Cálculo DiferencialAPZXQM

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**Resposta:** B) 5 
**Explicação:** Para calcular esse limite, dividimos todos os termos pelo maior grau de \( 
x \) no denominador: 
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{4}{x}}{2 - \frac{3}{x^3}} = \frac{5 + 0}{2 - 0} = \frac{5}{2}. \] 
 
47. Calcule a integral \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx \). 
A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
B) \( x^3 - 4x^2 + x + C \) 
C) \( x^3 - 4x + 1 + C \) 
D) \( x^3 - 2x + C \) 
**Resposta:** A) \( x^3 - 2x^2 + x + C \) 
**Explicação:** A antiderivada de \( 3x^2 - 4x + 1 \) é \( x^3 - 2x^2 + x + C \). 
 
48. Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \)? 
A) \( y = 2x - 1 \) 
B) \( y = 2x + 1 \) 
C) \( y = x + 1 \) 
D) \( y = 1 + 2(x - 1) \) 
**Resposta:** A) \( y = 2x - 1 \) 
**Explicação:** A derivada de \( y = x^2 \) é \( y' = 2x \). No ponto \( x = 1 \), temos \( y' = 2(1) 
= 2 \). A equação da reta tangente é \( y - 1 = 2(x - 1) \), que simplifica para \( y = 2x - 1 \). 
 
49. Encontre a integral definida \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** A antiderivada de \( 4x^3 - 3x^2 + 2 \) é \( x^4 - x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 
1: 
\[ \left[ (1)^4 - (1)^3 + 2(1) \right] - \left[ 0 \right] = 1 - 1 + 2 = 2. \] 
 
50. Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
C) \( \frac{1}{2x} \) 
D) \( 2\sqrt{x} \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
51. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \). 
 
52. Qual é a solução da equação \( y' + y = e^{-x} \)? 
A) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
B) \( y = Ce^{x} + 1 \) 
C) \( y = Ce^{-x} - 1 \) 
D) \( y = Ce^{x} - 1 \) 
**Resposta:** A) \( y = Ce^{-x} + 1 \) 
**Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral 
é dada pela soma da solução homogênea \( y_h = Ce^{-x} \) e uma solução particular \( 
y_p = 1 \). 
 
53. Determine a integral \( \int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3) \, dx \). 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
**Resposta:** B) 2 
**Explicação:** A antiderivada de \( 5x^4 - 4x^3 + 3 \) é \( x^5 - x^4 + 3x \). Avaliando de 0 a 
1: 
\[ \left[ (1)^5 - (1)^4 + 3(1) \right] - \left[ 0 \right] = 1 - 1 + 3 = 3. \] 
 
54. Qual é a derivada da função \( f(x) = \sin(x^2) \)? 
A) \( 2x \cos(x^2) \) 
B) \( \cos(x^2) \) 
C) \( 2 \sin(x^2) \) 
D) \( 2x \sin(x^2) \) 
**Resposta:** A) \( 2x \cos(x^2) \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = \cos(x^2) 
\cdot 2x = 2x \cos(x^2) \). 
 
55. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 2 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k 
\), onde \( k = 2 \), temos: 
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2. \] 
 
56. Qual é a solução da equação \( y' + 4y = 8 \)? 
A) \( y = Ce^{-4x} + 2 \) 
B) \( y = Ce^{4x} + 2 \) 
C) \( y = Ce^{-4x} - 2 \) 
D) \( y = Ce^{4x} - 2 \) 
**Resposta:** A) \( y = Ce^{-4x} + 2 \)