Cálculo 2: Funções e Derivadas

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Ciclo de Oficinas: 
 Revisão de Cálculo 2 
 
 
Funções de Várias Variáveis 
Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números 
reais (x, y) de um domínio D um único valor real, denotado por f(x, y). O conjunto D é 
chamado domínio de f e sua imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de f, ou 
seja, {f(x, y) : (x, y) ∈ D}. 
Escrevemos z = f(x, y) para tornar explícitos os valores tomados por f em (x, y). Nesse caso, 
x e y representam as variáveis independentes e z é a variável dependente. 
 
Limite de Várias Variáveis 
Os limites são descritos da seguinte forma: 
 
Para resolvê-los basta analisar a forma que a função tende aos pontos desejados, 
utilizando as diferentes estratégias do Cálculo 1, para evitar indeterminações matemáticas. 
Exemplo: Resolva lim
[𝑥,𝑦]→[1,−2]
4𝑥2−𝑦2
2𝑥+𝑦
 . 
Resolução: 
4𝑥2 − 𝑦2
2𝑥 + 𝑦
=
2𝑥2 − 𝑦2
2𝑥 + 𝑦
=
(2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦)
2𝑥 + 𝑦
= 2𝑥 − 𝑦 
 
lim
[𝑥,𝑦]→[1,−2]
2𝑥 − 𝑦 = 2. (1) − (−2) = 4 
 
Derivadas Parciais 
As derivadas parciais são denotadas dessa forma: 
 
São lidas como “Derivada Parcial de f(x,y) em relação a x/y”. 
 
Para resolvê-las você é preciso derivar a função apenas em relação a x tratando y como 
constante, depois disso deve ser usada a mesma função e derivá-la em relação a y tratando 
x como constante. 
 
Exemplo: Faça as derivadas parciais de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2 + 𝑦4 − 2𝑥𝑦3. 
 
Resolução: 
 
5.2𝑥 − 2𝑦3. 1 = 10𝑥 − 2𝑦3 
 
4𝑦3 − 2𝑥. 3𝑦2 = 4𝑦3 − 6𝑥𝑦2 
 
Vetor Gradiente 
Eles são denotados dessa forma: 
 
O vetor gradiente é usado quando quer se achar o vetor normal na curva de nível. 
 
Para resolvê-lo devem ser feitas as derivadas parciais e substituir o ponto dado pelo 
exercício em seu resultado. 
 
 Exemplo: Encontre o vetor gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑝(1,2). 
 
Resolução: 
 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 
∇𝑓(1,2) == 
 
Derivadas Direcionais 
São denotadas dessa forma: 
 
 
𝜕𝐹
𝜕𝑢
(𝑎, 𝑏) = 𝑢. ∇𝐹(𝑎, 𝑏) 
 
Onde “u” é o vetor unitário e ∇𝐹(𝑎, 𝑏) é o gradiente, lê-se: “A derivada de F na direção de 
um vetor u unitário em um determinado ponto será o produto escalar do vetor u unitário 
e o vetor gradiente”. 
 
Para resolvê-lo deve-se fazer as derivadas parciais da função, substituir os pontos dados 
pelo exercício em seu resultado em seguida calcular o módulo do vetor “u” e montar o 
unitário, aplicando na fórmula e fazendo o produto escalar de u e o vetor gradiente 
teremos o resultado. 
 
 Exemplo: Dado, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦3 com ponto p(1,1) e unitário u = 3i - 4j determine a 
derivada direcional. 
 
 Resolução: 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 + 2𝑦3 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑥2 + 6𝑥𝑦2 
 
∇𝑓(1,1) = 
∇𝑓(1,1) = 
 
 |𝑢| = √32 + (−42) = 5 
 
Unitário =
5
= 
 
𝜕(1,1)
𝜕𝑢
= . 
 
 
= 4 .
3
5
+ 7.
−4
5
= 
12
5
−
28
5
= 
−16
5
 
 
Multiplicadores de Lagrange 
São denotados dessa forma: 
 
Onde 𝜆 é o multiplicador de Lagrange e ∇𝑔(𝑥, 𝑦) é o vetor gradiente. 
 
