Fundamentação Numérica _ Volume 2

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FORMARE – Turma 2023 
FUNDAMENTAÇÃO NUMÉRICA 
12/10/2023 
 
 
Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 84 
CAPITULO 13 – Polinômios 
 
13.1 – Definição 
 
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida por: 
 
P(x) = an.x
n + an-1.x
n-1 + an-2.x
n-2 + … + a2.x
2 + a1.x + a0. 
Onde: 
 an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0  , são chamados coeficientes. 
 n   
 n define o grau do polinômio. 
 x   é a variável. 
 
Exemplo: 
• P (x) = x4 + 7x3 + 6x 2 - 7x + 8 
 
13.2 – Soma Algébrica de Polinômios 
 
A adição (ou subtração) de polinômios se dá com a soma (ou subtração) dos coeficientes para variáveis 
comuns. 
Sejam os polinômios 
• P1 (x) = x4 + 7x3 + 6x2 - 7x + 8 e P2 (x) = 3x3 + 4x2 - 2x + 18 
Então: 
• P1 (x) + P2 (x) = x4 + 10x3 + 10x2 - 9x + 26 
• P1 (x) - P2 (x) = x4 + 4x3 + 2x2 - 5x - 1 0 
 
13.3 – Multiplicação de Polinômios 
 
A multiplicação de um polinômio se dá na multiplicação de cada um dos elementos de um polinômio por 
cada elemento do outro polinômio. 
 
Sejam os polinômios 
 P1 (x) = 6x2 - 7x + 8 e P2 (x) = - 2x + 18 
 
Então: 
 P1 (x) . P2 (x) = (6x2 - 7x + 8) . (- 2x + 18) 
 P1 (x) . P2 (x) = - 12x3 + 122x2 - 142x + 144 
 
13.4 – Divisão de Polinômios 
 
Como regra geral a divisão de um polinômio P1(x) - definido como numerador - por um polinômio P2(x) - 
definido como denominador - segue o mesmo esquema da multiplicação, dividindo elemento por elemento do 
primeiro pelo segundo. 
Só que nesse caso o resto de cada divisão deve ser somado aos elementos de mesmo grau do numerador 
antes da próxima divisão do elemento seguinte. 
Uma dos algoritmos utilizados é o método da chave: 
 
 
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Assim como é realizado com números, onde temos o dividendo, o quociente, o divisor e o resto, a divisão 
de polinômios tem seus elementos definidos da seguinte forma: 
 
 
13.5 – Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
O dispositivo de Briot-Ruffini é um algoritmo utilizado para dividir um polinômio p(x) (de qualquer grau) 
por um polinômio de grau 1, ou seja, na forma ax + b. 
Exemplo: 
Dividir o polinômio P(x) = x3 − 4x + 2 por Q(x) = x − 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.6 – Teorema do Resto 
 
O resto da divisão de um polinômio p(x) por x − a é igual ao valor numérico de p(a). 
Considerando que a divisão de p(x) por x − a resulta um quociente q(x) e um resto r, temos: 
 
• p(x) = (x − a) . q(x) + r 
• Fazendo x = a, temos: 
• p(a) = (a−a) . q(a) + r 
• p(a) = 0 . q(a) + r 
• p(a) = 0 + r 
• P(a) = r 
 
Observação: Na substituição de x por a, o resto r não muda, pois é um valor constante. 
 
13.7 – Exemplos 
 
1. Sabendo que o polinômio f(x) = x3 − 6x2 + 3x + 10 é divisível por g(x) = x − 2, resolva a equação x3 − 6x2 + 
3x + 10 = 0. 
2. Determine o valor de a de modo que p(x) = 2x3 + 5x2 − ax + 2 seja divisível por h(x) = x − 2. 
3. Verifique se o polinômio p(x) = x2 − 3x + 2 é divisível por x + 3 
4. Determine b e c de modo que o polinômio p(x) = x4 + x2 + bx + c seja divisível por d1(x) = x − 2, mas 
quando dividido por d2(x) = x + 2, deixe resto igual a 4. 
5. Determine o polinômio p(x) de grau 3 que se anula para x = 1 e que, dividido por x + 1, x − 2 e x + 2, 
apresenta resto igual a 6. 
 
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13.8 - Exercícios 
 
1 - (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 − 1 é divisível por x2 + x − 1, então m é igual a: 
 
a) −2 b) −1 c) 1 d) 2 e) −3 
 
2 - (UESB) Se P(x) = xn − x(n−1) + x(n−2) −... + x2 – x + 1 e P(−1) = 19, então n é igual a: 
 
a) 12 b) 14 c) 16 d) 10 e) 18 
 
3 - (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 − 2x2 − 4x – 21 por x + 3, obtêm-se: 
 
a) x3 − 2x2 + x − 12 com resto nulo. 
b) x3 − 2x2 + 3 com resto 16. 
c) x3 − x2 − 13x + 35 e resto 84. 
d) x3 − x2 −3 x + 1 com resto 2. 
e) x3 − x2 + x − 7 e resto nulo. 
 
4 - (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 −4x3 – kx − 75 por (x−5) é 10, o valor de k é: 
 
a) −5 b) −4 c) 5 d) 10 e) 8 
 
5 - (UFRJ) Dados os polinômios: p(x) = 5 − 2x + 3x2, q(x) = 7+ x + x2 − x3 e r(x) = 1 − 3x + x4, o valor de p(x) + 
r(x) − q(x) para x = 2 é: 
 
a) 5 b) 19 c) 11 d) 24 e) 14 
 
6 – (Fuvest-2009) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando 
dividido por x − 2 e x − 1 respectivamente. Assim, o valor de a é: 
a) −6 b) −7 c) −8 d) −9 e) −10 
7 - (UNICAMP) O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 − 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 −4 é: 
 
a) R(x) = 2x − 2 
b) R(x) = −2x + 4 
c) R(x) = x + 2 
d) R(x) = 4x − 4 
e) R(x) = −x + 4 
8 - (ITA) Um Polinômio P(x), dividido por x − 1 dá resto 3. O quociente desta divisão é então dividido por x−2, 
obtendo-se resto 2. O resto da divisão de P(x) por (x−1)(x−2) será? 
a) 3x+2 b) 3x−1 c) 2x+1 d) 4−x e) nda 
 
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CAPITULO 14 – Probabilidade 
14.1 - Definição 
 
Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, 
permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação de 
intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o imprevisível. 
A probabilidade teve o início de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes 
para o estudo da teoria das probabilidades. 
 
