Questão 4 Determine a derivada direcional de f(x, y) = √xy em P (2, 8) na direção de Q(5, 4).

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = \sqrt{xy} \) no ponto \( P(2, 8) \) na direção do ponto \( Q(5, 4) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o vetor direção: O vetor direção \( \mathbf{u} \) é dado pela diferença entre os pontos \( Q \) e \( P \): \[ \mathbf{u} = Q - P = (5 - 2, 4 - 8) = (3, -4) \] 2. Normalize o vetor direção: O vetor unitário \( \mathbf{u} \) é obtido dividindo o vetor direção pelo seu módulo: \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Portanto, o vetor unitário é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right) \] 3. Calcule o gradiente de \( f \): Primeiro, encontramos as derivadas parciais de \( f \): \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{xy} \right) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y \] \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{xy} \right) = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x \] Agora, avaliamos o gradiente em \( P(2, 8) \): \[ f_x(2, 8) = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 8}} \cdot 8 = \frac{8}{2 \cdot 4} = 1 \] \[ f_y(2, 8) = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 8}} \cdot 2 = \frac{2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \] Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(2, 8) = \left( 1, \frac{1}{4} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada pelo produto escalar do gradiente e do vetor unitário: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f(2, 8) \cdot \mathbf{u} = \left( 1, \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{-4}{5} \right) \] \[ D_{\mathbf{u}} f = 1 \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] Portanto, a derivada direcional de \( f \) em \( P(2, 8) \) na direção de \( Q(5, 4) \) é \( \frac{2}{5} \).