4
5
,
2
5
⟩
Como |v⃗| =
√
5, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
− 1√
5
,
2√
5
⟩
 ⇒ Duf(2, 1) = −4
5
.
1√
5
+
2
5
.
2√
5
= 0
c) g(r, s) = tan−1(rs), (1, 2), v⃗ = 5i+ 10j
RESP. Observe que o arco tangente tem a seguinte derivada:
(
tan−1 x
)′
=
1
1 + x2
.
∇g(r, s) =
⟨
s
1 + (rs)2
,
r
1 + (rs)2
⟩
⇒ ∇g(1, 2) =
⟨
2
5
,
1
5
⟩
Como |v⃗| = 5
√
5, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
1√
5
,
2√
5
⟩
 ⇒ Dug(1, 2) =
2
5
.
1√
5
+
1
5
.
2√
5
=
4
5
√
5
d) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v⃗ = ⟨5, 1,−2⟩
RESP.
∇f(x, y, z) = ⟨ey + zex, xey + ez, yez + ex⟩ ⇒ ∇f(0, 0, 0) = ⟨1, 1, 1⟩
Como |v⃗| =
√
30, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
5√
30
,
1√
30
,− 2√
30
⟩

⇒ Duf(0, 0, 0) = 1.
5√
30
+ 1.
1√
30
− 1.
2√
30
=
4√
30
e) f(x, y, z) =
√
xyz, (3, 2, 6), v⃗ = ⟨−1,−2, 2⟩.
RESP.
∇f(x, y, z) =
⟨
1
2
√
yz
x
,
1
2
√
xz
y
,
1
2
√
xy
z
⟩
⇒ ∇f(3, 2, 6) =
⟨
1,
3
2
,
1
2
⟩
Como |v⃗| = 3, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
−1
3
,−2
3
,
2
3
⟩