14.2 – Experimento Aleatório 
 
É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis, mesmo quando repetido 
em semelhantes condições. 
 
Ex: No lançamento de um dado honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4 ,5 e 6, ou seja, o resultado é 
incerto. 
 
14.3 – Espaço Amostral 
 
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. 
Indicaremos por U. Vejamos alguns exemplos: 
a) Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } 
b) Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa} 
c) Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino} 
 
14.4 - Evento 
 
Evento é todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório. Considere o 
experimento aleatório do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
vejamos agora os seguintes eventos: 
 
A: Um número par  A = {2, 4, 6} 
B: Um número par e primo  B = {2} (evento simples ou elementar) 
C: Um número maior que 6  C = Ø (evento impossível) 
D: Um número menor que 7  D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (evento certo) D = U 
E: Um número menor ou igual 4  E = {1, 2, 3, 4} 
F: Um número maior ou igual a 4  F = {4, 5, 6} 
 
Observe que E  F = U, logo, E e F são chamados de eventos complementares. 
Indicaremos o complementar de um evento A por Ā. 
 
G: Um número menor que 3  G = {1, 2} 
H: um número maior que 3  H = {4, 5, 6}, 
 
Observe que G  H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos. 
 
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14.5 - Probabilidade de um Evento em um Espaço Amostral Finito 
 
Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento 
A o número P(A) tal que: 
𝑷(𝑨) = 
𝒏(𝑨)
𝒏(𝑼)
, onde 
 
𝒏(𝑨) = número de elementos do evento A 
e 
𝒏(𝑼) = número de elementos do espaço amostral U111
2

x
x . 
a) x 2 
b) -314.6 - Probabilidade da União de Dois Eventos 
 
Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então: 
 
P(A  B) = P( A ) + P( B ) – P (A  B) 
Se A  B =  , teremos: 
P(A  B) = P( A ) + P( B ) 
 
14.7 - Probabilidade do Evento Complementar 
 
Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então: 
 
P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A) 
 
14.8 - Multiplicação de Probabilidades 
 
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que: 
 
- O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A); 
- O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B); 
- O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C); 
- O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), 
 
então a probabilidade de os eventos A, B, C e N ocorram nessa ordem é: 
 
P = P( A ). P( B ). P( C ). ... .P(N) 
 
14.9 - Probabilidade Condicional 
 
Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-
se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por: 
 
𝑷(𝑨/𝑩) = 
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
 
 
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14.10 – Exercícios 
 
01 - (ENEM/2011) Todo o país passa pela primeira 
fase de campanha de vacinação contra a gripe suína 
(H1N1). Segundo um médico infectologista do 
Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização 
“deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a 
vacina, de acordo com ele, o Brasil tem chance de 
barrar uma tendência do crescimento da doença, que 
já matou 17 mil no mundo. A tabela ao lado apresenta 
dados específicos de um único posto de vacinação. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser 
portadora da doença crônica é: 
 
a) 8% b) 9% c) 11% d) 12% e) 22% 
 
02 - (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer exatamente 2 
filhos homens e decidiu que, se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria, procurar um clínica para fazer um 
tratamento específico para garantir que teria os dois filhos homens. Após os cálculos, o casal concluiu que a 
probabilidade de ter exatamente 2 filhos homens é: 
 
a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento. 
d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. 
e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um tratamento. 
 
03 - (ENEM/2009/PROVA ANULADA) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) 
revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo 
lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 
mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente. 
Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6 jan. 2009. 
De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos 
atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é: 
 
a) 2/17 b) 5/17 c) 2/5 d) 3/5 e) 12/17 
 
04 - (ENEM/2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as 
quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta 
o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas 
em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo 
jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo 
resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é: 
 
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. 
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a 
escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a 
escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha 
de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. 
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. 
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05 - (ENEM/2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à 
organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram 
fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-
lo: 
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; 
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; 
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. 
 
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam 
as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso 
do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se: 
 
a) P(I)que deveriam ser 
inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no 
gráfico ao lado. Escolhendo aleatoriamente, uma das outras 
regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma 
região que seja adequada às recomendações médicas é: 
 
a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4 
 
09 - (ENEM/2011) O gráfico mostra a velocidade de conexão à 
internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são 
resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo 
Comitê Gestor da Internet (CGI). Escolhendo-se, 
aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver 
banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? 
 
a) 0,45 b) 0,42 c) 0,30 d) 0,22 e) 0,15 
 
 
10 - (ENEM/2012) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis 
faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar 
seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua 
soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior 
probabilidade de acertar sua respectiva soma é: 
 
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. 
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, 
e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. 
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, 
e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. 
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e 
apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. 
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas. 
 
11 - (ENEM/2010) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a 
cidade B. Cada número indicado na figura II representa a 
probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via 
indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar 
engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando 
pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas 
probabilidades são independentes umas das outras. Paula deseja se 
deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das 
vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de 
engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é: 
 
a) E1E3 b) E1E4 c) E2E4 d) E2E5 e) E2E6 
 
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12 - (ENEM/2009) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as 
seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa 
loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis 
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. 
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. 
 