• Usado para obter valores máximos e mínimos condicionados. 
• Precisa-se de uma função f(x,y) para maximizar ou minimizar e uma restrição do tipo 
g(x,y)=0. 
• Vamos procurar máximo e mínimo de f somente em cima da curva de equação 
g(x,y)=0. 
 
 
Exemplo: Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsoide 
36𝑥2 + 9𝑦2 + 4𝑧2 = 36, se os lados forem paralelos aos eixos coordenados. 
 
Resolução: 
Para resolvê-lo, primeiro deve-se identificar no exercício quem será a função f(x,y) e quem 
será a restrição g(x,y)=0; O exercício pede o volume, na matemática o volume é 
comprimento vezes altura vezes largura, então pode-se colocar em função de três 
variáveis x.y.z; 
 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥. 𝑦. 𝑧(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) - Função 
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 36𝑥2 + 9𝑦2 + 4𝑧2 − 36 = 0 - Restrição 
 
Depois de achadas serão feitas as derivadas parciais da função f(x,y) e da restrição; 
 
V(x,y,z) 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= 𝑦𝑧 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 𝑥𝑦 
 
g(x,y,z) 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
= 72𝑥 
𝜕𝑔
𝜕𝑦
= 18𝑦 
𝜕𝑔
𝜕𝑧
= 8𝑧 
 
Em seguida deve ser montado o sistema aplicando Lagrange; 
 
{
𝑦𝑧 = 72𝑥𝜆
𝑥𝑧 = 18𝑦𝜆
𝑥𝑦 = 8𝑧𝜆
 
 
 
 36𝑥2 + 9𝑦2 + 4𝑧2 = 36 
 
A partir daqui cada exercício tem um método diferente de fazer, nesse caso usa-se o 
método da adição, que consiste em multiplicar em cada lado das equações do sistema a 
variável que falta e após isso somar as equações; 
 
{
𝑥𝑦𝑧 = 72𝑥2𝜆
𝑥𝑦𝑧 = 18𝑦2𝜆
𝑥𝑦𝑧 = 8𝑧2𝜆 
 + 
------------------------ 
 
3𝑥𝑦𝑧 = 72𝑥2 + 18𝑦2 + 8𝑧2 
 
3𝑥𝑦𝑧 = 2𝜆(36𝑥2 + 9𝑦2 + 4𝑧2) 
 
nota-se que essa equação em evidência é a mesma da restrição e portanto vale 36, 
substituindo... 
 
3𝑥𝑦𝑧 = 2𝜆(36) 
 
𝑥𝑦𝑧 =
72𝜆
3
 
 
𝑥𝑦𝑧 = 24𝜆 
 
Agora substitui-se o valor de xyz em cada uma das equações do sistema e encontrados os 
valores de x, y e z; 
 
24𝜆 = 72𝑥2𝜆 𝑥2 =
24𝜆
72𝜆
 𝑥 = √
1
3
 𝑥 =
√3
3
 
 
24𝜆 = 18𝑦2𝜆 𝑦2 =
24𝜆
18𝜆
 𝑦 = √
4
3
 𝑦 =
2√3
3
 
 
24𝜆 = 8𝑧2𝜆 𝑧2 =
24𝜆
8𝜆
 𝑧2 = 3 𝑧 = √3 
 
O exercício pede o valor do volume, que como foi analisado é o V(x,y,z) = x.y.z, 
substituindo x, y e z na fórmula teremos: 
 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧 
 
𝑉 = 
√3
3
 .
2√3
3
 . √3 
 
𝑉 =
2√3
3
 
 
 
 
Integrais duplas 
Integrais duplas são uma forma de integrar sobre uma área bidimensional. Entre outras 
coisas, elas nos permitem calcular o volume sob uma superfície. 
São escritas assim: 
 
Para resolvê-las utilizamos o Teorema de Fubini que consiste em primeiro resolver a 
integral de dentro e com o resultado obtido, aplicamos na integral de fora para resolvê-la. 
 