⇒ Duf(3, 2, 6) = −1.
1
3
− 3
2
.
2
3
+
1
2
.
2
3
= −1
Questão 3 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
θ fornecido.
a) f(x, y) = x2y3 − y4, (2, 1), θ =
π
4
RESP. Nesta questão a única novidade em relação às anteriores é que o vetor u⃗ precisa ser
calculado a partir do ângulo dado. A figura abaixo ilustra o método trigonométrico para isso.
∇f(x, y) = ⟨2xy3, 3x2y2 − 4y3⟩ ⇒ ∇f(2, 1) = ⟨4, 8⟩
Como θ =
π
4
, o vetor unitário será u⃗ =
⟨√
2
2
,
√
2
2
⟩
 ⇒ Duf(2, 1) = 4.
√
2
2
+ 8.
√
2
2
= 6
√
2
b) f(x, y) = ye−x, (0, 4), θ =
2π
3
RESP.
∇f(x, y) =
⟨
−ye−x, e−x
⟩
⇒ ∇f(0, 4) = ⟨−4, 1⟩
Como θ =
2π
3
, o vetor unitário será u⃗ =
⟨
−1
2
,
√
3
2
⟩
 ⇒ Duf(0, 4) = 4.
1
2
+
√
3
2
= 2 +
√
3
2
Questão 4 Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P (2, 8) na direção de Q(5, 4).
RESP. A direção é dada pelo vetor P⃗Q = ⟨5− 2, 4− 8⟩ = ⟨3,−4⟩, com módulo |P⃗Q| = 5, e portanto
u⃗ =
|P⃗Q|
P⃗Q
=
⟨
3
5
,−4
5
⟩
∇f(x, y) =
⟨
1
2
√
y
x
,
1
2
√
x
y
⟩
⇒ ∇f(2, 8) =
⟨
1,
1
4
⟩
 ⇒ Duf(2, 8) = 1.
3
5
− 1
4
.
4
5
=
2
5
Questão 5 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso
ocorre.
a) f(x, y) =
y2
x
, (2, 4)
RESP. A taxa de variação máxima de f(x, y) no ponto (a, b) é |∇f(a, b)| e ocorre na direção e
sentido de ∇f(a, b).
∇f(x, y) =
⟨
−y2
x2
,
2y
x
⟩
⇒ ∇f(2, 4) = ⟨−4, 4⟩
|∇f(2, 4)| = 4
√
2 , com vetor diretor unitário u⃗ =
⟨
− 1√
2
,
1√
2
⟩
b) f(x, y) = sin(xy), (1, 0)
RESP.
∇f(x, y) = ⟨y cos(xy), x cos(xy)⟩ ⇒ ∇f(1, 0) = ⟨0, 1⟩
|∇f(1, 0)| = 1 , com vetor diretor unitário u⃗ = ⟨0, 1⟩
Questão 6 Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente em (x, y) na direção
oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de −∇f(x, y). A partir daí, determine a direção na
qual f(x, y) = x4y − x2y3 decresce mais rápido no ponto (2,−3).
RESP. A taxa de variação de uma função diferenciável no ponto (x, y) e na direção especificada pelo
vetor unitário u⃗ é dada pela derivada direcional, construída a partir do seguinte produto escalar:
Duf(x, y) = ∇f(x, y).u⃗ = |∇f(x, y)|.|u⃗|. cos θ = |∇f(x, y)|. cos θ
onde θ é o ângulo entre os vetores ∇f(x, y) e u⃗. Portanto, o valor mínimo (decrescimento mais
rápido) ocorre quando θ = π, ou seja, quando ∇f(x, y) e u⃗ estão na mesma direção e sentido
opostos, fornecendo cos θ = −1 e portanto o valor mínimo de −|∇f(x, y)|.
Aplicando esse resultado à função dada, temos
∇f(x, y) =
⟨
4x3y − 2xy3, x4 − 3x2y2
⟩
⇒ ∇f(2,−3) = ⟨12,−92⟩
Portanto, a direção de decrescimento mais rápido é dada pelo vetor (não unitário) ⟨−12, 92⟩ .
Questão 7 Determine as direções em que a derivada direcional de f(x, y) = ye−xy no ponto (0, 2)
tem valor 1.
RESP.
∇f(x, y) =
⟨
−y2e−xy, (1− xy)e−xy
⟩
⇒ ∇f(0, 2) = ⟨−4, 1⟩
A forma geral para um vetor unitário é u⃗ = ⟨cos θ, sen θ⟩, onde θ é o ângulo entre o vetor e o semi-eixo
positivo x. A derivada direcional nessa direção, calculada no ponto (0, 2), é
Duf(0, 2) = −4 cos θ + sen θ
Portanto, procuramos θ tal que −4 cos θ + sen θ = 1, ou seja, sen θ = 1 + 4 cos θ. Assim,
1 = sen2θ + cos2 θ = (1 + 4 cos θ)2 + cos2 θ
17 cos2 θ + 8 cos θ + 1 = 1 ⇒ (17 cos θ + 8) cos θ = 0 ⇒
 cos θ = 0 ⇒ sen θ = 1
cos θ = − 8
17
⇒ sen θ = −15
17
As direções são especificadas pelos vetores unitários

u⃗1 = ⟨0, 1⟩
u⃗2 =
⟨
− 8
17
,−15
17
⟩
Questão 8 Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x, y) =
x2 + y2 − 2x− 4y é î+ ĵ.
RESP. Começamos calculando o gradiente, vetor que aponta na direção de maior variação de f :
∇f(x, y) = ⟨2x− 2, 2y − 4⟩
No enunciado está sendo dito que os pontos (x, y) buscados são aqueles para os quais o vetor
⟨2x− 2, 2y − 4⟩ está na mesma direção e sentido do vetor î + ĵ = ⟨1, 1⟩. Portanto, deve haver
uma constante de proporcionalidade α > 0 tal que
⟨2x− 2, 2y − 4⟩ = α⟨1, 1⟩ ⇒

2x− 2 = α ⇒ x =
α
2
+ 1
2y − 4 = α ⇒ y =
α
2
+ 2
 ⇒ y =
(α
2
+ 1
)
+ 1 = x+ 1
Portanto a solução do problema são todos os pontos (x, y) tais que y = x+ 1 e x > 1 .
Obs. A condição x > 1 segue da condição α > 0. Note que no limiar dessa condição teríamos x = 1
e y = 2, resultando em ∇f(1, 2) = ⟨0, 0⟩, que naturalmente não tem a direção e sentido de ⟨1, 1⟩.
Para x