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar 
apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor 
que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do 
que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação 
ao primeiro é, aproximadamente: 
 
a) 1 1/2 vez menor b) 2 1/2 vezes menor c) 4 vezes menor 
d) 9 vezes menor e) 14 vezes menor 
 
13 - (ENEM/2013) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a 
produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54/100 do total 
de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 
25/1000 eram defeituosos. Por sua vez, 38/1000 dos parafusos produzidos no mesmo 
mês pela máquina ll eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é 
classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido 
ao acaso ser defeituoso. O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode 
ser classificado como: 
 
a) Excelente b) Bom c) Regular d) Ruim e) Péssimo 
 
14 - (ENEM/2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a 
seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Uma jogada consiste em: 
 
1°) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada 
por ele da urna 2; 
2°) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, 
misturando-a com as que lá estão; 
3°) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 
4°) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele 
ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? 
 
a) Azul b) Amarela c) Branca 
d) Verde e) Vermelha. 
 
15 - (ENEM/2010-2) Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 122 espécies de mamíferos, 
93 espécies de répteis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves. 
Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado). 
Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabilidade de ser uma borboleta? 
 
a) 63,31% b) 60,18% c) 56,52% d) 49,96% e) 43,27% 
 
16 - (ENEM/2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três 
alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem 
chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na um a um, o 
entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer 
um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em 
inglês é: 
 
a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0% 
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17 - (ENEM/2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, 
realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. 
Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 
 
 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
 2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
 
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a 
probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro ao lado 
refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de: 
 
a) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4%. e) 95,0% 
 
 
18 - (UNISC/2016) Dentre um grupo formado por 2 Engenheiros e 4 Matemáticos, três pessoas são 
escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um Engenheiro e dois Matemáticos é de: 
 
a) 25% b) 35% c) 39% d) 50% e) 60% 
 
19 - (UNIOESTE/2013) Um grupo de 8 pessoas deverá ser disposto, aleatoriamente, em duas equipes de 4 
pessoas. Sabendo-se que João e José fazem parte deste grupo, a probabilidade de que eles fiquem na mesma 
equipe é: 
 
a) inferior a 0,3. 
b) superior a 0,3 e inferior a 0,4. 
c) igual a 0,4. 
d) superior a 0,4 e inferior a 0,45. 
e) superior a 0,45. 
 
20 - (UCS/2016) Numa cidade com 60.000 domicílios, 35.000 deles têm acesso à internet, 25.000 têm 
assinatura de TV a cabo, e um terço do número de domicílios nãotem acesso a nenhum dos dois recursos. Qual 
é a probabilidade de um domicílio 
da cidade, escolhido ao acaso, ter acesso à internet e não ter assinatura de TV a cabo? 
 
a) 1/4 b) 1/12 c) 7/12 d) 3/8 e) 7/8 
 
21 - (UNESP INV/2014) Em um condomínio residencial, há 120 casas e 230 terrenos sem edificações. Em um 
determinado mês, entre as casas, 20% dos proprietários associados a cada casa estão com as taxas de 
condomínio atrasadas, enquanto que, entre os proprietários associados a cada terreno, esse percentual é de 
10%. De posse de todos os boletos individuais de cobrança das taxas em atraso do mês, o administrador do 
empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o boleto escolhido seja de um 
proprietário de terreno sem edificação é de: 
 
a) 24/350 b) 24/47 c) 47/350 d) 23/350 e) 23/47 
 
 
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22 - (ENEM PPL/2014) O número de frutos de uma determinada espécie de planta se distribui de acordo com 
as probabilidades apresentadas no quadro abaixo. 
 
A probabilidade de que, em tal planta, existam, pelo menos, dois frutos é igual a: 
 
a) 3% b) 7% c) 13% d) 16% e) 20% 
 
 
 
 
GABARITO: 
1 - C 
2 - E 
3 - E 
4 - C 
5 - E 
6 - A 
7 - D 
8 - E 
9 - D 
10 - D 
11 - B 
12 - C 
13 - B 
14 - E 
15 - D 
16 - D 
17 - E 
18 - E 
19 - D 
20 - A 
21 - E 
22 – E 
 
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CAPITULO 15 – Análise Combinatória 
 
15.1 – Definição 
 
A análise combinatória ou combinatória pode te ajudar a fazer essa conta, já que trata da 
quantificação das possibilidades de combinações para determinados eventos. 
Quando há um conjunto de elementos distintos em um determinado local, é possível misturá-los das 
mais variadas formas e chegar a diversos resultados. 
Para conseguir projetar os possíveis resultados, a análise combinatória pode ser uma forma simples de 
realizar essa tarefa. 
 Ela pode ser usada de formas diferentes e para variados tipos de análise. Iremos entender melhor como 
funcionam os arranjos, permutações e também as combinações e conhecer as diferenças entre eles. 
 
15.2 - Princípio fundamental da contagem 
 
O princípio fundamental da contagem é a parte inicial do estudo da análise combinatória e indica de 
forma simplificada o total de possíveis combinações quando é possível multiplicar o número de opções de 
acordo com todas as opções apresentadas. 
Um exemplo prático pode ser feito analisando a quantidade de pratos diferentes que podem ser 
combinados quando existe a opção de 2 entradas, 3 pratos principais, 3 sobremesas e 5 tipos diferentes de 
bebida. 
Para chegar ao resultado de possibilidades de combinação desses elementos, basta multiplicar todos 
os números das opções: 2 x 3 x 3 x 5 = 90. Resumindo, é possível ter 90 combinações diferentes de refeição 
com as opções que foram apresentadas. 
 
15.3 - Análise combinatória 
 
A probabilidade estuda os experimentos aleatórios, ou seja, trata-se de eventos que têm um resultado 
imprevisível. Como exemplos práticos desses eventos imprevisíveis, é possível citar o cara e coroa com uma 
moeda, o lançamento de dados com faces numéricas e o sorteio de bolas em uma urna durante o jogo de bingo. 
 