 
Imagem: Teorema de Fubini 
 
• As integrais duplas sempre vão resultar em um número, nunca em uma função 
• Elas podem ser escritas como “dxdy” ou “dydx”. 
 
Exemplo: Resolva a integral ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
2
1
. 
 
Resolução: 
 
∫ (𝑥2 + 𝑦
1
0
)𝑑𝑥 = 
𝑥3
3
+ 𝑥𝑦 |0
1 
 
(
13
3
+ 1𝑦) − (
03
3
+ 0𝑦) = 
1
3
+ 𝑦 
 
∫ (
1
3
+ 𝑦
2
1
)𝑑𝑦 =
1
3
𝑦 +
𝑦2
2
 |1
2 
 
(
1
3
2 +
22
2
) − (
1
3
1 +
12
2
) =
2
3
+ 2 −
1
3
−
1
2
=
11
6
 
 
 
Integrais Triplas 
Integrais triplas são o análogo de integrais duplas só que em três dimensões. Elas são 
usadas para somar infinitamente grandezas infinitesimais associadas a pontos em uma 
região tridimensional. 
São escritas dessa forma:
 
 
 
 
 
• Da mesma forma que as duplas, as triplas também são resolvidas pelo Teorema de 
Fubini. 
• Lembre-se, as integrais duplas e triplas sempre vão resultar em um número, nunca 
uma função. 
• As integrais triplas podem ser escritas em mais de uma maneira, assim como as duplas. 
 
 
Exemplo: Resolva a integral ∭ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑉
𝐵
 no intervalo 
𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; −1 ≤ 𝑦 ≤ 2 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. 
 
Resolução: 
 Primeiro se resolve a integral de dentro; 
∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦
1
0
3
0
2
−1
 
 
∫ 𝑥𝑦𝑧2 =
𝑥2
2
𝑦𝑧2|0
1
1
0
 
 
(
12
2
𝑦𝑧2) − (
02
2
𝑦𝑧2) =
𝑦𝑧2
2
 
 
O resultado é aplicado na integral do meio e resolvido; 
 
∫
𝑦𝑧2
2
3
0
𝑑𝑧 = 𝑦
𝑧3
6
|0
3 
 
(𝑦
33
6
) − (𝑦
03
6
) =
9𝑦
2
 
 
Por fim, esse resultado é aplicado na integral de fora obtendoa resposta final; 
 
∫
9𝑦
2
2
−1
𝑑𝑦 =
9
4
𝑦2|−1
2 
 
(
9
4
22) − (
9
4
−12) =
27
4
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Marcos Eduardo Valle. Funções de Várias Variáveis. Dispnível em: https://www.ime.unicamp.br. 
Acesso em: 27 ago. 2021. 
 
Omatemático.com. Grings – Limites de Funções com Duas Variáveis - Aula 1. Disponível em: 
. Grings - Limites de Funções de duas 
Variáveis - Aula 1. Acesso em 27 ago. 2021. 
 
Responde Aí. Cálculo 2A. Disponível em: 
https://www.respondeai.com.br/materias/362/guia/29605. Acesso em: 27 ago. 2021. 
 
Leithold Louis. Cálculo com Geometria analítica vol. 2. 3ª edição. HARBRA ltda, 1990. 
 
Khan Academy. Integrais duplas e triplas. Disponível em: 
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/triple-integrals-topic/a/triple-integrals. Acesso em: 27 ago. 2021. 
 
Prof. MURAKAMI – MATEMÁTICA RAPIDOLA. Cálculo 2. Disponível em: 
https://www.youtube.com/c/Rapidola/featured. Acesso em: 27 ago. 2021
https://www.ime.unicamp.br./
https://www.respondeai.com.br/materias/362/guia/29605
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/triple-integrals-topic/a/triple-integrals
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/triple-integrals-topic/a/triple-integrals
https://www.youtube.com/c/Rapidola/featured