O espaço amostral define o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento específico. Por 
isso, é essencial saber qual é o experimento que será feito e a quantidade para determinar o espaço amostral. 
 
Dentro do espaço amostral, é possível analisar a quantidade de eventos que podem acontecer. 
A probabilidade é um tema bastante interligado à análise combinatória. 
 
15.4 - Tipos de análise combinatória 
 
A análise combinatória ou combinatória tem três tipos básicos para agrupar os elementos e todos eles 
precisam utilizar o fatorial, um número que pertença aos naturais e seja maior ou igual a dois. Vamos estudar 
a seguir os arranjos, combinações e permutações. 
 
15.4.1 - Arranjos 
 
Nos arranjos, os agrupamentos são feitos dependendo da ordem e natureza dos elementos. Eles podem 
ser com repetição e sem repetição. 
 
 
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a) Arranjo com repetição 
 
Se você tem 5 algarismos, de 1 a 5, e quer descobrir quantos números com dois algarismos podem 
ser formados, a fórmula de arranjo com repetição é a seguinte: 
 
An,k = nk 
 
b) Arranjo sem repetição 
 
Se você organiza uma corrida com 20 atletas e vai premiar os 5 primeiros, é preciso criar um 
arranjo sem repetição. Para isso, a fórmula é a seguinte: 
 
An,k = 𝒏!
(𝒏 𝒌)!
 
 
15.4.2 - Permutação 
 
A permutação pode ser explicada como alocar n elementos em n espaços e contar todas as sequências 
ordenadas possíveis que podem ser formadas. 
 
As permutações são um tipo específico de arranjos, quando: 
 Não há repetição; 
 O número de elementos a serem tomados para compor o resultado é igual ao número de elementos 
no conjunto. 
 
Em outras palavras, as permutações são os arranjos de n elementos tomados n a n. Portanto: 
 
Pn = n! 
 
15.4.3 - Combinação 
 
As combinações são como arranjos, porém, a ordem dos elementos que compõem um resultado não 
importa, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um resultado ACB. Neste caso, fala-se das 
combinações de n elementos tomados k a k, e esta quantidade é calculada da seguinte forma: 
 
Cn,k = 
𝒏!
(𝒏 𝒌)! 𝒌!
 
 
 
 
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15.5 - Resumo 
 
Para facilitar o seu entendimento sobre as diferentes fórmulas de análise combinatória, veja o resumo 
com as principais informações de cada uma delas: 
 
 
15.6 - Exemplos 
 
1 – (ENEM 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes 
e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras 
Ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é 
representada pela expressão: 
 
a) 6!/4!2! . 15!/10!5! b) 6!/4!2! + 15!/10!5! c) 6!/2! + 15!/5! d) 6!/2! . 15!/5! e) 
21!/7!14! 
 
2 - (ENEM 2021) A prefeitura de uma cidade está renovando os canteiros de flores de suas praças. Entre as 
possíveis variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, 
margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, todos com composições diferentes, serão utilizadas somente três 
variedades distintas, não importando como elas serão dispostas. Um funcionário deve determinar os trios de 
variedades de flores que irão compor cada canteiro. De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis 
é dada por: 
 
a) 5 b) 5 ∙ 3 c) 5!/(5 − 3)! d) 5!/(5 − 3)! 2! e) 5!/(5 − 3)! 3! 
 
3 - (ENEM 2021) O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte 
realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes 
mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam 
em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. A expressão que representa a 
quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é: 
 
a) b) c) d) e) 
 
4 - (ENEM 2021) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras 
que compõem o seu nome, antes do símbolo@ . O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo 
que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem. Ele sabe que o e-mail 
eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome 
forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado? 
 
a) 59 b) 60 c) 118 d) 119 e) 120 
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15.7 - Exercícios 
 
1 – (ESPCEX – 2018) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, 
constatou que: 
 
I. O cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. 
II. A probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50. 
III. Se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 940. 
IV. Se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 14. 
 
Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era: 
 
a) 27 b) 32 c) 33 d) 81 e) 108 
 
2 – (ESPCEX – 2018) Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ..., 15}. Formando grupos de três números 
distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é: 
 
a) 168 b) 196 c) 224 d) 227 e) 231 
 
3 – (ESPECEX – 2017) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas 
vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, 
selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a 
probabilidade de que seja mulher? 
 
a) 50% b) 70% c) 75% d) 80% e) 85% 
 
4 - (ESPECEX – 2017) Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus clientes, construídas segundo 
os seguintes métodos: 
 
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda 
posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto {3,4,5,6,7,8,9}. 
 
Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, medindo sua maior ou menor 
vulnerabilidade, foi definida a grandeza “força da senha”, de forma que, quanto mais senhas puderem ser 
criadas pelo método, mais “forte” será a senha. Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação 
à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição é: 
 
a) 10% mais fraca b) 10% mais forte c) De mesma força d) 20% mais fraca e) 20% 
mais forte 
 
5 - (ESPECEX – 2016) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1/3 . Se o casal 
pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é: 
 
a) 1/9 b) 7/9 c) 8/9 d) 2/3 e) 1/2 
 
6 - (ESPECEX – 2016) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito 
pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 
3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo 
essas restrições? 
 
 
a) 8 648 640 b) 456 c) 40 320 d) 72 072 e) 56 
 
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7 - (ESPECEX – 2015) Da análise combinatória, pode-se afirmar que: 
 
a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por três algarismos, é igual a 80. 
b) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. 
c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as vogais juntas é igual a 60. 
d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-
se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. 
e) a quantidade de funções injetoras definidas em A = {1, 3, 5} com valores em B = {2, 4, 6, 8} é igual a 24. 
 
8 - (ESPECEX – 2014) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem 
reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser 
divisível por 5 é: 
 
a) 12/245 b) 14/245 c) 59/2450 d) 59/1225 e) 11/545 
 
9 - (ESPECEX – 2014) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os 
números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a: 
 
a) 1.000.000 b) 1.111.100 c) 6.000.000 d) 6.666.000 e) 6.666.600 
 
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CAPÍTULO 16 - Matrizes 
 
16.1 - Definição 
 
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. 
Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. 
Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. 
 
Nome Peso (kg) Idade (anos) Altura (m) 
Camille 70 23 1,70 
Diogo 60 42 1,60 
Gabrielle 55 21 1,65 
Vitória 50 18 1,72 
Eduarda 66 30 1,68 
 
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado 
elemento da matriz. 
















68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
 ou 
















68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
 
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada 
por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre 
colchetes. 
 
Exemplos: 






8
1
6
3
7
2
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas) 
 
 314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 
 








5
3
4,0
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 
 
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16.2 - Representação Algébrica 
 
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para 
os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por: 
*
21
22221
11211
...













nemcom
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n



 
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m 
aij  i – linha; j – coluna 
a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito) 
 (na tabela significa a idade de Vitória: 18) 
 
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j. 
Resolução: A representação genérica da matriz é: 
233231
2221
1211
x
aa
aa
aa
A










 
jiaij  3 
7233
8133
4223
5123
1213
2113
32
31
22
21
12
11






a
a
a
a
a
a
 











7
4
1
8
5
2
A 
 
16.3 - Matriz Quadrada 
 
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada. 
 
Exemplo: 








01
43
A é uma matriz quadrada de ordem 2 
 
Observações: 
 
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. 
2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. 
A outra diagonal é chamada diagonal secundária. 
 
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Resolva: 
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 22 jiaij  
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por 
 







jise
jise
a
ji
ij
,0
,1
 
 
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por 






jiseji
jiseji
aij ,
,
 
 
16.4 - Matriz unidade ou matriz identidade 
 
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os 
demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz 
unidade por In. 
 
Exemplo: 







10
01
2I 











100
010
001
3I 
16.5 - Matriz tranposta 
 
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela 
troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At. 
Exemplo: 











7
4
1
8
5
2
A a sua transposta é 






7
8
4
5
1
2tA 
16.6 - Igualdade de Matrizes 
 
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente 
de B, as matrizes A e B são ditas iguais. 
 
mxnijaA   
mxnijbB 
32232221
131211
x
aaa
aaa
A 





 
32232221
131211
x
bbb
bbb
B 





 
ijij baBA  
Exemplo: 
Dadas as matrizes 














13
5
110
52
yx
yx
BeA , calcular x e y para que A = B. 
 
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16.7 - Exercícios 
1) Determine x e y, sabendo que 













16
7
3
32
yx
yx
 
 
2) Determine a, b, x e y, sabendo que 




 








70
13
2
2
bayx
bayx
 
 
3) Dada as matrizes 









 












z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que B = At. 
 
4) Sejam 


















ca
Be
a
A
b
3
3
2
92
81
1
log27
16
1
calcule a, b e c para que A=B. 
 
16.8 - Operações com matrizes 
 
16.8.1 - Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se 
ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. 
 
Exemplo: 
BAC  


















2221
1211
2221
1211
2221
1211
bb
bb
aa
aa
cc
cc
 





 





 







52
0²cos²
31
²cos²cos
21
²cos²  sensen
C 







52
01
C 
16.8.2 - Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os 
simétricos dos elementos correspondentes de A 
 
Exemplo: 
 















52
01
52
01
AA 
 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 104 
16.9 - Propriedades da Adição: 
 
a) Comutativa: A + B = B + A 
b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C 
c) Elemento Neutro: A + 0 = A 
d) Elemento Oposto: A + (-A) = 0 
 
Exemplo 1: Dadas as matrizes 










 








16
03
52
10
,
43
12
CeBA , calcule: 
a) A + B 
 
b) A – Bt – C 
Exemplo 2: Dadas as matrizes 
























2
4
1
5
2
3
BeA , calcular a matriz X tal que 0 BAX 
O segundo membro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1. 
 
Se 



































3
2
4
2
4
1
5
2
3
0 BAXBAX 
 
16.10 - Exercícios 
1) Dada a matriz 













210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX  
 
 
2) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij  2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B. 
 
 
3) Ache m, n, p e q, de modo que: 



















51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
 
 
 
4) Calcule a matriz X, sabendo que   BAXeBA T 


















2
3
0
1
2
5
,
3
0
2
4
1
1
 
 
 
 
 
 
 
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16.11 - Multiplicação de um número real por uma matriz: 
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da 
matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. 
A = (aij) 
K = número real 
No produto de K por A, temos: 
B = (bij), onde, bij = K.aij 
i {1, 2, ... , m} 
j  {1, 2, ... , n} 
 
Exemplo: 
Se 








450
123
A 








113
024
B , resolva: 
a) 02  BAX 
 
b) 023  BAX 
 
16.12 - Exercícios 
1) Para 








450
123
A e 








113
024
B , resolva a equação: 02  BAX 
 
 
2) Para 








450
123
A e 








113
024
B , resolva a equação BA
X
 2
3
 
 
 
3) Resolva o sistema 





BAYX
BAYX
2
, sendo 













5
1
2
3
BeA . 
 
 
 
 
 
 
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16.13 - Multiplicação de Matrizes 
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos 
correspondentes. Vejamos a seguinte situação. 
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, 
Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3. 
País Vitória Empate Derrota 
Brasil 2 0 1 
Escócia 0 1 2 
Marrocos 1 1 1 
Noruega 1 2 0 
 
Então: 













0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A 
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
Então: 











0
1
3
B 
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação 
pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a 
classificação: 
5001231:
4011131:cos
1021130:
6011032:




Noruega
Marro
Escócia
Brasil
 













5
4
1
6
AB 
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe 
entre as ordens das matrizes: 
141334 xxx ABBA  
 
 
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Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de 
linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. 
pmpnnm ABBA   
Exemplo 1: 
32
232
121
x
A 






 e 
23
12
41
32
x
B











 
A matriz existe se n = p ( o número de coluna de A é igual o número de linha da B.) 
 
           
           







1.24.33.22.21.32.2
1.1423.12.11.22.1
C 
22
203
102
x
C 






 
Exemplo 2: 
Dada as matrizes: 







12
01
A 






10
12
B 






20
02
C 
Calcule: 
a) A.B = 
























34
12
1204
0102
10
12
.
12
01
 
b) B.A = 

























12
14
1020
1022
12
01
.
10
12
 
c) A.C = 

























24
02
2004
0002
20
02
.
12
01
 
d) C.A = 

























24
02
2040
0002
12
01
.
20
02
 
Observação: 1ªPropriedade Comutativa A.B = B.A, não é valida na multiplicação de matrizes. 
Exemplo 3: 
Se 






11
11
A e 







11
11
B , calcule: A.B 
 
Observação: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou 
B) seja nula. 
 
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Exemplo 4: 
Dadas as matrizes 












041
011
021
A , 











222
111
321
B e 











111
111
321
C , calcule o que se pede: 
a) A.B = 
 
 



































 043042041
013012011
023022021
222
111
321
.
041
011
021
 












723
232
143
.BA 
b) A.C = 
 
 



































 043042041
013012011
023022021
111
111
321
.
041
011
021
 












723
232
143
.CA 
Observação: A.B = A.C , B C. – na álgebra a.b = a.c  b = c 
3ª Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes não é válido. 
 
Propriedades: 
- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C 
- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C 
- Elemento neutro: A.In = A 
 
Exercícios 
1) Efetue: 
a) 














2
3
41
35
 b)  











3
0
2
531 c) 




 






 30
12
41
25
 
 
2) Dada a matriz 









 

100
001
012
A , calcule A2. 
 
3) Sabendo que 












11
02
10
21
NeM , calcule MN - NM. 
 
 
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16.14 - Matriz Transposta 
 
Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se At) a matriz n x m cujas linhas 
são ordenadamente, as colunas de A. 
 
Exemplos 

















 


















6
2
0
1
10
3
6
1
2
10
0
3
22
02
20
22
t
t
AA
AA
 
 
16.14.1 - Propriedades da Transposta: 
 tt BABA  
   AA
tt  
   tt AKAK ..  (K real) 
   ttt BABA  
   ttt ABBA ..  ( no produto de A.B, inverte a ordem) 
Resolva: 
Sendo A = 





43
21
e B = 





21
02
, mostre que   ttt ABBA ..  . 
 
16.15 - Matriz simétrica 
Quando A = At dizemos que A é matriz simétrica. 
Exemplo: 
























985
843
532
985
843
532
tAA 
 
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16.15.1 - Matriz anti-simétrica 
Quando A = - At dizemos que A é matriz anti-simétrica. 
Exemplo: 




























085
804
540
085
804
540
tAA 
 
16.16 - Matriz Inversa 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que A.X = In e X.A = In, então X é 
denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é 
uma matriz inversível ou não-singular. 
Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 





32
85
. 
Exercícios 
1) Determine a inversa das matrizes: 
a) 






01
43
A 
b) 











021
131
001
B 
 
16.17 - Equações matriciais do tipo A.X = B ou X.A = B, para A inversível. 
Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que A.X = B, vamos demonstrar que X = A-1 . B. 
 
 
BAX
BAIX
BAXAA
BAAXA
BAX
1
1
11
11









 
O mesmo também é válido para 1 BAXBXA 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 111 
Exemplo: 
1) Sabendo que 














13
52
01
01
BeA 
a) verifique se 






11
011A 
b) determine X tal que AX = B 
 
 
16.18 - Exercícios de Matrizes 
 
1 - Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: 








jij
ji
aij
 se 1i
 se 2
2
ji
 
 
Resposta: 










789
3234
1681 
 
2 - Sendo 












534
201
321
M , 











100
010
001
N e 














023
102
110
P , calcule: 
a) N – P + M 
b) 2M – 3N – P 
c) N – 2(M – P) 
Resposta: a) 










65-7
3-11
232 b) 










78-11
5-3-0
551- c) 










9-10-14-
612-
4-6-1- 
 
3 - Calcule a matriz X, sabendo que 











34
01
21
A , 







202
315
B e   BAX t  . 
 
Resposta: 











1-1-
02
4-4
X
 
 
4 - Dadas as matrizes 






a
a
A
0
0
 e 






1
1
b
b
B , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz 
identidade. 
Resposta: a = 1 e b = 0 
 
 
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FUNDAMENTAÇÃO NUMÉRICA 
12/10/2023 
 
 
Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 112 
5 - Dadas as matrizes 




 

30
21
A e 




 

02
31
B . Calcule: 
a) A² 
b) A³ 
c) A²B 
d) A² + 3B 
Resposta: a) 






90
8-1 b) 






270
26-1 c) 






018
3-15 d) 






96
17-4 
 
6 - Dadas as matrizes 






13
21
A e 




 

34
12
B , calcule AB + tB 
Resposta: 






39
118 
7 - Resolva a equação: 
 






















1122
3211
1
2
1
32
yx
y²x
y
x
.
yx
x
 
 
Resposta: V = {(2,3),(2,-3)} 
 
8 - Sendo 







20
03
A , 




 

53
12
P e 






b
a
B
75
10
13
1
, determine os valores de a e b, tais que 
1 P.A.PB . 
 
Resposta: a = 24 e b = -11 
 
9 - Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2: 
 













 












0
00
00
0
0
00
zy
yz
zx
yxx
.
x
 
 
Resposta: x = 0, y = 0 e z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 
 
10 - Dada a matriz  
22xijaA  , tal que 
 
 
 se 
 se 
2










 

 ji jcos
 ji isen
aij , determine: 
a) tA 
b) A² 
c) 1A 
Resposta: a) 





 
01
11 b) 






 11
10 c) 





 
11
10 
 
 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 113 
11 - A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é: 
 
a) A + B existe se, e somente se, n = p. 
b) tAA  implica m = n 
c) A.B existe se, e somente se, n= p 
d) tB.A existe se, e somente se, n = p. 
e) B.At sempre existe. 
Resposta: letra C 
 
12 - Seja  ijaA  a matriz real quadrada de ordem 2, definida por 








jii
ji
a
ji
ij
 para 1
 para2
2
. Então: 
d) 






55
82
A b) 






65
82
A c) 






58
42
A d) 






52
82
A e) n.d.a. 
Resposta: letra A 
 
13 - Dadas as matrizes 







31
02
A e 






 
13
2
12
B , então a matriz -2AB é igual a: 
e) 




 
714
28
 b) 




 
714
28
 c) 







714
28
 d) 





714
28
 e) 







714
28
 
Resposta: letra E 
14 - Considerando as matrizes abaixo, o elemento 63C é: 
 ijaA  , 4 x 7 onde jiaij  
 ijbB  , 7 x 9 onde ibij  
 ijcC  , tal que C = AB. 
 
a) -112 b) é -18. c) é -9. d) é 112. e) não existe. 
 
Resposta: letra E 
15 - Dadas as matrizes 






00
11
A e 







10
10
B , para A.B temos: 
a) 





00
10
 b) 





00
00
 c) 





10
10
 d) 





00
20
 e) 





1
1
 
Resposta: letra B 
16 - O produto M.N da matriz 











1
1
1
M pela matriz  111N ; 
a) não se define. d) É a matriz identidade de ordem 3 
b) É uma matriz de uma linha e uma coluna. e) É uma matriz quadrada de ordem 3 
c) Não é uma matriz quadrada. 
Resposta: letra E 
17 - A inversa da matriz 





11
34
 é: 
a) 







11
3
1
4
1
 b) 







41
31
 c) Inexistente. d) 









11
3
1
4
1
 e) 







11
34
 
Resposta: letra B 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 114 
 
18 - Se 



















3
9
21
12
y
x
. , então: 
 
a) x = 5 e y = -7 b) x = -7 e y = -5 c) x = -5 e y = -7 d) x = -7 e y = 5 
e) x = 7 e y = -5 
Resposta: letra B 
 
19 - Sendo 








42
71
A e 




 

04
13
B , então a matriz X, tal que 
3
2
2
BXAX 


, é igual a: 
 
a) 





73
41
 b) 







80
97
 c) 





94
21
 d) 





1210
179
 e) 




 
129
87
 
Resposta: letra D 
20 - Se A e B são matrizes tais que: 











x
A 1
2
 e 











1
2
1
B , então a matriz B.AY t será nula para: 
a) x = 0 b) x = -1 c) x = -2 d) x = -3 e) x = -4 
Resposta: letra E 
 
21 - A Matriz 





1
1
x
x
, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se: 
a) 0x b) 1x c)
2
1
x d)
2
1
 e 
2
1
 xx e) 1 e 1  xx 
Resposta: letra E 
 
22 - A solução da equação matricial 


































3
2
1
101
210
121
z
y
x
. é a matriz: 
a) 










1
2
3
 b) 










0
2
3
 c)










2
0
3
 d)










0
3
2
 e)










3
0
2
 
Resposta: letra B 
 
23 - Considere as seguintes matrizes: 














45
100
734 xx
A , 









 

22
05
43
B , 








11
1
x
xx
C e 











41
510
100
D
. O valor de x para que se tenha: A + BC = D é: 
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 
Resposta: letra C 
 
24 - As matrizes abaixo comutam, 





2a
aa
 e 





33
30
. O valor de a é: 
f) 1 b) 0 c) 2 d) -1 e) 3 
Resposta: letra A 
 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 115 
CAPÍTULO 17 - Determinantes 
 
17.1 – Definição 
 
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada. 
 
17.2 - Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem 
 
Dada a matriz de 2ª ordem 11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
, chama-se determinante associado a matriz A (ou 
determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Então, determinante de 11 22 12 21A a a a a    
Indica-se 11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
      
Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu próprio elemento, isto é: 
11det A A a  
Exemplo: 
22
13
42
x
 
1224.31.2det A 
10det A 
 
Então resolva: 
1) Resolva a equação: 
3 2
0
1 5
x
x



 
Resp: 
17
3
S
   
 
 
2) Resolva a equação: 0
11
53



x
x
 
Resp:  4, 2S   
3) Resolva a inequação: 
3
2
x
x
x
  
Resp:  23|  xouxRxS 
4) Sendo 












02
31
20
31
BeA , calcule det(AB). 
Resp: -12 
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17.3 - Menor Complementar 
 
O menor complementar ijD do elemento ija da matriz quadrada A, é o determinante que se obtém de 
A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento ija
considerado. 
Exemplo: 
Dada a matriz
125
410
312


A , calcular D11, D12, D13, D21, e D32. 
Resolução: 
981
12
41
11 

D 20
15
40
12 D 5
25
10
13 

D 
561
12
31
21 


D 8
40
32
32 D 
 
17.4 - Cofator 
 
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
. 
Chama-se Cofator do elemento ija da matriz quadrada o número real que se obtém multiplicando-se 
  ji1 pelo menor complementar de ija e que é representado por   ij
ji
ij DA .1  . 
Exemplo: Dada a matriz 









 

873
204
213
A , calcular: 
a) A11 
    14141
87
20
1 11
11  A 
b) A13 
    28281
73
04
1 31
13  A
 
 
c) A32 
    14861
24
23
1 23
32 

 A 
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Resolva: Dada a matriz 













172
543
210
A determine A13 , A21 , A32 e A33. 
Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3. 
17.5 - Definição de Laplace 
 
 O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem 2n é o número que se obtém pela soma 
dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
Sendo 













341
025
132
A uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de ordem 
2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos: 
       
        1518451218115362
41
25
11
31
05
13
34
02
12
det
312111
131312121111








AaAaAaA
 
 
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior número de 
zeros. 
Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace: 
a) 













301
430
112
A 
Resp: det A = 11 
b) 













126
540
312
A 
Resp: det A = -74 
 
17.6 - Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3) 
 
Seja a matriz 









124
012
321
, repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as seis multiplicações 
em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. Os produtos 
obtidos da diagonal secundária mudam de sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos. 
 
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       
340121201
122201)413(223402)111(det
24124
12012
21321
124
012
321

 A
 
Resolva: 
a) Calcule o determinante da matriz 













341
025
132
A 
Resp: det A = 15 
b) Resolva a equação 0
423
121
53
x
x
 
Resp: 
4
23
x 
c) Dada as matrizes 



















121
32
011
93
2
xBe
x
A , determine x para que det A = det B 
Resp: 
2
13
x 
d) Resolva a equação 0
44
4 
x
xx
xxx
 
Resp:  40,S  
e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: 









jise,ji
jise,ji
jise,
mij
0
. Ache o valor do determinante 
de M. 
Resp: 48 
f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz 













220
112
112
P 
 
Resp: 64 
 
FORMARE – Turma 2023 
FUNDAMENTAÇÃO NUMÉRICA 
12/10/2023 
 
 
Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 119 
17.7 - Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 4 A = 
















6230
1251
3124
0132
, vamos calcular o determinante de A. Para tanto, 
aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinante de 3ª ordem, e depois empregaremos a 
regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinante acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos: 
)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111  
 
34172
623
125
312
12 11
1111 



 )(Aa
 
 
132443
620
121
314
13 21
1212 

 )(Aa
 
 
1111111
630
151
324
11 31
1313 

 )(Aa
 
 
0
230
251
124
10 41
1414 



 )(Aa 
 
Substituindo em (1) temos: 1311113234 Adet 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 120 
Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha. 
1231
1251
4134
1312


 
Resp: -180 
17.8 - Propriedade dos Determinantes 
 
1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, 
seu determinante será nulo, isto é, det A = 0. 
Exemplo: 0048
3
1
0
3
1
0
480
 
2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada 
A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0 
Exemplo: 04554
54
54
 
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante 
será nulo, isto é , det A = 0 
Exemplo: 097213
219
73
 
4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são 
multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. 
Exemplo:      3294772027745937
94
53
7 

 
  329140189435921
94
3521


 
 5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu 
determinante fica multiplicado por kn, isto é: n
n
n Adetk)kAdet(  
Exemplo: 
751752003755
2510
2015
5
7815
52
43
2 













AdetA
AdetA
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 121 
6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto 
é, det A = det At. 
Exemplo: 












db
ca
Ae
dc
ba
A t 
bcdaAdetecbdaAdet t  
7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o 
determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. 
Exemplo: 19500610015
522
035
121













 AdetA 
19150106050
522
053
112













 AdetA 
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 
Exemplo: 40425
413
021
005











 AdetA 
9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então 
BdetAdetABdet  (teorema de Binet) 
Exemplo: 
   613784236
63
146
41030
8660
6
43
20
13103
15
23






























ABdetAB
BdetBAdetA
 
10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) 
pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), 
formando uma matriz B, então det A=det B (Teorema de Jacobi). 
Exemplo: 11209
94
51






 AdetA 
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos: 
11101
12
51







 AdetA 
 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 122 
Exercícios 
 
1. Dadas as matrizes 







12
01
A e 






31
20
B , calcule: 
a) det (A²) 
b) det (B²) 
c) det (A² + B²) resp: a) 1 b) 4 c) 18 
2. (Faap – SP) Resolva a inequação 14
24
3

x
xx
. 
Resp:  71  x|Rx 
3. Determine a solução da equação 0
2
83

 x
x
 Resp: {-2,2} 
4. Sendo 







31
21
A e 






12
10
B , dê o valor de: 
a) det (A). det(B) 
b) det (A.B) Resp: a) -10 b) -10 
5. Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que: 









ji se 1
 e ji se ,
ji se 1,
ij Rkka . Calcule k, de modo 
que o determinante da matriz A seja nulo. Resp: k = 0 
6. (UFPR) Considere as matrizes 











xzy
xyz
zyx
A e 








xzyz
zxyx
B e 






42
64
C . Sabendo que 
a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A. 
Resp: 72 
7. Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo 











3
2
1
A ,  532B e 














413
012
201
C . Resp: zero 
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Professor: Norberto Luiz Souza Felix pág. 123 
Teste: 
1. (UEL – PR) A soma dos determinantes 
ab
ba
ab
ba 
 é igual a zero. 
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b. 
b) se e somente se a = b. 
c) se e somente se a = - b. 
d) se e somente se a = 0. 
e) se e somente se a = b = 1. 
Resp: a) 
2. (FMU – SP) O determinante da matriz 





 xx
xx
sen 2cos2
cossen
 é igual a: 
a) sen 2x b) 2 c) -2 d) 2 sen²x e) cos 2x 
Resp: b) 
3. (Mack – SP) A solução da equação 0
02/13/2
51
321


x 
a) 1 b) 58 c) -58 d) e) 2 
Resp: d) 
4. (Mack – SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da 
matriz A é: 
a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4 
Resp: d) 
5. (Fatec – SP) Determine x, de modo que 0
94
32